1、2022年贵州省黔东南州中考数学试卷一、选择题：（每个小题4分，10个小题共40分）1. 下列说法中，正确的是（ ）A. 2与互为倒数B. 2与互为相反数C. 0的相反数是0D. 2的绝对值是2. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 四棱柱D. 四棱锥4. 一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（ ）A. 28B. 56C. 36D. 625. 已知关于的一元二次方程的两根分别记为，若，则的值为（ ）A. 7B. C. 6D. 6. 如图，已知正六边形内接于半径为的，随机地往内投
2、一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）A. B. C. D. 以上答案都不对7. 若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（ ）A. B. C. D. 8. 如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，则值为（ ）A. B. C. D. 9. 如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（ ）A. B. C. D. 10. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离当取得最小值时，的取值范围是（ ）A. B. 或C. D. 二、
3、填空题（每个小题3分，10个小题共30分）11. 有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为_12. 分解因式：_13. 某中学在一次田径运动会上，参加女子跳高的7名运动员的成绩如下（单位：m）：1.20，1.25，1.10，1.15，1.35，1.30，1.30.这组数据的中位数是_14. 若，则的值是_15. 如图，矩形的对角线，相交于点，/，/若，则四边形的周长是_16. 如图，在中，半径为3cm是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是_cm2（结果用含的式子表示）17. 如图，校园内有一株枯死的大树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学
4、校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为45，点的俯角为30，小青计算后得到如下结论：米；米；若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.其中正确的是_（填写序号，参考数值：，）18. 在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180，再向下平移5个单位，所得到抛物线的顶点坐标是_19. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则_20. 如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则_cm三、解答题（6个小题，共80分）21
5、. （1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中22. 某县教育局印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，某中学经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，综治办开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图、表参赛成绩人数832级别及格中等良好优秀请根据所给的信息解答下列问题：（1）王老师抽取了_名学生的参赛成绩；抽取的学生的平均成绩是_分；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上的学生有多少人？（4）在本次竞赛中，综治办发现七（1）班、八（4）班的成绩不理想，学校要求这两个班加强学习
6、一段时间后，再由电脑随机从A、B、C、D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率23. （1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图，是外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点求证：；若，求半径24. 某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器
7、人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元请根据以上要求，完成如下问题：设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？25. 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，和都是等边三角形，点在上求证：以、为边的三角形是钝角三角形（1）【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，从而得出为钝角三角形，故以、为边的三角形是钝角三角形请你根据小明的思路，写出完整的证明过程（2）【拓展迁
8、移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上试猜想：以、为边的三角形的形状，并说明理由若，试求出正方形的面积26. 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，与轴交于点，连接（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由2022年贵州省黔东南州中考数学试卷一、选择题：（每个小题4分，10个小题共40分）1. 下列
9、说法中，正确的是（ ）A. 2与互为倒数B. 2与互为相反数C. 0的相反数是0D. 2的绝对值是【答案】C【解析】【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可【详解】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确 B. 2与互为倒数，故选项B不正确； C. 0的相反数是0，故选项C正确； D. 2的绝对值是2，故选项D不正确故选C【点睛】本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键2. 下列运算正确的是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用同底数幂的除法，合并同类项，去括号法则，积的乘方等知识逐一分析即可【详解】解：A.，不符合题意；
10、B.，不能进行合并同类项，不符合题意；C.-2(a+b)=-2a-2b，不符合题意；D.，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了同底数幂除法，合并同类项，去括号法则，积的乘方，熟练以上知识是解题的关键3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 四棱柱D. 四棱锥【答案】A【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案【详解】俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱故选：A【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力4. 一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上
