1、2020-2021 学年江苏省淮安市高二下学年江苏省淮安市高二下期末数学试卷期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分） 1已知复数 z 满足 i（z+1）1i（i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数 为（ ） A2i B2+i C2i D2+i 2（x2+2）（x1）10的展开式中的常数项为（ ） A8 B4 C3 D2 3设随机变量 X，Y 满足：Y3X1，XB（2，），则 V（Y）（ ） A4 B5 C6 D7 4袋中装有 4 个红球和 2 个蓝球，不放回地依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是（ ）
2、 A B C D 56 名同学和 1 名老师去参观“伟大征程庆祝中国共产党成立 100 周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有（ ） A240 B192 C120 D96 6函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 7如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数若从四个阴数和五个阳数中随机选取 3 个数，则选取的 3 个数之和为偶数的概率为（ ） A B C D 8已知 f（x）是定义在 R 上的奇函
3、数，且当 x0 时，f（x）f（x），则（ ） Af（4）ef（3） Bf（4）e2f（2） Ce2f（4）f（2） Def（4）f（3） 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0. 9若直线是函数 f（x）图象的一条切线，则函数 f（x）可以是（ ） A Bf（x）x4 Cf（x）sinx Df（x）ex 10设 z1，z2为复数，则下列说法正确的是（
4、） A若 z12+z220，则 z1z20 B|z1z2|z1|z2| C D若|z1|z2|，则 z1z2 11在一次满分为 150 分的数学测试中，某校共有 800 名学生参加，学生的成绩 X 服从正态分布 N（110，100），其中 90 分为及格线，120 分为优秀线，则下列说法正确的是 （ ） 附：随机变量 服从正态分布 N（，2），则 P（+）0.6826，P（2+2）0.9544，P（3+3）0.9974 A该校学生数学成绩的期望为 110 B该校学生数学成绩的标准差为 100 C该校数学成绩 140 分以上的人数大于 5 D该校数学成绩及格率超过 0.97 12中国古代中“礼、
5、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是（ ） A某学生从中选 3 门学习，共有 20 种选法 B“礼”和“射”不相邻，共有 400 种选法 C“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有 504 种选法 D“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有 108 种选法 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13写出一个使得 zz40 成立的虚数 z 14
6、甲乙两人射击， 中靶的概率分别为0.9， 08 若两人同时独立射击， 则恰有一人不中靶的概率为 15设 aZ，且 0a16，若 42021+a 能被 17 整除，则 a 的值为 16在 18 世纪，法国著名数学家拉格日在他的解析函数论中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数 f（x）区间a，b上连续不断，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间（a，b）内至少存在一个点 x0（a，b），使得 f（b）f（a）f（x0）（ba），则 xx0称为函数yf（x）在闭区间a，b上的中值点，则关于 x 的 f（x）ex+mx 在区间1，1上的中值点 x0的值为 四、解答题：本题共四
7、、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17在（x+）2n的二项展开式中，二项式系数之和为 64 （1）求正整数 n 的值； （2）求（x+）2n的二项展开式中二项式系数最大的项 18在曲线 yf（x）在点（，f（）处的切线与 y 轴垂直，f（x）的导数 yf（x）的最小值为，函数 f（x）在区间（， ）上是减函数，在区间（，）， （，+）上是增函数这三个条件中任选一个补充在横线上，并回答下面问题 已知函数 f（x）x3+ax+b，且满足 _ （1）求 a 值； （2）若函数 yf（x）在区间1，2上的最
8、大值与最小值的和为 7，求 b 值 19为了调查某地区中学生是否喜欢踢足球，用简单随机抽样的方法从该地区调查了 500 名学生，调查结果如下： 性别 是否喜欢踢足球 男 女 总计 喜欢踢足球 40 y 70 不喜欢踢足球 x 270 z 总计 500 （1）求 x，y，z 的值； （2）能否有 99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关？ 附：X2 P （X2x0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20欧拉（17071783），他是数学史上最多产
