浙江省金华十校2021-2022学年高一下期末模拟数学试卷(含答案解析)

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1、浙江省金华十校2021-2022学年高一下期末模拟数学试题一、选择题: 本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. 已知,则( )A. B. C. D. 2. 函数的图像关于直线对称,则可以为( )A. B. C. D. 13. 某实验田种植甲、乙两种水稻,面积相等的两块稻田(种植环境相同)连续次的产如下:甲乙则下列结论错误的是( )A. 甲种水稻产量众数为B. 乙种水稻产的极差为C. 甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数D. 甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差4. 是两条不同直线, 是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )A. 若,则B. 若,则C 若,则D. 若

2、,则5. 已知是边长为正三角形,为线段上一点(包含端点),则的取值范围为( )A. B. C. D. 6. 若对任意恒成立,则的取值范围是( )A. B. C. D. 7. 如图,已知矩形的対角线交千点,将沿翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得,则的取值范围是( )A B. C. D. 8. 设A是任意一个n元实数集合,令集合,记集合B中的元素个数为,则( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则二、选择题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9. 在中,角所对

3、的边分别是,下列说法正确的是( )A. 是的充要条件B. ,若,则这样的三角形有两个C. 若,则为钝角三角形D. 的面积公式为10. 甲罐中有个红球,个白球和个黑球,乙罐中有个红球,个白球和个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以、和表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是( )A. 的值不能确定,因为它与、中究竟哪一个发生有关B. C. 事件与事件相互独立D. 、是两两互斥的事件11. 如图所示,已知正方体的棱长为2,分别是,的中点,是线段上的动点,则下列说法正确的是( )A. 当点P与A,B两点不重合时

4、,平面截正方体所得的截面是五边形B. 平面截正方体所得的截面可能是三角形C. 一定是锐角三角形D. 面积的最大值是12. 已知函数的最小值为0,e是自然对数的底数,则( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 设,且满足,则_14. 某校为了庆祝六一儿童节,计划在学校花坛的左右两边布置红色黄色蓝色绿色4种颜色的气球,要求每一边布置两种颜色的气球,则红色气球和黄色气球恰好在同一边的概率为_.15. 在三棱锥中,是边长为2的正三角形,且平面底面 ,则该三棱锥的外接球表面积为_16. 设为不共线的向量,满足,且,若,则的

5、最大值为_四、解答题: 本题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某大学为调研学生在 两家餐厅用餐的满意度,从在 两家都用过餐的学生中随机抽取了 100 人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为 60 分. 整理评分数据,将分数以 10 为组距分为 6 组: ,得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表: 餐厅分数的频数分布表分数区间频数 235154035(1)在抽样的 100 人中,求对餐厅评分低于30分的人数;(2)如果从 两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家? 说明理由.18. 2022年3月23日15时44分,“天宫课堂”第二课在中

6、国空间站开讲,“太空教师”翟志刚,王亚平叶光富相互配合,生动演示了太空“冰雪”实验,液桥演示实验,水油分离实验,太空抛物实验等.他们在传播普及空间科学知识的同时,激发了广大青少年不断追寻“科学梦”,实现“航天梦”的热情,背后更是体现了我国航天技术的突飞猛进,空间站并非一直处于我们头顶上方的位置,有时候会运行到地球的另一面,如果直接进行地面与空间站对话,信号就会被地球阻挡,不被接收,所以实际信号传输是通过地球卫星信号转发的.如图1,天链一号01星,02星,03星(分别记为点A,B,C)分布在赤道上空,距地球(记为点O)公里的同一圆形轨道上,且分别位于轨道的东经77度,东经177度,东经17度(如

7、图2),随时实现空间站与地面信号的五通,保证通话更加流畅及时,画面也更加清晰.(1)计算天链一号01星与03星之间的弓形(图2阴影部分)面积(单位:平方公里);(2)若再向该轨道发射一颗卫星(记为D),为使四颗卫星组成四边形面积最大,确定D的经度(直接写出,不需要说明理由),并计算四边形面积(单位;平方公里)的最大值.(参考数据)19. 在梯形中,分别为线段,上的动点.(1)求;(2)若,求;(3)若,求的最小值;20. 女排世界杯比赛采用局胜制,前局比赛采用分制,每个队只有赢得至少分,并同时超过对方分时,才胜局;在决胜局(第五局)采用分制,每个队只有赢得至少分,并领先对方分为胜.在每局比赛中

