1、20222022 年山东省临沂市兰山区中考二模数学试题年山东省临沂市兰山区中考二模数学试题 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1. 8的算术平方根是（ ） A 4 B. 4 C. 4 D. 2 2 2. 2020 年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至 2022年 3月 25 日，累计确诊人数超过四亿七千万人，抗击疫情成为全人类共同的战役，需要继续做好疫情防控将四亿七千万用科学记数法可表示为（ ） A. 4.7 108 B. 0.47 109 C. 47 107 D. 4.7 106 3. 如图是某几何体放置在水平面上，则其俯视图是（ ）
2、A. B. C. D. 4. 如图所示，已知 AC/ED，25C，43CBE ，则BED的度数是（ ） A. 78 B. 88 C. 68 D. 58 5. 下列运算正确的是（ ） A. 2242xxx B. 224xyxy C. 623yyy D. 222()2xyxxyy 6. 在课外活动中，有 10名同学进行了投篮比赛，限每人投 10次，投中次数与人数如下表： 投中次数 6 7 8 9 10 人数 3 3 2 1 1 则这 10人投中次数的平均数和中位数分别是（ ） A. 5.7，7 B. 6.4，7.5 C. 7.4，7 D. 7.4，7.5 7. 不等式组26321054xxxx的解
3、集在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 8. 根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产 450箱，现在生产 6000 箱药品所需时间与原计划生产 4500 箱药品所需时间相同， 那么原计划平均每天生产多少箱药品?设原计划平均每天可生产 x箱药品，则下面所列方程正确的是（ ） A. 60004500450 xx B. 60004500450 xx C. 60004500450 xx D. 60004500450 xx 9. 如图， PA， PB分别切O于点 A， B， MN切O于点 C， 分别交 PA， PB 于点 M， N， 若O的半径为3
4、，PMN的周长为 6，则扇形 AOB 的面积是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在正方形 ABCD中，AB=8，点 E，F分别在边 AB，CD上，EFC=120 ，若将四边形 EBCF 沿EF 折叠，点 B 恰好落在 AD边上，则 AE 的长度为（ ） A. 83 B. 53 C. 43 D. 34 11. 在边长为 2 的正方形 ABCD 中， 对角线 AC与 BD相交于点 O， P是 BD上一动点， 过点 P作EFAC，分别交正方形的两条边于点 E，F，连接 DE，DF设BPx，DEF 的面积为 y，则能反映 y与 x之间关系的图象为（ ） A. B. C. D.
5、12. 如图，四边形 ABCD中，AB/CD，ABC=60，8ADBCCD，点 M 是四边形 ABCD内的一个动点，满足AMD=90，则点 M到直线 BC的距离的最小值为（ ） A. 4 31 B. 3 22 C. 6 34 D. 2 3 1 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 13. 在实数范围内分解因式：2m2-4=_ 14. 一次函数1ymxm的图像过点（0，2）且y随x的增大而增大，则m_. 15. 正方形 ABCD中，点O 为对角线交点，以点 C为圆心，以 OC为半径作弧，交 BC 于点 F，交 CD于点 G，以点 D
6、 为圆心，以 AD 为半径作弧，交 BD于点 E，若 AB=1，则阴影部分的面积为_ 16. 中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明， 在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法在图中，小正方形 ABCD的面积为 1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形 A1B1C1D1（如图 1） ，则正方形的面积为_；再把正方形 A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形 A2B2C2D2（如图 2） ，如此进行下去，得到的正方形 AnBnCnDn的面积为_（用含 n的式子表示，n为正整数） 三、
7、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 68分）分） 17. 计算：10( 2)27|13| 4sin60(2022) 18. 在新冠疫情的背景下，我市自 3 月 16日所有中小学纷纷转入线上教学，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题： （1）在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为_，并补全条形统计图； （2）该校共有学生 4800人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的
8、学生人数； （3）对视力“非常重视”的 4人有 A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图求出恰好抽到同性别学生的概率 19. 临沂市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 CD如图所示，一架水平飞行的无人机在 A处测得正前方河流的左岸 C处的俯角为 ，无人机沿水平线 AF方向继续飞行 60 米至 B 处，测得正前方河流右岸 D 处的俯角为 30线段 AM 的长为无人机距地面的垂直高度，点 M、C、D 在同一条直线上，其中 tan=3，MC=60 3米 （1）求无人机的飞行高度 AM； （结果保留根号） （2）求河流的宽度 CD（结果
