1、山东省青岛市崂山区山东省青岛市崂山区 20202020- -20212021 学年八年级下期末数学试题学年八年级下期末数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1. 下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，五边形 ABCDE中，AEBC，则C+D+E的度数为（ ） A. 180 B. 270 C. 360 D. 450 3. 如果 ab，那么下列不等式中错误是（ ） A ab0 B. a1b1 C. 2a2b D. 3a3b 4. 如图，直线1yxb与21ykx相交
2、于点 P，点 P 的横坐标为-1，则关于 x 的不等式1xbkx 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式211xx值为 0，则 x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 1 D. 1 6. 如图，在ABC 中，C31 ，ABC平分线 BD交 AC于点 D，如果 DE垂直平分 BC，那么A的度数为（ ） A. 31 B. 62 C. 87 D. 93 7. 如图，在ABCD中，4AB ，6BC ，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ） A. 210OA B. 15OA C. 46OA D. 28OA 8. 若关于 x 的方程43xx=3mx+2有增根
3、,则 m的值是（ ） A. 7 B. 3 C. 4 D. 0 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9. 因式分解：269xx= 10. 如图，在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC的中点若 DE=3，则 BC=_ 11. 化简分式22214aca bc 的结果为_ 12. 已知点 P1（a，3）与 P2（4，b）关于原点对称，则 ab_ 13. 已知关于 x 的不等式组0923xax有且只有 2个整数解，且 a为整数，则 a 的值为_ 14. 如图， ABC是等腰直角三角形， BC 是斜边， P为ABC内一点， 将AB
4、P绕点 A逆时针旋转后与ACP重合，如果 AP3，那么线段 PP的长等于_ 三、作图题（本大题满分三、作图题（本大题满分 4 分）分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15. 某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示（点 M，N表示大学，OA，OB 表示公路）现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等请你用尺规确定仓库所在的位置 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 74分）分） 16. 计算： （1）分解因式：3x2y12xy2+12y3； （2）解不等式组：315213xxxx
5、17. （1）解方程2xx=2124x +1； （2）化简： （a-22abba）222aabab 18. ABC 在平面直角坐标系中如图： （1）画出将ABC 绕点 O逆时针旋转 90所得到的A1B1C1，并写出 A1点的坐标； （2）画出A1B1C1关于原点成中心对称A2B2C2，并直接写出AA1A2的面积 19. 如图,平行四边形 ABCD的对角线 AC,BD交于点 O,M,N分别是 AB,AD的中点 （1）求证:四边形 AMON是平行四边形； （2）若 AC=6,BD=4,AOB=90 ,求 NO的长度 20. 新冠肺炎疫情期间， 成都江安河社区有甲、 乙两个医疗用品公司， 免费为医院
6、加工同种型号的防护服 甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的 1.5 倍， 两厂各加工 600套防护服， 甲厂比乙厂要少用 4天 求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？ 21. 如图，ABCD是平行四边形，P是 CD 上一点，且 AP和 BP分别平分DAB 和CBA (1)求APB的度数； (2)如果 AD5cm，AP8cm，求 APB的周长 22. 某工厂计划生产 A、B两种产品共 10 件，其生产成本和利润如下表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利 14万元，问 A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于 35
7、 万元，且获利多于 14 万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 23. 如图，在梯形 ABCD中，ADBC，B=90 ，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点 Q 从点 A出发以 1cm/s的速度向点 D 运动，点 P从点 B出发沿 BC方向以 2cm/s 的速度向点 C 运动，P，Q两点同时出发，当点 P到达点 C 时，两点同时停止运动，设运动时间为 t秒 （1）当 t等于多少时，四边形 ABPQ 的面积为 18cm2； （2）若以 P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求 t的值； （3）当 0t 0，a2 0，an 0，
8、m 0时，若 a12 + a22 + + an2 = m2，则 a1+ a2 + + an，与 m 之间的数量关系是 _ 问题解决 小明家住 16楼一天，他要把一根 3 米长的竹竿放入电梯带回家中如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图示） ，那么，电梯的长、宽、高和的最大值是_米 拓展延伸 公园准备修建一个四边形水池，边长分别为 a 米，b米，c 米，d米分别以水池四边为边向外建四个正方形花圃，若花圃面积和为 400平方米，则水池的最大周长为_米 山东省青岛市崂山区山东省青岛市崂山区 20202020- -20212021 学年八年级下期末数学试题学年八年级下期末数学试题 一、选择题（本大题共一、选
