1、2021-2022 学年广东省广州市天河区八年级上学年广东省广州市天河区八年级上期末数学试卷期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列选项是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ） A. 打喷嚏捂鼻子 B. 喷嚏后慎揉眼 C 戴口罩讲卫生 D. 勤洗手勤通风 2. 要使分式12x 有意义，则 x的取值范围为（ ） A. x2 B. x2 C. x2 D. x0 3. 已知三角形的两边长分别为 3cm和 4cm，则该三角形第三边的长不可能是（ ） A. 2cm B. 3c
2、m C. 5cm D. 7cm 4. 科学家发现一种病毒直径为 0.00023微米，则 0.00023用科学记数法可以表示为（ ） A. 2.3104 B. 0.23103 C. 2.3104 D. 23105 5. 若一个正多边形的各个内角都是 140 ，则这个正多边形是（ ） A 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形 6. 下列计算正确的是（ ） A. a+a2a3 B. a6a3a3 C. （a2b）3a6b3 D. （a+2）2a2+4 7. 如图，AC与DB相交于E，且AEDE，如果添加一个条件还不能判定ABEDCE，则添加的这个条件是（ ） A. ABDC B.
3、 AD C. BC D. ACDB 8. 若（x-m） （x+1）的运算结果中不含 x 的一次项，则 m的值等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知 A、B是两格点，如果 C也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数是（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. ABC中，ABAC，A36，若按如图的尺规作图方法作出线段 BD，则下列结论错误的是（ ） A. ADBD B. BDC72 C. SABD：SBCDBC：AC D. BCD 的周长AB+BC 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题
4、，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 因式分解：39mxmy-=_ 12. 如图，ACD是ABC的外角，若ACD120，A50，则B_ 13. 如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为 D，若 BC=4，则 BD=_ 14. 若 x+y3，且 xy1，则代数式 x2+y2值为 _ 15. 如图， B处在 A处的南偏西 40方向， C处在 A处的南偏东 15方向， C处在 B处的北偏东 80方向，则ACB_ 16. 在ABC 中，AD 是 BC边上的中线，ADC 的周长比ABD的周长多 3cm，已知 AB4cm，则 AC的长为 _ 三、解答题（本大题共三、解答题（
5、本大题共 9 题，共题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 计算：213xx 18. 如图，AC和 BD相交于点 O，OA=OC，DCAB求证 DC=AB 19. 如图， 在平面直角坐标系中， 图中的小方格都是边长为 1 的正方形， ABC各顶点坐标分别为 A(4， 0)，B(-1，4)，C(-3，1)，已知点 D与点 B关于 x轴对称，请在方格中找出点 D，并求出ABD 的面积 20. 化简22142xxxx，并在 0，1，2中选一个合适的数作为 x的值代入求值 21. 如图，ABC 中，C90 （1）尺规作图：作边 B
6、C的垂直平分线，与边 BC，AB 分别交于点 D和点 E； （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若点 E是边 AB 的中点，ACBE，求证：ACE 是等边三角形 22. 截至 2021年 9 月，广州已累计建成 5G基站超 5.2 万座，据广州市工信局介绍，广州要打造 5G应用示范城市，到 2023年 5G个人普及率将超过 60%5G是第 5 代移动通信技术的简称，经测试 5G下载速度是4G 下载速度的 15倍， 小英和小芳分别用 5G与 4G下载一部 900 兆的纪录片， 小英比小芳所用的时间快 210秒，求该地 4G与 5G的下载速度 23. 如图，CD是ABC的角平分线，DE，DF分别
7、是ACD 和BCD 的高 （1）求证 CDEF； （2）若 AC6，BC4，SABC10，ACB60，求 CG长 24. 阅读：因为（x+3） （x-2）=x2+x-6，说明 x2+x-6有一个因式是 x-2；当因式 x-2=0，那么多项式 x2+x-6 的值也为 0，利用上面的结果求解： （1）多项式 A 有一个因式为 x+m（m 为常数） ，当 x= ，A=0； （2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为 x-2，面积为 x2+kx-14，求 k的值； （3）若有一个长方体容器的长为（x+2） ，宽为（x-1） ，体积为 4x3+ax2-7x+b，试求 a，b 的值 25. ABC是等边
8、三角形， 点D是AC边上动点， CBD （0 30 ） ， 把ABD沿BD对折， 得到ABD （1）如图 1，若 15 ，则CBA （2）如图 2，点 P 在 BD延长线上，且DAPDBC 试探究 AP，BP，CP 之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由 若 BP10，CPm，求 CA的长 （用含 m的式子表示） 2021-2022 学年广东省广州市天河区八年级上学年广东省广州市天河区八年级上期末数学试卷期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 下列选项是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图