9、精确到 1米，参考数据：21.41，31.73） 20. 如图， AB为O的直径， C， D为O上异于 A， B的两点， 连接 CD 过点 D 作 DBCF， 垂足为点 E，直线 AB 与 CE 相交于 F点 （1）若ABD=2BAC，求证：CF为O的切线； （2）若O半径为3，tanBDC=13，求 AC的长 21. 2022北京冬奥会各类机器人大显神通，为了共享绿色生活，倡导对垃圾进行归类某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人， 已知2台A型机器人和3台B型机器人同时工作3小时共分拣垃圾4.2吨，3 台 A型机器人和 4 台 B型机器人同时工作 5 小时共分拣垃圾 10 吨 （1）
10、1台 A 型机器人和 1台 B 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨? （2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批 A 型和 B 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾 20吨设购买 A 型机器人 a 台（10a45） ，B型机器人 b 台，请用含 a的代数式表示 b； （3）机器人公司的报价如下表： 型号 原价 购买数量少于 20台 购买数量不少于 20 台 A 型 20 万元/台 原价购买 打九折 B 型 12 万元/台 原价购买 打八折 在（2）的条件下，设购买总费用为 w万元，问如何购买使得总费用 w 最少？请说明理由 22. 如图，直线: l ym 与 y 轴交于点 A，直线:a
11、 yxm与 y 轴交于点 B，抛物线2yxmx的顶点为 C，且与 x轴左交点为 D（其中0m） （1）当 AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点 P 使得BOP的周长最小； （2）当点 C在直线 l上方时，求点 C到直线 l距离的最大值； （3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”当 m=2022时，求出在抛物线和直线 a 所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数 23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图 1，在等边ABC中，点 P是边 BC上任意一点，连接 AP，以 AP 为边作等边APQ，连接 CQ，BP 与 CQ数量关系是_； （2）变
12、式探究：如图 2，在等腰ABC中，AB=BC，点 P是边 BC 上任意一点，以 AP 为腰作等腰APQ，使 AP=PQ，APQ=ABC，连接 CQ，判断ABC和ACQ数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图 3，在正方形 ADBC中，点 P是边 BC 上一点，以 AP 为边作正方形 APEF，Q是正方形 APEF的中心，连接 CQ若正方形 APEF的边长为 3，CQ=1，求正方形 ADBC的边长 20222022 年山东省临沂市兰山区中考二模数学试题年山东省临沂市兰山区中考二模数学试题 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分）分） 1. 8
13、的算术平方根是（ ） A. 4 B. 4 C. 4 D. 2 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根的性质求解即可 【详解】解：8=2 2， 故选：D 【点睛】本题主要考查了算术平方根的计算，准确计算是解题的关键 2. 2020 年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至 2022年 3月 25 日，累计确诊人数超过四亿七千万人，抗击疫情成为全人类共同的战役，需要继续做好疫情防控将四亿七千万用科学记数法可表示为（ ） A. 4.7 108 B. 0.47 109 C. 47 107 D. 4.7 106 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，
14、n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正整数数 【详解】解：四亿七千万写作：470000000， 4700000004.7 108 故选：A 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值 3. 如图是某几何体放置在水平面上，则其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案 【详解】从上面看得到的图象如下 故选：B 【点睛】本题考查了简单组合
15、体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图 4. 如图所示，已知 AC/ED，25C，43CBE ，则BED的度数是（ ） A. 78 B. 88 C. 68 D. 58 【答案】C 【解析】 【分析】先利用外角与内角的关系求出CAE，再利用平行线的性质求出BED 【详解】解：CAE是ABC 的外角， CAE=CBE+C =43 +25 =68 ACED， CAE=BED=68 故选：C 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的推论和平行线的性质，掌握三角形外角与内角的关系及平行线的性质是解决本题的关键 5. 下列运算正确是（ ） A. 2242xxx B. 224xyxy C. 623yyy D.