8、,发球方赢得此球后可得分,并获得下一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得分.现有甲乙两队进行排球比赛.(1)若前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为,求甲队最后赢得整场比赛的概率;(2)若前四局比赛中甲乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(第五局)中,两队当前的得分为甲乙各分,且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢分的概率为,乙发球时甲赢分的概率为,得分者获得下一个球的发球权.求甲队在个球以内(含个球)赢得整场比赛的概率.21. 如图,在三棱锥中,记二面角的平面角为(1)若,求三棱锥的体积;(2)若M为BC的中点,求直线AD与EM所成角的取值范围22. 对于两个函数:

9、和,的最大值为M,若存在最小的正整数k,使得恒成立,则称是的“k阶上界函数”.(1)若,是的“k阶上界函数”.求k的值;(2)已知,设,.(i)求的最小值和最大值;(ii)求证:是“2阶上界函数”.浙江省金华十校2021-2022学年高一下期末模拟数学试题一、选择题: 本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】由已知可得.故选:A.2. 函数的图像关于直线对称,则可以为( )A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】的对称轴为,化简得到得到答案.【详解】对称轴

10、为:当时,取值为.故选:C3. 某实验田种植甲、乙两种水稻,面积相等的两块稻田(种植环境相同)连续次的产如下:甲乙则下列结论错误的是( )A. 甲种水稻产量的众数为B. 乙种水稻产的极差为C. 甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数D. 甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差【答案】D【解析】【分析】利用众数的定义可判断A选项;利用极差的定义可判断B选项;利用平均数公式可判断C选项;利用方差公式可判断D选项.【详解】对于A选项,甲种水稻产量的众数为,A对;对于B选项,乙种水稻产的极差为,B对;对于C选项,甲种水稻产量的平均数为,乙种水稻产量的平均数为,C对;对于D选项,甲种水稻产量的方

11、差为,乙种水稻产量的方差为,D错.故选:D.4. 是两条不同直线, 是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】D【解析】【分析】根据线面位置的判定逐一判断即可.【详解】若,则与平行,相交或者异面,故A错误;若,则或者,故B错误;若,则或者,故C错误;若,则,故D正确;故选:D.5. 已知是边长为正三角形,为线段上一点(包含端点),则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以中点为坐标原点建立平面直角坐标系,设,利用平面向量坐标运算可得,利用二次函数值域的求法可求得结果.【详解】以中点为坐标原点,正方向为轴可建立

12、如图所示平面直角坐标系,则,设,则当时,;当时,;的取值范围为.故选:A.6. 若对任意恒成立,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将不等式转化为,根据在上单调递增,可得,参变分离后令,可转化为在上恒成立,利用基本不等式求解的最大值,即可得的取值范围.【详解】由,可得,所以,因为函数在上单调递增,所以在上恒成立,令,则在上恒成立,令,则,当且仅当,即时,取等号,所以.故选:A7. 如图,已知矩形的対角线交千点,将沿翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系,表示出翻折后的位置

13、,利用向量垂直,数量积为零,找出关系式,进而求得,再利用极限位置求得a的最小值,即可求得答案。【详解】如图示,设处为沿翻折后的位置,以D为坐标原点,DA,DC分别为x,y轴,过点D作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,则 ,设 ,由于 ,故 ,而 ,由于 ,故,则,即 ;又由在翻折过程中存在某个位置,便得,不妨假设,则,即 ,即 ,当将翻折到如图位置时,位于平面ABCD内,不妨假设此时 ,设垂足为G,作 AD的延长线,垂足为F,此时在x轴负半轴上方向上,DF的长最大,a取最小值,由于,故 ,所以 ,而,故,又 ,故 为正三角形,则,而 ,故 ,则 ,故, ,则 ,故的取值范围是 ,故

14、选:A【点睛】本题考查了空间的垂直关系,综合性较强,解答时要充分发挥空间想象力,明确空间的点线面的位置关系,解答时涉及到空间坐标系的建立以及空间向量的应用,还要注意极限位置的利用,有较大难度.8. 设A是任意一个n元实数集合,令集合,记集合B中的元素个数为,则( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】B【解析】【分析】利用排除选项D;利用排除选项AC;举例验证选项B正确.【详解】当集合A中的元素两两互质时,所以对于选项D,当时,故选项D错误当时,若,其中,有,故对于选项A,故故选项A错误对于选项C,则.故选项C错误对于选项B,判断正确(事实上,当时,要使最小,记,其中,当时

