1、 2022 年湖北省武汉市江岸区中考模拟年湖北省武汉市江岸区中考模拟数学数学试卷（一）试卷（一） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 30 分）分） 1 （3 分）一个数的相反数是2022，则这个数是（ ） A2022 B2022 C D 2 （3 分）下列调查适合采用抽样调查的是（ ） A某公司招聘人员，对应聘人员进行面试 B调查一批节能灯泡的使用寿命 C为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查 D对乘坐某次航班的乘客进行安全检查 3 （3 分）要制作一个“爱我中华”的展板，如图所示，用 KT 板制作的“中”字的俯视图是（ ） A B C D 4 （3 分）下列
2、计算结果是 x5的为（ ） Ax10 x2 Bx2x3 C （x2）3 Dx6x 5 （3 分）下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 6 （3 分）已知点（x1，y1） 、 （x2，y2） 、 （x3，y3）都在反比例函数的图象上，若 x10 x2x3，则 y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y1y3 Dy3y2y1 7 （3 分）A，B 两地相距 640km，甲、乙两辆汽车从 A 地出发到 B 地，均匀速行驶，甲出发 1 小时后，乙 出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距 s（km） ，甲行驶的时间为 t（h）
3、，s 与 t 的关系如图所示，下列说法： 甲车行驶的速度是 60km/h，乙车行驶的速度是 80km/h； 乙出发 4h 后追上甲； 甲比乙晚到h； 甲车行驶 8h 或 9h，甲，乙两车相距 80km； 其中正确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8 （3 分）如图，某景区有 A，B，C 三个入口，D，E 两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从 A 或 B 入口进入，从 D 出口离开的概率是（ ） A B C D 9 （3 分）如图，已知平面直角坐标系内三点 A（3，0） 、B（5，0） 、C（0，4） ，P 经过点 A、B、C，则点 P 的
4、坐标为（ ） A （6，8） B （4，5） C （4，） D （4，） 10 （3 分）二次函数 y（xa） （xb）2（ab）与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 m 和 n，且 mn，下列结论正确的是（ ） Amanb Bambn Cmabn Damnb 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 11 （3 分）化简： 12 （3 分） 甲、 乙两名同学进行跳高测试， 每人 10 次跳高的平均成绩恰好是 1.6 米， 方差分别是 S甲21.2，S乙20.5，则在本次测试中， 同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”） 13 （3 分）计算的结果是 14 （3
5、 分）某兴趣小组同学借助无人机航拍测量某公园内一座古塔高度如图，无人机在距离地面 168 米的 A 处，测得该塔底端点 B 的俯角为 40 ，然后向古塔方向沿水平面飞行 50 秒到达点 C 处，此时测得该塔顶端点 D 的俯角为 60 已知无人机的飞行速度为 3 米/秒，则这座古塔的高度约为 米（参考计算：sin40064cos40077tan400.84.1.41.1.73结果精确到 0.1 米） 15 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线 x1，给出下列结论：abc0；若点 C 的坐标为（1，2） ，则ABC 的面积可以等于 2
6、；M（x1，y1） ，N（x2，y2）是抛物线上两点（x1x2） ，若 x1+x22，则 y1y2；若抛物线经过点（3，1） ，则方程 ax2+bx+c+10 的两根为1，3其中正确结论的序号为 16 （3 分）如图，ABC 中，ABAC10，tanA2，BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则CD+BD 的最小值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 （8 分）按要求解不等式组： （1）解不等式得： ； （2）解不等式得： ； （3）将两个不等式的解表示在数轴上： （4）则不等式组的解集为： 18 （8 分）如图：已知 ABCD
7、，12110 ，A50 （1）求证：BCDE； （2）求C 的度数 19 （8 分）某校组织学生参加“新冠肺炎”防疫知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成 A，B，C，D，E 五个小组，绘制统计图如下（未完成） ，解答下列问题： （1）样本容量为 ，频数分布直方图中 a ； （2）扇形统计图中 E 小组所对应的扇形圆心角为 n ，求 n 的值并补全频数分布直方图； （3）若成绩在 80 分以上（不含 80 分）为优秀，全校共有 3000 名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？ 20 （8 分）如图，AB 是O 的直径，弦 DE 垂直平分半径 OA，C 为垂足，弦 DF