9、的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式 eicos+isin，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的 取作 就得到了欧拉恒等式 ei+10，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数自然对数的底数 e，圆周率 ，两个单位虚数单位 i 和自然数单位 1，以及被称为人类伟大发现之一的 0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eicos+isin，解决以下问题： （1）将复数+ei写成 a+bi（a，bR，i 为虚数单位）的形式； （2）求|eiei|（R）的最大值 21甲乙丙三人进行兵兵球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定先比赛的两个人，另一
10、个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛，负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率都是，第一局通过抽签确定甲先当裁判 （1）求丙前 4 局都不做裁判的概率； （2）求第 3 局甲当裁判的概率； （3）记前 4 局乙当裁判的次数为 X，求 X 的概率分布和数学期望 22函数 f（x）ex2sinx1，设函数 m（x）f（x）证明： （1）m（x）在区间（）上存在唯一的极小值点； （2）f（x）在（）上有且仅有两个零点 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1已知复数 z
11、满足 i（z+1）1i（i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数 为（ ） A2i B2+i C2i D2+i 解：因为 i（z+1）1i， 所以， 所以 z2i，所以 故选：B 2（x2+2）（x1）10的展开式中的常数项为（ ） A8 B4 C3 D2 解：因为二项式（x1）10的展开式的通项公式为 T， 令 10r0，解得 r10， 故（x2+2）（x1）10（x1）10的展开式常数项为 212， 故选：D 3设随机变量 X，Y 满足：Y3X1，XB（2，），则 V（Y）（ ） A4 B5 C6 D7 解：因为 XB（2，）， 则 V（X）2， 又 Y3X1， 所以 V（Y）V（3X1）
12、 故选：A 4袋中装有 4 个红球和 2 个蓝球，不放回地依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是（ ） A B C D 解：因为第一次摸到红球， 所以还剩下 3 个红球和 2 个篮球， 所以在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到蓝球的概率是 故选：D 56 名同学和 1 名老师去参观“伟大征程庆祝中国共产党成立 100 周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念若老师站在正中间，甲、乙两同学相邻，则不同的排法共有（ ） A240 B192 C120 D96 解：共有 7 个人，老师在正中间，则老师左右各 3 人， 所以甲乙相邻在老师左右共有 4 种情况满足，剩下 4 人全
13、排即可， 所以不同的排法共有 4192 种， 故选：B 6函数 f（x）的图象大致为（ ） A B C D 解：根据题意，f（x），其定义域为x|x0 且 x1， 则 f（x）f（x），则 f（x）为奇函数，排除 A、D， 在区间（0，1）上，ln|x|lnx0，必有 f（x）0，排除 B， 故选：C 7如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数若从四个阴数和五个阳数中随机选取 3 个数，则选取的 3 个数之和为偶数的概率为（ ） A B C D 解：由题意，四
14、个阴数为 4 个偶数，2，4，6，8， 五个阳数为 5 个奇数，1，3，5，7，9， 所以基本事件的个数共有个， 选取的 3 个数之和为偶数，则有个， 故所求的概率为 故选：C 8已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f（x）f（x），则（ ） Af（4）ef（3） Bf（4）e2f（2） Ce2f（4）f（2） Def（4）f（3） 解：f（x）是定义在 R 上的奇函数， 令 F（x），F（x）， 因为当 x0 时，f（x）f（x），所以 F（x）0，函数 F（x）是减函数， 所以 F（4）F（3），可得 f（4）ef（3），所以 A 不正确； F（4）F（2），可得 f（
15、4）e2f（2），所以 C 不正确； 则f（4）e2f（2），即 f（4）e2f（2），所以 B 正确； f（4）ef（3），f（4）ef（3），可得 f（4）ef（3），所以 D 不正确； 故选：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0. 9若直线是函数 f（x）图象的一条切线，则函数 f（x）可以是（ ） A Bf（x）x4 Cf（x）sinx D
16、f（x）ex 解：直线的斜率为 k， 由 f（x）的导数为 f（x），即有切线的斜率小于 0，故 A 不能选； 由 f（x）x4的导数为 f（x）4x3，而 4x3，解得 x，故 B 可以选； 由 f（x）sinx 的导数为 f（x）cosx，而 cosx有解，故 C 可以选； 由 f（x）ex的导数为 f（x）ex，而 ex，解得 xln2，故 D 可以选 故选：BCD 10设 z1，z2为复数，则下列说法正确的是（ ） A若 z12+z220，则 z1z20 B|z1z2|z1|z2| C D若|z1|z2|，则 z1z2 解：对于 A 选项，当 z11，z2i 时，z12+z220，故
