1、2020-2021 学年江苏省泰州市高一学年江苏省泰州市高一下期末数学试卷下期末数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1设 z13+i，z21+mi，若 z1z2为纯虚数，则实数 m（ ） A3 B C D3 2某校高一年级 1000 名学生的血型情况如图所示某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 50 的样本，则从高一年级 A 型血的学生中应抽取的人数是（ ） 图中数据：A 型 22%，B 型 28%，O 型 38%，AB 型 12% A11 B22 C110 D220 3在AB
2、C 中，tanA2，BC10，AC5，则 tanB（ ） A B C D1 4 甲、 乙两位同学独立地解答某道数学题， 若甲、 乙解出的概率都是， 则这道数学题被解出的概率是 （ ） A B C D 5如图，已知点 P 是函数 f（x）Acos（x+）（xR，A0，|）图象上的一个最高点，M，N 是函数 f（x）的图象与 x 轴的两个交点，若0，则 A 的值为（ ） A2 B C4 D 6已知 A，B，C，D 四点均在半径为 R 的球 O 的球面上，ABC 的面积为R2，球心 O 到平面 ABC 的距离为，若三棱锥 DABC 体积的最大值为 24，则球 O 的表面积为（ ） A4 B16 C2
3、7 D64 7设 atan16+tan14+tan16tan14，bsin44cos14sin46cos76，c2sin14sin76，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbca Dcab 8已知ABC 外接圆的圆心为 O，半径为 1设点 O 到边 BC，CA，AB 的距离分别为 d1，d2，d3，若+1，则 d12+d22+d32（ ） A B1 C D3 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得选对的得 5 分
4、，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分. 9已知某班 10 名男生引体向上的测试成绩统计如表所示， 成绩 10 9 8 7 人数 1 4 3 2 则下列说法正确的有（ ） A这 10 名男生引体向上测试成绩的平均数为 7.4 B这 10 名男生引体向上的测试成绩没有众数 C这 10 名男生引体向上测试成绩的中位数 8.5 D这 10 名男生引体向上测试成绩的 20 百分位数为 7.5 10下列说法正确的有（ ） A设 z1，z2是两个虚数，若 z1+z2，和 z1z2均为实数，则 z1，z2是共轭复数 B若 z1z20，则 z1与互为共轭复数 C设 z1，z
5、2是两个虚数，若 z1与 z2是共轭复数，则 z1+z2和 z1z2均是实数 D若 z1+z2R，则 z1与 z2互为共轭复数 11在平面直角坐标系 xOy 中，OAB 的三个顶点 O，A，B 的坐标分别为（0，0），（x1，y1），（x2，y2），设 ， ， ，则（ ） ASOAB BSOAB CSOAB（R 为OAB 外接圆的半径） DSOAB|x1y2x2y1| 12在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 BC1上的动点，则下列结论正确的有（ ） AA1DD1P B三棱锥 AB1PD1的体积为定值 C存在点 P 使得APD1 D直线 DP平面 AB1D1 三、填空
6、题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请将答案填写在答题卡相应的位置上请将答案填写在答题卡相应的位置上. 13若 sincossincossinx，请写出一个符合要求的 x 14若数据 3（a1+1），3（a2+1），3（a7+1）的方差为 9，则数据 a1，a2，a7的方差为 15 如图， 由若干个边长为 1 的正方形拼接而成一个矩形 A0B0B2021A2021， 则 （+） 16如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高已知拟柱体
7、ABCDA1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1和下底面 ABCD 均为平行四边形，点 E，F，G，H 分别为侧棱 AA1，BB1，CC1，DD1，的中点，记三角形 D1HG 的面积为 S1，梯形 CC1D1D 的面积为 S2，则 ；若三棱锥 D1EGH 的体积为 1，则四棱锥 EBCC1B1的体积为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知平面向量 ， 满足 + （3，6）， （m，2），其中 mR （1）若 ，求| |； （2）若 m5，求 与 夹角的余弦值 18已知复
8、数 z1（1+i）2，设 z2 （1）求复数 z2； （2）若复数 z 满足，z+z2，求|z| 19在平面四边形 ABCD 中，ADB，AB7 （1）若 BD5，求ABD 的面积； （2）若 BCBD，BAC，BC，求 sinABD 20今年四月份某单位组织 120 名员工参加健康知识竞赛，将 120 名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示 （1）求实数 a 的值，并求 80 分是成绩的多少百分位数？ （2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩； （3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间90，100内的员工中，随机选取 2 名员工到某社区开展“学知识、健体魄”活动已知这