16、 222()2xyxxyy 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式的运算法则进行逐一计算即可 【详解】解：A2222xxx，原式计算错误，故本选项不符合题意； B2224xyx y，原式计算错误，故本选项不符合题意； C624yyy，原式计算错误，故本选项不符合题意； D22222()22xyxxyyxxyy ，原式计算正确，故本选项符合题意 故选：D 【点睛】本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，需要熟练掌握性质和法则 6. 在课外活动中，有 10名同学进行了投篮比赛，限每人投 10次，投中次数
17、与人数如下表： 投中次数 6 7 8 9 10 人数 3 3 2 1 1 则这 10人投中次数的平均数和中位数分别是（ ） A. 5.7，7 B. 6.4，7.5 C. 7.4，7 D. 7.4，7.5 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据加权平均数和中位数的定义求解即可得 【详解】解：由题意可知： 这 10 人投中次数的平均数为6 37 38 29 107.410 ， 中位数为7772， 故选：C 【点睛】本题主要考查中位数，平均数，解题的关键是掌握中位数定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数
18、，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；加权平均数的定义：一般地，对于 n个数12,nx xx，我们把121()nxxxn叫做这 n个数的算术平均数，简称平均数 7. 不等式组26321054xxxx的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解得将不等式组的解集为-613x，再根据用数轴表示解集即可解得本题. 详解】263xx ，解得：6x； 21054xx，解得：13x ； 不等式组的解集是：-613x 故选 B. 【点睛】本题考查了解不等式组以及在数轴上表示解集，解本题的关键是不等式解集中是否可取等于在数轴上的不同表示. 8. 根据市场需
19、求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产 450箱，现在生产 6000 箱药品所需时间与原计划生产 4500 箱药品所需时间相同， 那么原计划平均每天生产多少箱药品?设原计划平均每天可生产 x箱药品，则下面所列方程正确的是（ ） A. 60004500450 xx B. 60004500450 xx C. 60004500450 xx D. 60004500450 xx 【答案】A 【解析】 【分析】原计划平均每天可生产 x箱药品，则现在平均每天可生产（x+450）箱药品，根据工作时间工作总量 工作效率，结合现在生产 6000 箱药品所需时间与原计划生产 450
20、0 箱药品所需时间相同，即可得出关于 x的分式方程，此题得解 【详解】解：设原计划平均每天可生产 x 箱药品，则现在平均每天可生产（x+500）箱药品， 依题意得：60004500450 xx 故选：A 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键 9. 如图， PA， PB分别切O于点 A， B， MN切O于点 C， 分别交 PA， PB 于点 M， N， 若O的半径为3，PMN的周长为 6，则扇形 AOB 的面积是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接 OA，OB，OP，由切线长定理，得 MAMC，NCNB，
21、PAPB，从而得 PA+PB=PMN的周长=6，则 PA=PB=3，再解 RtPOA 求出AOPBOP60 ， 即可得到AOB120 ，然后由扇形面积公式求解 【详解】解：连接 OA，OB，OP， 直线 PA、PB、MN分别与O相切于点 A、B、C， MAMC，NCNB，PAPB， PMN 的周长PM+PN+MC+NCPM+MA+PN+NBPA+PB6， PAPB1632 在 RtPOA 中，PA3，AO3， PO222 3PAAO， AOPBOP60 ， AOB120 ， S扇形AOB2120 ( 3)360 故选：A 【点睛】本题考查切线长定理，解直角三角形，扇形面积，利用切线长定理求出
22、PA 长从而求得AOB的度数是解题的关键 10. 如图，在正方形 ABCD中，AB=8，点 E，F分别在边 AB，CD上，EFC=120 ，若将四边形 EBCF 沿EF 折叠，点 B 恰好落在 AD边上，则 AE 的长度为（ ） A. 83 B. 53 C. 43 D. 34 【答案】A 【解析】 【分析】依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到AEB=60 ，再根据含 30 角的直角三角形的性质，即可得到 AE 的长 【详解】解：四边形 ABCD 是正方形， AB CD，A=90 ， 18060BEFEFC 将四边形 EBCF沿 EF折叠，点 B 恰好落在 AD边上， BEF=FEB=60
