1、2022年湖北省鄂州市梁子湖区中考二模考试数学试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的绝对值是（ ）A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图是( )A. B. C. D. 4. 下列几何图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 角B. 等腰三角形C. 平行四边形D. 正八边形5. 若点A（3，a），B（1，b），C（2，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）A. bacB. cbaC. cabD. abc6. 如图，用尺规作AOB的平分线可以按如下步骤进行：以点O为圆心，
2、线段m为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；分别以点M，N为圆心，线段n为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C；画射线OC射线OC即为所求以下关于线段m，n的长说法正确的是（ ）A. m0，n0B. m0，nMNC. m0，nMND. 以上都不对7. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务时间举行趣味运动会在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是（ ）A. B. C. 14D. 168. 如图，点A，B，C，D在O上，AO
3、BC于点E，若BDC150，AE长为2+，则弦BC的长为（ ）A. 2B. C. 2D. 49. 次函数yax2+bx+c的部分图像如图，其对称轴是直线x1下列结论：abc0；b24ac；4a2bc0；3b2c0；关于x的一元二次方程ax2bxca（a0）有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 510. 如图，在RtABC中，C90，AB10，BC8，点F是AC上一点，且AFFC21，点E是边BC上一动点将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（ ）A. 1.2B. 1C. D. 3.2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共
4、18分）11. 计算的结果是_.12. 学校志愿者协会组织图书义卖活动，将所售款项捐赠给山区贫困学生在这次义卖活动中，九（2）班共售书50本，具体情况如下表：售价（元/本）3456数目（本）12111215在该班所售图书价格组成的一组数据中，中位数是_13. 一元二次方程x22x60的两根分别为x1，x2，则x12x22的值为_14. 如图，菱形OABC一个顶点A在反比例函数的图象上，且AB4，B60，则k的值为_15. 在半径为2的O中，弦AB长为，点C为O上一点且不与点A，B重合，则ACB的度数为_16. 如图，正方形ABCD的边长为8，E是边BC上一动点（与B，C不重合），连接AEG是B
5、C延长线上一点，过点E作AE的垂线交DCG的平分线于点F，则CEF面积的最大值是_三、解答题（本大题共8小题，共72分）17. 先化简，再求值： ，其中m218. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AEBF连接DE，AF交于点G（1）求证：DEAF；（2）若点E，F分别为边AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为过点B作BHAF于点H，求线段GH的长19. 疫情防控，人人有责为了增强未成年学生的疫情防控意识，某中学举行了一次疫情防控知识竞赛活动（竞赛成绩为百分制）数学兴趣小组随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行了统计分析，制作了如下不完整的频数分布表请根据表中信息完成下列问题
6、：竞赛成绩分组频数频率A组（60x70）a0.20B组（70x80）140.28C组（80x90）22b D组（90x100）40.08（1）数学兴趣小组共抽取了 名学生竞赛成绩进行了统计分析，频数分布表中a ，b ；（2）若该校共有1 500名学生参加了这次知识竞赛活动，估计该校参赛成绩不低于80分的有 人；（3）学校要从D组甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人担任“疫情防控宣传员”，请用画树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率20. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”,例如，点（2，2）是函数y2x2的图象的“等值点”（1）函数y2x2的图象的“等值
