1、广东省阳江市2020-2021学年高一下期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，集合为整数集，则A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 3. 已知幂函数的图象过点(4，2)，则（ ）A. 2B. 4C. 2或-2D. 4或-44. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 5. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（
2、 ）A B. C. D. 6. 已知复数，则（ ）A. B. C. D. 7. 如图，斜二测直观图为等腰，其中，则原的面积为（ ）A. B. C. D. 8. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 在下列函数中，最小值为2的是（ ）A. B. C. D. 10. 已知函数最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（ ）A. B. 函数的图象关于直线对称
3、C. 函数的图象关于点对称D. 函数的图象关于直线对称11. 设向量，则下列叙述错误的是A. 若时，则与的夹角为钝角B. 的最小值为C. 与共线的单位向量只有一个为D. 若，则或12. 如图，在正四棱锥中，分别是，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论中恒成立的为（ ）.A. B. C. 面D. 面三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设0，不等式8x2（8sin）x+cos20对xR恒成立，则的取值范围为_14. 函数的值域为R，则的取值范围是_.15. 在ABC中，D是AB的中点，ACD与CBD互为余角，AD2，AC3，则sinA的值为_.16. 在锐角中，点D在边BC
4、上，且与面积分别为2和4，过D作于E，于F，则的值是_四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合Mx|2x40，集合Nx|x23xm0.（1）当m2时，求MN，MN；（2）当MNM时，求实数m的值.18. 一个经销鲜花产品微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255
5、，231，243，263，241，265，255，244，252.（）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？19. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪形状为如图所示的四边形ABCD其中AB3百米，AD百米，且BCD是以D为直角顶点的等
6、腰直角三角形拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设BAD，(，)（1）当cos时，求小路AC的长度；（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度20. 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，证明：（1）当时，；（2）点在平面内21. 在锐角中,角的对边分别为,边上的中线,且满足.(1)求的大小；(2)若，求的周长的取值范围22. 已知函数f（x）=ax+(1-x)(a0)，且f（x）在0，1上的最小值为g（a），求g（a）的最大值广东省阳江市2020-2021学年高一下期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 已知集合，集合为整数集，则A. B.
7、C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：，选A.【考点定位】集合基本运算.2. 不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.【详解】解：原不等式可以转化为：，当时，可知，对应的方程的两根为1，根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.故选：A.3. 已知幂函数的图象过点(4，2)，则（ ）A. 2B. 4C. 2或-2D. 4或-4【答案】B【解析】【分析】设幂函数代入已知点可得选项.【详解】设幂函数又函数过点(4，2)，故选：B.4. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中
8、星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及指数对数运算.5. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直列方程，化简求得与的夹角.【详解】依题意，所以，即，由于，所以，解得，由于，所以.故选：C
9、6. 已知复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先将复数进行化简，再根据共轭复数的定义，即可求解.【详解】解：，.故选：A.7. 如图，的斜二测直观图为等腰，其中，则原的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出直观图等腰的面积，乘以可得出原的面积.【详解】由图形可知，直观图等腰的腰长为，直观图的面积为，因此，原的面积为.故选：D.【点睛】本题考查由直观图的面积计算原图形的面积，解题时要熟悉多边形直观图与原图形面积的倍数关系，考查计算能力，属于基础题.8. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）A. B. C. D. 【