23、，BE=BE， AEB=180 -BEF-FEB=60 ， ABE=30 ， BE=2AE， 设 AE=x，则 BE=2x=BE， AB=8， x+2x=8， 解得83x 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含 30 角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键 11. 在边长为 2 的正方形 ABCD 中， 对角线 AC与 BD相交于点 O， P是 BD上一动点， 过点 P作EFAC，分别交正方形的两条边于点 E，F，连接 DE，DF设BPx，DEF 的面积为 y，则能反映 y与 x之间关系的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】
24、 【分析】分析，EF与 x的关系，他们的关系分两种情况，依情况来判断抛物线的开口方向 【详解】解：四边形 ABCD 是正方形，且边长为 2， 2 2ACBD，122OBODBD， 当 P在 OB上时，即02x， EFAC， BEFBAC， :EF ACBP OB， 22EFBPx， 221122 2222yEF DPxxxx， 当 P在 OD上时，即22 2x， EFAC， DEFDAC， :EF ACDP OD， 即:2 2(2 2):2EFx， 2(2 2)EFx， 2112(2 2) (2 2)4 2822yEF DPxxxx， 这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图象是
25、一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数当系数0时，抛物线开口向上；系数0时，开口向下所以由此图我们会发现，EF的取值，最大是 AC当在 AC 的左边时，EF=2BP；所以此抛物线开口向下，当在 AC 的右边时，抛物线就开口向上了 故选：B 【点睛】此题考查二次函数的性质，解题的关键是利用三角形的面积公式列出二次函数解析式解决问题 12. 如图，四边形 ABCD中，AB/CD，ABC=60，8ADBCCD，点 M 是四边形 ABCD内的一个动点，满足AMD=90，则点 M到直线 BC的距离的最小值为（ ） A. 4 31 B. 3 22 C. 6 34 D. 2 3 1 【答案】C 【解析】 【
26、分析】取 AD的中点 O，连接 OM，过点 M作 MEBC交 BC的延长线于 E，过点 O 作 OFBC于 F，交CD 于 G，则+OM MEOF，求出 OM，OF 即可解决问题 【详解】 解： 取 AD的中点 O， 连接 OM， 过点 M 作 MEBC 交 BC 的延长线于 E， 过点 O作 OFBC于 F，交 CD于 G，则+OM MEOF AMD90，AD8，OAOD， OM12AD4， ABCD， GCFB60， DGOCGF30， ADBC， DABB60， ADCBCD120， DOG30 DGO， DGDO4， CD8， CG4， OG2ODcos30 43，GF2 3，OF63
27、， MEOFOM634， 当 O，M，E 共线时，ME 的值最小，最小值为 634 故选：C 【点睛】本题考查等腰梯形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、解直角三角形、求线段最值等，通过作辅助线得出+OM MEOF是解题关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 16 分）分） 13. 在实数范围内分解因式：2m2-4=_ 【答案】2(2)(2)xx 【解析】 【分析】先提取公因式后，再用平方差公式进行分解即可 【详解】解：2m2-4 2（m2-2） 2(2)(2)xx 故答案为：2(2)(2)xx 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，掌握
28、 a2b2（a+b） （ab）是解题的关键 14. 一次函数1ymxm的图像过点（0，2）且y随x的增大而增大，则m_. 【答案】3 【解析】 【详解】分析：先把（0，2）代入解析式求出 m，然后根据一次函数的性质确定 m 的值 详解：把（0，2）代入解析式得|m1|=2，解得：m=3或1 y随 x的增大而增大，m0，m=3 故答案为 3 点睛：本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数 y=kx+b（k、b为常数，k0）是一条直线，当 k0，图象经过第一、三象限，y随 x的增大而增大；当 k0，图象经过第二、四象限，y随 x的增大而减小；图象与 y轴的交点坐标为（0，b） 15. 正方形
29、ABCD中，点O 为对角线交点，以点 C为圆心，以 OC为半径作弧，交 BC 于点 F，交 CD于点 G，以点 D 为圆心，以 AD 为半径作弧，交 BD于点 E，若 AB=1，则阴影部分的面积为_ 【答案】416 【解析】 【分析】求出由点 O，D，G围成的不规则图形面积为：2129021 141 1=2 236016S ，再求出扇形 ADE 的面积为： 2451=3608S，两者相加即可 【详解】解：由图可知：阴影部分的面积可以分成两部分：扇形 ADE，以及由点 O，D，G 围成的不规则图形面积， ABCD是正方形，且 AB=1， 22OC =，45AOE， 由点 O，D，G围成的不规则图