7、点”坐标是 ；函数yx23x的图象的“等值点”坐标是 ；（直接填结果）（2）设函数y=，yxb图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BCx轴，垂足为C当ABC的面积为4时，求b的值21. 如图，梁子湖区天空之境景区为了方便游客行走准备修建一条南北走向的栈道CD，景区道路MN与CD平行在景区道路MN上的点A处测得栈道的一端C位于北偏西30方向，沿景区道路MN向正北方向行走6 km到达点B，测得栈道的一端C位于北偏西45方向，栈道的另一端D位于南偏西75方向（1）求点B到点C距离；（2）求栈道CD的长度22. 如图，PB是O的切线，切点为B，点A在O上，且PAPB连接AO并延长交O于点C，交直线
8、PB于点E，连接OP（1）求证：PA是O的切线；（2）求证：2ECPBACEB；（3）若EB长为4，sinAEP，求线段OP的长23. 通过构造恰当图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用【理解应用】如图1，ACBC，CDAB，垂足分别为C，D，E是AB的中点，连接CE已知ADa，BDb（0ab）（1）线段CE ，CD （用含a，b代数式表示；（2）比较大小：CD CE（填“”、“”或“”），并用含a，b的代数式表示该大小关系为 ；【拓展应用】如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M，N在反比例函数的图象上，横坐标分别为m，n设p
9、=m+n，记 （3）当m1，n4时，l ；当m3，n3时，l ；（4）通过归纳猜想，可得l的最小值是 请利用图2构造恰当的图形，说明你的猜想成立24. 如图1，平面直角坐标系xOy中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线yx2bxc经过点A、点C，且与x轴交于另一点B，连接BC（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点当点P在直线AC下方的抛物线上运动时，如图2，连接AP，CP求四边形ABCP面积的最大值及此时点P的坐标；当点P在x轴上方的抛物线上运动时，过点P作PMx轴于点M，连接BP是否存在点P，使PMB与AOC相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由20
10、22年湖北省鄂州市梁子湖区中考二模考试数学试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 的绝对值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据绝对值的性质计算即可得出答案【详解】由题意得：故选：B【点睛】本题考查了绝对值，解题关键是熟练掌握绝对值的性质2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法法则逐项分析判断即可【详解】解：A. 与不是同类项，不能进行合并运算，该选项不符合题意；B. ，该选项不符合题意；C. ，该选项不符合题意；D. ，该选项运算正确，符合题意故选：D【点睛】本
11、题主要考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法法则等知识，解题关键是熟练掌握相关运算法则3. 如图所示的几何体的俯视图是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中【详解】解：从上往下看，得一个长方形，由3个小正方形组成故选B【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图4. 下列几何图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 角B. 等腰三角形C. 平行四边形D. 正八边形【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可求得答案【详解】解：A.角是轴对称图形不是中心对称图
12、形，故本选项不符合题意；B.等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D.正八边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选D【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握其概念是解题的关键5. 若点A（3，a），B（1，b），C（2，c）都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（ ）A. bacB. cbaC. cabD. abc【答案】C【解析】【分析】先根据反比例函数中k0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论【详解】反比例函数，函数图象的
13、两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小-30，-10，A（-3，a），B（-1，b）位于第三象限，a0，b0，-3-10，0ab20，点C（2，c）位于第一象限，c0，bac故选：C【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键6. 如图，用尺规作AOB的平分线可以按如下步骤进行：以点O为圆心，线段m为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；分别以点M，N为圆心，线段n为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C；画射线OC射线OC即为所求以下关于线段m，n的长说法正确的是（ ）A. m0，n0B. m0，
