1、浙江省丽水市2020-2021学年高一下期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分 1. 复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 2. 先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，得到一次正面向上和一次反面向上的概率为（ ）A. B. C. D. 3. 已知平面向量，下列结论中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则4. 已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，5. 从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，事件“至少有1个红球”，事件“至多有1个白球”，则（ ）
2、A. B. C. D. 6. 若向量，则在上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 7. 新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重 以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）A. 第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平B. 第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值C. 若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元D. 若“金融业”生产总值为
3、41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元8. 已知的外接圆圆心为，且，则（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9. 设，是两条不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则10. 下列四个命题中，不正确的是（ ）A 若复数z满足，则B. 若复数，满足，则C. 若复数（），则为纯虚数的充要条件是D. 若，则11. 已知某地区有小学生人，初中生人，高中生人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，
4、按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为，下列说法中正确的有（ ）A. 从高中生中抽取了人B. 每名学生被抽到的概率为C. 估计该地区中小学生总体平均近视率为D. 估计高中学生的近视人数约为12. 已知正方体的棱长为，点是 的中点，点是侧面 内的动点，且满足，下列选项正确的是（ ）A. 动点轨迹的长度是B. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是C. 直线与所成的角为，则的最小值是D. 存在某个位置，使得直线与平面所成的角为非选择题部分（共90分）三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 空气质量指数（AQI）是定量描
5、述空气质量状况无量纲指数，AQI的数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重当空气质量指数在时，空气质量指数级别为一级（优）；当空气质量指数在时，空气质量指数级别为二级（良）为了加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对我市2020年的空气质量进行调研，随机抽取了100天的空气质量指数（AQI），得下表：空气质量指数天数依据上表，估计我市某一天的空气质量指数级别为一级（优）的概率是_14. 设复数，则_.15. 在锐角中，角的对边分别为，若，则边的取值范围是_16. 已知复数满足，则的最大值是_17. 已知球的球面面积为，四面体的四个顶点均在球面上，且平面，则该四面体的体积的最大值是_1
6、8. 已知平面向量，满足，则的最大值是_四、解答题（本大题共5小题，共60分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 某景区平面图如图所示，其中，为两条公路，为公路上的两个景点，测得km，km，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台，为了获得最佳观景效果，要求对的视角现需要从观景台到建造两条观光路线（1）求两地间的直线距离；（2）求观光线路长的取值范围20. 以简单随机抽样的方式从某小区抽取户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在kwh之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示（）求直方图中的值；（）估计该小区居民用电量的平均值和中位数；（）从用电量