8、与半径 OB 相交于点 P， 连接 EF、EO，若 DE2，DPA45 （1）求O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积 21 （8 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 A（0，1） 、B（2，0） 、C（4，3） （1）在平面直角坐标系中画出ABC，则ABC 的面积是 ； （2）若点 D 与点 C 关于 y 轴对称，则点 D 的坐标为 ； （3）已知 P 为 x 轴上一点，若ABP 的面积为 4，求点 P 的坐标 22 （10 分）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据无人机上升到离地面 30 米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计
9、）竖直向上弹射一个小钢球 （忽略空气阻力） ， 在 1 秒时， 它们距离地面都是 35 米， 在 6 秒时， 它们距离地面的高度也相同 其中无人机离地面高度 y1（米）与小钢球运动时间 x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间 x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示 （1）直接写出 y1与 x 之间的函数关系式； （2）求出 y2与 x 之间的函数关系式； （3）小钢球弹射 1 秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 23 （10 分） 【问题情境】如图 1，在 RtABC 中，ACB90 ，CDAB，垂足为 D，我们可以得到如下正确结论：CD2A
10、DBD；AC2ABAD；BC2ABBD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里得在几何原本最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理” （1）请证明“射影定理”中的结论BC2ABBD 【结论运用】 （2）如图 2，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF 求证：BOFBED 若 CE2，求 OF 的长 24 （12 分）如图 1，已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） ，B（0，2）两点，顶点为 D （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，将OAB 沿 AB 翻折到EAB，直线
11、 AE 交抛物线于 P 点，求直线 AP 的解析式； （3）如图 1，将OAB 绕点 A 顺时针旋转 90 后，点 B 落到点 C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点C，设平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 B1，顶点为 D1，若点 N 在平移后的抛物线上，且满足NBB1的面积是NDD1面积的 2 倍，求点 N 的坐标 参考答案参考答案解析解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 30 分）分） 1 （3 分）一个数的相反数是2022，则这个数是（ ） A2022 B2022 C D 【分析】根据相反数的定义即可得出答案 【解答】解：2022 的相反数是 2
12、022， 故选：A 2 （3 分）下列调查适合采用抽样调查的是（ ） A某公司招聘人员，对应聘人员进行面试 B调查一批节能灯泡的使用寿命 C为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查 D对乘坐某次航班的乘客进行安全检查 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答 【解答】解：A、某公司招聘人员，对应聘人员进行面试适合采用全面调查； B、调查一批节能灯泡的使用寿命适合采用抽样调查； C、为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查适合采用全面调查； D、对乘坐某次航班的乘客进行安全检查适合采用全面调查； 故选：B 3 （3 分）要制作一个“
13、爱我中华”的展板，如图所示，用 KT 板制作的“中”字的俯视图是（ ） A B C D 【分析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可 【解答】解：这个几何体的俯视图为： 故选：C 4 （3 分）下列计算结果是 x5的为（ ） Ax10 x2 Bx2x3 C （x2）3 Dx6x 【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方的性质，以及合并同类项法则进行计算 【解答】解：A、x10 x2x8，故此选项不合题意； B、x2x3x5，故此选项符合题意； C、 （x2）3x6，故此选项不合题意； D、x6和 x 不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； 故选：B 5 （3 分）下列生活垃圾分类标志中，既