30、形面积为：2129021 141 1=2 236016S ， 45ADE， 扇形 ADE 的面积为： 2451=3608S， 阴影部分的面积为：1244=81616SS 故答案为：416 【点睛】本题考查求阴影部分面积，正方形性质，扇形面积公式，勾股定理，解题的关键是求出扇形 ADE的面积和由点 O，D，G 围成的不规则图形面积 16. 中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明， 在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法在图中，小正方形 ABCD的面积为 1，如果把它的各边分别延长一倍得
31、到正方形 A1B1C1D1（如图 1） ，则正方形的面积为_；再把正方形 A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形 A2B2C2D2（如图 2） ，如此进行下去，得到的正方形 AnBnCnDn的面积为_（用含 n的式子表示，n为正整数） 【答案】 . 5 . 5n 【解析】 【分析】 利用正方形 ABCD的面积为 1， 求出其边长为 1， 可求出正方形 A1B1C1D1的边长为：2212 = 5，面积为：2155S ，再求出正方形 A2B2C2D2的边长为：2252 5=5，面积为：22=5S，正方形 A3B3C3D3的边长为： 22510=5 5，面积为：233= 5 5=125=5S，
32、正方形 A4B4C4D4的边长为：225 510 5=25，面积为：244=25 =5S，依次可推出：正方形 AnBnCnDn的面积为：=5nnS 【详解】解：正方形 ABCD 的面积为 1， 其边长为 1， 把它的各边分别延长一倍得到正方形 A1B1C1D1， 正方形 A1B1C1D1的边长为：2212 = 5， 正方形 A1B1C1D1的面积：2155S ； 正方形 A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形 A2B2C2D2， 正方形 A2B2C2D2的边长为：2252 5=5， 正方形 A2B2C2D2的面积为：22=5S； 同理可得：正方形 A3B3C3D3的边长为： 22510=
33、5 5， 正方形 A3B3C3D3的面积为：233= 5 5=125=5S； 正方形 A4B4C4D4的边长为：225 510 5=25， 正方形 A4B4C4D4的面积为：244=25 =5S； 依次可推出：正方形 AnBnCnDn的面积为：=5nnS 故答案为：5；5n 【点睛】本题考查勾股定理的应用，正方形的性质，解题的关键是求出每一个正方形的边长，即可求出其面积 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 68分）分） 17. 计算：10( 2)27|13| 4sin60(2022) 【答案】22 【解析】 【分析】分别计算负整数指数幂、化简二次根式、化简绝对值、代
34、入特殊角的三角函数值、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减 【详解】解：10( 2)27|13| 4sin60(2022) 233 3314122 23 3312 312 22 【点睛】 此题考查了实数的混合运算能力， 关键是能确定准确的运算顺序， 并能对各种运算进行准确计算 18. 在新冠疫情的背景下，我市自 3 月 16日所有中小学纷纷转入线上教学，学生要面对电脑等电子产品上网课，某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题： （1）
35、在扇形统计图中，“比较重视”所占的圆心角的度数为_，并补全条形统计图； （2）该校共有学生 4800人，请你估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数； （3）对视力“非常重视”的 4人有 A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图求出恰好抽到同性别学生的概率 【答案】 （1）162 ，补全统计图见解析； （2）160人； （3）13 【解析】 【分析】 （1）先由“不重视”的学生人数和所占百分比求出调查总人数，再由 360 乘以比较重视”的学生所占比例得所占的圆心角的度数；求出“重视”的人数，补全条形统计图即可； （2）由该校共有学生人数乘
36、以“非常重视”的学生所占比例即可； （3）画树状图，共有 12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有 4个，再由概率公式求解即可 【小问 1 详解】 解：调查的学生人数为 16 20%80（人） ， “比较重视”所占的圆心角的度数为 3603680162， 故答案为：162 ， “重视”的人数为 804361624（人） ，补全条形统计图如图： 【小问 2 详解】 解：由题意得：3200480160（人） ， 即估计该校对视力保护“非常重视”的学生人数为 160 人； 【小问 3 详解】 解：画树状图如图 共有 12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有 4 个 恰好抽到同性别学生的概
