1、 2022 年广东省惠州市惠阳区中考二模数学试题年广东省惠州市惠阳区中考二模数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 数1, 5,0,2最大的数是（ ） A 1 B. 5 C. 0 D. 2 2. 近年来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为 0.00000011 米，其中数据 0.00000011 用科学记数法表示正确的是（ ） A. 81.1 10 B. 71.1 10 C. 61.1 10 D. 60.11 10 3. 一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何
2、体的底面是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线 ab，直线 l与直线 a、b分别相交于 A、B两点，过点 A作直线 l的垂线交直线 b 于点 C，若240，则1 的度数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 5. 在平面直角坐标系中， 线段AB两个端点的坐标分别为A（6，8），B（10，2） ， 若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段 AB缩短为原来的12后得到线段 CD，则点 A的对应点 C的坐标为（ ） A. （5，1） B. （4，3） C. （3，4） D. （1，5） 6. 已知23120 xx，则代数式2395xx的值是（ ) A. 31 B. 31
3、 C. 41 D. 41 7. 把二次函数2yx 图象向左平移 1个单位，然后向上平移 3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ） A. 2(1)3yx B. 2(1)3yx C. 2(1)3yx D. 2(1)3yx 8. 如图，在ABC 中，C90，AC12，AB垂直平分线 EF交 AC 于点 D，连接 BD，若 cos BDC57，则 BC的长是（ ） A. 10 B. 8 C. 43 D. 26 9. 如图， 在矩形ABCD中8AB，16BC ，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合， 则折痕EF的长为( ) A 6 B. 12 C. 2 5 D. 4 5 10. 在E
4、FG 中，G90 ，EGFG2 2，正方形 ABCD 的边长为 1，将正方形 ABCD 和EFG 如图放置，AD与 EF在一条直线上，点 A与点 E重合现将正方形 ABCD沿 EF方向以每秒 1个单位的速度匀速运动，当点 A与点 F重合时停止在这个运动过程中，正方形 ABCD和EFG 重叠部分的面积 S 与运动时间 t的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11. 101tan60|3 | (3)122 _ 12. 分解因式：2218m _ 13. 若函数 yx2+2xm 的图象与
5、 x轴有且只有一个交点，则 m的值为_ 14. 若20aab，则ba _ 15. 如图，无人机在空中 C处测得地面 A、B两点的俯角分别为 60 、45 ，如果无人机距地面高度 CD为100 3米，点 A、D、B在同一水平直线上，则 A、B两点间的距离是_米 （结果保留根号） 16. 如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB长为2cm，60 ,90BOCBCO，将BOC绕圆心 O 逆时针旋转至BOC， 点C在OA上， 则边BC扫过区域 （图中阴影部分） 的面积为_2cm（结果保留） 17. 如图，在Rt ABC中，90ACB，6AC ，12AB ，AD平分CAB，点 F是AC的中点，点 E
6、 是AD上的动点，则CEEF的最小值为_ 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18. 已知不等式组21112xxx （1）解上述不等式组 （2）从（1）的结果中选择一个整数是方程1222xmxx的解，求 m 的值 19. 如图，已知点 E、C 在线段 BF 上，且 BE=CF，CMDF， （1） 作图： 在 BC 上方作射线 BN， 使CBN=1， 交 CM 的延长线于点 A （用尺规作图法， 保留作图痕迹，不写作法） ； （2）在（1）的条件下，求证：AC=DF 20. 某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部
7、分学生，并制作了如下表格与条形统计图： 频数 频率 体育 40 0.4 科技 25 a 艺术 b 0.15 其它 20 0.2 请根据上图完成下面题目： （1）总人数为 人，a= ，b= （2）请你补全条形统计图 （3）若全校有 600 人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？ 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21. 如图，点 A（m，6） 、B（n，1）在反比例函数图像上，ADx 轴于点 D，BCx 轴于点 C，DC=5 （1）求 m、n 的值并写出该反比例函数的解析式 （2）点 E 在线段 C