7、落在区间内被抽到的用户中任取户，求至少有户落在区间内的概率21. 如图，已知在矩形中， ，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，是的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值22. 在中，角的对边分别为（1）已知，且 （在，这三个条件中任选两个补充到横线上），求；（2）若，与交于点，过的直线分别交线段于两点，设，求的最小值23. 如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，.()求与平面所成的角的正弦值；()棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由浙江省丽水市2020-2021学年高一下期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1
8、. 复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得，再由复数虚部的概念即可求解【详解】因为，所以复数的虚部为2，故选：C2. 先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，得到一次正面向上和一次反面向上的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求解即可【详解】先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，出现的情况为：正正，正反，反正，反反共4种，其中得到一次正面向上和一次反面向上的情况为正反，反正共2种，所以得到一次正面向上和一次反面向上的概率为,故选：C3. 已知平面向量，下列结论中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，
9、则【答案】D【解析】【分析】根据向量相等、向量共线的定义或性质，结合各选项的描述判断正误即可.【详解】A：若为非零向量，为零向量时，有但不成立，错误；B：时，不一定相等，错误；C：若为零向量时，不一定有，错误；D：说明，同向，即，正确.故选：D4. 已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据题目计算新数据的和，进而计算出平均数，再结合方差计算公式计算方差即可.【详解】原19个数据的平均数为5，方差为2，加入一个数5之后，这20个数的平均数为，方差为.故选：C.5. 从装有2个
10、红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，事件“至少有1个红球”，事件“至多有1个白球”，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由古典概型的概率公式求出，即可得到答案【详解】记2个红球分别为，4个白球分别为，则从袋子中任意摸出2个球的所有情况为：，共15种，其中事件“至少有1个红球”包括：，共9种，事件“至多有1个白球”包括：，共9种，故，故选：B6. 若向量，则在上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据投影向量的求法求解即可【详解】因为，所以在上的投影为，又与同向的单位向量为则在上的投影向量为，故选：A7. 新冠肺炎疫情的发生，我国的三大产业
11、均受到不同程度的影响，其中第三产业中的各个行业都面临着很大的营收压力2020年7月国家统计局发布了我国上半年国内经济数据，如图所示：图1为国内三大产业比重，图2为第三产业中各行业比重 以下关于我国上半年经济数据的说法正确的是（ ）A. 第一产业的生产总值与第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值基本持平B. 第一产业的生产总值超过第三产业中“房地产业”的生产总值C. 若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，则“金融业”生产总值为32500亿元D. 若“金融业”生产总值为41040亿元，则第二产业生产总值为166500亿元【答案】D【解析】【分析】根据图1与图2计算在第三产业中“租赁和商务服务业
12、”与“房地产业”的生产总值，再与第一产业的生产总值比较，可判断A，B的正误；根据图1与图2计算出第三产业生产总值，进而可判断C，D的正误【详解】对于选项A：第一产业的生产总值为，在第三产业中，第三产业中“租赁和商务服务业”的行业比重为，但第三产业中“租赁和商务服务业”的生产总值为，故选项A错误；对于选项B：第一产业的生产总值为，在第三产业中，第三产业中“房地产业”的行业比重为，但第三产业中“房地产业”的生产总值为，故选项B错误；对于选项C：若“住宿餐饮业”生产总值为7500亿元，因为“住宿餐饮业”行业比重为，所以第三产业生产总值为亿元，因为“金融业”行业比重为，所以“金融业”生产总值为亿元，故