37、率为41123 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比，也考查了扇形统计图和条形统计图以及样本估计总体，根据题意得出相关数据求解是解题的关键 19. 临沂市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 CD如图所示，一架水平飞行的无人机在 A处测得正前方河流的左岸 C处的俯角为 ，无人机沿水平线 AF方向继续飞行 60 米至 B 处，测得正前方河流右岸 D 处的俯角为 30线段 AM 的长为无人机距地面的垂直高度，点 M、C、D 在
38、同一条直线上，其中 tan=3，MC=60 3米 （1）求无人机的飞行高度 AM； （结果保留根号） （2）求河流的宽度 CD（结果精确到 1米，参考数据：21.41，31.73） 【答案】 （1）无人机的飞行高度 AM 为180 3米； （2）河流的宽度 CD约为 496米 【解析】 【分析】 （1）根据题意可得 AFDM，从而可得ACM，然后在 RtAMC中，利用锐角三角函数的定义求出 AM的长，即可解答； （2）过点 B作 BNDM，垂足为 N，根据题意可得 ABMN60米，AMBN180 3米，BDC30 ，然后在 RtBDN 中，利用锐角三角函数定义求出 DN的长，从而求出 DM 的
39、长，进行计算即可解答 【小问 1 详解】 解：由题意得：AFDM， ACMFAC， 在 RtAMC中，MC60 3米，tan3， AMMCtanACM60 3 3180 3（米） ， 无人机的飞行高度 AM为180 3米； 【小问 2 详解】 解：过点 B作 BNDM，垂足N， 则 ABMN60米，AMBN180 3米， AFDM， FBDBDC30 ， 在 RtBDN 中，DNtan30BN180 333540（米） ， DMMNDN60540600（米） ， CDDMMC60060 3496（米） ， 河流的宽度 CD 约为 496 米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根
40、据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 20. 如图， AB为O的直径， C， D为O上异于 A， B的两点， 连接 CD 过点 D 作 DBCF， 垂足为点 E，直线 AB 与 CE 相交于 F点 （1）若ABD=2BAC，求证：CF为O的切线； （2）若O半径为3，tanBDC=13，求 AC的长 【答案】 （1）证明见解析 （2）3 305 【解析】 【分析】 （1）连接 OC根据圆心角定理和等价代换思想确定BOC=ABD，根据平行线的判定定理和性质求出OCF，再根据切线的判定定理即可证明 （2）连接 BC根据圆周角定理的推论确定ACB=90 并求出BAC 的正切值，设
41、AC=x，根据直角三角形的边角关系用 x 表示 BC的长度，最后根据勾股定理列出方程并求解即可 【小问 1 详解】 证明：如下图所示，连接 OC DBCF， DEF=90 BAC和BOC分别是BC所对的圆周角和圆心角， BOC=2BAC ABD=2BAC， BOC=ABD OCBD OCF=DEF=90 OC是半径， CF为O的切线 【小问 2 详解】 解：如下图所示，连接 BC AB 为O的直径，O半径为3， ACB=90 ，2 3AB 222ACBCAB BAC和BDC都是BC所对的圆周角， BAC=BDC 1tan3BDC， 1tantan3BACBDC 设 AC=x，则1tan3BCA
42、CBACx 22212 33xx 解得13 305x ，23 305x （舍） 3 305AC 【点睛】本题考查圆心角定理，平行线的判定定理和性质，切线的判定定理，圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键 21. 2022北京冬奥会各类机器人大显神通，为了共享绿色生活，倡导对垃圾进行归类某机器人公司研发出A型和B型两款垃圾分拣机器人， 已知2台A型机器人和3台B型机器人同时工作3小时共分拣垃圾4.2吨，3 台 A型机器人和 4 台 B型机器人同时工作 5 小时共分拣垃圾 10 吨 （1）1台 A 型机器人和 1台 B 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨? （2）某垃圾
43、处理厂计划向机器人公司购进一批 A 型和 B 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾 20吨设购买 A 型机器人 a 台（10a45） ，B型机器人 b 台，请用含 a的代数式表示 b； （3）机器人公司的报价如下表： 型号 原价 购买数量少于 20台 购买数量不少于 20 台 A 型 20 万元/台 原价购买 打九折 B 型 12 万元/台 原价购买 打八折 在（2）条件下，设购买总费用为 w 万元，问如何购买使得总费用 w最少？请说明理由 【答案】 （1）1 台 A型机器人和 1台 B 型机器人每小时各分拣垃圾 0.4 吨和 0.2 吨； （2）b1002a（10a45） ； （