8、D 上，SABE=10，求点 E 的坐标 22. 国家推行节能减排，低碳经济政策后，电动汽车非常畅销某汽车经销商购进 A、B 两种型号的电动汽车，其中 A 型汽车的进货单价比 B 型汽车的进货单价多 4 万元，花 100 万元购进 A型汽车的数量与花 60 万元购进 B 型汽车的数量相同，在销售中发现：每天 A 型号汽车的销量2Ay （台） ，B 型号汽车的每天销量By（台）与售价 x（万元/台）满足关系式10Byx （1）求 A、B 两种型号的汽车的进货单价； （2）若 A 型汽车的售价比 B 型汽车的售价高 2 万元/台，且两款汽车的售价均不低于进货价，设 B 型汽车售价为 x万元/台每天
9、销售这两种车的总利润为 W万元，当 B型汽车售价定为多少时，每天销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？ 23. 如图， P 为正方形 ABCD 的边 AD 上的一个动点， AEBP， CFBP， 垂足分别为点 E、 F， 已知 AD=4 （1）试说明 AE2+CF2的值是一个常数； （2）过点 P 作 PMFC 交 CD 于点 M，点 P 在何位置时线段 DM 最长，并求出此时 DM 的值 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24. 如图， 在Rt ABC中，90C，AD平分BAC交BC于点D，O
10、为AB上一点， 经过点A，DO分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G. （1）求证：BC是O的切线； （2）设ABx，AFy，试用含, x y的代数式表示线段AD的长； （3）若8BE ，5sin13B ，求DG的长. 25. 已知抛物线23yxbx 的图象与 x轴相交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，图象的对称轴为直线1x连接AC，有一动点 D在线段AC上运动，过点 D 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 E，交 x 轴于点F设点 D的横坐标为 m （1）求AB的长度； （2）连接AECE、，当ACE的面积最大时，求点 D的坐标； （3）当 m为何值时，ADF与CDE相似 20
11、22 年广东省惠州市惠阳区中考二模数学试题年广东省惠州市惠阳区中考二模数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 数1, 5,0,2最大的数是（ ） A. 1 B. 5 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先将四个数分类，然后按照正数0负数的规则比较大小 【详解】解：将1, 5,0,2四个数分类知5，2为正数，-1 为负数，0 介于正数和负数之间， 根据正数0负数的规则比较，5，2 比其他数要大，245，故最大的数为5， 故选 B. 【点睛】此题主要考查了利用数轴比较实数的大小，解答此题的关键是熟知：
12、数轴上的任意两个数，边的数总比左边的数大 2. 近年来，新冠肺炎给人类带来了巨大灾难，经科学家研究，冠状病毒多数为球形或近似球形，其直径约为 0.00000011 米，其中数据 0.00000011 用科学记数法表示正确的是（ ） A. 81.1 10 B. 71.1 10 C. 61.1 10 D. 60.11 10 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于 1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0的个数所决定 【详解】解：0.00000011=71.1 10， 故选 B 【点睛】此
13、题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3. 一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据展开图推出几何体，再得出视图. 【详解】根据展开图推出几何体是四棱柱，底面是四边形. 故选 B 【点睛】考核知识点：几何体的三视图. 4. 如图，直线 ab，直线 l与直线 a、b分别相交于 A、B两点，过点 A作直线 l的垂线交直线 b 于点 C，若240，则1 的度数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50
14、 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出ACB2，根据三角形内角和定理求出即可 【详解】直线 ab， ACB2， ACBA， BAC90 ， 2ACB180 1BAC40 ， 150 ， 故选 D 【点睛】本题考查了对平行线的性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补 5. 在平面直角坐标系中，线段 AB两个端点的坐标分别为 A（6，8） ，B（10，2） ，若以原点 O为位似中心，在第一象限内将线段 AB缩短为原来的12后得到线段 CD，则点 A的对应点 C的坐标为（ ） A. （5，1） B. （4，3） C.