9、择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1. 下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【1 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，并结合图形的特点求解 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误； D、是轴对称图形，是中心对称图形，故选项正确 故选：D 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念 轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；
10、中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转 180 后与原图重合 2. 如图，五边形 ABCDE中，AEBC，则C+D+E的度数为（ ） A. 180 B. 270 C. 360 D. 450 【2 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】首先过点 D 作 DFAE，交 AB 于点 F，由 AEBC，可证得 AEDFBC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得A+B180 ，E+EDF180 ，CDF+C180 ，继而证得结论 【详解】过点 D作 DFAE，交 AB于点 F， AEBC， AEDFBC， A+B180 ，E+EDF180 ，CDF+C180 ， C+CDE+E360 ， 故选 C
11、 【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 3. 如果 ab，那么下列不等式中错误的是（ ） A. ab0 B. a1b1 C. 2a2b D. 3a3b 【3 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质解答即可 【详解】解：A、由 ab移项得到：ab0，故本选项不符合题意 B、由 ab的两边同时减去 1得到：a1b1，故本选项不符合题意 C、由 ab的两边同时乘以 2得到：2a2b，故本选项不符合题意 D、由 ab的两边同时乘以3 得到：3a3b，故本选项符合题意 故选：D 【点睛】 本题考查不等式的性质， 在不等式两边同乘以 （或除以）
12、同一个数时， 不仅要考虑这个数不等于 0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变 4. 如图，直线1yxb与21ykx相交于点 P，点 P 的横坐标为-1，则关于 x 的不等式1xbkx 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【4 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由图像可知当 x-1 时，1xbkx ，然后在数轴上表示出即可 【详解】由图像可知当 x-1 时，1xbkx， 可在数轴上表示为： 故选 C 【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等） ，
13、做到数形结合函数 y1y2时 x的范围是函数 y1的图象在y2的图象上边时对应的未知数的范围，反之亦然 5. 若分式211xx的值为 0，则 x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 1 D. 1 【5 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为 0的条件，分子为 0分母不为 0列式进行计算即可得. 【详解】分式211xx的值为零， 21010 xx ， 解得：x=1， 故选 B 【点睛】本题考查了分式值为 0 的条件，熟知分式值为 0 的条件是分子为 0分母不为 0 是解题的关键. 6. 如图，在ABC中，C31 ，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，如果 DE 垂直平分
14、BC，那么A的度数为（ ） A. 31 B. 62 C. 87 D. 93 【6 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DBDC，根据等腰三角形的性质得到DBCC31 ，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可 【详解】解：DE垂直平分 BC， DBDC， DBCC31 ， BD平分ABC， ABDCBD31 ， A180 31 387 ， 故选：C 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 7. 如图，在ABCD中，4AB ，6BC ，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是（ ） A. 210
15、OA B. 15OA C. 46OA D. 28OA 【7 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边之间的关系，可得：210AC，由平行四边形的性质，即可得到答案 【详解】4AB ，6BC ， 6 464AC ，即：210AC， 在ABCD中，OA=OC， 15OA， 故选 B 【点睛】本题主要考查三角形三边之间的关系和平行四边形的性质，掌握三角形第三边大于两边之和小于两边之差，是解题的关键 8. 若关于 x 的方程43xx=3mx+2有增根,则 m的值是（ ） A. 7 B. 3 C. 4 D. 0 【8 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由
