1、2021-2022 学年广东省广州市海珠区七年级学年广东省广州市海珠区七年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1. 如果温度上升 3记作+3，那么下降 8记作（ ） A. 5 B. 11 C. 8 D. +8 2. 在1、8、0、2这四个数中，最小的数是（ ） A. 1 B. 8 C. 0 D. 2 3. 某市地铁 18 号线定位为南北快线， 实现了该市中心城区与某新区的快速轨道交通联系， 18 号线日均客流量约为 81400人，将数 81400用科学记数法表示，可记为（ ） A. 0.
2、814 105 B. 8.14 104 C. 814 102 D. 8.14 103 4. 下列运算正确的是（ ） A. 2x3x31 B. 3xyxy2xy C （xy）xy D. 2a+3b5ab 5. 下列方程中是一元一次方程的是( ) A 2x=3y B. 7x+5=6(x1) C. x2+12(x1)=1 D. 1x2=x 6. 如图的图形，是由（ ）旋转形成的 A. B. C. D. 7 解方程3162xx，去分母，得（ ） A. 133xx B. 633xx C. 633xx D. 133xx 8. 某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒已知该工厂有 44 名工人，每名工人每小时可以制作筒
3、身 50 个或制作筒底 120个要求一个筒身配两个筒底，设应该分配 x名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套，则可列方程为（ ） A. 2 120（44x）50 x B. 2 50（44x）120 x C. 120（44x）2 50 x D. 120（44x）50 x 9. 若关于 x、y的多项式 3x2y4xy+2x+kxy+1 不含二次项，则 k 的值为（ ） A. 4 B. 4 C. 14 D. 14 10. 如图，数轴上 4 个点表示的数分别为 a、b、c、d若|ad|10，|ab|6，|bd|2|bc|，则|cd|（ ） A. 1 B. 1.5 C. 1
4、.5 D. 2 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 14的相反数是_ 12. 已知 x3是关于 x方程 ax+2x90的解，则 a 的值为 _ 13. 46 35的余角等于_ 14. 已知线段 AB12，点 C在线段 AB上，且 AB3AC，点 D为线段 BC 的中点，则 AD的长为 _ 15. 某小区要打造一个长方形花圃，已知花圃的长为（a+2b）米，宽比长短 b 米，则花圃的周长为 _米（请用含 a、b 的代数式表示） 16. 观察下面三行数： 1，4，9，16，25，36，； 1，6，7，18，23，38，；
5、2，8，18，32，50，72，； 那么取每行数的第 10个数，则这三个数的和为 _ 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 9 个小题，共个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 计算： （1）12（18）515； （2） （1）10 2+（2）3 4 18. 解方程： （1）2x+33x7； （2）2151136xx 19. 先化简，再求值： 2222452252xxyyxyxy-，其中12xy ， 20. 如图所示，已知线段 AB，点 O 为 AB中点，点 P是线段 AB外一点 （1）按要求用圆规和直尺作图，并保
6、留作图痕迹； 作射线 AP，作直线 PB； 延长线段 AB至点 C，使得12BCAB （2）在（1）的条件下，若线段 AB2cm，求线段 OC 的长度 21. 某市为保障供水及道路安全，自来水有限公司排查地下管线密集区，决定改造一段已使用多年面临老化自来水管， 这项翻新工程如果由甲工程队单独改造需要 12 天， 由乙工程队单独改造需要 24天 现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项翻新工程，但由于工作调动的原因，该项工程完工时，乙工程队中途共离开了 3 天，问这项工程一共用了多少天？ 22. 某食品厂从生产的食品中抽出样品 20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过的部分用正数表示，不足的部分用
7、负数表示，记录如表： 与标准质量的差值（克） 5 2 0 1 3 6 袋数（袋） 2 4 5 5 1 3 （1）若每袋标准质量为 350 克，则这批抽样检测的样品的总质量是多少克？ （2）若该食品的包装袋上标有产品合格要求为“净重 350 2克”，则这批样品的合格率为多少？ 23. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（注：水费按一个月结算一次） ：请根据价目表的内容解答下列问题： 价目表 每月用水量（m3） 单价（元/m3） 不超出 26m3的部分 3 超出 26m3不超出 34m3的部分 4 超出 34m3的部分 7 （1