15、（3，4） D. （1，5） 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用位似图形的性质，结合两图形的位似比进而得出 C点坐标 详解：以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB缩小为原来的12后得到线段 CD， 端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A点的横坐标和纵坐标的一半， 又A（6，8） ， 端点 C 的坐标为（3，4） 故选 C 点睛：此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键 6. 已知23120 xx，则代数式2395xx的值是（ ) A. 31 B. 31 C. 41 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】先求出2312xx，然后根据239
16、5xx2335xx=进行求解即可 【详解】解：23120 xx， 2312xx， 2395xx 2335xx= 3 125 41， 故选：C 【点睛】本题主要考查了代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键 7. 把二次函数2yx 的图象向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ） A. 2(1)3yx B. 2(1)3yx C. 2(1)3yx D. 2(1)3yx 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可 【详解】解：由题意知，平移后抛物线的解析式是213yx ，故 A正确 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数图象
17、的平移，解题的关键在于掌握二次函数图象平移的规律：左加右减，上加下减 8. 如图，在ABC中，C90，AC12，AB的垂直平分线 EF交 AC于点 D，连接 BD，若 cosBDC57，则 BC的长是（ ） A. 10 B. 8 C. 43 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】设 CD5x，BD7x，则 BC26x，由垂直平分线的性质可得 BD=AD，可得 AC=12x，由 AC12即可求 x，进而求出 BC； 【详解】C90 ，cosBDC57， 设 CD5x，BD7x， BC26x， AB的垂直平分线 EF交 AC 于点 D， ADBD7x， AC12x， AC12， x1， BC2
18、6； 故选 D. 【点睛】本题考查直角三角形的性质；熟练掌握直角三角形函数的三角函数值，线段垂直平分线的性质是解题的关键. 9. 如图， 在矩形ABCD中8AB，16BC ，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合， 则折痕EF的长为( ) A. 6 B. 12 C. 2 5 D. 4 5 【答案】D 【解析】 【详解】设 BE=x，则 CE=BC-BE=16-x， 沿 EF翻折后点 C 与点 A重合， AE=CE=16-x， RtABE中，AB2+BE2=AE2， 即 82+x2=（16-x）2， 解得 x=6， AE=16-6=10， 由翻折的性质得，AEF=CEF， 矩形 ABCD 的
19、对边 ADBC， AFE=CEF， AEF=AFE， AE=AF=10， 过点 E作 EHAD于 H，则四边形 ABEH 是矩形， EH=AB=8， AH=BE=6， FH=AF-AH=10-6=4， 在 RtEFH 中，EF=2222844 5EHFH 故选 D 10. 在EFG 中，G90 ，EGFG2 2，正方形 ABCD 的边长为 1，将正方形 ABCD 和EFG 如图放置，AD与 EF在一条直线上，点 A与点 E重合现将正方形 ABCD沿 EF方向以每秒 1个单位的速度匀速运动，当点 A与点 F重合时停止在这个运动过程中，正方形 ABCD和EFG 重叠部分的面积 S 与运动时间 t的
20、函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分 0t1、1t2、2t3、3t4 分别求出函数表达式即可求解. 【详解】解：EG=FG=2 2 ，则 EF4， 当 0t1 时，如图 1，设 AB交 EG 于点 H， 则 AEtAH， S12 AE AH12t2，函数为开口向上的抛物线，当 t1 时，y12； 当 1t2时，如图 2，设直线 EG交 BC 于点 G，交 CD 于点 H， 则 EDAEADt1HD，则 CHCDHD2tCG， SS正方形ABCDSCGH112 CH CG112（2t）2，函数为开口向下的抛物线，当 t2时，y1； 当 2t3时， SS正
