1、2022年山东省菏泽市牡丹区中考三模数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）1. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作九章算术的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示只有相反意义的量一次数学测试，以80分为基准简记，90分记作+10分，那么70分应记作( )A. +10分B. 0分C. 10分D. 20分2. 图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在，四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）A. 区域处B. 区域处C. 区域处D. 区域处3. 我国古代数学家刘徽
2、用“牟合方盖”找到了球体体积计算方法“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（ ）A B. C. D. 4. 一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在直角边BC上，且FDAB，B30，则ADB的度数是（）A. 95B. 105C. 115D. 1255. 为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如下表
3、：编织数量/个23456人数/人36542请根据上表，判断下列说法正确的是( )A. 样本为20名学生B. 众数是4个C. 中位数是3个D. 平均数是3.8个6. 能说明命题“关于x方程一定有实根”是假命题的反例为( )A. B. C. D. 7. 当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据：（单位：）11.522.53（单位：）96644838.432与的函数关系可能是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，在中，正方形的边长为2，且边在线段上，点F，B，C在同一条直线上，将正方形沿射线方向平移，当点F与点C重合时停止运动，设点F平移的距离为
4、x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则下列函数图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）9. 对于我们而言，水是生命之源，但对于在轨驻留的航天员而言，水和氧气都是生命之源在过去的1年里，3名神舟13号航天员顺利完成长达6个月的在轨驻留，创造了新的纪录中国空间站有一套非常完善的“再生生保”系统，解决了生活用水和氧气问题我们来简单地算一笔账，一个成年人一天需要570升氧气，那么3名航天员每天需要约1700升氧气，6个月需要约31万升氧气，则31万这个数用科学计数法表示为_10. 关于x的不等式组的解是，那么a的取值范
5、围是_11. 已知方程的两根为2和-2，分解因式_12. 如图，AB为半径的直径，且AB=6，半圆绕点B顺时针旋转45，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为_13. 如图，ABC与ABC是以坐标原点O为位似中心位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B（6，8），则ABC的面积为_14. 数轴上两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为_（，是整数）三、解答题（本题共78分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内）15. 计算：16. 先化
6、简，再求值，其中x，y是方程组的解17. 如图，ABC中，ABAC1，BAC45，AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,（1）求证：BECF ；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长18. 图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点处，手柄长与墙壁的夹角 ，喷出的水流与形成的夹角，现在住户要求：当人站在处淋浴时，水流正好喷洒在人体的处，且使问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(结果精确到，参考数据：)19. 疫情防控，人人有责某公司为了解决员工的口罩问题上，准备采购A、B两种型号的口罩，A种口罩每件单价比B种口罩每件多200元，
7、用3000元购进A种口罩和用1800元购进B种口罩的数量相同（1）A种口罩每件的单价和B种口罩的单价各是多少元？（2）公司计划用15000元的资金购进A、B两种型号的口罩共40件，其中A种口罩数量不得低于B种口罩数量的一半，该公司的几种采购方案？20. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线与轴交于点（1）求的值及点的坐标；（2）直线与函数的图象交于点，记图象在点，之间的部分与线段，围成的区域（不含边界）为当时，直接写出区域内的整点个数；若区域内恰有2个整点，结合函数图象，求的取值范围21. 丰富的网络资源改变了人们的学习方式，某校为了解学生每周末利用网络资源进行自主学习的情况在本校
8、随机抽取80名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：组别学习时间x（h）频数（人数）A8B24C32DnE4小时以上4（1）表中的_，中位数落在_组；（2）请补全频数分布直方图；（3）B组对应扇形圆心角的度数为_（4）该校准备召开学习经验分享会，计划在E组学生中随机选出两人作经验交流，已知E组的四名学生中，七、八年级各有1人，九年级有2人请用画树状图法或列表法求抽取的两名学生都来自九年级的概率22. 如图，以的边AB为直径作，交BC于点D，点E是弧BD的中点，连接AE与BC交于点F，（1）求证：AC是的切线：（2）若，求BF的长23. （1）问题