14、是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意 故选：B 6 （3 分）已知点（x1，y1） 、 （x2，y2） 、 （x3，y3）都在反比例函数的图象上，若 x10 x2x3，则 y1、y2、y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y1y3 Dy3y2y
15、1 【分析】由反比例函数的增减性解题 【解答】解：k40， 函数在第一，三象限内 y 随 x 的增大而减小，且 x0 时，y0，x0 时，y0， x10 x2x3， y10y3y2， 故选：B 7 （3 分）A，B 两地相距 640km，甲、乙两辆汽车从 A 地出发到 B 地，均匀速行驶，甲出发 1 小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距 s（km） ，甲行驶的时间为 t（h） ，s 与 t 的关系如图所示，下列说法： 甲车行驶的速度是 60km/h，乙车行驶的速度是 80km/h； 乙出发 4h 后追上甲； 甲比乙晚到h； 甲车行驶 8h 或 9h，甲，乙两车相距 80km； 其中正
16、确的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据函数图象即可得到甲车行驶的速度以及乙车行驶的速度；根据函数图象即可得到乙出发 4h后追上甲；根据图象，当乙到达 B 地时，甲乙相距 100km，据此可得甲比乙晚到h；根据甲，乙两车相距 80km，列出方程进行求解即可 【解答】解：由图可得，甲车行驶的速度是 60 160km/h， 甲先出发 1h，乙出发 3h 后追上甲， 3（v乙60）60， v乙80km/h， 即乙车行驶的速度是 80km/h，故正确； 当 t1 时，乙出发，当 t4 时，乙追上甲， 乙出发 3h 后追上甲，故错误； 由图可得，当乙到达 B 地时，甲乙相距
17、 100km， 甲比乙晚到 100 60h，故正确； 由图可得，当 60t+8080（t1）时， 解得 t8； 当 60t+80640 时， 解得 t9， 甲车行驶 8h 或 9h，甲，乙两车相距 80km，故正确； 综上所述，正确的个数是 3 个 故选：C 8 （3 分）如图，某景区有 A，B，C 三个入口，D，E 两个出口，小红任选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从 A 或 B 入口进入，从 D 出口离开的概率是（ ） A B C D 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小红从入口 A，B 进入景区并从 D 出口离开的情况，再利用概率公
18、式求解即可求得答案 【解答】解：画树形图如图得： 由树形图可知所有可能的结果有 6 种， 设小红从入口 A，B 进入景区并从 E，D 出口离开的概率是 P， 小红从入口 A，B 进入景区并从 D 出口离开的有 2 种情况， P 故选：B 9 （3 分）如图，已知平面直角坐标系内三点 A（3，0） 、B（5，0） 、C（0，4） ，P 经过点 A、B、C，则点 P 的坐标为（ ） A （6，8） B （4，5） C （4，） D （4，） 【分析】根据题意可知点 P 的横坐标为 4，设点 P 的坐标为（4，y） ，根据 PAPC 列出关于 y 的方程，解方程得到答案 【解答】解：P 经过点 A、
19、B、C， 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， 点 P 的横坐标为 4， 设点 P 的坐标为（4，y） ， 作 PEOB 于 E，PFOC 于 F， 由题意得， ， 解得，y， 故选：C 10 （3 分）二次函数 y（xa） （xb）2（ab）与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 m 和 n，且 mn，下列结论正确的是（ ） Amanb Bambn Cmabn Damnb 【分析】依照题意画出二次函数 y（xa） （xb）及 y（xa） （xb）2 的大致图象，观察图象即可得出结论 【解答】解：二次函数 y（xa） （xb）与 x 轴交点的横坐标为 a、b，将其图象往下平移 2 个单位长度可得
20、出二次函数 y（xa） （xb）2 的图象，如图所示 观察图象，可知：mabn 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18 分）分） 11 （3 分）化简： 5 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出即可 【解答】解：5 故答案为：5 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法，正确掌握二次根式的性质是解题关键 12 （3 分） 甲、 乙两名同学进行跳高测试， 每人 10 次跳高的平均成绩恰好是 1.6 米， 方差分别是 S甲21.2，S乙20.5，则在本次测试中， 乙 同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”） 【分析】根据方差的意义可作出判断方差是用来衡量一组数据波