21、方形ABCD1， 当 3t4时， 同理可得：S112（t3）2，为开口向下的抛物线； 故选：C 【点睛】本题考查动点问题的函数过图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11. 101tan60|3 | (3)122 _ 【答案】-1 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，特殊角三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简等计算法则求解即可 【详解】解：101tan60|3| (3)122 =23312 3 = 1 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角
22、三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，熟知相关计算法则是解题的关键 12. 分解因式：2218m _ 【答案】233mm#233mm 【解析】 【分析】原式提取 2，再利用平方差公式分解即可 【详解】解：2218m =2（m2-9） =2（m+3） （m-3） 故答案为：2（m+3） （m-3） 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 13. 若函数 yx2+2xm 的图象与 x轴有且只有一个交点，则 m的值为_ 【答案】1 【解析】 【分析】由抛物线与 x轴只有一个交点，即可得出关于 m的一元一次方程，解之即可得出 m的值 【详解】函
23、数 y=x2+2x-m的图象与 x轴有且只有一个交点， =22-4 1 （-m）=0， 解得：m=-1 故答案是：-1 【点睛】 考查了抛物线与 x轴的交点， 牢记“当=b2-4ac=0 时， 抛物线与 x 轴有 1 个交点”是解题的关键 14. 若20aab，则ba _ 【答案】14 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出 a、b 的值，然后计算即可求解 【详解】解：根据题意得， a2=0，a+b=0， 解得 a=2，b=-2， 2124ba 故答案为：14 【点睛】本题考查了两个非负数之和为零的性质，绝对值与算术平方根的非负性，负整数指数幂的运算，掌握以上知识是解题的关键 15. 如图
24、， 无人机在空中C处测得地面A、 B两点的俯角分别为60 、 45 ， 如果无人机距地面高度CD为100 3米，点 A、D、B在同一水平直线上，则 A、B两点间的距离是_米 （结果保留根号） 【答案】100（1+3） 【解析】 【详解】 分析： 如图， 利用平行线的性质得A=60 ， B=45 ， 在 RtACD中利用正切定义可计算出 AD=100，在 RtBCD中利用等腰直角三角形的性质得 BD=CD=1003，然后计算 AD+BD即可 详解：如图， 无人机在空中 C 处测得地面 A、B两点的俯角分别为 60 、45 ， A=60 ，B=45 ， 在 RtACD中，tanA=CDAD， AD
25、=0100 3tan60=100， 在 RtBCD中，BD=CD=1003， AB=AD+BD=100+1003=100（1+3） 答：A、B两点间的距离为 100（1+3）米 故答案为 100（1+3） 点睛：本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形 16. 如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB长为2cm，60 ,90BOCBCO，将BOC绕圆心 O 逆时针旋转至BOC， 点C在OA上， 则边BC扫过区域 （图中阴影部分） 的面积为_2cm（结果保留） 【答案
26、】4 【解析】 【分析】根据已知条件和旋转的性质得出扇形 BOB和扇形 COC 的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案 【详解】解：BOC=60 ，BOC是BOC 绕圆心 O 逆时针旋转得到的， BOC=60，BCOBCO， BOC=60 ，CBO=30 ， BOB=120 ， AB=2cm， OB=1cm， OC=0.5cm， BC=3cm2， S扇形BOB=221201cm36031，S扇形COC=221200.51cm31260， 阴影部分面积=S扇形BOB+SBCO-SBCO-S扇形COC=S扇形BOB-S扇形COC=111=3124； 故答案为：4 【点睛】此题考查
27、了旋转的性质和扇形的面积公式，含 30的直角三角形，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是本题的关键 17. 如图，在Rt ABC中，90ACB，6AC ，12AB ，AD平分CAB，点 F是AC的中点，点 E 是AD上的动点，则CEEF的最小值为_ 【答案】3 3 【解析】 【分析】 根据题意， 作点C关于AD的对称点C， 连接CC， 交AD于点H， 则AD垂直平分CC， 点C在边AB上，连接CF ，交AD于点E，由对称的性质得CECE ，则CEEFCEEFCF，此时CEEF的值最小，进而求出CF 即可 【详解】解：如下图，作点C关于AD的对称点C，连接CC，交AD于点H，则AD垂直平分CC