8、）填空：若该户居民 1月份用水 20立方米，则应收水费 元；若该户 2月份用水 30立方米，则应收水费 元； （2）若该户居民 3 月份用水 a立方米（其中 a34） ，则应收水费多少元？（结果用含 a 的代数式表示） （3）若该户居民 4 月份的平均水价为 3.8 元/m3，求该户 4 月份用水量是多少立方米？ 24. 对于有理数 a、 b定义一种新运算 ab32 ()2()3ab abab ab， 如 533 52 39， 13123 31；请按照这个定义完成下列计算： （1）计算 5（3） ； （5）（3） ； 若 x323，求 x的值； （2）若 A2x3+223xx+1，B2x3+x
9、2x+32，且 AB4，求 3x3+32x+2的值； （3）若 x和 k 均为正整数，且满足14()(1)333kxkxx+12，求 k 的值 25. 如图，AOB90 ，COD60 （1）若 OC 平分AOD，求BOC的度数； （2）若BOC114AOD，求AOD的度数； （3） 若同一平面内三条射线OT、 OM、 ON有公共端点O， 且满足MOT12NOT或者NOT12MOT，我们称 OT是 OM和 ON 的“和谐线”若射线 OP 从射线 OB的位置开始，绕点 O按逆时针方向以每秒 12的速度旋转，同时射线 OQ从射线 OA 的位置开始，绕点 O 按顺时针方向以每秒 9 的速度旋转，射线
10、OP 旋转的时间为 t（单位：秒） ，且 0t15，求当射线 OP 为两条射线 OA和 OQ的“和谐线”时 t的值 2021-2022 学年广东省广州市海珠区七年级学年广东省广州市海珠区七年级上期末数学试卷上期末数学试卷 一、选择题（本题有一、选择题（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1. 如果温度上升 3记作+3，那么下降 8记作（ ） A. 5 B. 11 C. 8 D. +8 【答案】C 【解析】 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示 【详解】解：“正”和“负”相对，如果温度上升 3记作+3，那么下降 8
11、记作-8 故选：C 【点睛】本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量 2. 在1、8、0、2这四个数中，最小的数是（ ） A. 1 B. 8 C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据有理数比大小的原则：正数大于 0，0 大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小，进行求解即可 【详解】解：2 =21=1 ， 21 ， 四个数由小到大排列为：2108 ， 最小的数是-2， 故选：D 【点睛】本题考查有理数比大小，能够准确比较负数之间的大小是解决本题的关键 3. 某市地铁 18 号线定位为南北快线， 实现了该市中心城区与某新区的快
12、速轨道交通联系， 18 号线日均客流量约为 81400人，将数 81400用科学记数法表示，可记为（ ） A. 0.814 105 B. 8.14 104 C. 814 102 D. 8.14 103 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值大于 1的数可以用科学记数法表示，一般形式为 a10n，n 为正整数，据此可以解答 【详解】解：81400 用科学记数法表示为 8.14 104 故选：B 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大数，熟练掌握一般形式为10na ，其中110a，n是正整数，解题的关键是确定a和n的值 4. 下列运算正确的是（ ） A. 2x3x31 B. 3xyxy2xy C. （
13、xy）xy D. 2a+3b5ab 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式的加减运算法则和去括号法则即可求出答案 【详解】解：A、原式3x，选项不符合题意 B、原式2xy，选项符合题意 C、原式xy ，选项不符合题意 D、2a与3b不是同类项，选项不符合题意 故选：B 【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型 5. 下列方程中是一元一次方程的是( ) A. 2x=3y B. 7x+5=6(x1) C. x2+12(x1)=1 D. 1x2=x 【答案】B 【解析】 【详解】解：.23A xy，含有两个未知数，故不符合题意； B. 7561xx ，是一
14、元一次方程，符合题意； C. 21112xx ，最高为 2次，不是一元一次方程，故不符合题意； D. 12xx，不是整式方程，故不符合题意， 故选 B. 6. 如图的图形，是由（ ）旋转形成的 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点动成线、线动成面、面动成体和圆台几何体的特征，纵观各选项，易得出答案 【详解】解：旋转后的几何体是上面小、下面大，侧面与两底圆不垂直，是一个圆台 A旋转后的图形是圆台，故此选项符合题意； B旋转后的图形是球，故此选项不符合题意； C旋转后的图形是圆柱，故此选项不符合题意； D旋转后的图形是圆锥，故此选项不符合题意； 故选 A 【点睛】本题主要考