15、,有)故选:B二、选择题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9. 在中,角所对的边分别是,下列说法正确的是( )A. 是的充要条件B. ,若,则这样的三角形有两个C. 若,则为钝角三角形D. 的面积公式为【答案】AD【解析】【分析】结合选项逐一验证判断,主要利用正弦定理,余弦定理和面积公式.【详解】若,则,由正弦定理得;若,则,从而,所以A正确;由正弦定理得,所以,只有一解,所以B不正确;若,则,所以锐角,无法得出为钝角三角形,所以C不正确;因为,所以,所以的面积,所以D

16、正确.故选:AD.10. 甲罐中有个红球,个白球和个黑球,乙罐中有个红球,个白球和个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以、和表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是( )A. 的值不能确定,因为它与、中究竟哪一个发生有关B. C. 事件与事件相互独立D. 、是两两互斥的事件【答案】BD【解析】【分析】的值与、都有关,可以计算,可判断A;由条件概率的计算公式计算可判断B;事件与的发生有关系可判断C;、不可能同时发生,是互斥事件可判断D.【详解】A选项,所以A错误;B选项,所以B正确;C选项,事件与的发生有关

17、系,所以C错误;D选项,、不可能同时发生,是互斥事件,所以D正确.故选:BD.11. 如图所示,已知正方体的棱长为2,分别是,的中点,是线段上的动点,则下列说法正确的是( )A. 当点P与A,B两点不重合时,平面截正方体所得的截面是五边形B. 平面截正方体所得的截面可能是三角形C. 一定是锐角三角形D. 面积的最大值是【答案】AD【解析】【分析】依据平面的性质画出平面截正方体所得的截面判断选项AB;举反例否定选项C;求得面积的最大值判断选项D【详解】如图,当点P与A,B两点不重合时,将线段MP向两端延长,分别交CD,CB的延长线于点O,Q,连接NO,NQ分别交,于R,S两点,连接RM,SP,M

18、P此时截面为五边形MPSNR,所以A正确;当点P与点A或点B重合时,截面为四边形. 综上,平面截正方体所得的截面为四边形或五边形.不可能是三角形,所以B不正确;考虑,当点P与点A重合时,此时因为,故为钝角,所以C判断错误;如图,为中点,连接,则,且面,延长分别交延长线于,则,若分别为中点,易知:面,且,易证:面面,即在面上的投影为,令,面面,则面,面,所以,若,则面,面,所以,即为P到直线MN的距离,如下图,随从A到B移动过程中,逐渐变大,而不变,故也在变大,所以当P与点B重合时,点P到直线MN的距离取到最大值,的面积取到最大值,此时,则MN边上的高为,的面积为,即最大值为,D判断正确故选:A

19、D12. 已知函数的最小值为0,e是自然对数的底数,则( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】AD【解析】【分析】由已知得当时,对于AC,当时,为上的减函数,则,代入解不等式得解;对于BD,当时,由对勾函数在上单调递减,在上单调递增,判断的单调性,求出最小值即可判断.【详解】由函数的最小值为0,当时,即,故当时,的值域为的子集,即对于AC,当时,为上的减函数,又,则,即,故A正确,C错误;当时,对勾函数在上单调递减,在上单调递增,对于B,当时,对勾函数在上单调递增,则函数在上单调递减,由A知,故B错误;对于D,当时,对勾函数在上单调递减,则函数在上单调递增,又,则,即,故

20、D正确;故选:AD【点睛】思路点睛:本题考查已知函数的最值求参数,解题时需先求出由函数在时的值域为,进而将问题转化为当时,函数的值域为的子集,即,分类讨论研究函数的单调性求出最值,考查学生的分析转化能力,属于难题.三、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 设,且满足,则_【答案】1【解析】【分析】利用复数除法及复数相等求得,即可得结果.【详解】由,则,所以.故答案为:114. 某校为了庆祝六一儿童节,计划在学校花坛的左右两边布置红色黄色蓝色绿色4种颜色的气球,要求每一边布置两种颜色的气球,则红色气球和黄色气球恰好在同一边的概率为_.【答案】【解析】【分析】列举出所有

21、结果,然后由古典概型的概率公式可得.【详解】在学校花坛的左右两边布置气球的所有可能结果有(红黄,蓝绿),(红蓝,黄绿),(红绿,黄蓝),(黄蓝,红绿),(黄绿,红蓝),(蓝绿,红黄),共6种,其中红色气球和黄色气球恰好在同一边的所有可能结果有(红黄,蓝绿),(蓝绿,红黄),共2种,所以红色气球和黄色气球恰好在同一边的概率为.故答案为:15. 在三棱锥中,是边长为2的正三角形,且平面底面 ,则该三棱锥的外接球表面积为_【答案】【解析】【详解】如图,是三棱锥外接球的球心,是外接圆的圆心,由球的性质可得平面;又平面平面,取的中点,连接,又是边长为2的等边三角形,故且 ,又平面平面,平面, 平面 ,连