9、如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：（2）探究若将90角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由（3）应用如图3，在中，以点A为直角顶点作等腰点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长24. 如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点（1）求抛物线的解析式；（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；（3）Q是抛物线对称轴上动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由2022年山东省菏泽市牡
10、丹区中考三模数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）1. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作九章算术的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示只有相反意义的量一次数学测试，以80分为基准简记，90分记作+10分，那么70分应记作( )A. +10分B. 0分C. 10分D. 20分【答案】C【解析】【分析】以80分为基准，高于80分的记为正数，相反低于80分的记负数，再看距80分的距离，进而确定这个数【详解】解：以80分为基准，70-80=-10， 故选C【点睛】考查正数、负数、绝对值的意义，理解具有相反意义的量，一个量用正数表示，而另一个量则用
11、负数表示2. 图中阴影部分是由4个完全相同正方形拼接而成，若要在，四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）A. 区域处B. 区域处C. 区域处D. 区域处【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义求解可得【详解】如图所示的图形是中心对称图形，故选：B【点睛】本题主要考查的是利用中心对称的性质设计图案，掌握中心对称图形的性质是解题的关键3. 我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”
12、的一种模型，它的俯视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案【详解】该几何体的俯视图是：故选A【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键4. 一副三角板摆放如图所示，斜边FD与直角边AC相交于点E，点D在直角边BC上，且FDAB，B30，则ADB的度数是（）A. 95B. 105C. 115D. 125【答案】B【解析】【分析】由题意可知ADF45，则由平行线的性质可得B+BDF180，求得BDF150，从而可求ADB的度数【详解】解：由题意得ADF45，B30，B+B
13、DF180，BDF180B150，ADBBDFADF105故选：B【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补5. 为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如下表：编织数量/个23456人数/人36542请根据上表，判断下列说法正确的是( )A. 样本为20名学生B. 众数是4个C. 中位数是3个D. 平均数是3.8个【答案】D【解析】【分析】根据样本，中位数，众数，平均数的定义进行
14、逐一判断即可【详解】解：A、样本为20名学生编织的中国结数量，说法错误，故此选项不符合题意；B、因为编织数量为3个的人数为6人，人数最多，所以众数是3个，说法错误，故此选项不符合题意；C、因为编织数量处在第10位和第11位的数量分别为4个、4个，所以中位数为4个，说法错误，故此选项不符合题意；D、因为，所以平均数为3.8个，说法正确，故此选项符合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了样本，中位数，众数和平均数，熟知相关定义是解题的关键6. 能说明命题“关于x的方程一定有实根”是假命题的反例为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出方程有实数根时n
15、的取值范围，由此即可得到答案【详解】解：若关于x的方程有实根，当时，方程没有实数根，“关于x的方程一定有实根”是假命题的反例为，故选： D【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，举反例证明命题真假等等，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键7. 当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的函数，下表记录了一组实验数据：（单位：）11.522.53（单位：）96644838.432与的函数关系可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可得：，即可求解【详解】解：根据题意得：，即，与的函数关系可能是故选：C【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题
16、的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数96，难度不大8. 如图，在中，正方形的边长为2，且边在线段上，点F，B，C在同一条直线上，将正方形沿射线方向平移，当点F与点C重合时停止运动，设点F平移的距离为x，平移过程中两图重叠部分的面积为y，则下列函数图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据等腰直角三角形和正方形的性质可分别求出点D、E移动到AC上时移动的距离为2和4，点F移动到点C时移动的距离为6，分别求出0x2，2x4，4x6时y与x的关系式，结果所得关系式即可判断各段图象，即可得答案【详解】中，正方形的边长为2，点D、E移动到
