1、2020-2021 学年江苏省扬州市高二学年江苏省扬州市高二下期末数学试卷下期末数学试卷 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分）分） 1 （5 分）171615 87 等于（ ） A B C D 2 （5 分）若 z1i（i 为虚数单位） ，则等于（ ） A2 B2 C2i D2i 3 （5 分）已知 xln5，y5，zlg，则 x，y，z 的大小关系为（ ） Ayzx Bxyz Czyx Dzxy 4 （5 分）现有 7 名同学去听同时进行的 4 个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（ ） A11 B47
2、C28 D74 5 （5 分）已知如表为离散型随机变量 X 的概率分布表，则概率 P（XV（X） ）等于（ ） X 0 1 2 P p A B C D1 6 （5 分）等于（ ） A120 B210 C126 D240 7 （5 分）已知函数 yf（x）的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ） A B C D 8 （5 分）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，始见于周礼春官大师 八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹” ，其中“金、石、木、革”为打击乐器， “土、匏、竹”为吹奏乐器， “丝”为弹拨乐器甲、乙、丙三名同学想学习这八种乐器，他们
3、商定采用抽签（无放回）的方法，先制作 8 个号签（每个号签上分别写有这 8 个乐器的名称） ，再制作 1 个形状大小相同的空号签，然后每人抽取 3 个号签，选中的号签就是自己学习的乐器，若同学甲选择的打击乐器数为 X，则 P（X2）等于（ ） A B C D 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分）下列关于复数 z，z
4、1，z2，结论正确的是（ ） A|z1z2|z1|z2| B若 z1z2R，则 C若 z20，则 z 是虚数 D若 z 满足|z|1，则|z2i|的最小值为 1 10 （5 分）如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，则下列结论正确的是（ ） A直线 BN 与 AD1是异面直线 B直线 MN 与 AD1所成的角为 45 C直线 AM 与平面 BCC1B1所成角的正切值为 D点 N 到平面 ABM 的距离为 11 （5 分）已知（a0）展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为 1024，则下列说法正
5、确的是（ ） A偶数项的二项式系数和为 256 B不存在常数项 C系数最大项为第 5 项 D含 x7项的系数为 45 12 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，且满足 f（x）+f（x）2x2.当 x0 时，f（x）2x若方程exexa0（aR，e 为自然对数的底数）的一个根为 x0，且 x0为不等式 f（x）f（4x）8x16的一个解，则实数 a 的取值可能是（ ） A0 Be C2ee2 D3ee3 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）52021除以 4 的余数是 14 （5 分）将两枚质地均匀的
6、骰子各掷一次，向上点数之和为 7 时，则其中有一个点数是 2 的概率是 15 （5 分）偶函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x+2）f（x） ，则 f（2021） 16 （5 分）已知函数 f（x），则 f（x）max ；若直线 ya（a0）与函数 f（x）的图象有交点，则 a 的取值范围为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，计小题，计 70 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知复数 z（3m212）+（3m2m14）i，其中 mR，i 为虚数单位 （1）若 z 为纯虚数，求 m 的值；
7、 （2）若 z 在复平面内对应的点在第一象限，求 m 的取值范围 18 （12 分）已知函数（b，cR）的图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 （1）求 b，c 的值； （2）若不等式 f（x）k+2x 在0，2上恒成立，求实数 k 的取值范围 19 （12 分）有关研究表明，正确佩戴安全头盔能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用某市以巩固全国文明城市创建成果为抓手，组织开展“一路平安，多盔有你”安全守护行动行动期间，公安交管部门将加强执法管理，依法查纠电动自行车骑乘人员未佩戴安全头盔的行为，助推养成安全习惯该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安
