1、2020-2021 学年北京市平谷区高二学年北京市平谷区高二下期末数学试卷下期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1已知集合 Ax|1x3，集合 Bx|x1，那么 AB（ ） A（1，3） B（1，3） C（1，1） D（1，+） 2已知 ab，c0，那么（ ） A B|a|b| C Dacbc 3已知 f（x），那么 f（）（ ） A B0 C D 4在（x+）7展开式中，含 x 项的系数为（ ） A42 B35 C21 D35 5已知等差数列an，a2+a410，a3+a58，那么数列an前 6 项和 S6为（ ） A
2、54 B40 C12 D27 6已知函数 yf（x）的导函数图像，如图所示，那么函数 yf（x）（ ） A在（，1）上单调递增 B在 x0 处取得极小值 C在 x1 处切线斜率取得最大值 D在 x2 处取得最大值 7由 0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是（ ） A180 B156 C108 D58 8某商场举行”五一购物抽奖”活动，已知各奖项中奖率分别是：一等奖为，二等奖为，三等奖为，四等奖为，其余均为纪念奖某顾客获得 2 次抽奖机会，那么该顾客至少抽得一次三等奖的概率为（ ） A B C D 9“a0”是“函数 f（x）exax 在区间（0，+）上为单调增函数”的
3、（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 10为参加市级技能大赛，某公司举办技能选拔赛，参加活动的员工需要进行两项比赛如表是报名的 10名员工的各项比赛成绩（单位：分），其中有三个数据模糊 员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 项目一成绩 96 92 92 90 88 86 85 84 80 78 项目二成绩 81 78 a 83 78 77 a1 b 75 70 已知两项成绩均排在前 7 名的只有 5 人，公司决定派出这 5 名员工代表公司参加市级比赛，则下面说法正确的是（ ） A2 号员工参加市级比赛 B3 号员工参加市级比赛 C7 号员
4、工参加市级比赛 D8 号员工参加市级比赛 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11（2x）6的展开式各项系数之和为 12已知各项均为正项的等比数列an，q，a3a525，则 a8 13命题“x0R，x022x0+30”，此命题的否定是 命题（填“真”或“假”） 14已知不等式 ax+8 对任意正实数 x 恒成立，那么正实数 a 的最小值为 15“六一儿童节”到了!某演出团在电影院安排了 3 场演出已知第一场有 19 人出演，第二场有 20 人出演，第三场有 18 人出演，且前两场同时出演的人数是 10 人，后两场同时出演的人数是 8 人
5、，那么参加此次演出活动的人数至少有 人 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16已知数列an，其前 n 项和为 Sn，满足_ （）求数列an通项公式； （）当 Sn100 时，求 n 的最大值 请你从a11，an+1an+4；Sn2an1；a11，an+1+an2 中选择一个，补充在上面的问题中并作答 17口袋中装有除颜色外完全相同的 10 个球，其中黄球 6 个，红球 4 个从中不放回的摸 3 次球，每次摸出一个球 （）求至少摸到 2 个红球的概率； （）若共摸出 2 个红
6、球，求第三次恰好摸到红球的概率 18已知函数 f（x）x23x+lnx （）求曲线 yf（x）在点（3，f（3）处的切线方程； （）求函数 f（x）的单调区间，并判断函数 f（x）的零点个数 19近期，某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各 25 名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如表： 成绩 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 男生（人数） 2 5 8 9 1 女生（人数） a b 10 3 2 （）在轴取的 50 名学生中，从大赛成绩在 80 分以上的人中随机取出 2 人，求恰好男、女生各 1 名，且所在分数
7、段不同的概率； （）从该校参加活动的男学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中大赛成绩在 80 分以上的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （）试确定 a、b 为何值时，使得抽取的女生大赛成绩方差最小（只写出结论，不需要说明理由） 20已知函数 f（x）xe2x （）求函数 f（x）的极值； （）设函数 g（x）ax2+ax1（a），若x（1，+），有 f（x）g（x）恒成立，求实数a 的取值范围 21在递增数列an中，anN*，设 mN*，记使得 anm 成立的 n 的最小值为 bm （）设数列an为 1，3，4，5，写出 b1，b2，b3，b4的值； （）若 an2n1，求 b1+b2
