1、2020-2021 学年江苏省泰州市高二学年江苏省泰州市高二下期末数学试卷下期末数学试卷 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1已知 i 为虚数单位，复数 z23i，则 z 的虚部是（ ） A3i B3 C3i D3 2已知 f（x）x2cosx，则其导函数为（ ） Af（x）2xsinx Bf（x）2xsinx Cf（x）2xcosxx2sinx Df（x）2xcosx+x2sinx 3在（x1）（x2）（x3）（x4）（x5）（x6）的展开式中，x5的系数为（ ） A21 B21 C15 D15 4一个袋子里装有相同大小的
2、黑球 8 个，红球 10 个，白球 2 个，每次从袋子中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回则在第 1 次摸到红球的条件下，第 2 次摸到白球的概率为（ ） A B C D 5已知函数 f（x）满足 f（x）x2f（1）+lnx，则（ ） A1 B1 C2 D2 62021 年 4 月 21 日至 28 日在国家会展中心（上海）举行的车展上，由于众多的新能源车型相继亮相，使得本次车展成为了一次历史转折，传统的燃油车型正在被新能源车型逐渐取代某咨询公司做了关于新能源车购买意向的调查，随机抽取了 100 份有效问卷统计得到下面的 22 列联表，则根据列联表可知（ ） 愿意购买 不愿意购买 合计 男
3、 45 10 55 女 25 20 45 合计 70 30 100 附：，其中 na+b+c+d P（2x0） 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 A该抽样方式为分层抽样 B由列联表可知，女性顾客购买新能源车的意向较强 C没有 97.5%的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关 D有 99.5%的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关 7甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行党史知识比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次（名次无重复），其中前 2 名将获得参加市级比赛的资格甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾
4、，你没有获得参加市级比赛的资格”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5 人的排名有（ ）种不同情况 A24 B36 C60 D72 8 已知定义在 R 上的函数恰有 4 个零点， 则实数 a 的取值范围为 （ ） A（0，1）（1，5） B（0，1） C（0，5） D（1，5） 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9
5、设随机变量，则下列说法正确的有（ ） A BP（X2）P（X3） CX 的数学期望 DX 的方差 10设 z 为复数，则下列说法正确的有（ ） A实数集与虚数集的交集为0 B C若，则 z 为纯虚数 D若|z1|1，则 0|z|2 11已知函数 f（x）的定义域为 R，f（0）1，其导函数 f满足 f （x）1，则下列说法正确的有（ ） A若 x1x2，则 x1x2f（x1）f（x2） B若 x1x2，则 x1x2f（x2）f（x1） C不等式 f（x1）x2 的解集为（1，+） D方程 f（x）lnx0 在（0，+）上有解 12已知（1+2x）n（nN*）的展开式中第 r+1 项的二项式系数
6、记为 ar，系数记为 br，r0，1，2，n，则下列结论正确的有（ ） A当 n2021 时，ara1009 B当 n2021 时，brb1347 C D 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知，则 x 的值为 14拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系其定理表述如下：如果函数 f（x）在闭区间a，b上的图象不间断，在开区间（a，b）内可导，那么在开区间（a，b）内至少有一个点（ab）使得等式 f（b）f（a）f（）（ba）成立，其中称为函数 f（