14、nMNC. m0，nMND. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】根据基本作图（作一个角的平分线）的方法和步骤进行判断【详解】解：利用尺规作图作一个角的平分线，其步骤为：第一步，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；第二步，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在AOB的内部相交于点C；第三步，画射线OC，射线OC即为AOB的平分线故选：C【点睛】本题主要考查了尺规作图（作一个角的平分线）的知识，熟练掌握基本尺规作图方法和步骤是解题关键7. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务时间举行趣味运动会在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，
15、两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是（ ）A. B. C. 14D. 16【答案】B【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲20秒跑完80米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑8秒钟跑的路程之和为80米，从而可以求得乙的速度，然后用80除以乙的速度，即可得到t的值【详解】由图象可得，甲的速度为8020=4（米/秒），乙的速度为：808-4=10-4=6（米/秒），则t=，故选：B【点睛】本题考查函数图像，解答本题的关键是求出甲、乙的速度8. 如图，点A
16、，B，C，D在O上，AOBC于点E，若BDC150，AE长为2+，则弦BC的长为（ ）A. 2B. C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】连接AB，AC，OB，OC，可得OBC是等边三角形，BOE30，设O的半径为r，求出OE，然后根据AE长求出r即可解决问题【详解】解：如图，连接AB，AC，OB，OC，BDC150，BAC18015030，BOC2BAC60，OBOC，OBC是等边三角形，OEBC，BOE30，设O的半径为r，则OAOBr，在RtOBE中，BE，OE，AEOAOEr2+，r2，即OB2，BCOB2，故选：A【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，等边三角形的判定和性质
17、，勾股定理等知识，作出合适的辅助线求出半径r是解题的关键9. 次函数yax2+bx+c的部分图像如图，其对称轴是直线x1下列结论：abc0；b24ac；4a2bc0；3b2c0；关于x的一元二次方程ax2bxca（a0）有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的图像与性质逐一分析即可，由开口方向可以判断，由对称轴可以判断，令x=2可以判断，令x=-1可以判断，联合直线y=a可以判断【详解】解：图像开口向下，a0，对称轴是直线x=1，图像与y轴交点在y轴正半轴，c0，abc0错误；由图像可知抛物线与x轴有两个交点，成立；当
18、x=2时，成立；由图可知，当x=-1时，y0，3b-2c0成立；a0，抛物线与直线y=a有两个交点，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根成立，故选：C【点睛】本题考查了抛物线的图像与性质，解题关键是能根据图像的开口方向、图像与坐标轴的交点等情况求出解析式中的字母参数的取值条件10. 如图，在RtABC中，C90，AB10，BC8，点F是AC上一点，且AFFC21，点E是边BC上一动点将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（ ）A. 1.2B. 1C. D. 3.2【答案】A【解析】【分析】延长FP交AB于M，当FPAB时，点P到AB的距离最小，证明AFMAB
19、C，根据相似比的性质得到，求出FM，即可解决问题【详解】解：如图，延长FP交AB于M，当FPAB时，点P到AB的距离最小(点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FPAB时，点P到AB的距离最小)AA，AMFC90，AFMABC，AB=10，BC=8，C=90，AC=6，AF：FC=2：1，CF=2，AF=4，解得：FM3.2，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，PFCF2，PMFM-PF=1.2，点P到边AB距离的最小值是1.2故选：A【点睛】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共1