17、A 选项错误， 对于 B 选项，由复数模的运算性质可知|z1z2|z1|z2|，故 B 选项正确， 对于 C 选项，设 z1a+bi，z2c+di，（a，b，c，dR）， ， ，故 C 选项正确， 对于 D 选项，当 z11，z2i 时，|z1|z2|1，但 z1z2，故 D 选项错误 故选：BC 11在一次满分为 150 分的数学测试中，某校共有 800 名学生参加，学生的成绩 X 服从正态分布 N（110，100），其中 90 分为及格线，120 分为优秀线，则下列说法正确的是 （ ） 附：随机变量 服从正态分布 N（，2），则 P（+）0.6826，P（2+2）0.9544，P（3+3）
18、0.9974 A该校学生数学成绩的期望为 110 B该校学生数学成绩的标准差为 100 C该校数学成绩 140 分以上的人数大于 5 D该校数学成绩及格率超过 0.97 解：因为生的成绩 X 服从正态分布 N（110，100）， 则该校学生数学成绩的期望为 110，故选项 A 正确； 该校学生数学成绩的标准差为 10，故选项 B 错误； 该校数学成绩 140 分以上的概率为 P， 所以该校数学成绩 140 分以上的人数为 0.00138001，故选项 C 错误； 该校数学成绩及格率为，故选项 D 正确 故选：AD 12中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要
19、指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，一天内连续安排六节课，则下列说法正确的是（ ） A某学生从中选 3 门学习，共有 20 种选法 B“礼”和“射”不相邻，共有 400 种选法 C“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有 504 种选法 D“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有 108 种选法 解：对于 A，某学生从中选 3 门学习，共有种选法， 故选项 A 正确； 对于 B，“礼”和“射”不相邻，则有种， 故选项 B 错误； 对于 C，若“数”排在第一节，则排法有种； 若“数”不排在第一节，也不排
20、在最后一节，则排法有种， 所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有 120+384504 种选法， 故选项 C 正确； 对于 D，若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有种； 若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有种； 若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有种 所以“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有 48+36+36120 种选法， 故选项 D 错误； 故选：AC 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13写出一个使得 zz40 成立的虚数 z +i；或i 解：要使 zz40，需 zz4
21、，z1（舍去），或 z31（z1）， zcos+isin+i， 或 zcos+isini， 故答案为：+i；或i 14 甲乙两人射击， 中靶的概率分别为 0.9， 08 若两人同时独立射击， 则恰有一人不中靶的概率为 0.26 解：因为甲乙两人射击，中靶的概率分别为 0.9，08， 所以恰有一人不中靶的概率为 P0.9（10.8）+（10.9）0.80.18+0.080.26 故答案为：0.26 15设 aZ，且 0a16，若 42021+a 能被 17 整除，则 a 的值为 13 解：aZ，且 0a16，若 42021+a4161010+a4（171）1010+a 4（17101017100
22、9+171008171007+（17）+1）+a， 故它除以 17 的余数为 41+a， 由于它能被能被 17 整除，则 a13， 故答案为：13 16在 18 世纪，法国著名数学家拉格日在他的解析函数论中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数 f（x）区间a，b上连续不断，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间（a，b）内至少存在一个点 x0（a，b），使得 f（b）f（a）f（x0）（ba），则 xx0称为函数yf（x）在闭区间a，b上的中值点，则关于 x 的 f（x）ex+mx 在区间1，1上的中值点 x0的值为 解：当 x1，1时，由拉格朗日中值定理可得， f（
23、x）ex+m， +m，即， 故答案为： 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17在（x+）2n的二项展开式中，二项式系数之和为 64 （1）求正整数 n 的值； （2）求（x+）2n的二项展开式中二项式系数最大的项 解：（1）在（x+）2n的二项展开式中，二项式系数之和为 2n64，n6 （2）（x+）2n（x+）12的二项展开式中，当 r6 时，二项式系数最大， 故二项式系数最大的项为 T736 18在曲线 yf（x）在点（，f（）处的切线与 y 轴垂直，f（x）的导数 yf（x