9、案是轴对称图形的是（ ） A. 打喷嚏捂鼻子 B. 喷嚏后慎揉眼 C. 戴口罩讲卫生 D. 勤洗手勤通风 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义对各图案进行判断即可 【详解】解：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形 A、该图案不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意； B、该图案不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意； C、该图案是轴对称图形，故选项正确，符合题意； D、该图案不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意 故选：C 【点睛】此题考查了轴对称图形的判别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义 2. 要使分式12x 有意义，则 x的取值范围
10、为（ ） A. x2 B. x2 C. x2 D. x0 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，可得结果 【详解】解：由题意，得：20 x， 解得：2x ， 故选：A 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，深刻理解分式有意义的条件是解题关键 3. 已知三角形的两边长分别为 3cm和 4cm，则该三角形第三边的长不可能是（ ） A. 2cm B. 3cm C. 5cm D. 7cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边；即可求第三边长的范围即可得解 【详解】解：设第三边长为 x，则由三角形三边关系定理得 4-3x4+3，即 1
11、x7 因此，本题的第三边应满足 1x7，把各项代入不等式不符合的即为答案 只有 7 不符合不等式， 故选：D 【点睛】考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可 4. 科学家发现一种病毒直径为 0.00023微米，则 0.00023用科学记数法可以表示为（ ） A. 2.3104 B. 0.23103 C. 2.3104 D. 23105 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于 1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前
12、面的 0 的个数所决定 【详解】解：0.00023微米用科学记数法可以表示为 2.3 10-4微米， 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a 10-n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定 5. 若一个正多边形的各个内角都是 140 ，则这个正多边形是（ ） A. 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案 【详解】解：设多边形为 n 边形，由题意，得 （n-2）180=140n， 解得 n=9， 故选：C 【点睛】本题考查了正多边形，利用多边形内
13、角和是解题关键 6. 下列计算正确的是（ ） A. a+a2a3 B. a6a3a3 C. （a2b）3a6b3 D. （a+2）2a2+4 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的除法的运算法则，幂的乘方与积的乘方的运算法则，完全平方公式解答即可 【详解】解：A、a与 a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B、a6 a3=a3，原计算正确，故此选项符合题意； C、 （-a2b）3=-a6b3，原计算错误，故此选项不符合题意； D、 （a+2）2=a2+4a+4，原计算错误，故此选项不符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂
14、的乘方与积的乘方，完全平方公式，掌握运算法则和公式是解题的关键 7. 如图，AC与DB相交于E，且AEDE，如果添加一个条件还不能判定ABEDCE，则添加的这个条件是（ ） A. ABDC B. AD C. BC D. ACDB 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意可得AEDE，对顶角相等即AEBDEC， 再根据全等三角形的判定定理 （SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可 【详解】A,AEDE ABDC，它们的夹角是AD与，不是AEBDEC与， 无法判定ABEDCE，故本选项符合. B在ABEDCE中， ADAEDEAEBDEC ， ABEDCE(ASA)，故本选项不符合. C在A
15、BEDCE中， BCAEDEAEBDEC ， ABEDCE(AAS)，故本选项不符合. DACDBAEDE，, BEEC, 在ABEDCE中， BEECAEDEAEBDEC ， ABEDCE(SAS)，故本选项不符合. 故选 A. 【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握全等三角形的判定定理（SAS， ASA， AAS，SSS） . 8. 若（x-m） （x+1）的运算结果中不含 x 的一次项，则 m的值等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先利用多项式乘多项式计算（x-m） （x+1） ，根据运算结果中不含 x的一次项，得到关于 m 的方