13、选项C错误，对于选项D：若“金融业”生产总值为41040亿元，因为“金融业”行业比重为，所以第三产业生产总值为亿元，又因为第三产业生产总值占比，第二产业生产总值占比，所以第二产业生产总值为亿元，所以选项D正确；故选：D8. 已知的外接圆圆心为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知是圆的直径，为等边三角形，然后由平面向量的数量积求解即可【详解】因为，所以点是的中点，即是圆的直径，又因为， 是圆的半径，所以为等边三角形，所以，所以，故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0
14、分，部分选对的得3分）9. 设，是两条不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】BD【解析】【分析】利用线线、线面、面面之间的位置关系逐一判断四个选项的正误，即可得正确选项.【详解】对于选项A：，则可能相交、平行或异面，故选项A不正确；对于选项B：若，则，又，则，故选项B正确；对于选项C：若，则可能平行或异面，故选项C不正确；对于选项D：若 ，可得，又因为，所以，故选项D正确.故选：BD10. 下列四个命题中，不正确的是（ ）A. 若复数z满足，则B. 若复数，满足，则C. 若复数（），则为纯虚数的充要条件是D. 若，则【答案】AC
15、D【解析】【分析】利用特值法与复数的运算性质逐一判断即可【详解】对于A：令，则，但，故A错误；对于B：若复数，满足，令，则，故B正确；对于C：若复数（），则为纯虚数的充要条件是，故C错误；对于D：当，时，故D错误；故选：ACD11. 已知某地区有小学生人，初中生人，高中生人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为，下列说法中正确的有（ ）A. 从高中生中抽取了人B. 每名学生被抽到的概率为C. 估计该地区中小学生总体的平均近视率为D. 估计高中学生的近视人数约为【答案】ABD【解析】【分析
16、】根据得意求出抽样比，进一步即可判断A，B，D；算出样本中的近视人数即可判断C.【详解】由题意，抽样比为，则B正确；从高中生中抽取了人，A正确；高中生近视人数约为：人，D正确；学生总人数为：250000人，小学生占比：，同理，初中生、高中生分别占比：，在2000的样本中，小学生、初中生和高中生分别抽取：960人，600人和440人，则近视人数为：96030%+60070%+44080%=1060人，所以估计该地区中小学总体的平均近视率为：，C错误.故选：ABD.12. 已知正方体的棱长为，点是 的中点，点是侧面 内的动点，且满足，下列选项正确的是（ ）A. 动点轨迹长度是B. 三角形在正方体内
17、运动形成几何体的体积是C. 直线与所成的角为，则的最小值是D. 存在某个位置，使得直线与平面所成的角为【答案】ABC【解析】【分析】建立坐标系，由可得出动点动点轨迹为线段，然后结合勾股定理，异面直线所成角，线面角，体积公式等逐一判断即可【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则， ，即，取得中点，则动点轨迹为线段，对于A：动点轨迹为线段，且，故A正确；对于B：三角形在正方体内运动形成几何体为三棱锥，且，故B正确；对于C：，直线与所成的角为，又，则的最小值是，故C正确；对于D：易知与重合时，直线与平面所成的角最大，且为，所以不存在某个位置，使得直线与平面所成的角为，故D错误；故选
18、：ABC非选择题部分（共90分）三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 空气质量指数（AQI）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，AQI的数值越大、级别和类别越高，说明空气污染状况越严重当空气质量指数在时，空气质量指数级别为一级（优）；当空气质量指数在时，空气质量指数级别为二级（良）为了加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对我市2020年的空气质量进行调研，随机抽取了100天的空气质量指数（AQI），得下表：空气质量指数天数依据上表，估计我市某一天的空气质量指数级别为一级（优）的概率是_【答案】【解析】【分析】易知样本中空气质量指数级别为一级（优）的频率，用频率反应概率即
19、可求解【详解】当空气质量指数级别为一级（优）时，空气质量指数在， 共有天，则样本中空气质量指数级别为一级（优）的频率，故我市某一天的空气质量指数级别为一级（优）的概率是故答案为：0.5114. 设复数，则_.【答案】1【解析】【详解】解法一：由题意可得：.解法二：15. 在锐角中，角的对边分别为，若，则边的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据锐角及角的余弦定理求出，进一步得出，再由正弦定理得，根据可得的取值范围.【详解】在锐角中，有，由余弦定理得，把代入得，又，所以.有，由，得.在中由正弦定理得，因为，所以，.故答案：.16. 已知复数满足，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】利用复数模