8、全头盔问题进行调查，汇入表是该市交警从周一到周五在一主干路口所检查到的未佩戴安全头盔行为统计数据： 星期 一 二 三 四 五 星期代码 1 2 3 4 5 未佩戴头盔人数 68 48 38 30 16 （1）请利用所给数据，求未佩戴安全头盔人数 y 与星期代码 x 之间的回归直线方程，并预测该路口周六“未戴安全头盔人数” （用四舍五入法将结果取整数） ： （2）下表是交警从这 5 天内在随机检查的 1000 名骑行人员中，记录其性别和是否佩戴头盔情况： 佩戴头盔人数 未佩戴头盔人数 合计 男性 450 n 550 女性 m 100 450 合计 800 200 1000 根据调查数据，求出实数
9、 m，n 的值并判断是否有 90%的把握认为佩戴安全头盔与性别有关？ 参考公式： ， （其中 na+b+c+d） P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20 （12 分） 如图， 在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ACC1A1为菱形， AC1与 A1C 交于点 O， AC1B1C1，A1C6，AC18，BA1C60 （1）求直线 BB1与 A1C 所成角的正弦值； （2）求二面角 CA1BA 的正切值 21 （12 分）2020 年 10 月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了关于全面加强和
10、改进新时代学校体育工作的意见 ，各地各校积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能某中学初三年级对全体男生进行了立定跳远测试，计分规则如表： 立定跳远（厘米） 200，205） 205，210） 210，215） 215，220） 220，225） 225，230） 得分 3.5 4 4.5 5 5.5 6 该年级组为了了解学生的体质，随机抽取了 100 名男生立定跳远的成绩，得到如下频率分布直方图 （1） 现从这 100 名男生中， 任意抽取 2 人， 求两人得分之和不大于 7.5 分的概率 （结果用最简分数表示） ； （2）若该校初三年级所有男生的立定跳远成绩 X 服从正态分布
11、 N（215，2） 现在全年级所有初三男生中任取 3 人，记立定跳远成绩在 215 厘米以上（含 215 厘米）的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望； （3） 若本市 25000 名初三男生在某次测试中的立定跳远成绩服从正态分布 考生甲得知他的实际成绩为223 厘米，而考生乙告诉考生甲： “这次测试平均成绩为 210 厘米，218 厘米以上共有 570 人” ，请结合统计学知识帮助考生甲辨别考生乙信息的真伪 附：若随机变量 X 服从正态分布 N（，2） ，则 P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974 22 （12 分）已知函数 f（x）+a（e2.7
12、1828 是自然对数的底数，aR 且 a0） （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 x2 是函数 g（x）xexf（x）axex+2x 在（0，+）上的唯一的极值点，求实数 a 的取值范围； （3）若函数 h（x）|lnx|f（x）a+1 有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围 2020-2021 学年江苏省扬州市高二下学年江苏省扬州市高二下期末数学试卷期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1 （5 分）171615 87 等于（ ） A B C D 【解答】解：171615
13、 87 故选：D 2 （5 分）若 z1i（i 为虚数单位） ，则等于（ ） A2 B2 C2i D2i 【解答】解：z1i（i 为虚数单位） ， （1+i）2 2i 故选：C 3 （5 分）已知 xln5，y5，zlg，则 x，y，z 的大小关系为（ ） Ayzx Bxyz Czyx Dzxy 【解答】解：因为 ln5lne1，lg10， 所以 zyx 故选：C 4 （5 分）现有 7 名同学去听同时进行的 4 个科普知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（ ） A11 B47 C28 D74 【解答】解：根据题意，每名同学可自由选择其中的一个讲座，即每个同学可以有