8、+b3+.+b100的值； （）若 an2n1，求数列bm的前 2m 项和公式 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题）. 1已知集合 Ax|1x3，集合 Bx|x1，那么 AB（ ） A（1，3） B（1，3） C（1，1） D（1，+） 解：因为集合 Ax|1x3，集合 Bx|x1， 所以 ABx|1x3 故选：B 2已知 ab，c0，那么（ ） A B|a|b| C Dacbc 解：若 ab0，可得，故 A 错误； 取 a2，b4，可得|a|b|，故 B 错误； 若 a0b，可得，又 c0，可得，故 C 错误； 若 ab，c0，可得 acbc，故 D 正确 故选
9、：D 3已知 f（x），那么 f（）（ ） A B0 C D 解：， 故选：A 4在（x+）7展开式中，含 x 项的系数为（ ） A42 B35 C21 D35 解：（x+）7展开式的通项公式为 Tr+1x72r， 令 72r1，求得 r3，可得含 x 项的系数为35， 故选：B 5已知等差数列an，a2+a410，a3+a58，那么数列an前 6 项和 S6为（ ） A54 B40 C12 D27 解：等差数列an，a2+a410，a3+a58， ， 解得 a17，d1， 数列an前 6 项和 S6671527 故选：D 6已知函数 yf（x）的导函数图像，如图所示，那么函数 yf（x）（
10、） A在（，1）上单调递增 B在 x0 处取得极小值 C在 x1 处切线斜率取得最大值 D在 x2 处取得最大值 解：由图像可得 x（，1）时，f（x）0，f（x）单调递减， x1 时，f（x）0， x（1，2）时，f（x）0，f（x）单调递增， x2 时，f（x）0， x（2，+）时，f（x）0，f（x）单调递减， 所以在 x1 处 f（x）取得极小值，在 x2 处 f（x）取得极大值， f（x）无最大值和最小值， 结合选项可知 A，B，D 错误， 由图像可知当 x1 时，f（x）取得最大值， 即 f（x）在 x1 处切线斜率取得最大值，故 C 正确 故选：C 7由 0，1，2，3，4，5
11、可以组成没有重复数字的四位偶数的个数是（ ） A180 B156 C108 D58 解：根据题意，分 2 种情况讨论： 0 在四位数的个位，在剩下 5 个数字中任选 3 个，放在前 3 个数位即可，有 A5360 个四位偶数， 2 或 4 在四位数的个位，四位偶数的千位数字有 4 种可能，在剩下 4 个数字中任选 2 个，放在中间的 2个数位即可，有 24A4296 个四位偶数， 则有 60+96156 个四位偶数； 故选：B 8某商场举行”五一购物抽奖”活动，已知各奖项中奖率分别是：一等奖为，二等奖为，三等奖为，四等奖为，其余均为纪念奖某顾客获得 2 次抽奖机会，那么该顾客至少抽得一次三等奖
12、的概率为（ ） A B C D 解：由题意，一等奖为，二等奖为，三等奖为，四等奖为，其余均为纪念奖， 2 次抽奖中，至少抽得一次三等奖，有两种情况： 两次中有一次抽到三等奖；两次均抽到三等奖 故该顾客至少抽得一次三等奖的概率为 故选：C 9“a0”是“函数 f（x）exax 在区间（0，+）上为单调增函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：若函数 f（x）exax 在区间（0，+）上为单调增函数， 则 f（x）exa0 在区间（0，+）上恒成立， a（ex）min，x（0，+），a1， （，0（，1， a0 是函数 f（x）exax 在区间（
13、0，+）上为单调增函数的充分不必要条件， 故选：A 10为参加市级技能大赛，某公司举办技能选拔赛，参加活动的员工需要进行两项比赛如表是报名的 10名员工的各项比赛成绩（单位：分），其中有三个数据模糊 员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 项目一成绩 96 92 92 90 88 86 85 84 80 78 项目二成绩 81 78 a 83 78 77 a1 b 75 70 已知两项成绩均排在前 7 名的只有 5 人，公司决定派出这 5 名员工代表公司参加市级比赛，则下面说法正确的是（ ） A2 号员工参加市级比赛 B3 号员工参加市级比赛 C7 号员工参加市级比赛 D8 号员工
14、参加市级比赛 解：由题意可得，项目一成绩在前 7 名的是编号 1，2，3，4，5，6，7， 故选项 C，D 错误； 因为两项成绩均排在前 7 名的只有 5 人， 故编号 1，2，3，4，5，6，7 项目二成绩只有 5 个人在前 7 名， 若 a72，则 a171，故编号 3 的员工项目二成绩不在前 7， 故选项 B 错误， 编号 2 的员工两项成绩均排在前 7 名，故选项 A 正确 故选：A 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分请把答案填在答题卡中相应题中横线上）分请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11（2x）6的展开式各项系数