10、答案】A【解析】【分析】建立直角坐标系，用坐标表示出、和，并设，联立方程组求出和即可.【详解】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则，设向量，则，所以.故选：A【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标形式，属于基础题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 在下列函数中，最小值为2的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】对A，当时，即可判断：对B，C，由基本不等式即可判断；对D，根据二次函数的性质即可判断.【详解】解：对于A，若，则最小值不为2，故A错误；对于
11、B，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，当时，但等号成立需，在定义域内方程无解，故C错误；对于D，当时取等号，故D正确.故选：BD.10. 已知函数的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（ ）A. B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于点对称D. 函数的图象关于直线对称【答案】ABC【解析】【分析】利用正弦函数的周期性以及图像的对称性，求出函数的解析式，再根据函数的图像变化规律、正弦函数的图像的对称性，得出结论.【详解】函数的最小正周期为，故，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图像，根据得到的图象对应的函数为偶函数，可得
12、，故，对于A，故A正确；对于B，当 时，则，故B正确；对于C，故C正确；对于D，故D错误；故选：ABC【点睛】本题考查了三角函数的平移变换以及三角函数的性质，解题的关键是求出函数的解析式，属于基础题.11. 设向量，则下列叙述错误的是A. 若时，则与的夹角为钝角B. 的最小值为C. 与共线的单位向量只有一个为D. 若，则或【答案】CD【解析】【分析】根据与的夹角为钝角，得出且与不共线，求出的取值范围，可判断A选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B选项的正误；根据与共线的单位向量为可判断C选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D选项的正误.【详解】对于A选项，若与的夹
13、角为钝角，则且与不共线，则，解得且，A选项中的命题正确；对于B选项，当且仅当时，等号成立，B选项中的命题正确；对于C选项，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，C选项中的命题错误；对于D选项，即，解得，D选项中的命题错误.故选：CD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及向量的夹角、模长以及单位向量等相关知识，考查推理能力，属于中等题.12. 如图，在正四棱锥中，分别是，中点，动点在线段上运动时，下列四个结论中恒成立的为（ ）.A. B. C. 面D. 面【答案】AC【解析】【分析】如图所示，连接相交于点，连接，由正四棱锥性质可得底面，进而得到，可得平面，利用三角形的中位线结合面面
14、平行判定定理得平面平面，进而得到平面，随即可判断A；由异面直线的定义可知不可能；由A易得C正确；由A同理可得：平面，可用反证法可说明D.【详解】如图所示，连接相交于点，连接，.由正四棱锥，可得底面，所以.因为，所以平面，因为，分别是，的中点，所以，而，所以平面平面，所以平面，所以，故A正确；由异面直线的定义可知:与是异面直线，不可能，因此B不正确；平面平面，所以平面，因此C正确；平面，若平面，则，与相矛盾，因此当与不重合时，与平面不垂直，即D不正确.故选:AC.【点睛】本题主要考查了线线平行与垂直，线面平行与垂直的判定熟练掌握线面、面面的位置关系判定定理是解题的关键，属于中档题.三、填空题：本
15、题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设0，不等式8x2（8sin）x+cos20对xR恒成立，则的取值范围为_【答案】0，【解析】【详解】由题意可得，=64sin232cos20，得2sin2（12sin2）0sin2，sin，00，14. 函数的值域为R，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由函数的值域为R，可得能够取到大于的所有数，再由判别式，即 可 求 解【详解】解：函数的值域为R，能够取到大于的所有数，则，解得：或，实数的取值范围是故答案为：15. 在ABC中，D是AB的中点，ACD与CBD互为余角，AD2，AC3，则sinA的值为_.【答案】或【解析】【分析】在ADC中，
16、利用正弦定理及余弦定理可得CD49CD2+200，求出，再利用正弦定理及余弦定理求解即可.【详解】解：如图所示：在ADC中，设ACD，则CBD，又AD2，AC3，利用余弦定理：.在ADC中，利用正弦定理：，故，所以：，解得：cosA，在ACD中，利用余弦定理：，所以，整理得：CD49CD2+200解得：或.当CD2时，cosA.所以sinA；CD时，cosA，所以sinA.故答案：或.【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理的综合应用，重点考查了运算能力，属中档题.16. 在锐角中，点D在边BC上，且与面积分别为2和4，过D作于E，于F，则的值是_【答案】【解析】【分析】由与面积分别为2和4得，然
17、后可得，然后利用求出即可.【详解】因为与面积分别为2和4；，结合，解得，；的值为：故答案为：【点睛】本题考查的是三角形面积公式的应用，属于中档题.第II卷四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知集合Mx|2x40，集合Nx|x23xm0.（1）当m2时，求MN，MN；（2）当MNM时，求实数m的值.【答案】（1）MN2，MN1，2；（2）m2.【解析】【分析】（1）先求出集合,再求出MN，MN；（2）分析得到2N，解方程46m0即得解.【详解】解：（1）由题意得M2，当m2时，Nx|x23x201，2，则MN2，MN1，2.（2）因为MNM，所以