14、4 种选择， 则 7 名同学有 444444447种不同的选法， 故选：B 5 （5 分）已知如表为离散型随机变量 X 的概率分布表，则概率 P（XV（X） ）等于（ ） X 0 1 2 P p A B C D1 【解答】解：由随机变量分布列的性质可知， 解得， 故 E（X）0+1+21， ， 所以 P（XV（X） ）P（X）P（X1）+P（X2） 故选：C 6 （5 分）等于（ ） A120 B210 C126 D240 【解答】解：由组合数的性质可得， 210 故选：B 7 （5 分）已知函数 yf（x）的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，用
15、排除法分析： 对于 A，f（x），其定义域为x|x0，有 f（x）f（x） ，f（x）为偶函数，不符合题意； 对于 B，f（x），其定义域为x|x0，有 f（x）f（x） ，f（x）为偶函数，不符合题意； 对于 C，f（x），在区间（0，）上，cos7x0，3x3x0，必有 f（x）0，不符合题意； 故选：D 8 （5 分）中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，始见于周礼春官大师 八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹” ，其中“金、石、木、革”为打击乐器， “土、匏、竹”为吹奏乐器， “丝”为弹拨乐器甲、乙、丙三名同学想学习这八种乐器，他们商定
16、采用抽签（无放回）的方法，先制作 8 个号签（每个号签上分别写有这 8 个乐器的名称） ，再制作 1 个形状大小相同的空号签，然后每人抽取 3 个号签，选中的号签就是自己学习的乐器，若同学甲选择的打击乐器数为 X，则 P（X2）等于（ ） A B C D 【解答】解：八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹” ， 其中“金、石、木、革”为打击乐器， “土、匏、竹”为吹奏乐器， “丝”为弹拨乐器 甲、乙、丙三名同学想学习这八种乐器，他们商定采用抽签（无放回）的方法， 先制作 8 个号签（每个号签上分别写有这 8 个乐器的名称） ，再制作 1 个形状大小相同的空号签， 然后每人抽取 3 个号签，选
17、中的号签就是自己学习的乐器， 同学甲选择的基本事件个数 n56， 同学甲选择的打击乐器数为 X， 则 X2 包含的基本事件个数 m24， 则 P（X2） 故选：D 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 （5 分）下列关于复数 z，z1，z2，结论正确的是（ ） A|z1z2|z1|z2| B若 z1z2R，则 C若 z20，则
18、 z 是虚数 D若 z 满足|z|1，则|z2i|的最小值为 1 【解答】解：对于 A，由复数模的运算性质可知，|z1z2|z1|z2|，故选项 A 正确； 对于 B，当 z1z2i 时，z1z2R，但是 z1，故选项 B 错误； 对于 C，设 za+bi，则 z2a2b2+2abi0， 则 a2b2且 ab0，则 a0，故 z 是虚数，故选项 C 正确； 对于 D，z 满足|z|1，则复数 z 对应的点在单位圆上， |z2i|表示点 Z 到（0，2）的距离，故|z2i|的最小值为 211，故选项 D 正确 故选：ACD 10 （5 分）如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D
19、1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，则下列结论正确的是（ ） A直线 BN 与 AD1是异面直线 B直线 MN 与 AD1所成的角为 45 C直线 AM 与平面 BCC1B1所成角的正切值为 D点 N 到平面 ABM 的距离为 【解答】解：在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 对于 A，AD1BC1，BNBC1B，直线 BN 与 AD1是异面直线，故 A 正确； 对于 B，M（0，1，2） ，N（0，2，1） ，A（2，0，0）
20、，D1（0，0，2） ， （0，1，1） ，（2，0，2） ， 设直线 MN 与 AD1所成的角为 ， 则 cos，60， 直线 MN 与 AD1所成的角为 60，故 B 错误； 对于 C，平面 BCC1B1的法向量 （0，1，0） ，（2，1，2） ， 设直线 AM 与平面 BCC1B1所成角为 ， 则 sin，cos， 直线 AM 与平面 BCC1B1所成角的正切值为： tan，故 C 正确； 对于 D，B（2，2，0） ，（0，2，0） ，（2，1，2） ，（2，2，1） ， 设平面 ABM 的法向量 （a，b，c） ， 则，取 a1，得 （1，0，1） ， 点 N 到平面 ABM 的距