28、，点C在边AB上， 连接CF ， 交AD于点E， 由对称的性质得CECE ，CEEFCEEFCF，此时CEEF的值最小， AD平分BAC， ACC是等腰三角形， 6AC ，12AB ， 12ACACAB， 90ACB， 1cos2ACCABAB， 60CAB， ACC是等边三角形， 点F是AC的中点，C是 AB 的中点， 3AF，CFAC， tan603 3CFAF ，即CEEF的最小值为3 3， 故答案为：3 3 【点睛】 本题主要考查了轴对称中的最短路径问题，等边三角形的性质与判定， 等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握最短路径的作图方法以及通过解直角三角形求解线段长的方法是解决
29、本题的关键 三、解答题（一） （本大题共三、解答题（一） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18. 已知不等式组21112xxx （1）解上述不等式组 （2）从（1）的结果中选择一个整数是方程1222xmxx的解，求 m 的值 【答案】 （1）123x （2）2 【解析】 【分析】 （1）根据解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可； （2）先求出（1）中不等式组的整数解，再考虑分母 x-20，然后把整数代入分式方程得出关于 m 的方程，解方程即可求出 m 的值 【小问 1 详解】 解：21112xxx ， 解不等式得：13x ， 解不等式得：2x，
30、不等式组的解集为123x； 【小问 2 详解】 解：123x，且 x为整数， x=1或 2， 20 x， 2x， x=1， 把 x=1代入1222xmxx得： 1 121 22 1m， 解得：2m 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及分式方程的解，掌握解一元一次不等式组的一般步骤，理解分式方程解的含义是解决问题的关键 19. 如图，已知点 E、C 在线段 BF 上，且 BE=CF，CMDF， （1） 作图： 在 BC 上方作射线 BN， 使CBN=1， 交 CM 的延长线于点 A （用尺规作图法， 保留作图痕迹，不写作法） ； （2）在（1）的条件下，求证：AC=DF 【答案】 （1）作图见
31、解析； （2）证明见解析 【解析】 【详解】试题分析： （1）以 E为圆心，以 EM 为半径画弧，交 EF于 H，以 B 为圆心，以 EM为半径画弧，交 EF于 P，以 P 为圆心，以 HM 为半径画弧，交前弧于 G，作射线 BG，则CBN就是所求作的角 （2）证明ABCDEF 可得结论 试题解析： （1）如图， （2）CMDF，MCE=F，BE=CF，BE+CE=CF+CE，即 BC=EF，在ABC 和DEF中，1CBNBCEFMCEF ABCDEF，AC=DF 【点睛】本题考查了基本作图-作一个角等于已知角，同时还考查了全等三角形的性质和判定；熟练掌握五种基本作图： （1） 作一条线段等于
32、已知线段 （2） 作一个角等于已知角 （3） 作已知线段的垂直平分线 （4）作已知角的角平分线 （5）过一点作已知直线的垂线 20. 某学校为调查学生的兴趣爱好，抽查了部分学生，并制作了如下表格与条形统计图： 频数 频率 体育 40 0.4 科技 25 a 艺术 b 0.15 其它 20 0.2 请根据上图完成下面题目： （1）总人数为 人，a= ，b= （2）请你补全条形统计图 （3）若全校有 600 人，请你估算一下全校喜欢艺术类学生的人数有多少？ 【答案】 （1）100、0.25、15； （2）补图见解析. 【解析】 【详解】 【分析】 （1）根据喜爱体育的有 40人，频率为 0.4 可
33、求得调查的学生数，继而可求得 a、b 的值； （2）根据 b的值补全条形图形即可； （3）用喜欢艺术类学生占的比例乘以全校的学生数即可得. 详解】 （1）0.4 40 100（人） ， 25 1000.25a， 100 0.15 15b（人） ， 故答案为 100，0.25，15； （2）如图所示； （3）600 0.1590（人） ， 答：估计全校喜欢艺术类学生的有 90人. 【点睛】本题考查了统计表与条形图，阅读表格，从表格中得到必要的信息是解题的关键. 四、解答题（二） （本大题共四、解答题（二） （本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21. 如图，
34、点 A（m，6） 、B（n，1）在反比例函数图像上，ADx 轴于点 D，BCx 轴于点 C，DC=5 （1）求 m、n 的值并写出该反比例函数的解析式 （2）点 E 在线段 CD 上，SABE=10，求点 E 的坐标 【答案】 （1）m=1，n=6，y=6x； （2）E（3，0） 【解析】 【详解】解： （1）由题意得：65mnmn， 解得：16mn， A（1，6） ，B（6，1） ， 设反比例函数解析式为 y=kx， 将 A（1，6）代入得：k=6， 则反比例解析式为 y=6x； （2）设 E（x，0） ，则 DE=x1，CE=6x， ADx 轴，BCx 轴， ADE=BCE=90 ， 则