11、，若，则的度数为（ ）A. 28B. 56C. 36D. 62【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质得出EFGH，过点C作CAEF，利用平行线的性质得出2=MCA，1=CAN，然后代入求解即可【详解】解：如图所示标注字母，四边形EGHF为矩形，EFGH，过点C作CAEF，CAEFGH，2=MCA，1=CAN，1=28，MCN=90，2=MCA=90-1=62，故选：D【点睛】题目主要考查矩形的性质，平行线的性质，角度的计算等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键5. 已知关于的一元二次方程的两根分别记为，若，则的值为（ ）A. 7B. C. 6D. 【答案】B【解析】【分析】根据根与系数关系求
12、出=3，a=3，再求代数式的值即【详解】解：一元二次方程的两根分别记为，+=2，=3，=-a=-3，a=3，故选B【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键6. 如图，已知正六边形内接于半径为的，随机地往内投一粒米，落在正六边形内的概率为（ ）A. B. C. D. 以上答案都不对【答案】A【解析】【分析】连接OB，过点O作OHAB于点H，由正六边形的特点可证得OAB是等边三角形，由特殊角的三角函数值可求出OH的长，利用三角形的面积公式即可求出OAB的面积，进而可得出正六边形ABCDEF的面积，即可得出结果【详解】解：如图：连接
13、OB，过点O作OHAB于点H，六边形ABCDEF是正六边形，AOB=60，OA=OB=r，OAB是等边三角形，AB=OA=OB=r，OAB=60，在中，正六边形的面积，O的面积=r2，米粒落在正六边形内的概率为：，故选：A【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出OAB的面积是解决问题的关键7. 若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数所经过的象限和反比例函数所在的象
14、限【详解】解：二次函数的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴，a0，c0，-c0，一次函数的图像经过第一、二、三象限，反比例函数的图像在第一，三象限，选项C符合题意故选：C【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键8. 如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】连结OA，根据切线长的性质得出PA=PB，OP平分APB，OPAP，再证APDBPD（SAS），然后证明AOP=ADP+OAD=ADP+BDP=ADB， 利用
15、勾股定理求出OP=，最后利用三角函数定义计算即可【详解】解：连结OA、分别与相切于点A、，PA=PB，OP平分APB，OPAP，APD=BPD，在APD和BPD中，APDBPD（SAS）ADP=BDP，OA=OD=6，OAD=ADP=BDP，AOP=ADP+OAD=ADP+BDP=ADB，在RtAOP中，OP=，sinADB=故选A 【点睛】本题考查圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握圆的切线性质，三角形全等判断与性质，勾股定理，锐角三角函数是解题关键9. 如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【
16、解析】【分析】过点A分别作AGBC于点G，AHDF于点H，可得四边形AGFH是矩形，从而得到FH=AG，再由ABC为等边三角形，可得BAG=30，BG=1，从而得到，再证得DAH=BAG=30，然后根据直角三角形的性质，即可求解【详解】解：如图，过点A分别作AGBC于点G，AHDF于点H，DFBC，GFH=AHF=AGF=90，四边形AGFH是矩形，FH=AG，ABC为等边三角形，BAC=60，BC=AB=2，BAG=30，BG=1，在正方形ABED中，AD=AB=2，BAD=90，DAH=BAG=30，故选：D【点睛】本题主要考查了等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角
17、形和正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键10. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离当取得最小值时，的取值范围是（ ）A. B. 或C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解【详解】解：如图，由可得：点、分别表示数、2、，的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，当点在点的左侧或点的右侧时，取得最小值时，的取值范围是；故选B【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解二、填空题（每个小题3分，10个小
18、题共30分）11. 有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为_【答案】1.210-8【解析】【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解【详解】解：0.000000012=1.210-8故答案为：1.210-8【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键12. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】先提公因式，然后再根据
19、完全平方公式可进行因式分解【详解】解：原式=；故答案为【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键13. 某中学在一次田径运动会上，参加女子跳高的7名运动员的成绩如下（单位：m）：1.20，1.25，1.10，1.15，1.35，1.30，1.30.这组数据的中位数是_【答案】1.25【解析】【分析】先把数据进行排序，再根据中位数的定义求解【详解】解：将数据由小到大进行排序得1.10，1.15，1.20，1.25，1.30，1.30，1.35中位数应为排序后的第四个数，故答案为：1.25【点睛】本题考查中位数的定义，解题的关键是熟练掌握中位数的定义14. 若，则的值是_【答案】9
20、【解析】【分析】根据非负数之和为0，每一项都为0，分别算出x，y的值，即可【详解】解得：故答案为：9【点睛】本题考查非负数之和为零，解二元一次方程组；根据非负数之和为零，每一项都为0，算出x，y的值是解题关键15. 如图，矩形的对角线，相交于点，/，/若，则四边形的周长是_【答案】20【解析】【分析】首先由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=5，由CEBD，DEAC，可证得四边形CODE是平行四边形，又可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案【详解】解：四边形ABCD是矩形，AC=BD=10，OA=OC，OB=OD，OC=OD=BD=5，/，/，四边形CODE是平行四边形，O