7、x）在闭区间a，b上的中值点，函数 f（x）x+sinx在闭区间0，上的中值点为 15在复数范围内，4 的所有平方根为 ，并由此写出4 的一个四次方根 16随机变量 X 的分布如表所示： X 1 0 1 2 P a b 若，则 D（X） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知复数 zm+ni（m，nR）满足为纯虚数，z+4i 为实数，其中 i 是虚数单位 （1）求实数 m，n 的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数 a 的取值范围 18已知（）n的展开式中
8、，第 2 项与第 4 项的二项式系数之比为 1：12 （1）求正整数 n 的值； （2）求展开式中的常数项 19新个体经济是中国经济社会数字化转型条件下出现的新生事物，指微商电商、网络直播、职业创作者等，如表是 2021 年 1 至 4 月份某市新增“微商电商”的统计数据： 月份 1 2 3 4 新增微商电商个数 90 105 125 140 （1）请利用所给数据求新增微商电商个数 y 与月份 x 之间的线性回归方程，并预测该市 2021年 5 月新增“微商电商”的个数（结果用四舍五入法保留整数）； （2）一般认为当|r|0.9 时，线性回归方程的拟合效果非常好；当 0.75|r|0.9 时，
9、线性回归方程的拟合效果良好试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由 附：， 20已知函数，mR （1）当时，求函数 yf（x）在区间0，3的最大值和最小值； （2）若 f（x0）为 f（x）的一个极值，求证： 21基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，2021 年有 3500 名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩 N （， 2） ， 其分布密度函数， xR 的最大值为，且 P（50）P
10、（70）笔试成绩高于 70 分的学生进入面试环节 （1）求 和； （2）从报考该试点高校的学生中随机抽取 10 人，求这 10 人中至少有一人进入面试的概率； （3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、设这 4名学生中通过面试的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 附：若 XN（，2），则 P（|X|）0.6827，P（|X|2）0.9545，0.84135100.1777，0.97725100.7944 22已知函数 f（x）lnxx （1）若函数 f（x）的图象在点（x0，f（x0）处的切线方程为 yg（x），求证：f（x）g（x）； （2）若函数
11、h（x）xe1x+af（x）的最小值为 2，求实数 a 的值 参考答案参考答案 一、单项选择题（共一、单项选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1已知 i 为虚数单位，复数 z23i，则 z 的虚部是（ ） A3i B3 C3i D3 解：因为 z23i，则 z 的虚部是3 故选：D 2已知 f（x）x2cosx，则其导函数为（ ） Af（x）2xsinx Bf（x）2xsinx Cf（x）2xcosxx2sinx Df（x）2xcosx+x2sinx 解：f（x）x2cosx， f（x）（x2）cosx+x2（cosx）2xcosxx2sinx， 故选
12、：C 3在（x1）（x2）（x3）（x4）（x5）（x6）的展开式中，x5的系数为（ ） A21 B21 C15 D15 解：在（x1）（x2）（x3）（x4）（x5）（x6）的展开式中， x5的系数为12345621， 故选：A 4一个袋子里装有相同大小的黑球 8 个，红球 10 个，白球 2 个，每次从袋子中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回则在第 1 次摸到红球的条件下，第 2 次摸到白球的概率为（ ） A B C D 解：因为第 1 次摸到红球， 则剩下黑球 8 个，红球 9 个，白球 2 个， 所以在第 1 次摸到红球的条件下，第 2 次摸到白球的概率为 故选：C 5已知函数 f（
13、x）满足 f（x）x2f（1）+lnx，则（ ） A1 B1 C2 D2 解：f（x）x2f（1）+lnx，f（x）2xf（1）+，f（1）1， f（x）2x+，f（）1+21 故选：B 62021 年 4 月 21 日至 28 日在国家会展中心（上海）举行的车展上，由于众多的新能源车型相继亮相，使得本次车展成为了一次历史转折，传统的燃油车型正在被新能源车型逐渐取代某咨询公司做了关于新能源车购买意向的调查，随机抽取了 100 份有效问卷统计得到下面的 22 列联表，则根据列联表可知（ ） 愿意购买 不愿意购买 合计 男 45 10 55 女 25 20 45 合计 70 30 100 附：，其