16、程，求解即可 【详解】解：因为（x-m） （x+1）=x2+（1-m）x-m， 由于运算结果中不含 x的一次项， 所以 1-m=0， 所以 m=1 故选：B 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键 9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点已知 A、B是两格点，如果 C也是图中的格点，且使得ABC 为等腰三角形，则点 C 的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】当 AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与 A、B 顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当 AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段
17、两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点 C，然后相加即可得解 【详解】解：如图，分情况讨论： AB 为等腰ABC的底边时，符合条件的 C 点有 4个； AB 为等腰ABC其中的一条腰时，符合条件的 C点有 4 个 共有 8 个 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想 10. ABC中，ABAC，A36，若按如图的尺规作图方法作出线段 BD，则下列结论错误的是（ ） A. ADBD B. BDC72 C. SABD：SBCDBC：AC D. BCD周长AB+BC 【答案】C 【解析】 【分
18、析】根据作图痕迹发现 BD 平分ABC，然后根据等腰三角形的性质进行依次判断即可 【详解】解：等腰ABC中，ABAC，36A ， 72ABCACB， 由作图痕迹发现 BD平分ABC， 36AABDDBC ， ADBD，72BDCBCD，故 A、B正确； 72BDCBCD， BCBDAD， 结合图形可得：ABD与BCD的高相同， :ABDBCDSSAD CDBC CD，故 C 错误； BCD的周长为：BCCDBDBCACBCAB，故 D 正确； 故选：C 【点睛】本同题考查等腰三角形的性质及角平分线的作法，三角形内角和定理等，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键 二、填空题（本大题共二、填空题
19、（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11. 因式分解：39mxmy-=_ 【答案】3 (3 )m xy- 【解析】 【分析】用提公因式法即可完成 【详解】393 (3 )mxmym xy-=- 故答案为：3 (3 )m xy- 【点睛】本题考查了提公因式法，关键是先找出公因式 12. 如图，ACD是ABC的外角，若ACD120，A50，则B_ 【答案】70 #70度 【解析】 【分析】根据三角形外角等于不相邻两个内角的和解答即可 【详解】解：ACD=120 ，A=50 ，ACD是ABC的外角， B=ACD-A=120 -50 =70 ， 故答案为：70
20、【点睛】 此题考查三角形的外角性质， 关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答 13. 如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为 D，若 BC=4，则 BD=_ 【答案】2 【解析】 【分析】由在ABC 中，AB=AC，ADBC，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可求得 BD 的长 【详解】解：AB=AC，ADBC， BD=12BC=12 4=2 故答案为：2 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质注意等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一 14. 若 x+y3，且 xy1，则代数式 x2+y2的值为 _ 【答案】7 【解析】 【分析】利用完全平方公式变形
21、为2222xyxyxy，然后将已知式子代入求解即可得 【详解】解：22xy， 2222xxyyxy， 22xyxy， 当3xy，1xy 时， 原式232 1 ， 7， 故答案为：7 【点睛】题目主要考查求代数式的值，利用完全平方公式进行变形是解题关键 15. 如图， B处在 A处的南偏西 40方向， C处在 A处的南偏东 15方向， C处在 B处的北偏东 80方向，则ACB_ 【答案】85 【解析】 【分析】根据 B 处在 A 处的南偏西 40方向，C处在 A 处的南偏东 15方向，可得BAC=55，A处在 B处的北偏东 40方向，再由 C 处在 B 处的北偏东 80方向，可得ABC=40，然
22、后根据三角形内角和定理，即可求解 【详解】解：B处在 A处的南偏西 40方向，C处在 A处的南偏东 15方向， BAC=40+15=55，A处在 B 处的北偏东 40方向， C 处在 B 处北偏东 80方向， ABC=80-40=40， ACB=180-ABC-BAC=85 故答案为：85 【点睛】本题主要考查了方位角，三角形的内角和定理，理解方位角的实际意义是解题的关键 16. 在ABC 中，AD 是 BC边上的中线，ADC 的周长比ABD的周长多 3cm，已知 AB4cm，则 AC的长为 _ 【答案】7cm#7 厘米 【解析】 【分析】根据中线的定义知CDBD，结合三角形周长可得3ACAB
