1、南京市六校联合体2020-2021学年高二下期末数学试题一单项选择题1. 已知是虚数单位，则复数所对应的点所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 甲乙丙丁四位同学各自对，两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求的相关系数，如下表相关系数甲乙丙丁0.780.887则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁3. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 展开式中所有项系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（ ）A. 6B. 10C.
2、15D. 205. 如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边的中点，点在线段上，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）A. B. C. D. 6. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字五位数，其中比40000大的偶数共有A 144个B. 120个C. 96个D. 72个7. 若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 18. 已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二多项选择题(本大题共4小题.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题
3、目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)9. 下列说法正确的有（ ）A 若随机变量，则B. 若随机变量，则方差C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为D. 已如随机变量的分布列为，则10. 设复数满足，则（ ）A. B. C. 若，则D. 若，则11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）A. 函数在上不单调B. 函数在内有两个极值点C. 函数在内有4个零点D. 函数在区间上的最小值为12. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，交于点，则下列结论正确的是（ ）A. 若平面，则为的中点B. 若为的中点，则三棱锥的体积为C. 锐二
4、面角的大小为D. 若，则直线与平面所成角的余弦值为三填空题(本大题共4小题.其中第16题共有2空；其余题均为一空.请把答案填写在答题卡相应位置上)13. 点是椭圆：与双曲线：的一个交点，点，是椭圆的两个交点，则_.14. 为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣5名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有_种(用数字作答)15. 已知的展开式中的常数项为8，则实数_.16. 购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金万元.已知该保险每
5、一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为_（保留两位有效数字）；一年度内盈利的期望为_万元.（参考数据：）四解答题(本大题共6小题.请在答题卡指定区城内作答.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤)17. 某企业甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量、的数据如下：东部城市东部城市东部城市西部城市西部城市（1）根据上述数据补全下列联表：（2）判断是否有的把握认为东西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.参考公式：，其中.临界值表：列联表：东部城市西部城市总计甲乙总计18. 已知函数.（
6、1）当时，求函数的极值；（2）当时，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.19. 如图，在直三棱柱中，是棱的中点，点在线段上.（1）若，求直线与直线所成角的余弦值大小；（2）若是的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.20. 某学校招聘在职教师，甲乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，若面试部分的两个环节都通过
7、，则可以成为该学校的在职教师.甲乙两人通过各个环节相互独立.（1）求乙未能参与面试的概率；（2）记甲本次应聘通过的环节数为，求的分布列以及数学期望；（3）若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲乙两人谁更有可能入职.21. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程：（2）设直线与交于两点，点在椭圆上，是坐标原点，若四边形为平行四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.22. 已知函数.（1）判断的单调性，并写出单调区间；（2）若存在两个零点，求的取值范围，并证明.南京市六校联合体2020-2021学年高二下
8、学期期末数学试题一单项选择题1. 已知是虚数单位，则复数所对应的点所在的象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘方和除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】，则，因此，复数在复平面内对应的点在第四象限.故选：D.2. 甲乙丙丁四位同学各自对，两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求的相关系数，如下表相关系数甲乙丙丁0.780.887则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】【分析】根据的绝对值越大，两变量具有更强的线性相关性，即可判断得到答案【详
9、解】解：因为，所以甲同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性故选：3. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别解出不等式：，即可判断出结论【详解】解：由解得：；由解得：因为 “”是“”的充分不必要条件故选：4. 展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（ ）A. 6B. 10C. 15D. 20【答案】B【解析】【分析】令，得所有项指数和，求得指数，再根据二项式系数的性质得结论【详解】令得，展开式中二项式系数最大的项是第3和第4项，最大的二项式系数为故选：B5. 如图，已知空间四