14、中 na+b+c+d P（2x0） 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 A该抽样方式为分层抽样 B由列联表可知，女性顾客购买新能源车的意向较强 C没有 97.5%的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关 D有 99.5%的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关 解：由题意中表格中的数据可知，男女抽取的比例不相等，所以不是分层抽样，故选项 A 错误； 由题意中表格中的数据可知，所以女性顾客购买新能源车的意向较弱，故选项 B 错误； 由题意中表格中的数据可知，8.12897.879， 所以有 99.5%的把握认为是
15、否愿意购买新能源车与性别有关，故选项 C 错误，选项 D 正确 故选：D 7甲、乙、丙、丁、戊共 5 名同学进行党史知识比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次（名次无重复），其中前 2 名将获得参加市级比赛的资格甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5 人的排名有（ ）种不同情况 A24 B36 C60 D72 解：根据题意，甲不在前 2 名，乙不是最后 1 名， 若甲是最后 1 名，剩下 4 人没有限制，有 A 24 种情况， 若甲不是最后 1 名，甲有 2 种情况，乙有 3 种情况，剩下 3 人没有限制，有
16、23A 36 种情况， 则 5 人有 24+3660 种不同情况， 故选：C 8 已知定义在 R 上的函数恰有 4 个零点， 则实数 a 的取值范围为 （ ） A（0，1）（1，5） B（0，1） C（0，5） D（1，5） 解：因为 f（x）恰有四个零点， 所以 f（x）0 有四个根， 当 x0 时，方程 f（x）0 为 ex1ax，此时 x0 为方程的一个根， 当 x0 时，方程 f（x）0 为|x34x2x|ax， 分两种情况： 当 x0 时，方程 f（x）0 为 ex1ax 除有 x0 一个根外还有另一个根时，当 x0 时，方程 f（x）0 为|x34x2x|ax 有 2 个根， 设
17、g（x）ex1， 先考虑 g（x）ex1 与 yax 相切于点（x0，y0）时， ，解得 a1， 所以方程 f（x）0 为 ex1ax 除有 x0 一个根外还有另一个根时，0a1， 当 x0 时，方程 f（x）0 为 ex1ax 只有 x0 一个根时，当 x0 时，方程 f（x）0 为|x34x2x|ax 有三个根， 设 h（x）x34x2xx（x24x1）xx（2）x（2+）， 所以当 0 x2+时，h（x）0；当 x2+时，h（x）0， h（x）3x28x1，（8）243（1）760， 令 h（x）0，得 x， 又 x0，所以 x， 所以在（0，）上，h（x）0，h（x）单调递减， 在（，
18、+）上，h（x）0，h（x）单调递增， 02+， 作出 h（x）得图像，f（x）的图象如下： 所以 f（x）， 设 yax 与 f（x）（x34x2x）x3+4x2+x 相切，切点为（m，n）， 所以， 解得 m2 或 0， 所以切点为（0，0）或（2，0）， 所以 k切1 或 5， 所以当 x0 时，方程 f（x）0 为 ex1ax 只有 x0 一个根，当 x0 时，方程 f（x）0 为|x34x2x|ax 有三个根时，1a5， 当 a0 时，yax 与 yf（x）只有一个根 0，不合题意， 综上所述，a 的取值范围为（0，1）（1，5）， 故选：A 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本
19、题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9设随机变量，则下列说法正确的有（ ） A BP（X2）P（X3） CX 的数学期望 DX 的方差 解：随机变量， P（X1），故 A 选项正确， P（X2），P（X3），即 P（X2）P（X3），故 B 选项错误， X 的数学期望 E（X）4，故 C 选项正确， X 的方差 D（X）4（1），故 D 选项正确 故选：ACD 10设