23、cm，根据题意，即可得出 AC的长度 【详解】解：如图所示： AD是 BC边上的中线， D 为 BC 的中点，CDBD， 3ADCABDCCcm，4ABcm， 即 3ACCDADABDBADcm， 3ACABcm， 37ACABcm 故答案为：7cm 【点睛】本题考查了三角形的中线性质，理解题意，作出图形是解题关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 题，共题，共 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 计算：213xx 【答案】2x25x3 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式的运算法则直接计算即可. 【详解】解：(2
24、x+1)(x3) 2x26x+x3 2x25x3 【点睛】本题考查的知识点是多项式乘多项式的运算法则，掌握运算法则是解此题的关键. 18. 如图，AC和 BD相交于点 O，OA=OC，DCAB求证 DC=AB 【答案】见解析 【解析】 【分析】由 DCAB得D=B，再利用 AAS即可证明CODAOB，即可得出结论 【详解】证明：DCAB， D=B， 在COD与AOB 中， DBDOCBOAOCOA ， CODAOB（AAS） ， DC=AB 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 19. 如图， 在平面直角坐标系中， 图中小方格都是边长为 1的正方
25、形， ABC 各顶点坐标分别为 A(4， 0)，B(-1，4)，C(-3，1)，已知点 D与点 B关于 x轴对称，请在方格中找出点 D，并求出ABD 的面积 【答案】D点位置如图；ABD 面积为 20 【解析】 【分析】先利用对称性，找到 D点的坐标，在坐标轴里面可以很轻松的找出三角形的底和高的值，即可求出三角形的面积 【详解】 点 D与点 B关于 x轴对称，B(-1，4) D(-1，-4) ABD的面积为18 5202 【点睛】本题考察了关于 x 轴的对称点的坐标特点以及三角形的面积，在方格中找出 D 点坐标是解题的关键 20. 化简22142xxxx，并在 0，1，2中选一个合适的数作为
26、x的值代入求值 【答案】1xx，0 【解析】 【分析】先约分，再根据分式的加法法则计算，同时根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算， 根据分式有意义的条件可得 x不能为2,2,0， 故1x ， 将1x 代入1xx求解即可 【详解】22(1)42xxxx 221(2)(2)xxxxx 12(1)2xxx 2 122xxxx 122xxxx 1,xx 要使分式22(1)42xxxx有意义，必须240,0,xx 即 x不能为2,2,0 故1x 当1x ，原式1 101 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是此题的关键 21.
27、如图，ABC 中，C90 （1）尺规作图：作边 BC的垂直平分线，与边 BC，AB 分别交于点 D和点 E； （保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若点 E是边 AB 的中点，ACBE，求证：ACE 是等边三角形 【答案】 （1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意作出线段 BC的垂直平分线即可； （2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论 【小问 1 详解】 解：如图所示，直线 DE即为所求； ， 【小问 2 详解】 证明：ACB=90 ，点 E 是边 AB 的中点， AE=BE=CE=12AB， AC=BE， AC=AE=CE， ACE是等边三角形 【
28、点睛】本题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键 22. 截至 2021年 9 月，广州已累计建成 5G基站超 5.2 万座，据广州市工信局介绍，广州要打造 5G应用示范城市，到 2023年 5G个人普及率将超过 60%5G是第 5 代移动通信技术的简称，经测试 5G下载速度是4G 下载速度的 15倍， 小英和小芳分别用 5G与 4G下载一部 900 兆的纪录片， 小英比小芳所用的时间快 210秒，求该地 4G与 5G的下载速度 【答案】该地 4G的下载速度是每秒 4 兆，5G的下载速度是每秒 60 兆 【解析】 【分析】设该地 4G的下载速度是每秒
29、x兆，则该地 5G的下载速度是每秒 15x兆，根据下载一部 900兆的纪录片时用 4G网络比 5G网络多用 210秒， 即可得出关于 x的分式方程， 解之经检验后即可得出该地 4G的下载速度，再将其代入 15x 中即可求出该地 5G的下载速度 【详解】解：设该地 4G的下载速度是每秒 x兆，则该地 5G的下载速度是每秒 15x 兆， 依题意得：90090021015xx， 解得：x=4， 经检验：x=4是原方程的解，且符合题意， 15x=15 4=60 答：该地 4G的下载速度是每秒 4 兆，5G的下载速度是每秒 60 兆 【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的