35、SABE=S四边形ABCDSADESBCE =12（BC+AD）DC12DEAD12CEBC =35252x =10， 解得：x=3， 则 E（3，0） 22. 国家推行节能减排，低碳经济政策后，电动汽车非常畅销某汽车经销商购进 A、B 两种型号的电动汽车，其中 A 型汽车的进货单价比 B 型汽车的进货单价多 4 万元，花 100 万元购进 A型汽车的数量与花 60 万元购进 B 型汽车的数量相同，在销售中发现：每天 A 型号汽车的销量2Ay （台） ，B 型号汽车的每天销量By（台）与售价 x（万元/台）满足关系式10Byx （1）求 A、B 两种型号的汽车的进货单价； （2）若 A 型汽车
36、的售价比 B 型汽车的售价高 2 万元/台，且两款汽车的售价均不低于进货价，设 B 型汽车售价为 x万元/台每天销售这两种车的总利润为 W万元，当 B型汽车售价定为多少时，每天销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？ 【答案】 （1）A 型汽车进货单价 10万元，B型汽车进货单价 6万元； （2）B 型汽车售价为 9 万元，最大总利润为 5 万元 【解析】 【分析】 （1）利用花 100万元购进 A型汽车的数量与花 60万元购进 B型汽车的数量相同，进而得出方程求解即可； （2）分别表示出两种汽车的利润进而得出函数关系式求出最值即可 【详解】解： （1）设 B 型汽车进货单价为 x元，
37、则 A 型汽车进货单价为(4)x元 由题意得：100604xx； 解得：6x 经检验：6x为原分式方程的根 A型汽车进货单价 10 万元，B 型汽车进货单价 6万元； （2）由题知：(6)(10)2(210)Wxxx 221876(9)5Wxxx 6210100 xxx 810 x 对称轴9x在810 x内，且10a ，开口向下 当9x时，W最大值为 5 万元 答： （1）A 型汽车进货单价 10 万元，B型汽车进货单价 6 万元； （2）A型汽车售价为 11万元，B型汽车售价为 9万元，最大利润为 5 万元 【点睛】 本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值的求法， 得出 W与 x 的函
38、数关系式是解题关键 23. 如图， P 为正方形 ABCD 的边 AD 上的一个动点， AEBP， CFBP， 垂足分别为点 E、 F， 已知 AD=4 （1）试说明 AE2+CF2的值是一个常数； （2）过点 P 作 PMFC 交 CD 于点 M，点 P 在何位置时线段 DM 最长，并求出此时 DM 的值 【答案】 （1）见详解;（2）当点 P 在 AD的中点时，DM 有最大值为 1. 【解析】 【分析】 （1） 由已知AEB=BFC=90 ， AB=BC， 结合ABE=BCF， 证明ABEBCF， 可得 AE=BF，于是 AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数. （2）设 AP
39、=x，则 PD=4x，由已知DPM=PAE=ABP，PDMBAP，列出关于 x的二次函数，求出 DM 的最大值. 【详解】解： （1）由题意可得：AEB=BFC=90 ，AB=BC=4， 又ABE+FBC=BCF+FBC， ABE=BCF. 在ABE和BCF中，AB=BC，ABE=BCF，AEB=BFC， ABEBCF（AAS）. AE=BF. AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16 为常数. （2）设 AP=x，则 PD=4x， 由已知DPM=PAE=ABP，PDM=BAP， PDMBAP. DMAPPDAB，即DMx4x4 22x 4x11DMxxx21444 . 140，当 x=2
40、 时，DM有最大值为 1. 当点 P 在 AD的中点时，DM 有最大值为 1. 五、解答题（三） （本大题共五、解答题（三） （本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24. 如图，在Rt ABC中，90C，AD平分BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G. （1）求证：BC是O的切线； （2）设ABx，AFy，试用含, x y的代数式表示线段AD的长； （3）若8BE ，5sin13B ，求DG的长. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【详解】分析：