44、3）选购 A型号机器人 40 台，B 型号机器人 20台时，总费用 w 最少，此时需要 912万元理由见解析 【解析】 【分析】 （1）设 1 台 A型机器人和 1 台 B型机器人每小时各分拣垃圾 x 吨和 y 吨，根据题意列出方程组即可求出答案 （2）根据题意列出方程，方程变形后即可求出答案 （3）根据 a的取值，求出 w 与 a 的函数关系，从而求出 w 的最小值 【小问 1 详解】 解：设 1台 A 型机器人和 1 台 B型机器人每小时各分拣垃圾 x 吨和 y吨， 由题意可知：(23 ) 34.2(34 ) 510 xyxy ， 解得：0.40.2xy， 答：1 台 A型机器人和 1台
45、B 型机器人每小时各分拣垃圾 0.4 吨和 0.2 吨 【小问 2 详解】 解：由题意可知：0.4a+0.2b20， b1002a（10a45） 【小问 3 详解】 解：当 10a20 时， 此时 60b80， w20 a+0.8 12（1002a）0.8a+960， 0.80， w 随 a 的增大而增大， 当 a10 时，此时 w 有最小值，w968， 当 20a40时， 此时 20b60， w0.9 20a+0.8 12（1002a）1.2a+960， 1.20， w 随 a 的增大而减小， 当 a40 时，此时 w 有最小值，w912， 当 40a45 时， 此时 10b20， w0.9
46、 20a+12（1002a）6a+1200， 60， w 随 a 的增大而减小， 当 a45时，此时 w有最小值，此时 w930， 答：选购 A型号机器人 40台时，总费用 w最少，此时需要 912 万元 【点睛】此题考查二元一次方程组和一次函数的应用，正确找出题中的等量关系是基础，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键 22. 如图，直线: l ym 与 y 轴交于点 A，直线:a yxm与 y 轴交于点 B，抛物线2yxmx的顶点为 C，且与 x轴左交点为 D（其中0m） （1）当 AB=12时，在抛物线的对称轴上求一点 P 使得BOP的周长最小； （2）当点 C在直线 l上方时，求点 C到直
47、线 l距离的最大值； （3）若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”当 m=2022时，求出在抛物线和直线 a 所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数 【答案】 （1）P（3，3 ） （2）点 C与 l距离的最大值为 1； （3）m2022 时“整点”的个数为 4046个 【解析】 【分析】 （1）由题意求出 m6，得出抛物线 L的解析式为 yx26x，当 B、P、D三共线时，OBP 周长最短，此时点 P为直线 a与对称轴的交点，则可求出答案； （2）求出 L的顶点 C(2m，24m)，由二次函数的性质可得出答案； （3）联立两个解析式得出220222022yxxyx ，解得 x12022
48、，x21，求出线段和抛物线上各有 2024个整数点，则可得出答案 【小问 1 详解】 解：当 x0 吋，yxmm， B （0，m） ， AB12， A（0，m） ， m（m）12， m6， 抛物线 L 的解析式为：yx26x， 抛物线 L 的对称轴 x3， 又知 O、D两点关于对称轴对称，则 OPDP， OBOPPBOBDPPB， 当 B、P、D三共线时，OBP 周长最短，此时点 P 为直线 a与对称轴的交点， 当 x3 吋，yx63， P（3，3 ） 【小问 2 详解】 解：2yxmx=(x2m)224m， L的顶点 C(2m，24m)， 点 C在 l上方， C 与 l的距离24m(m)14
49、 (m2)211， 点 C与 l距离的最大值为 1； 【小问 3 详解】 解：当 m2021时，抛物线解析式 L：yx22022x，直线解析式 a：yx2022， 联立上述两个解析式得方程组220222022yxxyx ， 可得：x12022，x21， 可知每一个整数 x 的值都对应的一个整数 y 值，且2022 和 1 之间（包括2022 和 1）共有 2024 个整数； 另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， 线段和抛物线上各有 2024 个整数点， 总计 4048个点， 这两段图象交点有 2个点重复， 整点”的个数：404824046（个） ； 故 m2022时“整点”的
50、个数为 4046 个 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用轴对称求最短距离解题是关键 23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图 1，在等边ABC中，点 P是边 BC上任意一点，连接 AP，以 AP 为边作等边APQ，连接 CQ，BP 与 CQ的数量关系是_； （2）变式探究：如图 2，在等腰ABC中，AB=BC，点 P是边 BC 上任意一点，以 AP 为腰作等腰APQ，使 AP=PQ，APQ=ABC，连接 CQ，判断ABC和ACQ 的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图 3，在