21、动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 【解答】解：S甲21.2，S乙20.5， S甲S乙， 甲、乙两名同学成绩更稳定的是乙； 故答案为：乙 13 （3 分）计算的结果是 【分析】将能因式分解的多项式进行分解，把除法化成乘法再计算 【解答】解：原式 14 （3 分）某兴趣小组同学借助无人机航拍测量某公园内一座古塔高度如图，无人机在距离地面 168 米的 A 处，测得该塔底端点 B 的俯角为 40 ，然后向古塔方向沿水平面飞行 50 秒到达点 C 处，此时测得该塔顶端点 D 的俯角为 60 已知无人机的飞行速度为 3 米/秒，则这座古塔的高度
22、约为 81.5 米（参考计算：sin40064cos40077tan400.84.1.41.1.73结果精确到 0.1 米） 【分析】作 AE地面于 E，DFAC 交 AC 的延长线于 F，根据正切的定义求出 BE，再根据正切的定义计算即可 【解答】解：作 AE地面于 E，DFAC 交 AC 的延长线于 F， 则四边形 AEBF 为矩形， BFAE168，AFBE， 在 RtAEB 中，tanABE， 则 BE200， CFAFAC20050 350， 在 RtCFD 中，tanFCD， 则 DFCFtanFCD501.7386.5， BD16886.581.5（米） 故答案为：81.5 15
23、 （3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A、B，顶点为 C，对称轴为直线 x1，给出下列结论：abc0；若点 C 的坐标为（1，2） ，则ABC 的面积可以等于 2；M（x1，y1） ，N（x2，y2）是抛物线上两点（x1x2） ，若 x1+x22，则 y1y2；若抛物线经过点（3，1） ，则方程 ax2+bx+c+10 的两根为1，3其中正确结论的序号为 【分析】根据函数的图象和性质即可求解 【解答】解：抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 ab0，而 c0，故 abc0，正确，符合题意； ABC 的面积AByCAB 22，解得：AB2，则点 A（0，0） ，即 c
24、0 与图象不符，故错误，不符合题意； 函数的对称轴为 x1，若 x1+x22，则（x1+x2）1，则点 N 离函数对称轴远，故 y1y2，故错误，不符合题意； 抛物线经过点（3，1） ，则 yax2+bx+c+1 过点（3，0） ， 根据函数的对称轴该抛物线也过点（1，0） ，故方程 ax2+bx+c+10 的两根为1，3，故正确，符合题意； 故答案为： 16 （3 分）如图，ABC 中，ABAC10，tanA2，BEAC 于点 E，D 是线段 BE 上的一个动点，则CD+BD 的最小值是 4 【分析】如图，作 DHAB 于 H，CMAB 于 M由 tanA2，设 AEa，BE2a，利用勾股定
25、理构建方程求出 a，再证明 DHBD，推出 CD+BDCD+DH，由垂线段最短即可解决问题 【解答】解：如图，作 DHAB 于 H，CMAB 于 M BEAC， AEB90 ， tanA2，设 AEa，BE2a， 则有：100a2+4a2， a220， a2或2（舍弃） ， BE2a4， ABAC，BEAC，CMAB， CMBE4（等腰三角形两腰上的高相等） ） DBHABE，BHDBEA， sinDBH， DHBD， CD+BDCD+DH， CD+DHCM， CD+BD4， CD+BD 的最小值为 4 故答案为 4 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）分
26、） 17 （8 分）按要求解不等式组： （1）解不等式得： x2 ； （2）解不等式得： x1 ； （3）将两个不等式的解表示在数轴上： （4）则不等式组的解集为： 1x2 【分析】根据不等式的性质和一元一次不等式组的解法进行解答即可 【解答】解： （1）解不等式得，x2， 故答案为：x2； （2）解不等式得，x1， 故答案为：x1； （3）将两个不等式的解表示在数轴上如下： （4）这个不等式组的解集为1x2， 故答案为：1x2 18 （8 分）如图：已知 ABCD，12110 ，A50 （1）求证：BCDE； （2）求C 的度数 【分析】 （1）利用平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行推
27、理即可； （2）利用三角形内角和求得B 的度数，再利用平行线的性质即可推出C 的度数 【解答】 （1）证明：1+AFB180 ，1110 ， AFB70 ， 2+FDE180 ，2110 ， FDE70 ， AFBFDE， BCDE； （2）解：A+AFB+B180 ， A50 ，AFB70 ， B180 AAFB60 ， ABCD， CB60 19 （8 分）某校组织学生参加“新冠肺炎”防疫知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成 A，B，C，D，E 五个小组，绘制统计图如下（未完成） ，解答下列问题： （1）样本容量为 200 ，频数分布直方图中 a 16 ； （2