41、（1）连接 OD，由 AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到 OD与 AC平行，得到 OD 与 BC垂直，即可得证； （2）连接 DF，由（1）得到 BC为圆 O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形 ABD与三角形 ADF相似，由相似得比例，即可表示出 AD； （3）连接 EF，设圆的半径为 r，由 sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出 r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到 EF与 BC平行，得到 sinAEF=sinB，进而求出 DG的长即可 详解： （1）证明：如图，连接 OD， AD为BAC的角平分线， BAD
42、=CAD， OA=OD， ODA=OAD， ODA=CAD， ODAC， C=90 ， ODC=90 ， ODBC， BC为圆 O的切线； （2）连接 DF，由（1）知 BC为圆 O的切线， FDC=DAF， CDA=CFD， AFD=ADB， BAD=DAF， ABDADF， ABADADAF ，即 AD2=ABAF=xy， 则 AD=xy （3）连接 EF，在 RtBOD中，sinB=5=13ODOB， 设圆的半径为 r，可得5813rr， 解得：r=5， AE=10，AB=18， AE是直径， AFE=C=90 ， EFBC， AEF=B， sinAEF=513AFAE， AF=AEsi
43、nAEF=10550=1313， AFOD， 501013513AGAFDGOD，即 DG=1323AD， AD=5030 13= 18=1313AB AF， 则 DG=132330 1313=30 1323 点睛：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键 25. 已知抛物线23yxbx 的图象与 x轴相交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，图象的对称轴为直线1x连接AC，有一动点 D在线段AC上运动，过点 D 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 E，交 x 轴于点F设点
44、D的横坐标为 m （1）求AB的长度； （2）连接AECE、，当ACE的面积最大时，求点 D的坐标； （3）当 m为何值时，ADF与CDE相似 【答案】 （1）4 （2） （32，32） （3）当2m或1m 时ADF与CDE相似 【解析】 【分析】 （1）先根据抛物线对称轴求出抛物线解析式，从而求出 A、B的坐标即可求出 AB 的长； （2） 先求出直线 AC的解析式为3yx=+， 则点 D的坐标为 （m， m+3） ， 点 E的坐标为 （m，223mm） ，23D Emm ，再根据=ACEADECDESSS列出ACE 的面积关于 m 的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3） 分
45、如图 3-1 所示， 当CED=90 时， 如图 3-2 所示， 当ECD=AFD=90 时， 两种情况讨论求解即可 【小问 1 详解】 解：抛物线23yxbx 的对称轴为直线1x， 121b ， 2b ， 抛物线解析式为223yxx ， 令0y ，则2x2x30，即2230 xx， 解得3x 或1x ， 点 A的坐标为（-3，0） ，点 B的坐标为（1，0） ， AB=4； 【小问 2 详解】 解：点 C是抛物线223yxx 与 y轴的交点， 点 C的坐标为（0，3） ， 设直线 AC解析式为1ykxb， 11303kbb， 113kb， 直线 AC的解析式为3yx=+， 点 D的坐标为（m
46、，m+3） ，点 E的坐标为（m，223mm） ， 222333DEmmmmm ， =ACEADECDESSS 11=22DACDDExxDExx 12CADExx 21332mm 23327=228m， 302， 当32x 时，ACE面积有最大值， 当ACE 的面积有最大值时，点 D的坐标为（32，32） ； 【小问 3 详解】 解：DFx 轴， AFD=90 ， 如图 3-1 所示，当CED=90 时， CED=AFD=90 ， 又CDE=ADF， CDEADF， 当 CEEF时，满足CDE 与ADF相似， 点 E与点 C关于抛物线对称轴对称， 点 E的坐标为（-2，3） ， 2m； 如图
47、 3-2 所示，当ECD=AFD=90 时，同理可证EDCADF， 点 A的坐标为（-3，0） ，点 C的坐标为（0，3） ， OA=OC=3， OAC=OCA=45 ， FAD=FDA=45 ， CDE=CED=45 ， CE=CD， 过点 C作 CHDE于 H， 点 H为 DE 的中点，且 H的纵坐标为 3， 由（2）得点 D的坐标为（m，m+3） ，点 E的坐标为（m，223mm） ， 232332mmm， 20mm， 解得1m 或0m（舍去） ； 综上所述，当2m或1m 时ADF与CDE相似 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，一次函数与几何综合，二次函数与 x轴的交点问题等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键