16、分式方程有增根,得到 x-3=0,求出 x的值,代入整式方程求出 m的值即可 【详解】分式方程去分母得:x+4=m+2x6, 由分式方程有增根,得到 x3=0,即 x=3, 把 x=3代入整式方程得:m=7, 故选 A 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根问题,牢牢掌握增根的概念是解答本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9. 因式分解：269xx= 【9 题答案】 【答案】2(3)x 【解析】 【详解】解：269xx=2(3)x 故答案为2(3)x 考点：因式分解-运用公式法 10. 如图，在ABC 中，点 D、
17、E 分别是 AB、AC的中点若 DE=3，则 BC=_ 【10 题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】直接根据三角形的中位线解答即可 【详解】点 D、E分别是 AB、AC 的中点， DE是ABC的中位线， BC=2DE=23=6 故答案为：6 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键 11. 化简分式22214aca bc 的结果为_ 【11 题答案】 【答案】7cab 【解析】 【分析】把分子分母中的公因式 2ac 约去即可 【详解】解：原式227ac cacab 7cab 故答案为:7cab 【点睛】本题考查约分：约去分式的分子与分母的公因式
18、，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 12. 已知点 P1（a，3）与 P2（4，b）关于原点对称，则 ab_ 【12 题答案】 【答案】12 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（-x，-y）可得到 a，b 的值，再代入 ab 中可得到答案 【详解】解：P（a，3）与 P（-4，b）关于原点的对称， a=4，b=-3， ab=4（-3）=-12， 故答案为：-12 【点睛】此题主要考查了坐标系中的点关于原点对称的坐标特点注意：关于原点对称的点，横纵坐标分别互为相反数 13. 已知关于 x 的不等式组0923xax有且只有 2个整数解，且
19、 a为整数，则 a 的值为_ 【13 题答案】 【答案】5 【解析】 【分析】解不等式组得出其解集为 3xa，根据不等式组只有 2个整数解知 4a5，结合 a为整数可得答案 【详解】解不等式 xa0，得：xa， 解不等式 92x3，得：x3， 则不等式组的解集为 3xa， 不等式组只有 2个整数解， 不等式组整数解为 3和 4， 则 4a5， 又 a为整数， a5， 故答案为：5 【点睛】此题主要考查根据不等式组的整数解求参数的值，熟练掌握，即可解题. 14. 如图， ABC是等腰直角三角形， BC 是斜边， P为ABC内一点， 将ABP绕点 A逆时针旋转后与ACP重合，如果 AP3，那么线段
20、 PP的长等于_ 【14 题答案】 【答案】32 【解析】 【分析】根据旋转性质，知：旋转角度是 90 ，根据旋转的性质得出 AP=AP=3，即PAP是等腰直角三角形，腰长 AP=3，则可用勾股定理求出斜边 PP的长 【详解】ABP绕点 A逆时针旋转后与ACP重合， ABPACP， 即线段 AB旋转后到 AC， 旋转了 90 ， PAPBAC90 ，APAP3， PP32 【点睛】本题考查旋转的性质和直角三角形的性质旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等 三、作图题（本大题满分三、作图题（本大题满分 4 分）分） 请用直尺、圆规作图，不写作法，
21、但要保留作图痕迹请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15. 某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示（点 M，N表示大学，OA，OB 表示公路）现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等请你用尺规确定仓库所在的位置 【15 题答案】 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】根据题意，分别作AOB的平分线和 MN的垂直平分线即可求得 【详解】解：分别作AOB的平分线和 MN 的垂直平分线； 作图步骤如下： 以O为圆心，任意长度为半径作弧，交,OA OB于两点,C D，分别以,C D为圆心，以大于12CD为半径在角的内部分别作弧，交于一点E，作射线OE； 分别以,
22、M N为圆心，以大于12MN为半径在MN的两侧分别作弧，交于,F G,作直线FG； FG与OE的交点P即为所求 如图所示，P在AOB的平分线和 MN 的垂直平分线的交点上，点 P就是仓库应该修建的位置 【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，以及角平分线和垂直平分线的作图，熟练作图步骤是解题的关键 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 74分）分） 16. 计算： （1）分解因式：3x2y12xy2+12y3； （2）解不等式组：315213xxxx 【16 题答案】 【答案】 （1）3y（x2y）2； （2）不等式组的解集为2x12 【解析】 【分析】
23、（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）分别求出不等式组中两不等式解集，找出两解集的公共部分即可 【详解】 （1）3x2y12xy2+12y3 =3y（x24xy+4y2） =3y（x2y）2； （2）由移项得：3xx5+1， 合并得：2x4， 解得：x2， 由去分母得：x+23x3， 移项合并得：2x1， 解得：x12， 则不等式组的解集为2x12 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17. （1）解方程2xx=2124x +1； （2）化简： （a-22abba）222aabab 【17 题答案】 【答案】