15、查了点、线、面、体，是基础题，判断出旋转后的几何体是解题的关键根据面动成体得到选转后的几何体的形状，然后选择答案即可 7. 解方程3162xx，去分母，得（ ） A. 133xx B. 633xx C. 633xx D. 133xx 【答案】C 【解析】 【分析】方程两边同时乘以 6，去分母，再去括号，注意负号的作用 【详解】去分母：6(3)3xx 633xx 故选：C 【点睛】本题考查解一元一次方程之去分母，其中涉及去括号等知识，是重要考点，难点较易，掌握相关知识是解题关键 8. 某工厂用硬纸生产圆柱形茶叶筒已知该工厂有 44 名工人，每名工人每小时可以制作筒身 50 个或制作筒底 120个
16、要求一个筒身配两个筒底，设应该分配 x名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小时制作出的筒身与筒底刚好配套，则可列方程为（ ） A. 2 120（44x）50 x B. 2 50（44x）120 x C. 120（44x）2 50 x D. 120（44x）50 x 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可列方程为2 5012044xx，进而即可得出答案 【详解】解：由题意可列方程为2 5012044xx 故选 C 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用解题的关键在于根据题中的数量关系列方程 9. 若关于 x、y的多项式 3x2y4xy+2x+kxy+1 不含二次项，则 k 的值为（ ） A. 4
17、 B. 4 C. 14 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】先将多项式合并同类项化简，然后考虑不含二次项，令二次项的系数为 0，求解即可得 【详解】解：2234213421x yxyxkxyx yk xyx ， 多项式不含有二次项， 40k， 解得：4k ， 故选：A 【点睛】题目主要考查整式的加减运算，合并同类项，解一元一次方程，熟练掌握合并同类项方法是解题关键 10. 如图，数轴上 4 个点表示的数分别为 a、b、c、d若|ad|10，|ab|6，|bd|2|bc|，则|cd|（ ） A. 1 B. 1.5 C. 1.5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据|ad|10，|a
18、b|6 得出 b和 d 之间的距离，从而求出 b和 c之间的距离，然后假设 a表示的数为 0，分别求出 b，c，d表示的数，即可得出答案 【详解】解：|ad|10， a和 d之间的距离为 10， 假设 a 表示的数为 0，则 d表示的数为 10， |ab|6， a和 b之间的距离为 6， b表示的数为 6， |bd|4， |bc|2， c表示的数为 8， |cd|810|2， 故选：D 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出 a、b、c、d 表示的数 二、填空题（本题有二、填空题（本题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 1
19、1. 14的相反数是_ 【答案】14 【解析】 【详解】试题分析：求一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号 解：根据相反数的定义，得14相反数是14 考点：相反数 12. 已知 x3是关于 x 的方程 ax+2x90 的解，则 a的值为 _ 【答案】1 【解析】 【分析】根据方程的解为 x=3，将 x=3 代入方程即可求出 a 的值 【详解】解：将 x=3代入方程得：3 2 3 9 0a ， 解得：a=1 故答案为： 1 【点睛】此题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键在于熟知方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值 13. 46 35的余角等于_ 【答案】43 25 【
20、解析】 【分析】根据和为 90 的两个角互为余角解答即可 【详解】解：46 35的余角等于 90 46 35=43 25， 故答案为：43 25 【点睛】本题考查求一个角的余角，会进行度分秒的运算，熟知余角定义是解答的关键 14. 已知线段 AB12，点 C在线段 AB上，且 AB3AC，点 D为线段 BC 的中点，则 AD的长为 _ 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意先求出 AC，再根据线段中点的性质解答即可 【详解】解：如图， AB12，AB3AC， AC=4， BC=AB=AC， BC=8， 点 D为线段 BC的中点， 118422CDBC ， AD=AC+CD=8 故答案为：8 【