22、结过点作 所以四边形是平行四边形,;在中, 由正弦定理可得 即: 设三棱锥外接球的半径为 在中, 故 在中,且是的中点,故 在中, 故 在中, 故 两边平方得:解得:所以三棱锥外接球的表面积为 故答案为:16. 设为不共线的向量,满足,且,若,则的最大值为_【答案】324【解析】【分析】采用建系法,令,将各个点用坐标表示,然后表达出面积的最大值,进而求得的最大值;【详解】令,又因为,即,则点C为的外心,因为,设,不妨取则点在圆上,由,代入坐标,解得,联立和,解得,故,当且仅当即时取“=”.故,于是.故答案为:324【点睛】求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的

23、几何意义具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用四、解答题: 本题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 某大学为调研学生在 两家餐厅用餐的满意度,从在 两家都用过餐的学生中随机抽取了 100 人,每人分别对这两家餐厅进行评分,满分均为 60 分. 整理评分数据,将分数以 10 为组距分为 6 组: ,得到餐厅分数的频率分布直方图和餐厅分数的频数分布表: 餐厅分数的频数分布表分数区间频数 235154035(1)在抽样的 100 人中,求对餐厅评分低于30分的人数;(2)如果从 两家餐厅中选择一家用餐,你会选择哪一家? 说明理由.

24、【答案】(1)20 (2)B餐厅,理由见解析【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图求出低于30分的频率,从而求出对A餐厅评分低于30分的人数;(2)求出对B餐厅评分低于30分的人数,根据对两家餐厅评分低于30分的人数进行比较,得到结论【小问1详解】从频率分布直方图得到评分低于30分的频率为,所以抽样的 100 人中,求对餐厅评分低于30分的人数为;【小问2详解】从分布表可以看出:在抽样的 100 人中,对B餐厅评分低于30分的人数为,因为评分总分为60分,故中位数为30分,显然评分低于30分的人数越少,说明餐厅的用餐满意度越好,因为,所以选择B餐厅用餐.18. 2022年3月23日15时44

25、分,“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲,“太空教师”翟志刚,王亚平叶光富相互配合,生动演示了太空“冰雪”实验,液桥演示实验,水油分离实验,太空抛物实验等.他们在传播普及空间科学知识的同时,激发了广大青少年不断追寻“科学梦”,实现“航天梦”的热情,背后更是体现了我国航天技术的突飞猛进,空间站并非一直处于我们头顶上方的位置,有时候会运行到地球的另一面,如果直接进行地面与空间站对话,信号就会被地球阻挡,不被接收,所以实际信号传输是通过地球卫星信号转发的.如图1,天链一号01星,02星,03星(分别记为点A,B,C)分布在赤道上空,距地球(记为点O)公里的同一圆形轨道上,且分别位于轨道的东经77度,东

26、经177度,东经17度(如图2),随时实现空间站与地面信号的五通,保证通话更加流畅及时,画面也更加清晰.(1)计算天链一号01星与03星之间的弓形(图2阴影部分)面积(单位:平方公里);(2)若再向该轨道发射一颗卫星(记为D),为使四颗卫星组成的四边形面积最大,确定D的经度(直接写出,不需要说明理由),并计算四边形面积(单位;平方公里)的最大值.(参考数据)【答案】(1)(单位:平方公里) (2)西经83度,(单位:平方公里)【解析】分析】(1)根据题意计算,再作差即可得答案;(2)根据面积最大即可得D位于西经83度,再计算面积即可得答案.【小问1详解】解:由题知,所以弓形面积为(单位:平方公

27、里).【小问2详解】解:由题知,当为等腰三角形时,其面积最大,故从C点(东经17度)经西经90度到达东经177度,共200度。所以D点位置在从C点(东经17度)向西经90度方向转100度即可,此时为西经83度.故若使四颗卫星组成的四边形面积最大,D位于西经83度. 由题知,四条边所对圆心角分别为,.,所以(单位:平方公里)19. 在梯形中,分别为线段,上的动点.(1)求;(2)若,求;(3)若,求的最小值;【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】(1)根据题意得,所以,求解计算即可;(2)根据题意得,所以;(3)根据题意得,且,再分析单调性求解即可.【小问1详解】因为,所以,所以,所以.