17、AC上时移动的距离为2和4，点F移动到点C时移动的距离为6，如图，当0x2时，两图重叠部分的面积为y=2x，0x2时，图象是直线，如图，2x4时，BC=4-x，DG=2-（4-x）=x-2，两图重叠部分的面积为y=22-（x-2）2=，2x4时，图象为抛物线，0，抛物线开口向下，移动过程中，两图重叠部分的面积逐渐减小，图象为抛物线对称轴右侧的图象，故A、B选项不符合题意，如图，当4x6时，BC=x-4，FC=BF=BC=2-（x-4）=6-x，4x6时，两图重叠部分的面积y=（6-x）2，40，抛物线开口小向上，移动过程中，两图重叠部分面积逐渐减小，图象为抛物线对称轴左侧的图象，故C选项不符合
18、题意，D选项符合题意，故选：D【点睛】本题考查动点问题的函数图象及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质并运用数形结合是解题关键二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）9. 对于我们而言，水是生命之源，但对于在轨驻留的航天员而言，水和氧气都是生命之源在过去的1年里，3名神舟13号航天员顺利完成长达6个月的在轨驻留，创造了新的纪录中国空间站有一套非常完善的“再生生保”系统，解决了生活用水和氧气问题我们来简单地算一笔账，一个成年人一天需要570升氧气，那么3名航天员每天需要约1700升氧气，6个月需要约31万升氧气，则31万这个数用科学计数法表
19、示为_【答案】3.1105【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【详解】解：将31万用科学记数法表示为3.1105故答案为：3.1105【点睛】本题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值10. 关于x的不等式组的解是，那么a的取值范围是_【答案】a3【解析】【分析】先解第一个不等式得到x3，由于不等式组的解集为x3，则利用同
20、大取大可得到a的范围【详解】解：，解得x3，而不等式组的解集为x3，所以a3故答案为：a3【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到11. 已知方程的两根为2和-2，分解因式_【答案】【解析】【分析】先根据一元二次方程根于系数的关系求出b、c的值，然后利用提取公因式和平方差公式分解因式即可【详解】解：方程的两根为2和-2，故答案为【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关键，分解因式，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题
21、的关键12. 如图，AB为半径的直径，且AB=6，半圆绕点B顺时针旋转45，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为_【答案】【解析】【分析】根据旋转的性质得S半圆AB=S半圆AB，ABA=45，由于S阴影部分+S半圆AB=S半圆AB+S扇形ABA，则S阴影部分=S扇形ABA ，然后根据扇形面积公式求解即可【详解】半圆绕点B顺时针旋转45，点A旋转到A的位置， S半圆AB=S半圆AB ，ABA=45，S阴影部分+S半圆AB=S半圆AB+S扇形ABA ，S阴影部分=S扇形ABA= ，故答案为：【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，解题的关键关键是熟练掌握扇形面积公式13. 如图，ABC
22、与ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B（6，8），则ABC的面积为_【答案】18【解析】【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而利用割补法求面积即可【详解】解：ABC与ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B（6，8），A（4，4），C（12，2），ABC的面积为：6824662818，故答案为：18【点睛】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键14. 数轴上两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处
23、，第3次从点跳动到的中点处按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为_（，是整数）【答案】【解析】【分析】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为4，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）24，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）n4=，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度【详解】由于OA=4，所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1=OA=4=2，同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）24处，同理跳动n次后，离原点的长度为（）n4=，故线段AnA的长度为4-（n3，n是整数）故答案为4-【点睛】考查了两点间的距离，本题是一道找规
24、律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律三、解答题（本题共78分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内）15. 计算：【答案】【解析】【分析】根据有理数的乘方，特殊角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，以及二次根式的性质等计算法则求解即可【详解】解：【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，熟知求特殊角三角函数值，二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方等知识是解题的关键16. 先化简，再求值，其中x，y是方程组的解【答案】，-1【解析】【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后解二元一