21、点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，灵活运用数形结合思想是解题的关键 15. 某小区要打造一个长方形花圃，已知花圃长为（a+2b）米，宽比长短 b米，则花圃的周长为 _米（请用含 a、b 的代数式表示） 【答案】(4a+6b)#(6b+4a) 【解析】 【分析】根据题意表示出花圃的宽为ab米，然后根据长方形的周长公式求解即可得 【详解】解：已知花圃的长为2ab米，宽比长短 b 米，则花圃的宽为ab米， 花圃周长为： 222 2346abababab米， 故答案为：46ab 【点睛】题目主要考查整式加减的应用，理解题意，列出相应代数式是解题关键 16. 观察下面三行数： 1，4，9，16，25
22、，36，； 1，6，7，18，23，38，； 2，8，18，32，50，72，； 那么取每行数第 10 个数，则这三个数的和为 _ 【答案】2 【解析】 【分析】由题目中的数字可得，第一行的第 n 个数，当 n 为奇数时是2n，当 n为偶数时是2n， 故第 10个数字是20101 0 ；第二行的第 n个数比第一行的第 n 个数小 2；第三行的第 n 个数是第一行的第 n个数的2 倍；然后将这三个数求和即得答案 【详解】解：由题目中的数字可得，第一行的第 n个数，当 n 为奇数时是2n，当 n为偶数时是2n， 故第一行第 10 个数字是20101 0 ； 第二行的第 n个数比第一行的第 n个数小
23、 2，即是当 n为奇数时是22n ，当 n 为偶数时是22n ，故第二行第 10 个数字是2102102 ； 第三行的第 n个数是第一行的第 n个数的2倍，即当 n为奇数时是22n，当 n 为偶数时是22n，故第 10个数字是22 10200， 所以这三个数的和为 1001022002 故答案为：2 【点睛】本题考查数字的变化类规律，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的数字之和 三、解答题（本题有三、解答题（本题有 9 个小题，共个小题，共 72 分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 计算： （1）12（18）
24、515； （2） （1）10 2+（2）3 4 【答案】 （1）10 （2）0 【解析】 【分析】 （1）将减法转化为加法，再计算加法即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算减法即可 【详解】解： （1）原式1218515 3020 10； （2）原式1 2( 8)4 22 0 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则 18. 解方程： （1）2x+33x7； （2）2151136xx 【答案】 （1）2x （2）3x 【解析】 【分析】（1）先移项，再合并同类项，再系数化 1即可； （2）先去分母，再移项，再去括号，再合并同类项，再系数化 1即
25、可 【小问 1 详解】 解：2337xx 移项：237 3xx 合并同类项：510 x 系数化 1：2x 【小问 2 详解】 解：2151136xx 去分母： 2 21516xx 去括号：42 516xx 移项：456 2 1xx 合并同类项：3x 系数化 1：3x 【点睛】本题考查解一元一次方程，在解题过程中要注意去括号的变号，以及给等号两边同乘同一个数时不要漏乘 19. 先化简，再求值： 2222452252xxyyxyxy-，其中12xy ， 【答案】 29xxy，值为19 【解析】 【分析】先去括号然后合并同类项化简即可，将x1,y2 代入计算求解即可 【详解】解： 222245225
26、2xxyyxyxy- 2222452452xxyyxyxy 29xxy 将x1,y2 代入得291 9 1219xxy 原式的值为19 【点睛】本题考查了整式的加减运算，代数式求值解题的关键在于正确的去括号，合并同类项 20. 如图所示，已知线段 AB，点 O 为 AB中点，点 P是线段 AB外一点 （1）按要求用圆规和直尺作图，并保留作图痕迹； 作射线 AP，作直线 PB； 延长线段 AB至点 C，使得12BCAB （2）在（1）的条件下，若线段 AB2cm，求线段 OC 的长度 【答案】 （1）见解析；见解析 （2）2cm 【解析】 【分析】 （1）根据射线、直线的定义，即可求解；根据作一
27、条线段等于已知线段的作法，即可求解； （2）根据点 O为 AB中点，可得12OBAB ，从而得到OCOBBCAB，即可求解 【小问 1 详解】 解：如图，射线 AP，直线 PB即为所求； 如图，点 C 即为所求； 【小问 2 详解】 解：点 O为 AB中点， 12OBAB ， 12BCAB， 112cm22OCOBBCABABAB 【点睛】本题主要考查了尺规作图作一条线段等于已知线段，有关中点的计算，直线和射线的定义，熟练掌握作一条线段等于已知线段的作法，直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的线；射线是只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长不可测量长度的线是解题的关键 2