21、离为 d，故 D 正确 故选：ACD 11 （5 分）已知（a0）展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为 1024，则下列说法正确的是（ ） A偶数项的二项式系数和为 256 B不存在常数项 C系数最大项为第 5 项 D含 x7项的系数为 45 【解答】解：因为第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，所以展开式共 11 项，n10； 令 x1，得（1+a）101024，又 a0，所以 a1； 对于 A 选项，偶数项的二项式系数和为 29512，说法错误； 通项公式为 不存在整数 k 使得成立，所以 B 选项说法正确； 当 k5 时，最大，所以系数最大项为第 6
22、 项，所以 C 选项说法错误； 令，解得 k2，所以系数为，所以 D 选项说法正确 故选：BD 12 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，且满足 f（x）+f（x）2x2.当 x0 时，f（x）2x若方程exexa0（aR，e 为自然对数的底数）的一个根为 x0，且 x0为不等式 f（x）f（4x）8x16的一个解，则实数 a 的取值可能是（ ） A0 Be C2ee2 D3ee3 【解答】解：令 g（x）f（x）x2，定义域为 R， 因为 f（x）+f（x）2x2， 所以 g（x）+g（x）f（x）x2+f（x）x20， 所以 g（x）为奇函数， 当 x0 时，f（x）2x， 则 g
23、（x）f（x）2x0，所以 g（x）在0，+）上单调递减， 则 g（x）在 R 上单调递减， 因为 f（x）f（4x）8x16， 则 f（x）x2f（4x）（4x）2， 即 g（x）g（4x） ， 所以 x4x，解得 x2， 令 h（x）exexa，x0为 h（x）0 的一个根， 当 x2 时，h（x）eex0， 故 h（x）在2，+）上单调递减， 又， 所以要使得 h（x）在 x2 时有一个零点， 只要 h（2）2ee2a0，解得 a2ee2， 又因为方程 exexa0，则 aexex，x2， 所以 a0，即 2ee2a0， 则 a 的可能取值为 2ee2或 3ee3 故选：CD 三、填空题
24、（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）52021除以 4 的余数是 1 【解答】解：，MZ， 所以 52021除以 4 的余数为 1 故答案为：1 14（5分） 将两枚质地均匀的骰子各掷一次， 向上点数之和为7时， 则其中有一个点数是2的概率是 【解答】解：将两枚质地均匀的骰子各掷一次，向上点数之和为 7 时， 基本事件有： （1，6） ， （2，5） ， （3，4） ， （4，3） ， （5，2） ， （6，1） ，共 6 个， 其中有一个点数是 2 包含的基本事件有： （2，5） ， （5，2） ，共 2 个， 则其
25、中有一个点数是 2 的概率是 P 故答案为： 15 （5 分）偶函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x+2）f（x） ，则 f（2021） 0 【解答】解：根据题意，偶函数 f（x）对任意 xR 都有 f（x+2）f（x） ， 令 x1 可得：f（1）f（1）且 f（1）f（1） ， 必有 f（1）0， 又由 f（x+2）f（x） ，变形可得 f（x+4）f（x+2）f（x） ，则有 f（2021）f（1+5054）f（1） ， 则 f（2021）0， 故答案为：0 16 （5 分）已知函数 f（x），则 f（x）max ；若直线 ya（a0）与函数f（x）的图象有交点，则 a 的取值范围为
26、 【解答】解：令 p（x）lnxx+1，则， 所以 p（x） 在 （0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 故 p（x）maxp（1）0，所以 p（x）0lnxx1，当 x1 时，不等式取等号 令，则， 所以 q（x）在（，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减， 故，当 x1 时，不等式取等号 所以 当 ， 令， 当时，故 g（x）在上单调递减， 又，所以 g（x）0，故 f（x）在上单调递增； 当时，f（x）0， 又 x+时，f（x）0；x0+，f（x），且 ， 所以 a 的取值范围为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，计小题，计 70 分分.解答应写出必要的文字说