20、 z 为复数，则下列说法正确的有（ ） A实数集与虚数集的交集为0 B C若，则 z 为纯虚数 D若|z1|1，则 0|z|2 解：实数集与虚数集的交集为空集，故选项 A 错误； 设 za+bi，a，bR，则， 所以，故选项 B 正确； 设 za+bi，a，bR，则， 因为，则 2a0，解得 a0，则 zbi， 当 b0 时，z 为纯虚数， 当 b0 时，z0 为实数，故选项 C 错误； 设 za+bi，a，bR，所以， 故（x1）2+y21， 则|z|2x2+y2x2+1（x1）22x， 由可知，（x1）21，解得 0 x2， 则 0|z|24，所以 0|z|2，故选项 D 正确 故选：BD
21、 11已知函数 f（x）的定义域为 R，f（0）1，其导函数 f满足 f （x）1，则下列说法正确的有（ ） A若 x1x2，则 x1x2f（x1）f（x2） B若 x1x2，则 x1x2f（x2）f（x1） C不等式 f（x1）x2 的解集为（1，+） D方程 f（x）lnx0 在（0，+）上有解 解：设函数 F（x）f（x）x，则 F（x）f（x）10，所以 F（x）在 R 上单调递增， 若 x1x2，则 F（x1）F（x2），即 f（x1）x1f（x2）x2，所以 x1x2f（x1）f（x2），故 A 正确，B 错误 C 选项，F（0）f（0）01，不等式 f（x1）x2 整理为 f（x
22、1）（x1）1，即 F（x1）F（0）， 因为 F（x）单调递增，所以 x10，x1，所以解集为（1，+），故 C 正确 D 选项，不妨取 f（x）2x1，设 g（x）f（x）lnx2x1lnx，则， 所以 g（x）在上单调递减，在上单调递增，所以， 即函数 g（x）无零点，方程 f（x）lnx0 无解，D 错误 故选：AC 12已知（1+2x）n（nN*）的展开式中第 r+1 项的二项式系数记为 ar，系数记为 br，r0，1，2，n，则下列结论正确的有（ ） A当 n2021 时，ara1009 B当 n2021 时，brb1347 C D 解：（1+2x）n（nN*）的展开式中， 第 r
23、+1 项的二项式系数 ar，第 r+1 项的系数 br2r，r0，1，2，n， 对于选项 A：当 n2021 时，由二项式系数的性质知，a1010与 a1011是最大项，故 A 错误； 对于选项 B：当 n2021 时，22+， 则当2+1，即 r1347 时，b1348b1347，都是最大值，故 B 正确； 对于选项 C：（1+x）n，n（1+x）n1， 令 x1 得，n2n1，故 C 正确； 对于选项 D：（1+2x）nbrxr，2n（1+2x）n1rbrxr1， 令 x1 得，2n3n1rbr，故 D 正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小
24、题 5 分，共分，共 20 分分. 13已知，则 x 的值为 4 或 6 解：，x3x8，或 x+（3x8）16， 解得 x4，或 x6， 故答案为：4 或 6 14拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系其定理表述如下：如果函数 f（x）在闭区间a，b上的图象不间断，在开区间（a，b）内可导，那么在开区间（a，b）内至少有一个点（ab）使得等式 f（b）f（a）f（）（ba）成立，其中称为函数 f（x）在闭区间a，b上的中值点，函数 f（x）x+sinx在闭区间0，上的中值点为 解：根据题意，设函数 f（x）x+si
25、nx 在闭区间0，上的中值点为 m， 函数 f（x）x+sinx，其导数 f（x）1+cosx， 则有 f（）f（0）（1+cosm）（0），即 cosm0， 又由 0m，则 m； 故答案为： 15在复数范围内，4 的所有平方根为 2i ，并由此写出4 的一个四次方根 1+i 解：在复数范围内，（2i）24，故4 的所有平方根为2i 44（cos+isin），故它的四次方根为（cos+isin）， 故它的一个四次方根（+i）1+i， 故答案为：2i；1+i 16随机变量 X 的分布如表所示： X 1 0 1 2 P a b 若，则 D（X） 解：由分布列的性质可得，a+b1， ， ，即 a+2
26、b， 联立解得 a，b， D（X） 故答案为： 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知复数 zm+ni（m，nR）满足为纯虚数，z+4i 为实数，其中 i 是虚数单位 （1）求实数 m，n 的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数 a 的取值范围 解：（1）由 zm+ni（m，nR），得 z+4im+（n+4）i， +i， 由题意可得，解得 （2）由（1）得 2+4i， 则（2+2a）+（a21）i， 由题意可得，1a1， 实数 a 的取值范围为（1，1）