28、1. 某市为保障供水及道路安全，自来水有限公司排查地下管线密集区，决定改造一段已使用多年面临老化的自来水管， 这项翻新工程如果由甲工程队单独改造需要 12天， 由乙工程队单独改造需要 24 天 现要求甲、乙两个工程队一起合作完成这项翻新工程，但由于工作调动的原因，该项工程完工时，乙工程队中途共离开了 3 天，问这项工程一共用了多少天？ 【答案】这项工程一共用了 9天 【解析】 【分析】根据题意分别算出甲，乙两队的工作效率，根据题意可知等量关系：甲完成工作量乙完成工作量=总工作量，根据等量关系列出方程即可 【详解】甲工程队单独改造需要 12天，由乙工程队单独改造需要 24 天， 甲的工作效率为：
29、112 ，乙的工作效率为：124， 解：设这项工程一共用了 x 天， 11311224xx 解得：9x ， 答：这项工程一共用了 9天 【点睛】本题考查用一元一次方程解决工程问题，能够根据题意列出方程是解题的关键 22. 某食品厂从生产的食品中抽出样品 20袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过的部分用正数表示，不足的部分用负数表示，记录如表： 与标准质量的差值（克） 5 2 0 1 3 6 袋数（袋） 2 4 5 5 1 3 （1）若每袋标准质量为 350 克，则这批抽样检测的样品的总质量是多少克？ （2）若该食品包装袋上标有产品合格要求为“净重 350 2克”，则这批样品的合格率为多少？ 【
30、答案】 （1）这批抽样检测样品总质量是 7008克 （2）这批样品的合格率为 70% 【解析】 【分析】 （1）总质量标准质量 抽取的袋数超过（或不足的）质量，把相关数值代入计算即可； （2）找到所给数值中，绝对值小于或等于 2的食品的袋数占总袋数的多少即可 【小问 1 详解】 解：超出的质量为： 52（2） 40 51 53 16 3108053188（克） ， 总质量为：350 2087008（克） ， 答：这批抽样检测样品总质量是 7008克 【小问 2 详解】 解：因为绝对值小于或等于 2的食品的袋数为： 45514（袋） ， 所以合格率为：1420 100%70%， 答：这批样品的合
31、格率为 70% 【点睛】本题考查了正数与负数，有理数加减混合运算，读懂表格数据，根据题意准确列式是解题的关键 23. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如表（注：水费按一个月结算一次） ：请根据价目表的内容解答下列问题： 价目表 每月用水量（m3） 单价（元/m3） 不超出 26m3的部分 3 超出 26m3不超出 34m3的部分 4 超出 34m3的部分 7 （1）填空：若该户居民 1月份用水 20立方米，则应收水费 元；若该户 2月份用水 30立方米，则应收水费 元； （2）若该户居民 3 月份用水 a立方米（其中 a34）
32、 ，则应收水费多少元？（结果用含 a 的代数式表示） （3）若该户居民 4 月份的平均水价为 3.8 元/m3，求该户 4 月份用水量是多少立方米？ 【答案】 （1）60；94 （2）应收水费为7128a元 （3）该用户 4 月份用水量是 40 立方米 【解析】 【分析】 （1）由2026，可计算应收水费为20 3元；由263034，可计算应收水费为26 330264 元； （2）由于34a，可知应收水费为26 334264347a ，整理合并即可； （3） 设 4 月用水量为3cmx， 由3 . 8 3 4 1 2 9 . 2，26 334264110 知129.2 110， 有34x，可列
33、方程26 3342643473.8xx ，计算求解即可 【小问 1 详解】 2026 用水 20 立方米，则应收水费为20360元； 263034 用水 30 立方米，则应收水费为26 33026494 元； 故答案为：60；94 【小问 2 详解】 34a 应收水费为26 3342643477128aa 元 应收水费为7128a元 【小问 3 详解】 设 4月用水量为3cmx 3.8 34129.2，26 334264110 129.2 110 34x 则有26 3342643473.8xx 解得40 x 该户 4月份用水量是 40立方米 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，列代数式，一元一
34、次方程的应用解题的关键在于明确对于不同用水量对应不同的单价 24. 对于有理数 a、 b定义一种新运算 ab32 ()2()3ab abab ab， 如 533 52 39， 13123 31；请按照这个定义完成下列计算： （1）计算 5（3） ； （5）（3） ； 若 x323，求 x的值； （2）若 A2x3+223xx+1，B2x3+x2x+32，且 AB4，求 3x3+32x+2的值； （3）若 x和 k 均为正整数，且满足14()(1)333kxkxx+12，求 k 的值 【答案】 （1）21；-3；2x ； （2）3332202xx； （3）4k 或3k 【解析】 【分析】 （1）