21、C=OD =5，四边形CODE是菱形，四边形CODE的周长为：4OC=45=20故答案为20【点睛】本题考查菱形的判定与性质以及矩形的性质此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解题关键16. 如图，在中，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是_cm2（结果用含的式子表示）【答案】【解析】【分析】根据内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，得到的大小，然后用扇形面积公式即可求出【详解】内切圆圆心是三条角平分线的交点；设，在中：在中：由得：扇形面积：（cm2）故答案为：【点睛】本题考查内心的性质，扇形面积计算；解题关键是根据角平分线算出的度数17. 如图，校园内有一株枯死的大
22、树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为45，点的俯角为30，小青计算后得到如下结论：米；米；若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.其中正确的是_（填写序号，参考数值：，）【答案】【解析】【分析】过点D的水平线交AB于E，先证四边形EACD为矩形，ED=AC=12米，利用三角函数求出AB=BE+AE=DEtan45+DEtan30，利用CD=AE=DEtan30=4米， 利用AB=18.8米12米，点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.812，判断即可【详解】解：过点D的水
23、平线交AB于E，DEAC，EACD，DCA=90，四边形EACD为矩形，ED=AC=12米，AB=BE+AE=DEtan45+DEtan30=12+4故正确；CD=AE=DEtan30=4米，故不正确；AB=18.8米12米，直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；故正确；第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.812，第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.故正确其中正确的是故答案为【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判断与性质，掌握解直角三角形方法，矩形的判断与性质是解题关键18. 在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋
24、转180，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_【答案】【解析】【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可详解】解：，抛物线的顶点为（-1，-2），将抛物线先绕原点旋转180抛物线顶点为（1，2），旋转后的抛物线为，再向下平移5个单位，即新抛物线的顶点（1，-3）故答案是：（1，-3）【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键19. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边轴于点，直角顶点在轴上，双曲线经过边的中点，若，则_【答案】【解析】【分析】根据是等腰直角三
25、角形，轴，得到是等腰直角三角形，再根据求出 A点，C点坐标，根据中点公式求出D点坐标，将D点坐标代入反比例函数解析式即可求得k【详解】是等腰直角三角形，轴；是等腰直角三角形故：，将D点坐标代入反比例函数解析式故答案为：【点睛】本题考查平面几何与坐标系综合，反比例函数解析式；本体解题关键是得到是等腰直角三角形，用中点公式算出D点坐标20. 如图，折叠边长为4cm的正方形纸片，折痕是，点落在点处，分别延长、交于点、，若点是边的中点，则_cm【答案】【解析】【分析】根据折叠的性质可得DE=DC=4，EM=CM=2，连接DF，设FE=x，由勾股定理得BF，DF，从而求出x的值，得出FB，再证明，利用相
26、似三角形对应边成比例可求出FG【详解】解：连接如图，四边形ABCD是正方形，点M为BC的中点，由折叠得， 设则有又在中，在中，解得，（舍去）又即故答案为：【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键三、解答题（6个小题，共80分）21. （1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可【详解】（1）；（2），原式=【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值
27、，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键22. 某县教育局印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料，某中学经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，综治办开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图、表参赛成绩人数832级别及格中等良好优秀请根据所给的信息解答下列问题：（1）王老师抽取了_名学生的参赛成绩；抽取的学生的平均成绩是_分；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上的学生有多少人？（4）在本次竞赛中，综治办发现七（1）班、八（4）班的成绩不理想，学校要
28、求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A、B、C、D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率【答案】（1）80；85.5（答案不唯一） （2）见详解 （3）1200人 （4）两个班同时选中同一套试卷的概率为【解析】【分析】（1）利用条形图优秀人数优秀人数所占百分比求出样本容量，利用加权平均数计算即可；（2）求出中等人数与良好人数，补画条形图即可；（3）先求出样本中良好以上的百分比，再用样本的百分比该校总人数计算即可；（4）画树状图，列举所有等可能情况，从中找出满足条件的情况4种，利用概率公式计算即可【小问1详解】解：根据条形图优秀有
29、32人，由扇形统计图知优秀占40%，王老师抽取了3240%=80名学生的参赛成绩；m=8015%=12人，n=8035%=28人；抽取的学生的平均成绩是6510%+7515%+8535%+9540%=85.5分，故80；85.5（答案不唯一）；【小问2详解】解：中等人生为12人，良好人数为28人，补画条形图如图，【小问3详解】解：在样本中良好以上占40%+35%=75%，该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上的学生有160075%=1200人；【小问4详解】解：画树状图列举所有等可能的情况共有16种，其中两班都考同一试卷的情况有4种，两个班同时选中同一套试卷的概率为【点睛】本题考查从条
30、形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，加权平均数，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率，掌握从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，加权平均数，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率是解题关键23. （1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点求证：；若，求的半径【答案】（1）见详解（2） 见详解 5【解析】【分析】（1）做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；（2）证明即可证明，从而证得； 证明，根据得正切