27、18已知（）n的展开式中，第 2 项与第 4 项的二项式系数之比为 1：12 （1）求正整数 n 的值； （2）求展开式中的常数项 解：（1）第 2 项与第 4 项的二项式系数之比为 1：12， ：1：12， 即， 化简可得 n3n700，解得 n10 （2）由（1）得二项式展开式的通项为 Tr+1（2）r， 令0，则 r2， 常数项为第 3 项， 即 T3（2）2180 19新个体经济是中国经济社会数字化转型条件下出现的新生事物，指微商电商、网络直播、职业创作者等，如表是 2021 年 1 至 4 月份某市新增“微商电商”的统计数据： 月份 1 2 3 4 新增微商电商个数 90 105 1
28、25 140 （1）请利用所给数据求新增微商电商个数 y 与月份 x 之间的线性回归方程，并预测该市 2021年 5 月新增“微商电商”的个数（结果用四舍五入法保留整数）； （2）一般认为当|r|0.9 时，线性回归方程的拟合效果非常好；当 0.75|r|0.9 时，线性回归方程的拟合效果良好试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由 附：， 解：（1）由表中数据可得， 则， 故所求回归直线方程为， 令 x5，则 （2）， r， 故线性回归方程的拟合效果非常好 20已知函数，mR （1）当时，求函数 yf（x）在区间0，3的最大值和最小值； （2）若 f（x0）为 f（x）的一
29、个极值，求证： 解：（1）， 令 f（x）0，解得或 x2， f（x）在各区间上的正负，以及 f（x）的单调性如下表所示， x 0 2 （2， 3） 3 f（x） + 0 0 + f（x） 0 单调递增 单调递减 单调递增 所以当 x2 时，f（x）取得最小值；当 x3 时，f（x）取得最大值 （2）证明：因为 f（x0）是 f（x）的一个极值，所以 f（x）x22mx+10 有两个解， 所以0，即 m21，且，即， 所以 21基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生强基计划的校考由试点高校自
30、主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，2021 年有 3500 名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩 N （， 2） ， 其分布密度函数， xR 的最大值为，且 P（50）P（70）笔试成绩高于 70 分的学生进入面试环节 （1）求 和； （2）从报考该试点高校的学生中随机抽取 10 人，求这 10 人中至少有一人进入面试的概率； （3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、设这 4名学生中通过面试的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和数学期望 附：若 XN（，2），则 P（|X|）0.6827，P（|X|2）0.9545，0.84135
31、100.1777，0.97725100.7944 解：（1）， ，解得10， P（50）P（70）， （2）设“至少有一名学生进入面试”为事件 A， 60，10， P（70）0.84135， P（A）10.841351010.17770.8223， 故 10 人中至少有一人进入面试的概率 0.8223 （3）X 的可能取值为 0，1，2，3，4， P（X0）， P（X0） P（X1）+， P（X2）+， P（X3）+， P（X4）， E（X）+ 22已知函数 f（x）lnxx （1）若函数 f（x）的图象在点（x0，f（x0）处的切线方程为 yg（x），求证：f（x）g（x）； （2）若函数
32、h（x）xe1x+af（x）的最小值为 2，求实数 a 的值 解：（1）证明：由 f（x）lnxx，得， 函数 f（x）的图象在点（x0，f（x0）处的切线方程为 ，即， ， 设，则， 当 x（0，x0）时，s（x）0，s（x）单调递减； 当 x（x0，+）时，s（x）0，s（x）单调递增， 所以 s（x）s（x0）0，即 f（x）g（x） （2）因为函数 h（x）的最小值为 2，所以 h（1）1a2， 从而有 a1，又， 设 t（x）xe1x+a，则 t（x）（1x）e1x， 当 x（0，1）时，t（x）0，t（x）单调递增； 当 x（1，+）时，t（x）0，t（x）单调递减， 所以 t（x）t（1）1+a0， 故 h（x）h（1）1a2，解得 a1