15、之和为 1 解：令 x1，可得（2x）6的展开式各项系数之和为 1， 故答案为：1 12已知各项均为正项的等比数列an，q，a3a525，则 a8 解：由an是等比数列，得 a a3a525，解得 a45 或 a45（舍去）， 所以 a8a4q45（）4 故答案为： 13命题“x0R，x022x0+30”，此命题的否定是 真 命题（填“真”或“假”） 解：因为 x22x+3（x1）2+20 恒成立， 所以不存在 x0R，x022x0+30， 故命题“x0R，x022x0+30”为假命题， 所以它的否定为真命题 故答案为：真 14已知不等式 ax+8 对任意正实数 x 恒成立，那么正实数 a 的
16、最小值为 16 解：因为不等式 ax+8 对任意正实数 x 恒成立， 所以 ax28x+10，对任意正实数 x 恒成立， 当 a0 时，不等式8x+10，即 x，不符合对任意正实数 x 恒成立， 当 a0 时，令 f（x）ax28x+1， 若对任意正实数 x 恒成立， 则无解，或， 解得 a16， 所以正实数 a 的最小值为 16 故答案为：16 15“六一儿童节”到了!某演出团在电影院安排了 3 场演出已知第一场有 19 人出演，第二场有 20 人出演，第三场有 18 人出演，且前两场同时出演的人数是 10 人，后两场同时出演的人数是 8 人，那么参加此次演出活动的人数至少有 30 人 解：
17、利用 Venn 图分析，第一场演出用红色表示，第二场演出用蓝色表示，第三场演出用黄色表示（三场演出均用椭圆形表示，重复部分为避免看不清，所以没有涂色） 则参与此次演出人数最少的情况是： 则参加此次演出活动人数最少为 30 人 故答案为：30 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16已知数列an，其前 n 项和为 Sn，满足_ （）求数列an通项公式； （）当 Sn100 时，求 n 的最大值 请你从a11，an+1an+4；Sn2an1；a11，an+1+an2 中选择一个，
18、补充在上面的问题中并作答 解：选： （ I）因为 an+1an+4，即 an+1an4， 所以数列an是首项为 1，公差为 4 的等差数列 所以数列an通项公式 an4n3， （ II）因为 S， 当 Sn100，即 2n2n100， 解得 0n7， 所以 n 的最大值为 7 选： （ I）因为 Sn2an1， 所以当 n1 时，S12a11，即 a11， 又 Sn12an11（n2）， 两式相减，得：当 n2 时，SnSn1（2an1）（2an11）， 整理得 an2an1（n2）， 即数列an是首项为 1，公比为 2 的等比数列 所以数列an通项公式 a （ II）因为 S， 当 Sn10
19、0，即 2n1100， 解得 0n6， 所以 n 的最大值为 6 选： （）因为 an+1+an2， 所以 an+an12（n2） 两式相减得 an+1an10（n2）， 即 an+1an1（n2）， 又因为 a1a21 所以数列an是常数列 所以数列an的通项公式为 an1 （）因为数列an是常数列 所以 Snn， 当 Sn100，即 n100， 所以 n 的最大值为 100 17口袋中装有除颜色外完全相同的 10 个球，其中黄球 6 个，红球 4 个从中不放回的摸 3 次球，每次摸出一个球 （）求至少摸到 2 个红球的概率； （）若共摸出 2 个红球，求第三次恰好摸到红球的概率 解：（ I
20、）设“至少摸到 2 个红球”为事件 A， 设“摸到 2 个红球“为事件 B，“摸到 3 个红球”为事件 C， 因为事件 B 与事件 C 互斥， 所以 ABC， 所以， P（C）， 故 P（A）P（BC）P（B）+P（C）； （ II）设“第三次恰好摸到红球”为事件 D， 事件 D 即为“在前 2 次中只摸到一个红球，第三次摸到第二个红球”， 则有种情况， 摸三次球，样本空间， 所以 P（D）， 即第三次恰好摸到红球的概率为 18已知函数 f（x）x23x+lnx （）求曲线 yf（x）在点（3，f（3）处的切线方程； （）求函数 f（x）的单调区间，并判断函数 f（x）的零点个数 解：（）函数
21、定义域为（0，+），f（3）ln3，切点为（3，ln3）， 又 f（x）2x3+， f（3），即切线斜率为 k， 切线方程是 y，即 10 x3y+3ln3300； （）令 f（x）0，解得，x21， x （0，） （，1） 1 （1， +） f（x） + 0 _ 0 + f（x） 极大值 极小值 如表格，函数 f（x）的单调增区间是（0，）和（1，+），单调减区间是（，1）， 又函数 f（x）的极大值 f（）0， 当 0 x1 时 f（x）0 恒成立， 而函数 f（x）在区间（1，+）上单调递增，f（1）0，f（3）ln30， 存在 x0（1，3），使得 f（x0）0，即函数 f（x）只有一