24、）的最小值为，函数 f（x）在区间（， ）上是减函数，在区间（，）， （，+）上是增函数这三个条件中任选一个补充在横线上，并回答下面问题 已知函数 f（x）x3+ax+b，且满足 _ （1）求 a 值； （2）若函数 yf（x）在区间1，2上的最大值与最小值的和为 7，求 b 值 解：选条件：f（x）3x2+a， 所以 k切f（）+a， 因为曲线 yf（x）在点（，f（）处的切线与 y 轴垂直， 所以 k切0， 所以+a0，解得 a， 所以 f（x）x3x+b， f（x）3x2， 所以在（，2）上，f（x）0，f（x）单调递增， 在（，）上，f（x）0，f（x）单调递减， 在（1，）上，f（x
25、）0，f（x）单调递增， f（）（）3+b+b， f（）（）3+b+b， f（1）1（1）+b+b， f（2）232+b+b， 所以 f（x）max+b，f（x）min+b， 若函数 yf（x）在区间1，2上的最大值与最小值的和为 7， 则+b+（+b）+2b7，解得 b 选条件：f（x）3x2+a， 所以 f（x）最小值为 a， f（x）的导数 yf（x）的最小值为 所以 a， 由可知，b 选条件：f（x）3x2+a， 因为函数 f（x）在区间（，）上是减函数，在区间（，），（，+）上是增函数， 所以，是 3x2+a0 的根， 所以，解得 a， 由可知，b 19为了调查某地区中学生是否喜欢踢
26、足球，用简单随机抽样的方法从该地区调查了 500 名学生，调查结果如下： 性别 是否喜欢踢足球 男 女 总计 喜欢踢足球 40 y 70 不喜欢踢足球 x 270 z 总计 500 （1）求 x，y，z 的值； （2）能否有 99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关？ 附：X2 P （X2x0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解：（1）由列联表可得，y704030，z50070430，所以 x430270160； （2）由列联表中的数据可得，
27、X2， 所以有 99%的把握认为该地区的中学生是否喜欢踢足球与性别有关 20欧拉（17071783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式 eicos+isin，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的 取作 就得到了欧拉恒等式 ei+10，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数自然对数的底数 e，圆周率 ，两个单位虚数单位 i 和自然数单位 1，以及被称为人类伟大发现之一的 0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：eicos+isin，解决以下问题： （1）将复数+ei写成 a+bi（a，bR，i 为虚数单位）的形式； （
28、2）求|eiei|（R）的最大值 解：（1）+eicos+isin+（cos+isin）（1）+i； （2）|eiei|cos+isin（cos+isin）|（1cos）isin|， 当 cos1，即 2k，kZ 时，|eiei|（R）的最大值为 2 21甲乙丙三人进行兵兵球练习赛，约定练习赛规则如下：比赛前抽签决定先比赛的两个人，另一个人做裁判，每场比赛结束时，胜的一方在下一局与裁判进行比赛，负的一方在下一局做裁判，每局比赛的结果都相互独立，每场比赛双方获胜的概率都是，第一局通过抽签确定甲先当裁判 （1）求丙前 4 局都不做裁判的概率； （2）求第 3 局甲当裁判的概率； （3）记前 4 局
29、乙当裁判的次数为 X，求 X 的概率分布和数学期望 解：（1）当丙前三局全部取胜，即丙前 4 局都不做裁判， 每场比赛双方获胜的概率都是， 丙前 4 局都不做裁判的概率为 （2）第二局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为， 第三局甲当裁判的概率为 （3）由题意 X 的可能的取值为 0，1，2， ， ， ， 22函数 f（x）ex2sinx1，设函数 m（x）f（x）证明： （1）m（x）在区间（）上存在唯一的极小值点； （2）f（x）在（）上有且仅有两个零点 【解答】证明：（1）当时，f（x）ex2sinx1，m（x）f（x）ex2cosx，m（x）ex+2sinx， m（x
30、）ex+2cosx0，所以 m（x）在上单调递增， 又， 所以 m（x）在上存在唯一零点 x0， 且当时，m（x）0；当 x0 x0 时，m（x）0， 故 m（x）在上单调递减，在（x0，0）上单调递增， 故 m（x）在区间上存在唯一的极小值点 x0 （2）当时， 由（1）可知 m（x）在上单调递减，在（x0，0）上单调递增， 又， 所以 m（x）在上存在唯一的零点 x1，其中， 当时，m（x）0；当 x1x0 时，m（x）0， 所以 f（x）在上单调递增，在（x1，0）上单调递减， 又， 所以 f（x）0 在上恒成立，即 f（x）在上不存在零点 当 x0 时， f（x）0，所以 x0 是 f（x）的一个零点 当 0 x 时， m（x）ex+2sinx0，所以 m（x）在（0，）上单调递增， 又 m（0）10，m（）e+20， 所以 m（x）在（0，）上存在唯一零点 x2， 当 0 xx2时，m（x）0，当 x2x 时，m（x）0， 所以 f（x）在（0，x2） 上单调递减，在（x2，）上单调递增， 又 f（0）0，f（）e10，f（x2）f（0）0， 所以 f（x）在（x2，）上存在唯一零点 综上所述，f（x）在上有且仅有两个零点 命题得证