30、关键 23. 如图，CD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ACD 和BCD 的高 （1）求证 CDEF； （2）若 AC6，BC4，SABC10，ACB60，求 CG 的长 【答案】 （1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理可得 DE=DF，从而得到Rt CDERt CDF，进而得到 CE=CF，即可求证； （2）先证得CEF是等边三角形，可得 EF=CE，ACD=30，1122EGEFCE，再由ABCACDBCDSSS，可得 DE=2，再根据直角三角形的性质可得 CD=2DE=4，然后由勾股定理，即可求解 【小问 1 详解】 CD是ABC的角平分线，DEAC，DFB
31、C， DE=DF，CDE 和CDF 是直角三角形， CD=CD， Rt CDERt CDF HL， CE=CF， CD垂直平分 EF，即 CDEF 【小问 2 详解】 CE=CF，ACB60， CEF是等边三角形， EF=CE，ACD=30， CDEF， 1122EGEFCE， AC6，BC4，SABC10，DE=DF，ABCACDBCDSSS， 11110222DEACDFBCDEACBC， 解得：DE=2， 在RtCDE 中，ACD=30， CD=2DE=4， 222 3CECDDE， 11322EGEFCE， 223CGCEEG 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性
32、质定理，直角三角形的性质，勾股定理、等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质， 角平分线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理、等边三角形的判定和性质是解题的关键 24. 阅读：因为（x+3） （x-2）=x2+x-6，说明 x2+x-6有一个因式是 x-2；当因式 x-2=0，那么多项式 x2+x-6 的值也为 0，利用上面的结果求解： （1）多项式 A 有一个因式为 x+m（m 为常数） ，当 x= ，A=0； （2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为 x-2，面积为 x2+kx-14，求 k的值； （3）若有一个长方体容器的长为（x+2） ，宽为（x-1） ，体积为 4
33、x3+ax2-7x+b，试求 a，b 的值 【答案】 （1）-m （2）k=5； （3）a=5，b=-2 【解析】 【分析】 （1）根据多项式的一个因式为 0，则多项式为 0 可求解； （2）根据长方形的面积公式可知：x-2 是 x2+kx-14的一个因式，利用当 x=2 时，x2+kx-14=0，求出 k 的值即可； （3） 根据长方体的体积公式可知 x+2， x-1 是 4x3+ax2-7x+b 的一个因式， 利用 x=-2 和 x=1 时， 4x3+ax2-7x+b，求出 a，b 的值即可 【小问 1 详解】 解：由题意，得，当 x+m=0 时，A=0， x=-m时，a=0， 故答案为：
34、-m； 【小问 2 详解】 解：由题意得 x-2 是 x2+kx-14 的一个因式， x-2 能整除 x2+kx-14， 当 x-2=0 时，x2+kx-14=0， x=2时，x2+kx-14=4+2k-14=0， 解得：k=5； 【小问 3 详解】 解：由题意得 x+2，x-1 是 4x3+ax2-7x+b 的一个因式， x+2，x-1 能整除 4x3+ax2-7x+b， 当 x+2=0 即 x=-2 时，4x3+ax2-7x+b=0， 即 4a+b=18， 当 x-1=0即 x=1时，4x3+ax2-7x+b=0， 即 a+b=3， -得 3a=15， 解得：a=5， b=-2 【点睛】本
35、题考查了因式分解的应用，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键 25. ABC是等边三角形， 点D是AC边上动点， CBD （0 30 ） ， 把ABD沿BD对折， 得到ABD （1）如图 1，若 15 ，则CBA （2）如图 2，点 P 在 BD延长线上，且DAPDBC 试探究 AP，BP，CP 之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由 若 BP10，CPm，求 CA的长 （用含 m的式子表示） 【答案】 （1）30 （2）BPAP CP；10 2m 【解析】 【分析】 （1）根据等边三角形的性质可得60ABC，根据角度计算可得ABD45，由折叠的性质可得ABDA BD ，根据ABC
36、ABDCBD即可求解； （2）连接CP，在BP上取一点P，使BPAP ，证明BPCAPC ，PPC是等边三角形，即可得到BPAP CP；先证明,A C P三点共线，结合的结论求解即可 【小问 1 详解】 ABC是等边三角形 60ABC 60ABDABCCBD 把ABD沿 BD对折，得到A BD， ABDA BD =60 15 6060230ABCABDCBD 故答案为：30 【小问 2 详解】 BPAP CP，理由如下： 连接CP，在BP上取一点P，使BPAP ，如图， ABC是等边三角形 60 ,ACBBCAC DAPDBC BPCAPC CPCP，BCPACP 60PCPACPACPBCP
37、ACPACB PPC是等边三角形 60CPB，PPPC BPBPPPAP CP 即BPAP CP 如图， 由可得60BPC 180120BCPBPCPBC 由（1）可知602CBA 把ABD沿 BD对折，得到A BD， BABA BABC BCBA 111801806026022BCACBA 12060180BCPBCA ,A C P三点共线 折叠 BABA,ADBA DB ADPA DP DPDP ADPA DP APAP 由可得BPAP CP 10,BPCPm 10APBP CPm 10APAPm 1010 2CAAP CPm mm 【点睛】本题考查了折叠性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键