28、）扇形统计图中 E 小组所对应的扇形圆心角为 n ，求 n 的值并补全频数分布直方图； （3）若成绩在 80 分以上（不含 80 分）为优秀，全校共有 3000 名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？ 【分析】 （1）根据 B 组的频数以及百分比，即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得 a 的值； （2）利用 360 乘以 E 小组所占的百分比，求出 n 的值，用总人数乘以 C 组的人数所占的百分比，从而补全统计图； （3）利用全校总人数乘以对应的百分比，即可求解 【解答】解： （1）学生总数是 40 20%200（人） ， 则 a200 8%16； 故答案为：200；16； （2）n360
29、43.2 C 组的人数是：200 25%50如图所示： （3）根据题意得： 30001410（名） 答：成绩优秀的学生有 1410 名 20 （8 分）如图，AB 是O 的直径，弦 DE 垂直平分半径 OA，C 为垂足，弦 DF 与半径 OB 相交于点 P，连接 EF、EO，若 DE2，DPA45 （1）求O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积 【分析】 （1）根据垂径定理得 CE 的长，再根据已知 DE 平分 AO 得 COAOOE，根据勾股定理列方程求解 （2）先求出扇形的圆心角，再根据扇形面积和三角形的面积公式计算即可 【解答】解： （1）直径 ABDE， CEDE1 DE 平分 AO
30、， COAOOE 设 COx，则 OE2x 由勾股定理得：12+x2（2x）2 x OE2x 即O 的半径为 （2）连接 OF， 在 RtDCP 中， DPC45 ， D90 45 45 EOF2D90 S扇形OEF EOF2D90 ，OEOF SRtOEF S阴影S扇形OEFSRtOEF 21 （8 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知 A（0，1） 、B（2，0） 、C（4，3） （1）在平面直角坐标系中画出ABC，则ABC 的面积是 4 ； （2）若点 D 与点 C 关于 y 轴对称，则点 D 的坐标为 （4，3） ； （3）已知 P 为 x 轴上一点，若ABP 的面积为 4，求点 P
31、 的坐标 【分析】 （1）直接利用ABC 所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （2）利用关于 y 轴对称点的性质得出答案； （3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案 【解答】解： （1）如图所示：ABC 的面积是：3 4 1 2 2 4 2 34； 故答案为：4； （2）点 D 与点 C 关于 y 轴对称，则点 D 的坐标为： （4，3） ； 故答案为： （4，3） ； （3）P 为 x 轴上一点，ABP 的面积为 4， BP8， 点 P 的横坐标为：2+810 或 286， 故 P 点坐标为： （10，0）或（6，0） 22 （10 分）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人
32、机测量小钢球竖直向上运动的相关数据无人机上升到离地面 30 米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球 （忽略空气阻力） ， 在 1 秒时， 它们距离地面都是 35 米， 在 6 秒时， 它们距离地面的高度也相同 其中无人机离地面高度 y1（米）与小钢球运动时间 x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度 y2（米）与它的运动时间 x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示 （1）直接写出 y1与 x 之间的函数关系式； （2）求出 y2与 x 之间的函数关系式； （3）小钢球弹射 1 秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 【分析】 （1
33、）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）当 1x6 时小钢球在无人机上方，因此求 y2y1，当 6x8 时，无人机在小钢球的上方，因此求y1y2，然后进行比较判断即可 【解答】解： （1）设 y1与 x 之间的函数关系式为 y1kx+b， 函数图象过点（0，30）和（1，35） ， 则， 解得：， y1与 x 之间的函数关系式为 y15x+30； （2）x6 时，y15 6+3060， y2的图象是过原点的抛物线， 设 y2ax2+bx， 点（1.35） ， （6.60）在抛物线 y2ax2+bx 上， ， 解得：， y25x2+