25、次方程组求出x、y的值，最后代值计算即可【详解】解：；用3-2得：，解得，把代入得：，解得，方程组的解为，原式【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解二元一次方程组，熟知相关计算法则是解题的关键17. 如图，ABC中，ABAC1，BAC45，AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到，连接BE，CF相交于点D,（1）求证：BECF ；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长【答案】（1）证明见解析（2）-1 【解析】【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，EAF=BAC，则EAF+BAF=BAC+BAF，即EAB=FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出ACFABE，从而得出
26、BE=CF；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，ACDE，根据等腰三角形的性质得AEB=ABE，根据平行线得性质得ABE=BAC=45，所以AEB=ABE=45，于是可判断ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BEDE求解【详解】（1）AEF是由ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，AE=AB，AF=AC，EAF=BAC，EAF+BAF=BAC+BAF，即EAB=FAC，在ACF和ABE中，ACFABEBE=CF.（2）四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，DE=AE=AC=AB=1，ACDE，AEB=ABE，ABE=BAC=45，AEB=ABE=45，ABE为等
27、腰直角三角形，BE=AC=，BD=BEDE=考点：1旋转的性质；2勾股定理；3菱形的性质18. 图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点处，手柄长与墙壁的夹角 ，喷出的水流与形成的夹角，现在住户要求：当人站在处淋浴时，水流正好喷洒在人体的处，且使问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？(结果精确到，参考数据：)【答案】【解析】【分析】过点作，垂足为点， 过点作，垂足为点，在中，利用含30角的直角三角形性质解得GB、AG的长，在中，由正切定义解得CF的长，最后根据线段的和差解题【详解】解：过点作，垂足为点， 过点作，垂足为点在中， 在中， 答：安装师傅应将支架固定在离地
28、面高的位置【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及正切、余弦、含30角的直角三角形性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键19. 疫情防控，人人有责某公司为了解决员工的口罩问题上，准备采购A、B两种型号的口罩，A种口罩每件单价比B种口罩每件多200元，用3000元购进A种口罩和用1800元购进B种口罩的数量相同（1）A种口罩每件的单价和B种口罩的单价各是多少元？（2）公司计划用15000元的资金购进A、B两种型号的口罩共40件，其中A种口罩数量不得低于B种口罩数量的一半，该公司的几种采购方案？【答案】（1）A种口罩每件的单价和B种口罩的单价各是500元，300元 （2）一共有两
29、种购买方案：购买A种口罩14件，购买B种口罩26件；购买A种口罩15件，购买B种口罩25件【解析】【分析】（1）设A种口罩的单价为x元，则B种口罩的单价为元，根据用3000元购进A种口罩和用1800元购进B种口罩的数量相同列出方程求解即可；（2）设购买A种口罩m件，则购买B种口罩件，然后根据公司计划用15000元的资金购进A、B两种型号的口罩共40件，其中A种口罩数量不得低于B种口罩数量的一半列出不等式组求解即可【小问1详解】解：设A种口罩的单价为x元，则B种口罩的单价为元，由题意得，解得，经检验，是原方程的解，A种口罩每件的单价和B种口罩的单价各是500元，300元，答：A种口罩每件的单价和
30、B种口罩的单价各是500元，300元；【小问2详解】解：设购买A种口罩m件，则购买B种口罩件，由题意得：，解得，m是正整数，m=14或m=15，一共有两种购买方案：购买A种口罩14件，购买B种口罩26件；购买A种口罩15件，购买B种口罩25件；答：一共有两种购买方案：购买A种口罩14件，购买B种口罩26件；购买A种口罩15件，购买B种口罩25件【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意设出未知数，列出方程和不等式组是解题的关键20. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线与轴交于点（1）求的值及点的坐标；（2）直线与函数的图象交于点，记图象在点
31、，之间的部分与线段，围成的区域（不含边界）为当时，直接写出区域内的整点个数；若区域内恰有2个整点，结合函数图象，求的取值范围【答案】（1），点B的坐标为(2，0)；（2）1；k的取值范围是【解析】【分析】（1）将点A坐标代入函数即可求出m的值，然后再根据直线解析式，令进一步求解即可；（2）首先根据题意求出当直线解析式为，由此进一步得出相应的函数图像，根据函数图象加以分析求解即可；首先根据题意分别求出当直线过点(1，1)时，当直线过点(1，2)时，最后据此结合图象进一步分析即可得出答案.【详解】（1）函数的图象G经过点A(3，1)，直线与x轴交于点B，当时，即点B的坐标为(2，0)；（2）由题意