28、【小问2详解】由(1)知,因,所以,所以,所以.【小问3详解】因为,则,因为,解得,设,根据对勾函数的单调性可知,在单调递增,所以当时,取得最大值:.20. 女排世界杯比赛采用局胜制,前局比赛采用分制,每个队只有赢得至少分,并同时超过对方分时,才胜局;在决胜局(第五局)采用分制,每个队只有赢得至少分,并领先对方分为胜.在每局比赛中,发球方赢得此球后可得分,并获得下一球的发球权,否则交换发球权,并且对方得分.现有甲乙两队进行排球比赛.(1)若前三局比赛中甲已经赢两局,乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为,求甲队最后赢得整场比赛的概率;(2)若前四局比赛中甲乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局(

29、第五局)中,两队当前的得分为甲乙各分,且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢分的概率为,乙发球时甲赢分的概率为,得分者获得下一个球的发球权.求甲队在个球以内(含个球)赢得整场比赛的概率.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)先确定甲队最后赢得整场比赛的情况,再分别根据独立事件概率乘法公式求解,最后根据互斥事件概率加法公式得结果;(2)先根据比赛规则确定x的取值,再确定甲赢得整场比赛的情况,最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.【详解】(1)甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢,所以甲队最后赢得整场比赛的概率为,(2)设甲队x个球后赢得比赛,根据比赛规

30、则,x的取值只能为2或4,对应比分为两队打了2个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲得分,此时概率为;两队打了4个球后甲赢得整场比赛,即打第一个球甲发球甲得分,打第二个球甲发球甲失分,打第三个球乙发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,或打第一个球甲发球甲失分,打第二个球乙发球甲得分,打第三个球甲发球甲得分,打第四个球甲发球甲得分,此时概率为.故所求概率为:21. 如图,在三棱锥中,记二面角的平面角为(1)若,求三棱锥的体积;(2)若M为BC的中点,求直线AD与EM所成角的取值范围【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)作出辅助线,找到二面角的平面角,利用余弦定理求

31、出,求出底面积和高,进而求出三棱锥的体积;(2)利用空间基底表达出,结合第一问结论求出,从而求出答案.【小问1详解】取AC的中点F,连接FD,FE,由BC=2,则,故DFAC,EFAC,故DFE即为二面角的平面角,即,连接DE,作DHFE,因为,所以平面DEF,因为DH平面DEF,所以ACDH,因为,所以DH平面ABC,因为,由勾股定理得:,又,由勾股定理逆定理可知,AECE,且BAC=,在ABC中,由余弦定理得:,解得:或(舍去),则,因为,所以DEF为等边三角形,则,故三棱锥的体积;【小问2详解】设,则,由(1)知:,取为空间中的一组基底,则,由第一问可知:,则其中,且,故,由第一问可知,

32、又是的中点,所以,所以,因为三棱锥中,所以,所以,故直线AD与EM所成角范围为.【点睛】针对于立体几何中角度范围的题目,可以建立空间直角坐标系来进行求解,若不容易建立坐标系时,也可以通过基底表达出各个向量,进而求出答案.22. 对于两个函数:和,的最大值为M,若存在最小的正整数k,使得恒成立,则称是的“k阶上界函数”.(1)若,是的“k阶上界函数”.求k的值;(2)已知,设,.(i)求的最小值和最大值;(ii)求证:是的“2阶上界函数”.【答案】(1); (2)(i)时,;时,;时, ,;(ii)证明部分见解析.【解析】【分析】(1)先求,的范围,再求的最大值,利用恒成立问题的方式处理;(2)

33、分类讨论对称轴是否落在上即可;先求的最大值,需观察发现最值在取得,不要尝试用三倍角公式,另外的最大值必定在端点或者在顶点处取得,通过讨论的范围,证明即可【小问1详解】时,单调递增,于是,于是,则最大值,又恒成立,故,注意到是正整数,于是符合要求的为.【小问2详解】(i)依题意得,为开口向上,对称轴为的二次函数,于是在上递减,在上递增,由于,下分类讨论:当,即时,;当,即时,;当,即当,在上递减,.(ii),则,当,即取等号,则,下令,只需说明时,即可,分类如下:当时,且注意到,此时,显然时,单调递减,于是;当,由基本不等式,且,即,此时,而,时,由基本不等式,故有: 综上,时,即当时,最小正整数【点睛】本题综合的考查了分类讨论思想,函数值域的求法等问题,特别是观察分析出的最大值,若用三倍角公式反倒会变得更加复杂.

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