31、求得EC，再根据勾股定理求得AE【详解】（1）如下图所示的外接圆的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到的外接圆；（2）如下图所示，连接OC、OBBD是的切线是对应的圆周角，是对应的圆心角点是的中点如下图所示，连接CE与是对应的圆周角是的直径的半径为【点睛】本体考查圆、直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆和直角三角形的相关知识24. 某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货
32、物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同（1）求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元请根据以上要求，完成如下问题：设购买A型机器人台，购买总金额为万元，请写出与的函数关系式；请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？【答案】（1）每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨 （2）；当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元【解
33、析】【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；（2）由题意可得购买B型机器人的台数为台，然后由根据题意可列出函数关系式；由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解【小问1详解】解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：，解得：；经检验：是原方程的解；答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨【小问2详解】解：由题意可得：购买B型机器人的台数为台，；由题意得：，解得：，-0.80，w随m的增大而减小，当m=17时，w
34、有最小值，即为，答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键25. 阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，和都是等边三角形，点在上求证：以、为边的三角形是钝角三角形（1）【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，从而得出为钝角三角形，故以、为边的三角形是钝角三角形请你根据小明的思路，写出完整的证明过程（2）【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上
35、试猜想：以、为边的三角形的形状，并说明理由若，试求出正方形的面积【答案】（1）钝角三角形；证明见详解 （2）直角三角形；证明见详解；S四边形ABCD=【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE=BD，AB=CB，EBD=ABC=60，再证EBADBC（SAS）AEB=CDB=60，AE=CD，求出ADC=ADB+BDC=120，可得ADC为钝角三角形即可；（2）以、为边的三角形是直角三角形，连结CG，根据正方形性质，得出EBG=ABC，EB=GB，AB=CB，BEA=BGE=45，再证EBAGBC（SAS）得出AE=CG，BEA=BGC=45，可证AGC为直角三角形即可；连结BD，根据
36、勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面积公式求解即可【小问1详解】证明：ABC与EBD均为等边三角形，BE=BD，AB=CB，EBD=ABC=60，EBA+ABD=ABD+DBC，EBA=DBC，EBA和DBC中，EBADBC（SAS），AEB=CDB=60，AE=CD，ADC=ADB+BDC=120，ADC为钝角三角形，以、为边的三角形是钝角三角形【小问2详解】证明：以、为边的三角形是直角三角形连结CG，四边形和四边形都是正方形，EBG=ABC，EB=GB，AB=CB，EG为正方形的对角线，BEA=BGE=45，EBA+ABG=ABG+GBC=90，EBA=GBC，在EBA和GBC中，EBA
37、GBC（SAS），AE=CG，BEA=BGC=45，AGC=AGB+BGC=45+45=90，AGC为直角三角形，以、为边的三角形是直角三角形；连结BD，AGC为直角三角形，AC=，四边形ABCD为正方形，AC=BD=，S四边形ABCD=【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键26. 如图，抛物线的对称轴是直线，与轴交于点，与轴交于点，连接（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，是否存在这样的点，使得以，为顶点的三角形
38、是等腰三角形若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点，使以点、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）存在这样的点（2，1）或或，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形 （3）存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得a=-1，再把点代入，即可求解；（2）先求出，设点N（m，-m+3），可得，再分三种情况讨论：当AC=AN时，当AC=CN时，当AN=CN时，即可求解；（3）设点E（1，n），点F（s，t），然后分两种情况讨论：当BC为
39、边时，当BC为对角线时，即可求解【小问1详解】解：抛物线的对称轴是直线，解得：a=-1，抛物线过点，解得：c=3，抛物线解析式为；小问2详解】解：存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形理由如下：令y=0，则，解得：，点A的坐标为（-1，0），OA=1，当x=0时，y=3，点C的坐标为（0，3），即OC=3，设直线BC的解析式为，把点B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，直线BC的解析式为，设点N（m，-m+3），MN=-m+3，AM=m+1，当AC=AN时，解得：m=2或0（舍去），此时点N（2，1）；当AC=CN时，解得：或（舍去），此时点N；当AN=CN时，解得：，此时点N
40、；综上所述，存在这样的点（2，1）或或，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形；【小问3详解】解：存在，理由如下：点B（3，0），C（0，3），OB=OC，BC，设点E（1，n），点F（s，t），当BC为边时，点C向右平移3个单位向下平移3个单位得到点B，同样E（F）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点F（E），且BE=CF（CE=BF），如图，或，解得：或，此时点F的坐标为（4，1）或（-2，1）；当BC为对角线时，BC=EF，且EF与BC的中点重合，如图，解得：或，此时点F的坐标为或；综上所述，存在点的坐标为（4，1）或（-2，1）或或【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键是解题的关键