34、40 x， 答：y2与 x 的函数关系式为 y25x2+40 x； （3）设小钢球和无人机的高度差为 y 米， 由5x2+40 x0 得，x0 或 x8， 1x6 时， yy2y15x2+40 x5x305x2+35x305（x）2+ a50， 抛物线开口向下， 又1x6， 当 x时，y 的最大值为； 6x8 时，yy1y25x+30+5x240 x5x235x+305（x）2， a50， 抛物线开口向上， 又对称轴是直线 x， 当 x时，y 随 x 的增大而增大， 6x8， 当 x8 时，y 的最大值为 70， 70， 高度差的最大值为 70 米 23 （10 分） 【问题情境】如图 1，在
35、 RtABC 中，ACB90 ，CDAB，垂足为 D，我们可以得到如下正确结论：CD2ADBD；AC2ABAD；BC2ABBD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里得在几何原本最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理” （1）请证明“射影定理”中的结论BC2ABBD 【结论运用】 （2）如图 2，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF 求证：BOFBED 若 CE2，求 OF 的长 【分析】 （1）利用两个分别相等可证CBDABC，得，从而得出结论； （2）由（1）同理可得 BC2B
36、FBE，BC2BOBD，则，且OBFEBD，证明出BOFBED； 利用勾股定理求出 BE，BO 的长，由知BOFBED，得，代入即可求出答案 【解答】 （1）证明：CDAB， BDC90 ACB， CBDABC， CBDABC， ， BC2ABBD； （2）证明：四边形 ABCD 是正方形， OCBO，BCD90 ， BC2BOBD， CFBE， BC2BFBE， BOBDBFBE， 即， OBFEBD， BOFBED； 解：在 RtBCE 中，BC6，CE2， BE2， DE4，BO3， 由知BOFBED， ， ， OF 24 （12 分）如图 1，已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1
37、，0） ，B（0，2）两点，顶点为 D （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，将OAB 沿 AB 翻折到EAB，直线 AE 交抛物线于 P 点，求直线 AP 的解析式； （3）如图 1，将OAB 绕点 A 顺时针旋转 90 后，点 B 落到点 C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点 C，设平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 B1，顶点为 D1，若点 N 在平移后的抛物线上，且满足NBB1的面积是NDD1面积的 2 倍，求点 N 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法，将点 A，B 的坐标代入解析式即可求得； （2）设直线 AP 与 y 轴交于 F，根据折叠的性质得到BEF90 ，BE
38、OB2，根据相似三角形的性质得到，设 OFx，EF2x，根据勾股定理得到 OF，求得 F（0，） ，设直线 AP 的解析式的解析式为 ykx+n，求得直线 AP 的解析式 yx+； （3）根据旋转的知识可得：A（1，0） ，B（0，2） ，则 OA1，OB2，可得旋转后 C 点的坐标为（3，1） ，当 x3 时，由 yx23x+2 得 y2，可知抛物线 yx23x+2 过点（3，2） ，将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C，求得 B1，D1的坐标，根据图形分别求得即可，要注意利用方程思想 【解答】解： （1）已知抛物线 yx2+bx+c 经过 A（1，0） ，B（0，2） ， ，
39、 解得， 所求抛物线的解析式为 yx23x+2； （2）A（1，0） ，B（0，2） ， OA1，OB2， 设直线 AP 与 y 轴交于 F， 将OAB 沿 AB 翻折到EAB， BEF90 ，BEOB2， BEFAOF90 ，AFOBFE， AOFBEF， ， 设 OFx，EF2x， BF2BE2+EF2， （2+x）222+（2x）2， x，x0（不合题意舍去） ， OF， F（0，） ， 设直线 AP 的解析式的解析式为 ykx+n， ， ， 直线 AP 的解析式 yx+； （3）A（1，0） ，B（0，2） ， OA1，OB2， 可得旋转后 C 点的坐标为（3，1） ， 当 x3 时，
40、由 yx23x+2 得 y2， 可知抛物线 yx23x+2 过点（3，2） ， 将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点 C 平移后的抛物线解析式为：y2x23x+1； 点 N 在 yx23x+1 上，可设 N 点坐标为（x0，x023x0+1） ， 将 yx23x+1 配方得 y（x）2， 其对称轴为直线 x， 0 x0时，如图， S2S， 1 x02 1 （x0） ， x01， 此时 x023x0+11， N 点的坐标为（1，1） 当 x0时，如图， 同理可得 1 x02 （x0） ， x03， 此时 x023x0+11， 点 N 的坐标为（3，1） 当 x0 时，由图可知，N 点不存在， 综上，点 N 的坐标为（1，1）或（3，1）