20、8分）11. 计算的结果是_.【答案】3【解析】【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.【详解】=3，故答案为3.【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.12. 学校志愿者协会组织图书义卖活动，将所售款项捐赠给山区贫困学生在这次义卖活动中，九（2）班共售书50本，具体情况如下表：售价（元/本）3456数目（本）12111215在该班所售图书价格组成的一组数据中，中位数是_【答案】5元【解析】【分析】根据中位数的概念求解【详解】解：共有50本图书，从小到大排列第25本和第26本图书价格的平均值为中位数，即中位数为：=5（元）故答案为：5元【点睛】本题考查了中位数的知
21、识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数13. 一元二次方程x22x60的两根分别为x1，x2，则x12x22的值为_【答案】16【解析】【分析】利用根与系数的关系得到两根的和与积，再将所求代数式变形转换为积与和的形式即可求解【详解】解：由题可知：，故答案为：16【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，解题关键是牢记根与系数的关系，即的两根之和为，两根之积为14. 如图，菱形OABC的一个顶点A在反比例函数的图象上，且AB4，B
22、60，则k的值为_【答案】【解析】【分析】过点作于，连接，根据题意可得和为等边三角形，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求得，则可求得点的坐标，代入反比例函数可求得k的值【详解】解：过点作于，连接，如图所示，由菱形OABC，AB4，B60，和为等边三角形，在中，点的坐标为，解得，k的值为，故答案为：【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、菱形的性质、等边三角形的性质、勾股定理，解题关键求出点的坐标15. 在半径为2的O中，弦AB长为，点C为O上一点且不与点A，B重合，则ACB的度数为_【答案】60或120【解析】【分析】如图，当点在优弧上时，作于，根据垂径定理得，在中利用锐角三角函数
23、可求出，则根据三角形内角和定理得到，然后根据圆周角定理求解，当点在劣弧上时，利用圆内接四边形的性质求解即可【详解】解：如图，当点在优弧上时，作于，则在中，当点在劣弧上时，综上所述，的度数为或故答案为：60或120【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形、三角函数的定义及特殊角的三角函数值，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；圆内接四边形的对角互补；会运用垂径定理构建直角三角形，记住特殊角的三角函数值是解题关键16. 如图，正方形ABCD的边长为8，E是边BC上一动点（与B，C不重合），连接AEG是B
24、C延长线上一点，过点E作AE的垂线交DCG的平分线于点F，则CEF面积的最大值是_【答案】8【解析】【分析】先根据正方形的性质和角平分线的性质证明出FG=CG，设CE=x，则BE=8-x，再利用同角的余角相等，判断出BAE=FEG，进而得出ABEEGF，得出，然后求出FG=8-x，再根据三角形的面积公式求出ECF的面积，再根据函数的性质求最值【详解】过F作FGBC于G，四边形ABCD是正方形，DCB=DCG=90，CF是DCG的角平分线，FCG=45，FGBG，CFG=45，FG=CG，设CE=x，则BE=8-x，EG=CE+CG=x+FG，四边形ABCD是正方形，EFAE，B=G=AEF=9
25、0，BAE+AEB=90，AEB+FEG=90，BAE=FEG，B=G=90，BAEGEF；，FG=8-x，SECF=CEFG=x（8-x）=-（x2-8x）=-（x-4）2+8，-0，当EC=4时，SECF最大=8故答案为：8【点睛】主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式以及二次函数求最值，判断出BAEGEF是解本题的关键三、解答题（本大题共8小题，共72分）17. 先化简，再求值： ，其中m2【答案】，1【解析】【分析】把分式的除法转化为乘法，进行约分，再计算分式的加法，最后代入相应的值运算即可【详解】解：原式；当m2时，原式【点睛】本题主要考查分式的化
26、简求值，解答的关键是对分式相应的运算法则的掌握与应用18. 如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AEBF连接DE，AF交于点G（1）求证：DEAF；（2）若点E，F分别为边AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为过点B作BHAF于点H，求线段GH的长【答案】（1）见解析 （2）2【解析】【分析】(1)根据正方形的性质，运用互余的性质，证明DAEABF，后利用互余性质证明即可(2)根据正方形的性质，利用三角函数，平行线分线段成比例定理求解即可【小问1详解】四边形ABCD是正方形，AD=BA，DAE=ABF=90， AE=BF，DAEABF（SAS），EAG=ADG， EAG+