35、根据题中例题计算即可得； 根据题中例题计算即可得； 分两种情况进行讨论： 当32x 时及当32x 时， 分别代入， 解方程求解， 然后判断是否满足条件即可得； （2）先运用减法比较 A、B 大小，然后代入新定义的运算计算化简为3212xx，将原式变形为3333322222xxxx，代入求解即可得； （3）根据题意，先将两个代数式化简进行比较大小，然后代入新定义的运算化简，最后根据 x和 k均为正整数，代入试算求解即可得 【小问 1 详解】 解：533 52321 ； 故答案为：21； 2535333 ； 故答案为：-3； 332x ， 当32x 时， 3332322xx ， 解得：302x ，
36、不符合题意，舍去； 当32x 时， 3233232xx ， 解得：2x ，符合题意； 综上可得：2x ； 小问 2 详解】 解：322213Axxx ，32322Bxxx ， 211032BAx，即AB， 32214333ABABxx ， 3212xx， 333332222022xxxx， 3332202xx； 【小问 3 详解】 解：4112333kxxkx， 133kxxkk， x 和 k 均为正整数， 133kxxk， 41 =12333kxxkx， 即432112333kxxkx， 去括号得：24321233kxkxx， 移项合并同类项可得：3214xkx， 2142(3)882333
37、xxkxxx， 当1x 时，8241 3k， 当5x 时，82353k， 4k 或3k 【点睛】题目主要考查求代数式的值及分类讨论思想，整式的加减混合运算，理解题意，弄清题目中新定义的运算，熟练掌握运用各个运算法则是解题关键 25. 如图，AOB90 ，COD60 （1）若 OC 平分AOD，求BOC的度数； （2）若BOC114AOD，求AOD的度数； （3） 若同一平面内三条射线OT、 OM、 ON有公共端点O， 且满足MOT12NOT或者NOT12MOT，我们称 OT是 OM和 ON 的“和谐线”若射线 OP 从射线 OB的位置开始，绕点 O按逆时针方向以每秒 12的速度旋转，同时射线
38、OQ从射线 OA 的位置开始，绕点 O 按顺时针方向以每秒 9 的速度旋转，射线 OP 旋转的时间为 t（单位：秒） ，且 0t15，求当射线 OP 为两条射线 OA和 OQ的“和谐线”时 t的值 【答案】 （1）30 （2）140 （3）t的值为 3 或 5或 6或 14 【解析】 【分析】 （1）利用角平分线的定义解答即可； （2）设AODx，利用角的和差列出关于 x 的方程，解方程即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想方法，根据题意画出图形，用含 t的代数式表示出AOP和QOP 的度数，依据“和谐线”的定义列出方程，解方程即可求得结论 【小问 1 详解】 解：OC平分AOD， CODA
39、OC12AOD， COD60 ， AOC60 ， BOC=AOB-AOC=30 【小问 2 详解】 解：设AODx，则BOC114x， AODAOBBOD，BODCODBOC， AODAOBCODBOC， AOB90 ，COD60 ， AOD150BOC， x150114x， 解得：x140 ， AOD的度数为 140 【小问 3 详解】 解：当射线 OP与射线 OQ未相遇之前，如图， 由题意得：AOQ9t，BOP12t， AOP90BOP9012t，QOP90AOQBOP9021t， 射线 OP为两条射线 OA和 OQ 的“和谐线”， QOP12AOP（因为此时AOP 大于QOP） ， 90
40、21t12（9012t） ， 解得：t3； 当射线 OP与射线 OQ 相遇后且均在AOB 内部时，如图， 由题意得：AOQ9t，BOP12t， AOP90BOP9012t，QOPBOPBOQBOP（90AOQ）21t90， 射线 OP为两条射线 OA和 OQ 的“和谐线”， QOP12AOP或AOP12QOP， 21t9012（9012t）或 9012t12（21t90） ， 解得：t5或 t6； 当射线 OP在AOB 的外部，射线 OQ在AOB的内部时，如图， 同理可得BOP=12t，AOQ=9t， AOP=12t-90 ，QOP=AOQ+QOP=21t-90 ， 射线 OP为两条射线 OA
41、和 OQ 的“和谐线”， AOP12QOP（因为QOP大于AOP） ， 12t-90 12（21t90） ， 解得：t30，不符合题意； 此时射线 OP不可能为两条射线 OA 和 OQ的“和谐线”； 当射线 OP与射线 OQ 均在AOB 的外部时，如图， 由题意得：AOQ9t，BOP12t， AOP12t90，QOP360AOPAOQ45021t， 射线 OP为两条射线 OA和 OQ 的“和谐线”， AOP12QOP， 12t9012（45021t） ， 解得：t14 综上所述，在 0t15 时，当射线 OP 为两条射线 OA 和 OQ的“和谐线”时 t的值为 3或 5 或 6或 14 【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，分类讨论的思想方法的应用，本题是新定义型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键