27、明、证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知复数 z（3m212）+（3m2m14）i，其中 mR，i 为虚数单位 （1）若 z 为纯虚数，求 m 的值； （2）若 z 在复平面内对应的点在第一象限，求 m 的取值范围 【解答】解： （1）因为 z 为纯虚数，所以，解得 m2， （2）由 z 在复平面内对应的点在第一象限可得， 解得 m2，或，即实数 m 的取值范国为 18 （12 分）已知函数（b，cR）的图象在点（1，f（1） ）处的切线方程为 （1）求 b，c 的值； （2）若不等式 f（x）k+2x 在0，2上恒成立，求实数 k 的取值
28、范围 【解答】解： （1）由题意得，f（x）x2+2bx+c， 所以，解得 b1，c1； （2）由（1）知， 不等式在0，2上恒成立， 即在0，2恒成立， 设，则 g（x）x2+2x3 令 g（x）0，得 x1 或 x3（舍去） ， 列表如下： x （0，1） 1 （1，2） g（x） 0 + g（x） 单调递减 极小值 单调递增 则此时的极小值为，即最小值为， 所以实数 k 的取值范围为 19 （12 分）有关研究表明，正确佩戴安全头盔能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用某市以巩固全国文明城市创建成果为抓手，组织开展“一路平安，多盔有你”安全守护行动行动期间，公安交
29、管部门将加强执法管理，依法查纠电动自行车骑乘人员未佩戴安全头盔的行为，助推养成安全习惯该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，汇入表是该市交警从周一到周五在一主干路口所检查到的未佩戴安全头盔行为统计数据： 星期 一 二 三 四 五 星期代码 1 2 3 4 5 未佩戴头盔人数 68 48 38 30 16 （1）请利用所给数据，求未佩戴安全头盔人数 y 与星期代码 x 之间的回归直线方程，并预测该路口周六“未戴安全头盔人数” （用四舍五入法将结果取整数） ： （2）下表是交警从这 5 天内在随机检查的 1000 名骑行人员中，记录其性别和是否佩戴头盔情况：
30、 佩戴头盔人数 未佩戴头盔人数 合计 男性 450 n 550 女性 m 100 450 合计 800 200 1000 根据调查数据，求出实数 m，n 的值并判断是否有 90%的把握认为佩戴安全头盔与性别有关？ 参考公式： ， （其中 na+b+c+d） P（K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【解答】解： （1）由表中的数据可知， 所以， 故40（12.2）376.6， 所以所求的回归直线方程为； 令 x6，则人； （2）实数 m350，n100 捉出假设 H0： “性别”与佩戴头盔行为无关，
31、由表中的数据可得， 根据临界值可得，没有 90%的把握认为“性别”与佩戴头盔行有关 20 （12 分） 如图， 在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ACC1A1为菱形， AC1与 A1C 交于点 O， AC1B1C1，A1C6，AC18，BA1C60 （1）求直线 BB1与 A1C 所成角的正弦值； （2）求二面角 CA1BA 的正切值 【解答】解： （1）因为斜三棱柱 ABCA1B1C1，所以 BB1AA1， AA1O（或其补角）就是直线 BB1与 A1C 所成角， 又侧面 ACC1A1为菱形，故 AC1A1C， 在 RtAA1O 中，A1O3，AO4，AA15， 故直线 BB1与 A1
32、C 所成角的正弦值为 （1）由（1）知：AC1A1C，又ABCA1B1C1为斜三棱柱，BCB1C1， 又AC1B1C1， AC1BC，又 BC，A1C面 A1BC，A1CBCC，AO面 A1BC， 过点 O 作 OHA1B，垂足为 H，连接 AH 由于 AO面 A1BC，A1B面 A1BC， 故 AOA1B，又 OHA1B，OH，AO面 AOH，OHAOO， A1B面 AOH， A1BAH，所以OHA 是二面角 CA1BA 的平面角， 在 RtA1OH 中， 又 AO面 A1BC，故 AOOH， 在 RtAOH 中， 即二面角 CA1BA 的正切值为 21 （12 分）2020 年 10 月，
33、中共中央办公厅、国务院办公厅印发了关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见 ，各地各校积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能某中学初三年级对全体男生进行了立定跳远测试，计分规则如表： 立定跳远（厘米） 200，205） 205，210） 210，215） 215，220） 220，225） 225，230） 得分 3.5 4 4.5 5 5.5 6 该年级组为了了解学生的体质，随机抽取了 100 名男生立定跳远的成绩，得到如下频率分布直方图 （1） 现从这 100 名男生中， 任意抽取 2 人， 求两人得分之和不大于 7.5 分的概率 （结果用最简分数表示） ； （2）若该校