18、MN，因为M2，所以2N.所以2是关于x的方程x23xm0的解，即46m0，解得m2.【点睛】本题主要考查集合的运算，考查根据集合运算的结果求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18. 一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，2
19、52.（）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？【答案】（）见解析（）四月后20天总利润更大【解析】【分析】（）根据众数的定义直接可求出众为255.利用平均数的公式可以求出平均数根据给定的分组，通过计算完成频率分布直方图（）设订单中百合花需求量为（支），由（
20、）中频率分布直方图，可以求出可能取值、每个可能取值相应频率，每个可能取值相应的天数分别求出空运250支， 255支百合花时，销售总利润的大小，进行比较，得出结论【详解】解：（）四月前10天订单中百合需求量众数为255，平均数频率分布直方图补充如下：（）设订单中百合花需求量为（支），由（）中频率分布直方图，可能取值为235，245，255，265，相应频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，20天中相应的天数为2天，6天，8天，4天.若空运250支，当日利润为，当日利润为，当日利润为，当日利润为，20天总利润为元.若空运255支，当日利润为，当日利润为，当日利润为，当日利润为，20天总利润为元
21、.，每天空运250支百合花四月后20天总利润更大.【点睛】本题考查了众数、平均数、频率分布直方图；重点考查了学生通过阅读，提取有用信息，用数学知识解决实际生活问题的能力19. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD其中AB3百米，AD百米，且BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设BAD，(，)（1）当cos时，求小路AC的长度；（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）在ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin
22、，根据正弦定理可求sinADB，进而可求cosADC的值，在ACD中，利用余弦定理可求AC的值（2）由（1）得：BD2146cos，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求SABCD7sin（），结合题意当时，四边形ABCD的面积最大，即，此时cos，sin，从而可求BD的值【详解】（1）在中，由，得，又， 由得：，解得：，是以为直角顶点的等腰直角三角形 且 在中， ， 解得： （2）由（1）得：， ，此时，且当时，四边形的面积最大，即，此时，即 答：当时，小路的长度为百米；草坪的面积最大时，小路的长度为百米【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式
23、，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题20. 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，证明：（1）当时，；（2）点在平面内【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质得，根据长方体性质得,进而可证平面,即得结果；（2）只需证明即可，在上取点使得,再通过平行四边形性质进行证明即可.【详解】（1）因为长方体,所以平面,因为长方体,所以四边形为正方形因为平面,因此平面,因为平面,所以；（2）在上取点使得,连,因为,所以所以四边形为平行四边形，因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形， ，所以四点
24、共面，因此在平面内点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题.21. 在锐角中,角的对边分别为,边上的中线,且满足.(1)求的大小；(2)若，求周长的取值范围【答案】(1) ;(2) 周长的取值范围是.【解析】【分析】(1)在,中分别利用余弦定理,写出的表达式,化简后可求得的值,代入已知条件可化简得到的余弦值,进而求得角的大小.(2)利用正弦定理将边转化为角的形式,即,根据可求得周长的取值范围.【详解】（1）在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 因为，所以，+得：， 即， 代入已知条件，得，即， ，又，所以.（2）在中由正弦定理得，又，所以， ， 为
25、锐角三角形， ，周长的取值范围为【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的周长的范围，解决问题的关键在于利用中线的长度在两个三角形中运用余弦定理，根据邻补角的余弦值互为相反数得出边的关系，属于中档题.22. 已知函数f（x）=ax+(1-x)(a0)，且f（x）在0，1上的最小值为g（a），求g（a）的最大值【答案】1【解析】【分析】对分成等情况进行分类讨论，结合函数的单调性求得的最大值.【详解】f（x）=x+，当a1时，a-0，此时f（x）在0，1上为增函数，所以g（a）=f（0）=;当0a1时，a-0，此时f（x）在0，1上为减函数，所以g（a）=f（1）=;当时，f（x）=1，此时g（a）=1所以当时，取最大值1【点睛】本小题主要考查函数的单调性和最值，属于基础题.