27、GAD=90，ADG+GAD=90， AGD=90， DEAF【小问2详解】 四边形ABCD是正方形，AD=BA=BC，DAE=ABF=90，点E，F分别为边AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为AE=BF=，DAEABF（SAS），EAG=ADG， EAG+GAD=90，ADG+GAD=90， AGD=90， DEAF，tanADE=tanEAG=.， ，解得AG=2， BHAF，EGBH，AE=EB，GH=AG=2.【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，平行线分线段成比例定理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角函数，平行线分线段成比例定理是解题的关键19. 疫
28、情防控，人人有责为了增强未成年学生的疫情防控意识，某中学举行了一次疫情防控知识竞赛活动（竞赛成绩为百分制）数学兴趣小组随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行了统计分析，制作了如下不完整的频数分布表请根据表中信息完成下列问题：竞赛成绩分组频数频率A组（60x70）a0.20B组（70x80）140.28C组（80x90）22b D组（90x100）4008（1）数学兴趣小组共抽取了 名学生的竞赛成绩进行了统计分析，频数分布表中a ，b ；（2）若该校共有1 500名学生参加了这次知识竞赛活动，估计该校参赛成绩不低于80分的有 人；（3）学校要从D组甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人担任“疫情防控宣传员”
29、，请用画树状图或列表法求恰好选到甲和乙的概率【答案】（1）50，10，0.44 （2）780 （3）【解析】【分析】（1）根据组的频数与频率求得总数，根据总数求得,；（2）用1500乘以所占比例的和，即可求解；（3）根据列表法求概率即可求解【小问1详解】解：总数为：（人），故答案为：50，10，0.44；【小问2详解】故答案为：780；【小问3详解】列表如下，甲乙丙丁甲甲乙甲丙甲丁乙乙甲乙丙乙丁丙丙甲丙乙丙丁丁丁甲丁乙丁丙恰好选到甲和乙的概率为【点睛】本题考查了频数分布表，样本估计总体，列表法求概率，掌握以上知识是解题的关键20. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函
30、数图象的“等值点”,例如，点（2，2）是函数y2x2的图象的“等值点”（1）函数y2x2的图象的“等值点”坐标是 ；函数yx23x的图象的“等值点”坐标是 ；（直接填结果）（2）设函数y=，yxb图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BCx轴，垂足为C当ABC的面积为4时，求b的值【答案】（1）（2，2）；（0，0），（4，4） （2）8或-4【解析】【分析】（1）根据“等值点”的定义计算即可；（2）先根据“等值点”的定义求出A、B、C的坐标，再表示出ABC的面积列方程，求解即可【小问1详解】（1）当时，函数y2x2的图象的“等值点”坐标是（2，2）当时，解得，或函数yx23x的图象的“等值
31、点”坐标是（0，0），（4，4）故答案是：（2，2），（0，0），（4，4）；【小问2详解】当时，函数的图象的“等值点”A坐标是（2，2）当时，函数的图象的“等值点”B坐标是BCx轴，垂足为CC点坐标为，点A到BC的距离为整理得解得【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用、解一元二次方程，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义21. 如图，梁子湖区天空之境景区为了方便游客行走准备修建一条南北走向的栈道CD，景区道路MN与CD平行在景区道路MN上的点A处测得栈道的一端C位于北偏西30方向，沿景区道路MN向正北方向行走6 km到达点B，测得栈道的一端C位于北偏西4
32、5方向，栈道的另一端D位于南偏西75方向（1）求点B到点C的距离；（2）求栈道CD的长度【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）过C作CEAB于E，在RtACE得到，在RtBCE得到，即可利用AB=AE-BE求出CE的长，进而求出点B到点C的距离（2）先求得，再过D作DFBC于F，解BCD即可【小问1详解】过C作CEAB于E由题意得：，在RtACE中，在RtBCE中，解得点B到点C的距离小问2详解】过D作DFBC于F由题意得：，解得【点睛】此题考查了三角函数的实际应用中的方向角问题注意准确构造直角三角形是解此题的关键22. 如图，PB是O的切线，切点为B，点A在O上，且PAPB连接AO并延
33、长交O于点C，交直线PB于点E，连接OP（1）求证：PA是O的切线；（2）求证：2ECPBACEB；（3）若EB长为4，sinAEP，求线段OP的长【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】分析】（1）连接OB，证OAPOBP，求出OAP=OBP=90即可；（2）连接BC，证明OPBC，可得，然后根据OC=AC可得结论；（3）首先根据EB的长和sinAEP的值求出OE和OB，进而可得EC的值，然后利用（2）中结论求出PB即可解决问题【小问1详解】证明：连接OB，PAPB，POPO，OAOB，OAPOBP （SSS），OAP=OBP，PB是O的切线，PBOB，即OBP90，OAP90，即