24、 （1）x=4； （2）a b 【解析】 【分析】 （1）去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程得出 x 的值，检验即可得； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式 【详解】 （1）212124xxx， 去分母得：x（x+2）=12+x24， 去括号得：x2+2x=12+x24， 移项、合并得：2x=8， x=4， 经检验，x=4是分式方程的解； （2）22222()abbaabaaab 22222(2)aabbaabaab 222222aabbaabaab 2()()()()aba abaab ab a b 【点睛】本题主要考查分式的化简及解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式的混
25、合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤 18. ABC 在平面直角坐标系中如图： （1）画出将ABC 绕点 O逆时针旋转 90所得到的A1B1C1，并写出 A1点的坐标； （2）画出A1B1C1关于原点成中心对称的A2B2C2，并直接写出AA1A2的面积 【18 题答案】 【答案】 （1）(3，2)，作图见解析 （2）13，作图见解析 【解析】 【分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出 A1、B1、C1即可； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出 A2、B2、C2的坐标，然后描点得到A2B2C2，再利用等腰直角三角形的性质计算AA1A2的面积 【详解】 （1）如图，A1B1C1为所作，
26、A1点的坐标为(3，2)； （2）如图，A2B2C2所作； AA1A2的面积12（26）213 【点睛】 本题考查了作图旋转变换： 根据旋转的性质可知， 对应角都相等都等于旋转角， 对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法， 找到对应点， 顺次连接得出旋转后的图形 19. 如图,平行四边形 ABCD的对角线 AC,BD交于点 O,M,N分别是 AB,AD的中点 （1）求证:四边形 AMON是平行四边形； （2）若 AC=6,BD=4,AOB=90 ,求 NO的长度 【19 题答案】 【答案】 （1）证明见解析； （2）132NO 【解析】 【分析】 （1）根据平行
27、四边形的性质得到 AOOC，BOOD，根据三角形中位线的性质得到 MOAD，NOAB，根据平行四边形的判定可证得结论； （2）由勾股定理求得 AB13，根据三角形中位线的性质得到12NOAB进而可得结论 【详解】 （1）四边形ABCD是平行四边形， AOOC，BOOD M，N分别是AB、AD的中点， /MO AD，/NO AB， /MO AN，/NO AM， 四边形AMON是平行四边形； （2）解：四边形ABCD是平行四边形， AOOC，BOOD 6AC ，4BD ， 3AO，2BO 90AOB， 22223213ABAOBO N是AD的中点，BOOD， 12NOAB， 132NO 【点睛】本
28、题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，勾股定理，根据三角形中位线的性质得到12NOAB是解决问题的关键 20. 新冠肺炎疫情期间， 成都江安河社区有甲、 乙两个医疗用品公司， 免费为医院加工同种型号的防护服 甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的 1.5 倍， 两厂各加工 600套防护服， 甲厂比乙厂要少用 4天 求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？ 【20 题答案】 【答案】甲厂每天加工 75套，乙厂每天加工 50套 【解析】 【分析】设乙厂每天加工 x 套防护服，则甲厂每天加工 1.5x 套防护服，根据“两厂各加工 600 套防护服，甲厂比乙厂要少用 4 天”列出方程并解
29、答 【详解】解：设乙厂每天加工 x 套防护服，则甲厂每天加工 1.5x套防护服， 根据题意，得600 x6001.5x4， 解得 x50， 经检验：x50 是所列方程的解， 则 1.5x75 答：甲厂每天加工 75套防护服，乙厂每天加工 50 套防护服 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键 21. 如图，ABCD是平行四边形，P是 CD 上一点，且 AP和 BP分别平分DAB 和CBA (1)求APB的度数； (2)如果 AD5cm，AP8cm，求APB 的周长 【21 题答案】 【答案】(1)APB90 ； (2)APB 的周长是 24cm 【解析】 【分析】（1
30、） 根据平行四边形性质得出 ADCB， ABCD， 推出DAB+CBA=180 ， 求出PAB+PBA=90 ，在APB中求出APB即可； （2）求出 AD=DP=5，BC=PC=5，求出 DC=10=AB，即可求出答案 【详解】 （1）四边形ABCD是平行四边形， ADCB ，ABCD，,ADBC ABDC， 180DABCBA ， 又AP和BP分别平分DAB和CBA， 1902PABPBADABCBA ， 18090APBPABPBA ； （2） AP平分DAB，ABCD ， DAPPABDPA ， 5cmADDP，同理：5cmPCBCAD， 10cmABDCDPPC， 在RtAPB中，1
31、0cm,8cmABAP， 221086 cmBP ， ABP的周长6 8 1024 cm 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键 22. 某工厂计划生产 A、B两种产品共 10 件，其生产成本和利润如下表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利 14万元，问 A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于 35 万元，且获利多于 14 万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润 【22 题答案】 【答案】 （1）