34、初三年级所有男生的立定跳远成绩 X 服从正态分布 N（215，2） 现在全年级所有初三男生中任取 3 人，记立定跳远成绩在 215 厘米以上（含 215 厘米）的人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望； （3） 若本市 25000 名初三男生在某次测试中的立定跳远成绩服从正态分布 考生甲得知他的实际成绩为223 厘米，而考生乙告诉考生甲： “这次测试平均成绩为 210 厘米，218 厘米以上共有 570 人” ，请结合统计学知识帮助考生甲辨别考生乙信息的真伪 附：若随机变量 X 服从正态分布 N（，2） ，则 P（X+）0.6826，P（2X+2）0.9544，P（3X+3）0.9974 【
35、解答】解： （1）现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，两人得分之和不大于 7.5 分， 即两人得分均为 3.5 分，或两人中 1 人 3.5 分，1 人 4 分， 由题意知：得 3.5 分的分数为 6 人，得 4 分的人数为 9 人， 两人得分之和不大于 7.5 分的概率为：（2 分） （2）依题意，得 215 ，（2 分） ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 P E（）（6 分） （3）假设考生乙所说为真，则 210， P（X+2）0.0228， 而0.228，所以4，（8 分） 从而 +3210+34222223， 而 P（X+3）0.00130.005，（10 分）
36、 所以 X+3为小概率事件，即甲同学的成绩为 223 厘米是小概率事件， 可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假（12 分） 22 （12 分）已知函数 f（x）+a（e2.71828 是自然对数的底数，aR 且 a0） （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 x2 是函数 g（x）xexf（x）axex+2x 在（0，+）上的唯一的极值点，求实数 a 的取值范围； （3）若函数 h（x）|lnx|f（x）a+1 有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）+a，f（x）， 当 a0 时，x（，）时，f（x）0，f（x）单调递增， x（，+）时，
37、f（x）0，f（x）单调递减； 当 a0 时，x（，）时，f（x）0，f（x）单调递减， x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增； 综上，当 a0 时，f（x）单调递增区间为（，） ，f（x）单调递减区间为（，+） ； 当 a0 时，f（x）单调递增区间为（，+） ，f（x）单调递减区间为（，） ； （2）由题意可求得 g（x）+x2， 因为 2 是函数 g（x）在（0，+）上的唯一的极值点， 所以 exax0 在 x（0，+）内无变号根或无根； 设 （x）exax，则 （x）exa， 当 a1 且 a0 时，x（0，+） ，（x）exa0， 所以 （x）在（0，+）上单调递增，（x）（0
38、）10，符合条件； 当 a1 时，令 （x）exa0，得 xlna， x（0，lna） ，（x）exa0，（x）递减， x（lna，+） ，（x）exa0，（x）递增， 所以 （x）min（lna）aalna0，即 1ae； 综上所述，a 的取值范围为（，0）（0，e； （3）由题意得：h（x）|lnx|f（x）a|lnx|a，x（0，+） ， 令 y，则 y，所以 y在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减， （）当 x（1，+）时，lnx0，则 h（x）lnxa，所以 h（x）e2x（+2x1） ， 因为 2x10，0，所以 h（x）0，因此 h（x）在（1，+）上单调递增 （）当 x（
39、0，1）时，lnx0，则 h（x）lnxa，所以 h（x）e2x（+2x1） ， 因为 e2x（1，e2） ，e2x1，0 x1，1，即1，又 2x11， 所以 h（x）e2x（+2x1）0，因此 h（x）在（0，1）上单调递减， 综合（） （）可知，当 x（0，+）时，h（x）h（1）e2a， 因为函数 h（x）|lnx|f（x）a+1 有两个不同的零点，所以 h（1）e2a0， 即 ae2且 a0， 而当 ae2且 a0 时， 当 x（1，+）时，h（x）lnxalnx（+1）lnx1a， h（ea+1）0，故 h（x）在（1，ea+1）内有 1 个零点； 当 x（0，1）时，h（x）lnxalnx（e1+a）lnx1a， h（e1a）0， 故 h（x）在（ea1，1）内有 1 个零点； 所以当 ae2且 a0 时，h（x）有两个零点， 故 a 的取值范围为（e2，0）（0，+）