34、PAOA，PA是O的切线；【小问2详解】连接BC，则AOB2ACB，OAPOBP，AOPBOP，AOB2AOP，ACBAOP，OPBC，OC=AC，2ECPBACBE；【小问3详解】OBE90，sinAEP=，设OB3x，则OE5x，EB4x，cosAEP=，EB=4，OE5，OB=OC=3，EC=2，由（2）可得：2ECPBACEB ，即22PB64，PB=6，OP=【点睛】本题考查了切线判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形以及勾股定理等知识，能够作出合适的辅助线进行推理判断是解题的关键23. 通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等
35、进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用【理解应用】如图1，ACBC，CDAB，垂足分别为C，D，E是AB的中点，连接CE已知ADa，BDb（0ab）（1）线段CE ，CD （用含a，b的代数式表示；（2）比较大小：CD CE（填“”、“”或“”），并用含a，b的代数式表示该大小关系为 ；【拓展应用】如图2，在平面直角坐标系xOy中，点M，N在反比例函数的图象上，横坐标分别为m，n设p=m+n，记 （3）当m1，n4时，l ；当m3，n3时，l ；（4）通过归纳猜想，可得l的最小值是 请利用图2构造恰当的图形，说明你的猜想成立【答案】（1），；（2），；（3） ，
36、1；（4）1，图及证明见解析【解析】【分析】（1）利用相似三角形的性质求出，利用直角三角形斜边中线的性质求出（2）根据垂线段最短，可得结论（3）根据，的值代入计算即可（4）如图2中，过点作轴于，轴于，过点作轴于，轴于，连接，取的中点，过点作轴于，轴于，则，根据反比例函数的几何意义，求解即可【详解】（1）如图1中，故答案是：，；（2），根据垂线段最短可知，即，故答案为：，；（3）当m1，n4时，；当m3，n3时，；故答案为： ，1；（4）猜想：的最小值为1故答案为：1理由：如图2中，过点作轴于，轴于，过点作轴于，轴于，连接，取的中点，过点作轴于，轴于，则，当时，点在反比例函数图象的上方，矩形的面
37、积，当时，点落在反比例函数的图象上，矩形的面积，矩形的面积，即，的最小值为1【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解反比例函数的几何意义，属于中考压轴题24. 如图1，平面直角坐标系xOy中，直线yx2与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线yx2bxc经过点A、点C，且与x轴交于另一点B，连接BC（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点当点P在直线AC下方的抛物线上运动时，如图2，连接AP，CP求四边形ABCP面积的最大值及此时点P的坐标；当点P在x轴上方的抛物线上运动时，过点P作PMx轴于点M，
38、连接BP是否存在点P，使PMB与AOC相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）四边形ABCP面积的最大值为8，此时点P为（2，2）；存在符合条件的点P，点P坐标为（6，4）或（12，28）或（4，4）【解析】【分析】（1）结合题意，根据一次函数图像的性质，分别得、，再根据二次函数的性质列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）根据题意，得四边形ABCP面积，通过一次函数平移、二次函数、一元二次方程的性质，计算得时，四边形ABCP面积最大值，从而完成求解；根据相似三角形、二次函数图像的性质，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案【小问1详解】根据题意，当时
39、，得， ，即， 当时，即， 抛物线yx2bxc经过点A、点C， ， 抛物线的解析式为：；【小问2详解】当时，得， 或 抛物线yx2bxc经过点A，且与x轴交于另一点B， ， ， 根据题意，得四边形ABCP面积， ， 当取最大值时，四边形ABCP面积取最大值点P在直线AC下方的抛物线上运动将直线yx2向下平移，得直线 当直线和抛物线相交并且只有一个交点时，点P距离直线yx2最远，即取最大值， ， ， ， ，取最大值时，得， 四边形ABCP面积最大值；根据（2）的结论，得、， ， 点P在x轴上方的抛物线上运动，分和两种情况分析，当时， ， PMB与AOC相似，或， 当时，得， 或（舍去），将代入到，得， 点P坐标为（6，4）；当时，得， 或（舍去），将代入到，得， 点P坐标为（12，28）；当时， ， PMB与AOC相似，或， 当时，得， 或（舍去），和矛盾，不符合题意；当时，得， 或（舍去），将代入到，得， 点P坐标为（4，4）；存在符合条件的点P，点P坐标为（6，4）或（12，28）或（4，4）【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、平移、相似三角形、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程的性质，从而完成求解