32、A产品 8 件，B 产品 2 件； （2）方案，A种产品 5 件，则 B种产品 5件；方案，A种产品6 件，则 B 种产品 4 件；方案，A 种产品 7 件，则 B 种产品 3 件； （3）方案获利最大，最大利润为 20万元； 【解析】 【分析】 （1）设生产 A种产品 x件，则生产 B 种产品有（10 x）件，根据计划获利 14 万元，即两种产品共获利 14 万元，即可列方程求解； （2）根据计划投入资金不多于 35万元，且获利多于 14 万元，这两个不等关系即可列出不等式组，求得 x的范围，再根据 x是非负整数，确定 x的值，x的值的个数就是方案的个数； （3）得出利润 y与 A 产品数量
33、 x 的函数关系式，根据增减性可得，B产品生产越多，获利越大，因而 B取最大值时，获利最大，据此即可求解 【详解】解： （1）设生产 A种产品 x 件，则生产 B种产品（10 x）件， 依题意得：x3（10 x）14， 解得 x8， 则 10 x2， 答：生产 A产品 8件，生产 B 产品 2 件； （2）设生产 A产品 y件，则生产 B 产品（10y）件 25(10) 353(10)14xyxy， 解得：5y8 因为 x 为正整数，故 x5，6或 7； 方案，A种产品 5 件，则 B 种产品 5件； 方案，A种产品 6 件，则 B 种产品 4件； 方案，A种产品 7 件，则 B 种产品 3件
34、 （3）设 A种产品 x件时，获得的利润为 W 万元，则 Wx3（10 x）2x30， 因为20，所以 W随 x的增大而减小， 所以，当 x5 时，W取得最大值为 20， 所以，生产方案获利最大，最大利润为 20 万元 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数在实际问题中的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系以及一次函数的性质是解决此题的关键 23. 如图，在梯形 ABCD中，ADBC，B=90 ，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点 Q 从点 A出发以 1cm/s的速度向点 D 运动，点 P从点 B出发沿 BC方向以 2cm/s 的速度向点 C
35、运动，P，Q两点同时出发，当点 P到达点 C 时，两点同时停止运动，设运动时间为 t秒 （1）当 t等于多少时，四边形 ABPQ 的面积为 18cm2； （2）若以 P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求 t的值； （3）当 0t 0，a2 0，an 0，m 0时，若 a12 + a22 + + an2 = m2，则 a1+ a2 + + an，与 m 之间的数量关系是 _ 问题解决 小明家住 16楼一天，他要把一根 3 米长的竹竿放入电梯带回家中如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图示） ，那么，电梯的长、宽、高和的最大值是_米 拓展延伸 公园准备修建一个四边形水池，边长分别为 a 米，b米
36、，c 米，d米分别以水池四边为边向外建四个正方形花圃，若花圃面积和为 400平方米，则水池的最大周长为_米 【24 题答案】 【答案】探究 2：3；3；探究 3：2a b cde ；归纳结论12naaanm；问题解决33；拓展延伸40 【解析】 【分析】探究 2，根据 a2 + b2 + c2 = d2，即可合并，再根据完全平方公式即可得到结论； 探究 3，根据 a2 + b2 + c2 +d2=e2，仿照探究 1,2的结论即可求解； 归纳结论根据探究 1,2,3故可得到结论； 问题解决由探究得到的结论及长2+宽2+高2=32，故可代入求解； 拓展延伸由探究得到的结论及 a2+b2+c2+d2
37、=400，故可代入求解 【详解】探究 2，在四边形 ABCD 中，AC是对角线，ABBC，ACCD若 AB = a，BC = b，CD = c，AD = d，则 a + b + c与 d之间有什么数量关系？ 解：ABBC，ACCD BC2 + AB2 = AC2，AC2 + CD2 = AD2 a2 + b2 + c2 = d2 （a-b）20， （a-c）20， （b-c）20 a2 + b22ab，a2 + c22ac，b2 + c22bc 将上面三式相加得，2a2 + 2b2 + 2c22ab + 2ac + 2bc 2d22ab + 2ac + 2bc 2d2 + a2 + b2 +
38、c22ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2 3d2（a+b+c）2 a，b，c，d均大于 0 a + b + c与 d 之间有这样的数量关系：a + b + c3d 探究 3：在五边形 ABCDE 中，ABBC，ACCD，ADDE BC2 + AB2 = AC2，AC2 + CD2 = AD2 ，AD2 + ED2 = AE2 由 AB = a，BC = b，CD = c，DE = d，AE = e， 可得 a2 + b2 + c2 +d2=e2， a + b + c + d42ee a + b + c + d与 e 之间的数量关系是2a b cde ； 归纳结论 a2
39、+ b2 + c2 = d2，a，b，c，d均大于 0，可得 a + b + c3d； a2 + b2 + c2 +d2=e2，a，b，c，d，e 均大于 0，可得2a b cde 当 a1 0，a2 0，an 0，m 0 时，若 a12 + a22 + + an2 = m2，则 a1+ a2 + + an，与 m 之间的数量关系是：12naaanm； 问题解决由题意及勾股定理可得长2+宽2+高2=32 长+宽+高3 3=33， 电梯的长、宽、高和的最大值是 33米； 拓展延伸根据题意及正方形的面积可得 a2+b2+c2+d2=400， 440040abcd ， 则水池的最大周长为 40米； 【点睛】此题主要考查勾股定理的探究应用，解题的关键是熟知勾股定理及完全平方公式的运用