32、得：当时，直线解析式为，此时直线与反比例函数图象如图所示，此时区域内的整点个数为1；如图，当直线过点(1，1)时，得，当直线过点(1，2)时，得，结合函数图象，若区域内恰有2个整点，则k的取值范围是【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象与性质的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.21. 丰富网络资源改变了人们的学习方式，某校为了解学生每周末利用网络资源进行自主学习的情况在本校随机抽取80名学生进行问卷调查，现将调查结果绘制成不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题：组别学习时间x（h）频数（人数）A8B24C32DnE4小时以上4（1）表中的_，中位数落在_组；（2）请补全
33、频数分布直方图；（3）B组对应扇形圆心角的度数为_（4）该校准备召开学习经验分享会，计划在E组学生中随机选出两人作经验交流，已知E组的四名学生中，七、八年级各有1人，九年级有2人请用画树状图法或列表法求抽取的两名学生都来自九年级的概率【答案】（1）12，C； （2）见解析 （3）108 （4）【解析】【分析】（1）利用总人数减去其他组别的人数可得的值，再根据中位数的定义求出中位数所在的位置即可；（2）根据的值补全频数分布直方图即可；（3）用360乘以B组的人数占比即可得到答案；（3）先画出树状图，从而可得在组学生中随机抽取两名学生的所有可能结果，以及抽取的两名学生都来自九年级的结果，再利用概率
34、公式即可得【小问1详解】解：由题意得，将学习时间按从小到大进行排序后，第40个数和第41个数的平均数为中位数，组人数为（人），组人数为32人，第40个数和第41个数位于组，中位数落在组；故答案为：12，C；【小问2详解】解：由补全频数分布直方图如下：【小问3详解】解：由题意得B组对应扇形圆心角的度数为，故答案为：108；【小问4详解】解：记七年级学生为，八年级学生为，九年级学生为，由题意，画出树状图如下所示：由此可知，在组学生中随机抽取两名学生的所有可能结果共有12种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，抽取的两名学生都来自九年级的结果有2种，则所求的概率为，在组学生中抽取的两名学生都来自九年
35、级的概率为【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，列表法或树状图法求解概率，频数分布表，中位数等等，正确理解题意掌握相关知识是解题的关键22. 如图，以的边AB为直径作，交BC于点D，点E是弧BD的中点，连接AE与BC交于点F，（1）求证：AC是的切线：（2）若，求BF的长【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接AD，根据题意证明BAC=90，根据切线的判定定理证明；（2）过点F作FGAB于点G，过点F作FGAB于点G根据角平分线的性质得到GF=DF，根据正弦的定义计算即可【小问1详解】证明：连接ADE是弧BD的中点，AB为O直径，AC是O的切线；【小问2详解
36、】解：过点F作FGAB于点G，在中，即，解得，【点睛】本题考查的是切线的判定定理、角平分线的性质、正弦的定义，掌握切线的判定定理、角平分线的性质定理是解题的关键23. （1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：（2）探究若将90角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由（3）应用如图3，在中，以点A为直角顶点作等腰点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）由DPC=A=B=90，可得ADPBPC，即可证到ADPBPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问
37、题；（2）由DPCAB，可得ADP=BPC，即可证到ADPBPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）先证ABDDFE，求出DF=4，再证EFCDEC，可求FC1，进而解答即可【详解】（1）证明：如题图1，DPC=A=B=90，ADPAPD=90，BPCAPD = 90，ADP = BPC，ADPBPC，ADBC = APBP，（2）结论仍然成立，理由如下，又，设，ADBC = APBP，（3），是等腰直角三角形，,，【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45角将问题转化为一线三角是解题的关键24. 如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点
38、（1）求抛物线的解析式；（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）（2，4） （3）（5，）或（-3，）或（3，）【解析】【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；（2）要求E到直线BC的最大距离，即要求BCE面积的最大值，由此转换成求BCE的面积最大值时点E的坐标即可；（3）分BC为对角线和边两种情况利用平行四边形对角线中点
39、坐标相同进行求解即可【小问1详解】解：直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，4），抛物线解析式为；【小问2详解】解：如图所示，过点E作EFx轴于F，交直线BC于G，设点E的坐标为（m，），则点G的坐标为（m，-m+4）， ，当时，BEC的面积有最大值，设点E到BC的距离为h，BC是定值，当BEC面积最大时，h有最大值，当点E到直线BC的距离最大时，点E的坐标为（2，4）；【小问3详解】解：设点P的横坐标为（n，），如图1所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCPQ的边时，抛物线解析式为，抛物线对称轴为直线，（平行四边形对角线中点坐标相同），n=5，点P的坐标为（5，）；同理如图2所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BCQP的边时，n=-3，点P的坐标为（-3，）；如图3所示，当BC为以B、C、P、Q组成的平行四边形BPCQ的对角线时，n=3，点P的坐标为（3，）；综上所述，点P的坐标为（5，）或（-3，）或（3，）【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键