22、个零点 19近期，某中学全体学生参加了“全国节约用水大赛”活动现从参加该活动的学生中随机抽取了男、女各 25 名学生，将他们的成绩（单位：分）记录如表： 成绩 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 男生（人数） 2 5 8 9 1 女生（人数） a b 10 3 2 （）在轴取的 50 名学生中，从大赛成绩在 80 分以上的人中随机取出 2 人，求恰好男、女生各 1 名，且所在分数段不同的概率； （）从该校参加活动的男学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中大赛成绩在 80 分以上的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望； （）试确定 a、b 为何值时，使得抽取的
23、女生大赛成绩方差最小（只写出结论，不需要说明理由） 解：（ I）设“从大赛成绩在 80（分）以上的人中随机取出 2 人，恰好男、女生各 1 名，且所在分数段不同”为事件 A， 由表格可得，随机抽取的 50 名学生中，成绩在 80（分）以上的男生人数是 10 人，女生 5 人，共 15 人， 即从 15 名学生中随机抽取 2 人，所以样本空间； 如果这 2 人恰好男、女生各 1 名，且分数段不同，即， 所以事件 A 包含 21 个样本点， 故 P（A）； （II）由数据可知，从抽取的 25 名男学生中随机抽取 1 人，该学生大赛成绩在 80（分）以上的概率为， 即从该校参加活动的男学生中随机抽取
24、 1 人，该学生大赛成绩在 80（分）以上的概率， 因此从该校参加活动的男学生中随机抽取 3 人，这 3 人中大赛成绩在 80（分）以上的人数 X 的可能取值为 0，1，2，3， 又 XB（3，）， 所以 P（X0）， P（X1）， P（X20， P（X3）， 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望 E（X）0+1+2+3； （）a0，b10 20已知函数 f（x）xe2x （）求函数 f（x）的极值； （）设函数 g（x）ax2+ax1（a），若x（1，+），有 f（x）g（x）恒成立，求实数a 的取值范围 解：（）f（x）xe2x，则 f（x）e2x（1+2x），
25、 令 f（x）0，x， 所以 x，f（x）0，即 f（x）在区间（，）上单调递减； x，f（x）0，即 f（x）在区间（，+）上单调递增； 所以函数 f（x）有极小值 f（），无极大值 （II）因为x（1，+），有 f（x）g（x）恒成立， 设函数 H（x）f（x）g（x）xe2xax2ax+1（x1）， 则 H（x）0 恒成立 因为 H（x）e2x（1+2x）2axa（1+2x）（e2xa）， 当 a0 时，e2xa0，令 H（x）0，可得 x， 所以 H（x）0，得 x；H（x）0，得1x， 即 H（x）在区间（1，）上单调递减，在区间（，+）上单调递增 因此函数 H（x）在 x时有最小值
26、， 当 H（）1+0，即4a0 时，函数 H（x）0 在区间（1，+）恒成立 当 0a时，令 H（x）0，x1lna，x2； 当 a，即 x1x2时，H（x）0 恒成立，即函数 H（x）在区间（1，+）单调递增 所以函数 H（x）H（1）1e20，满足条件 当 0a，即 x1x2时，H（x）0，xlna，x；H（x）0，lnax， 若lna1，即 0a时，H（x）在区间（1，）上单调递减，在区间（，+）上单调递增 函数 H（x）在 x时有最小值， 而 H（）1+0 恒成立所以满足条件 若lna1 即a时，H（x）在区间（lna，）上单调递减，在区间（1，lna），（，+）上单调递增 而 H（1
27、）1e20，H（）1+0， 所以函数 H（x）0 在区间（1，+）恒成立 综上，当4a时，函数 H（x）0 在区间（1，+）恒成立 21在递增数列an中，anN*，设 mN*，记使得 anm 成立的 n 的最小值为 bm （）设数列an为 1，3，4，5，写出 b1，b2，b3，b4的值； （）若 an2n1，求 b1+b2+b3+.+b100的值； （）若 an2n1，求数列bm的前 2m 项和公式 解：（）令 an1 时，n 的最小值 b11， 令 an2 时，n 的最小值 b22， 令 an3 时，n 的最小值 b32， 令 an4 时，n 的最小值 b43 （）由，即数列an是首项为
28、1，公比为 2 的等比数列 所以使得 anm 成立的 n 的最小值 bm为： b11，b22，b3b43，b5b6b7b84， b9b10b11b12b13b14b15b165， b17b18.b326， b33b34.b647， b65b66.b1008， 所以：b1+b2+.+b1001+2+23+44+85+166+328673 （）由题意 an2n1，对于正整数，由 anm，得 根据 bm的定义可知：当 m2k1 时，bmk；当 m2k 时，bmk+1 b1+b2+b3+.+bm（b1+b3+.+b2m1）+（b2+b4+.+b2m）， （1+2+3+.+m）+2+3+4+.+（m+1）， ， m2+2m