10、边形，其对角线为，分别是对边中点，点在线段上，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出，进而得到结果.【详解】，故选：【点睛】本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则.6. 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A. 144个B. 120个C. 96个D. 72个【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，首位数字为5
11、时，首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有324=72个，首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有224=48个，共有72+48=120个故选B考点：排列、组合及简单计数问题7. 若曲线在点处的切线方程为，则的
12、最小值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】先根据题意建立，的方程，再把用一个变量来表示，再构造函数求最小值即可得到的最小值【详解】解：，因为切点在直线上，所以，结合导数的几何意义有，因为，所以，联立消去得，所以，令，则，令，解得；令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，因此，故的最小值为 1故选：8. 已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的顶点到渐近线的距离求双曲线方程，根据抛物线的定义结合几何关系转化，利用抛物
13、线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，进行转化求解.【详解】双曲线的渐近线方程，右顶点，到其一条渐近线的距离，解得，所以双曲线的焦点坐标，所以抛物线焦点坐标，即抛物线方程，如图：过点作，垂足为A，作准线的垂线，垂足为，连接MF，根据抛物线定义有：，即动点到直线和距离之和，当三点共线时，距离之和最小，即点F到直线的距离，.故选：C【点睛】此题考查抛物线的定义和几何性质，根据双曲线的顶点到渐近线的距离关系求方程，利用几何关系转化求距离之和的最小值.二多项选择题(本大题共4小题.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)9. 下列说法正确有（ ）A. 若
14、随机变量，则B. 若随机变量，则方差C. 从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为D. 已如随机变量的分布列为，则【答案】AD【解析】【分析】根据正态分布的对称性质计算后非商业性A，由二项分布的方差公式胶方差的性质计算后判断B，由古典概型概率公式计算概率后判断C，由随机变量分布列的性质求解判断D【详解】A，A正确；B，B错误；C至少有一名女生的概率为，C错；D，D正确故选：AD10. 设复数满足，则（ ）A. B. C. 若，则D. 若，则【答案】BCD【解析】【分析】由待定系数法先假设，则，根据共轭复数的概念判断A选项，根据模长的公式判断B选项，根据复数的运算法则判断C
15、选项，根据复数的几何意义判断D选项.【详解】设复数，由，所以，因此：，故A选项错误；因为，所以B选项正确；因为，所以，则所以，所以C选项正确；因为，根据复数的几何意义可知，复数所表示的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，则由对称性可知，复数所表示的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，由的几何意义表示点与间的距离，由图可知：，故D选项正确；故选：BCD.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义以及复数的乘除运算，在求解过程中始终利用对式子进行化简，而复数的几何意义有两个，一个是点对应，一个是向量对应，在解题中要清楚.11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）A. 函数在上不单调B. 函数在内有两个极值点C
16、. 函数在内有4个零点D. 函数在区间上的最小值为【答案】AD【解析】【分析】求导得，令，求出，对于A，根据特殊点的函数值说明即可；对于B，利用导数说明其单调性，即可得到其极值点；对于：令，分解正弦函数的性质计算可得；对于：结合B得到，即可判断是否正确【详解】解：，令，对于在上连续，所以在上不单调，故正确；对于：因为，当，时，单调递减，因为，所以存在唯一，使得，随着的变化，的变化情况如下：，0极大值所以在，内有且只有一个极值点，故错误；对于：令，得或，所以在，上有5个零点，故错误；对于：由选项可知，在内单调递增，在，内单调递减，又因为，所以当，时，所以，当且仅当时取等号，所以在，上的最小值为，
17、故正确故选：12. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面，点在线段上，交于点，则下列结论正确的是（ ）A. 若平面，则为的中点B. 若为的中点，则三棱锥的体积为C. 锐二面角的大小为D. 若，则直线与平面所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】对于，根据线面平行性质可得，进而得到为的中点；对于，利用求解即可；对于，作的中点，则 为锐二面角 的平面角，再结合余弦定理可求解二面角的平面角的余弦值，即可判断错误；对于，建系，求平面的法向量，根据向量的夹角来求直线与平面所成角的余弦值【详解】解：对于，连接，当平面，根据线面平行的性质可得，从而得到为的中点故正确；为的中
18、点，取中点，连接，因为为等边三角形，所以，又平面平面，由面面垂直性质可得底面，所以正确连接，因为底面，又平面，所以，在中，取中点，连接，为锐二面角的平面角，在中，由余弦定理可得，所以，故错误对于，建立空间直角坐标系，则，0，2，2，0，0，因为，所以，设平面 的法向量，则，即，取，解得，所以，故正确故选：三填空题(本大题共4小题.其中第16题共有2空；其余题均为一空.请把答案填写在答题卡相应位置上)13. 点是椭圆：与双曲线：的一个交点，点，是椭圆的两个交点，则_.【答案】16【解析】【分析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设，利用椭圆与双曲线的定义，求出，即可得到答案；【详解】解：椭圆
19、的焦点在轴上，且，双曲线的焦点在轴上，且，所以椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设，由椭圆与双曲线的定义，可得，所以，所以，所以故答案为：1614. 为庆祝中国共产党成立100周年，某志愿者协会开展“党史下乡”宣讲活动，准备派遣5名志愿者去三个乡村开展宣讲，每名志愿者只去一个乡村，每个乡村至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有_种(用数字作答)【答案】150【解析】【分析】该安排可按先分组后排序处理，再用乘法原理求得【详解】解：该安排先分组，有两种，为1，1，3和1，2，2；共有种，再排序种，故不同的安排方法共有种，故答案为：15015. 已知的展开式中的常数项为8，则实数_.【答案】【解析】【