20、长的几何意义进行求解.【详解】在复平面内，表示复数在以圆心是，半径为的圆上，而表示复数对应的点到坐标原点的距离，所以的最大值就是.故答案为：7.17. 已知球的球面面积为，四面体的四个顶点均在球面上，且平面，则该四面体的体积的最大值是_【答案】【解析】【分析】先根据球的表面积求出半径，再利用球心到底面的射影点为的外接圆圆心，构造直角三角形，求出外接圆半径，再利用解三角形知识求出的面积最大值，便可知该四面体的体积最大值.【详解】设球的半径为，由球的球面面积为得，设球心到平面内的射影点为，连接，则有，平面，且为的外接圆圆心，又平面，所以，所以.即的外接圆半径为， 在中，记，又，由正弦定理得，.由余
21、弦定理得，所以的面积，故四面体的体积，当且仅当时，等号成立.故答案为：.18. 已知平面向量，满足，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】由题意可设，则，令，令，利用导数法求最值即可【详解】由题意可设，令，则，令，则，由，解得或，又因为，恒成立，所以在单调递减，故答案为：四、解答题（本大题共5小题，共60分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19. 某景区的平面图如图所示，其中，为两条公路，为公路上的两个景点，测得km，km，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台，为了获得最佳观景效果，要求对的视角现需要从观景台到建造两条观光路线（1）求两地间的直线距离；（2）求观光线路长的取值范围【答
22、案】（1）km；（2）.【解析】【分析】（1）由余弦定理得可得答案；（2）设，由正弦定理，利用三角函数的性质可得答案.【详解】（1）由余弦定理得，所以两地间的直线距离为km.（2）在中，设，则，所以，因为，所以，所以20. 以简单随机抽样的方式从某小区抽取户居民用户进行用电量调查，发现他们的用电量都在kwh之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示（）求直方图中的值；（）估计该小区居民用电量的平均值和中位数；（）从用电量落在区间内被抽到的用户中任取户，求至少有户落在区间内的概率【答案】（）；（）187，183.3；（）.【解析】【分析】（）由频率直方图，结合各组的
23、频率之和为1，即可求.（）由频率直方图求电量的平均值即可，再由图知中位数落在上，根据中位数的性质求中位数；（）由题意，抽取户中、各有户、2户，列举法写出所有这6户中任取2户的可能组合、及至少有1户落在区间内的组合，应用古典概型的概率求法求概率即可.【详解】（）由，得（）平均值，用电量落在区间的频率之和为，中位数落在区，设中位数为，则，解得.（）易知用电量落在区间的用户有户，记为，用电量落在区间用户有2户，记为，记事件“至少有1户落在区间内”从，中这6个元素中任取2个元素的样本空间， ，即至少有户落在区间内的概率为21. 如图，已知在矩形中， ，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为
24、，此时，是的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）取中点，连接，由得，易知、，由线面平行的判定可知面、面，再根据面面平行的判定及性质可证平面；（）由（）及勾股定理有，即，根据线面垂直的判定得面，再过作于，连结，由线面垂直的性质及判定有平面，即知为二面角的平面角，进而由勾股定理知，即可求二面角的余弦值【详解】（）证明：取中点，连接，易得，即，易知：，又面，面，即平面，又面，面，即平面，又，面面，又面，平面（）由（）知：，故，故翻折后有，面，又面，即.过点作于点，连结，又，平面，故为二面角的平面角，由，得，则，有，即二面角的余弦值为22. 在中，
25、角对边分别为（1）已知，且 （在，这三个条件中任选两个补充到横线上），求；（2）若，与交于点，过的直线分别交线段于两点，设，求的最小值【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得，求得；若选，可由向量数量积的定义结合正弦定理求解；若选，可由正弦定理求解；若选，可由向量数量积的定义结合余弦定理求解；（2）利用三点共线可求得，再由三点共线可得，再结合基本不等式即可求解【详解】（1）由已知得所以，即所以，所以若选由，得，所以由，得，所以由，得所以，所以，得所以，若选由，得，又因为，所以由正弦定理，得所以， 若选由，得，所以又，所以所以所以（2）设， 则因为三点共线，三点共线所以
26、，解得，所以由三点共线，得所以当且仅当，时，有最小值23. 如图，已知在四棱锥中，底面是平行四边形，.()求与平面所成的角的正弦值；()棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】()；()存在，.【解析】【分析】() 取的中点，连结，利用题目条件说明平面，再过点过作于点，连，通过证明平面来说明与平面所成的角为，再在中求；() 过作于点，连结，作交于点，交于点先证明，再根据要使得平面平面，则需，利用求出的长，再由得，可得.【详解】()取的中点，连结，过作于点，连，又因为，所以为的外心，又由，所以在平面上射影是的外心所以平面，所以平面平面，所以平面所以为与平面所成的角在中，在中，在中，所以，故与平面所成的角的正弦值()过作于点，连结，作交于点，交于点，由()得平面，又平面，所以，又，都在平面内，且相交于点，所以平面，又平面，所以要使得平面平面，则需在中，所以，在中，由得，所以故棱上存在点，使得平面平面，且当时有平面平面.