20、分析】由多项式乘法则求得常数项，列方程求解【详解】，常数为，由得故答案为：16. 购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金万元.已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为_（保留两位有效数字）；一年度内盈利的期望为_万元.（参考数据：）【答案】 . . 【解析】【分析】设该保险业务需赔付为事件，由相互独立事件的概率公式可求得，结合对立事件的概率公式可求得，再利用数学期望的定义求解即可.【详解】由题意，设该保险业务需赔付为事件，该保险
21、每一份保单需要赔付的概率为，则每一个保单不需要赔付的概率为，故万份保单都不需要赔付的概率为，所以，保险业务需赔付的概率为，设万份保单需赔付的件数为，则，则需赔付的保险金为，则（元）（万元），所以，一年度内盈利的期望为（万元）.故答案为：；.四解答题(本大题共6小题.请在答题卡指定区城内作答.解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤)17. 某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量、的数据如下：东部城市东部城市东部城市西部城市西部城市（1）根据上述数据补全下列联表：（2）判断是否有的把握认为东西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.参考公式：，其中.临界值表：列联表
22、：东部城市西部城市总计甲乙总计【答案】（1）联列表答案见解析；（2）有的把握认为东西部的地区差异与甲、乙两种产品的销售量相关.【解析】【分析】（1）根据题中信息可完善列联表；（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.详解】（1）列联表如下表所示：东部城市西部城市总计甲乙总计（2）由题意可知，则有的把握认为东、西部的地区差异与甲乙两种产品的销售量相关.18. 已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）.【解析】【分析】（1）分别求出、的解集，确定函数的单调区间后根据极值的概念即可得解；（2）转化条件得在上
23、恒成立，根据二次函数的性质，分别讨论、时的值即可得解.【详解】（1）当时，则，令，解得或；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则的极大值为，极小值为.（2）因为，所以，则当时，恒成立，所以当时，不满足题意，故舍去；当时，解得或(舍去).综上，实数的取值范围为.19. 如图，在直三棱柱中，是棱的中点，点在线段上.（1）若，求直线与直线所成角的余弦值大小；（2）若是的中点，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和直线与直线的方向向量的坐标，由向量的夹角公式求解即可；（2）设，设，求出点的
24、坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，然后利用向量的夹角公式建立等式关系，求解的值，即可得到答案【详解】解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，（1）因为，所以，则，设直线与直线所成角为，则，所以直线与直线所成角的余弦值大小为，（2）由，得，可设，则，解得，所以，所以，可设平面的一个法向量为，由，即，可得，取，又因为，且设直线与平面所成角为，所以，解得，所以，所以.20. 某学校招聘在职教师，甲乙两人同时应聘.应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否
25、则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师.甲乙两人通过各个环节相互独立.（1）求乙未能参与面试概率；（2）记甲本次应聘通过的环节数为，求的分布列以及数学期望；（3）若该校仅招聘1名在职教师，试通过概率计算，判断甲乙两人谁更有可能入职.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）甲更可能成为该校的在职教师.【解析】【分析】（1）根据事件的互斥性及每一次是否通过相互独立求解即可；（2）首先确定随机变量的可能取值，再分别求出相应的概率值，列出分布列计算
26、数学期望；（3）分别计算甲乙通过成为在职教师的概率值，比较大小，得出结论.【详解】（1）若乙笔试部分三个环节一个都没有通过或只通过一个，则不能参与面试，故乙未能参与面试的概率.（2）的可能取值为0，1，2，3，4，5，.则的分布列为012345故.（3）由（2）可知，甲成为在职教师的概率，乙成为在职教师的概率.因为，所以甲更可能成为该校的在职教师.【点睛】本题考查相互独立事件的概率离散型随机变量的分布列以及期望.在求解过程中需清楚互斥事件的概率加法计算公式和相互独立事件的概率乘法计算公式，分布列中需要准确计算每个可能取值的概率值，最后计算数学期望.21. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，
27、直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程：（2）设直线与交于两点，点在椭圆上，是坐标原点，若四边形为平行四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，定值为.【解析】【分析】（1）根据离心率可得关系，根据直线被椭圆截得的线段长可求，从而可得椭圆的方程.（2）设，再设，根据在椭圆上可得，从而可得，故可得四边形的面积为定值.详解】（1）由题意知，可得，联立，得，所以，解得.所以椭圆的方程为.（2）可设，则由四边形为平行四边形，可得，又因为点在椭圆上，所以，化简可得，可令，代入上式，得，即为，则，所以，则，故平行四边形的面积为定值且
28、定值为.22. 已知函数.（1）判断的单调性，并写出单调区间；（2）若存在两个零点，求的取值范围，并证明.【答案】（1）答案见解析；（2）的取值范围为，证明见解析.【解析】【分析】（1）对求导，再对分类讨论，由导数与单调性的关系求解即可；（2）结合（1）中结论及题意可得，求得的最值，结合题意可得，根据函数的单调性及零点存在性定理可得若有两个零点，则的取值范围为不妨设，分析可得要证，只需证，令，利用导数证得，即可得证【详解】（1）因为，定义域为，所以，则当时，即的单调增区间为，无减区间；当时，令，解得，当，可解得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），当时，则在上单调递增，至多有一个零点，不合题意；当时，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，则，解得，注意此时，（i）当时，此时，则在和上分别存在一个零点；（ii）当时，设，则，所以在单调递增，则，所以在单调递减，则，即，此时，则在和分别存在一个零点；综上，若有两个零点，则的取值范围为；下面证明，不妨设，由，得，两式相减得，两式相加得，要证，只需证，即证，令，则，所以在单调递增，则，又因为，故等号成立，即得证.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理