9、次健康知识竞赛成绩落在区间90，100内的员工中恰有 3 名男性，求至少有1 名男性员工被选中的概率 21如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABAC，PAAC2， AB2，E 为 PC 的中点，过点 A 作 AFBE，垂足为点 F （1）求证：AF平面 PBC； （2）求 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值 22在斜三角形 ABC 中，已知 tanBtanC，tanB+tanC （1）求 A； （2）设 0 x，若sinA，求 tanx 的值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分）分）. 1设 z13+i，z2
10、1+mi，若 z1z2为纯虚数，则实数 m（ ） A3 B C D3 解：z13+i，z21+mi， z1z2（3+i）（1+mi）3+3mi+i+mi2（3m+1）i+（3m）， z1z2为纯虚数， 3m0，即 m3 故选：D 2某校高一年级 1000 名学生的血型情况如图所示某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 50 的样本，则从高一年级 A 型血的学生中应抽取的人数是（ ） 图中数据：A 型 22%，B 型 28%，O 型 38%，AB 型 12% A11 B22 C110 D220 解：根据分层抽样的定义可得， 从高一年级 A 型血的学生
11、中应抽取的人数是 5022%11； 故选：A 3在ABC 中，tanA2，BC10，AC5，则 tanB（ ） A B C D1 解：因为 tanA2， 所以 sin2A+cos2Asin2A+1，可得 sin2A， 所以 sinA， 又 BC10，AC5， 由正弦定理，可得 sinB，可得 cosB， 则 tanB 故选：C 4 甲、 乙两位同学独立地解答某道数学题， 若甲、 乙解出的概率都是， 则这道数学题被解出的概率是 （ ） A B C D 解：当甲，乙都解不出时，这道数学题不被解出，概率为； 所以这道数学题被解出的概率是 故选：C 5如图，已知点 P 是函数 f（x）Acos（x+）
12、（xR，A0，|）图象上的一个最高点，M，N 是函数 f（x）的图象与 x 轴的两个交点，若0，则 A 的值为（ ） A2 B C4 D 解：函数 f（x）Acos（x+）的周期 T，则|MN|， 又0，MPN 为等腰直角三角形， ，A 故选：B 6已知 A，B，C，D 四点均在半径为 R 的球 O 的球面上，ABC 的面积为R2，球心 O 到平面 ABC 的距离为，若三棱锥 DABC 体积的最大值为 24，则球 O 的表面积为（ ） A4 B16 C27 D64 解：如图， 设三角形 ABC 的外心为 G，其外接球的球心为 O，则 OG平面 ABC， 且 OG，要使三棱锥 DABC 体积的最
13、大，则 D 在 GO 的延长线上，此时 ODR， ABC 的面积为R2，三棱锥 DABC 体积的最大值为24， 解得 R4， 球 O 的表面积为 44264 故选：D 7设 atan16+tan14+tan16tan14，bsin44cos14sin46cos76，c2sin14sin76，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbca Dcab 解：tan30tan（16+14）， tan16+tan14， atan16+tan14+tan16tan14， bsin44cos14sin46cos76sin44cos14cos44sin14sin（4414）sin30， c2
14、sin14sin762sin14cos14sin28， abc 故选：A 8已知ABC 外接圆的圆心为 O，半径为 1设点 O 到边 BC，CA，AB 的距离分别为 d1，d2，d3，若+1，则 d12+d22+d32（ ） A B1 C D3 解：不影响一般性，设 A（1，0），B（1，0），C（0，1），如图， 此时1+0+01， 容易知道，d30， 所以， 故选：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得选对的得 5 分，有选错
15、的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分. 9已知某班 10 名男生引体向上的测试成绩统计如表所示， 成绩 10 9 8 7 人数 1 4 3 2 则下列说法正确的有（ ） A这 10 名男生引体向上测试成绩的平均数为 7.4 B这 10 名男生引体向上的测试成绩没有众数 C这 10 名男生引体向上测试成绩的中位数 8.5 D这 10 名男生引体向上测试成绩的 20 百分位数为 7.5 解：根据 成绩 10 9 8 7 人数 1 4 3 2 所以：对于 A：这 10 名男生引体向上的平均值为，故 A 错误； 对于 B：这 10 名男生引体向上的测试成绩众数为 9，故
16、B 错误； 对于 C：这 10 名男生引体向上测试成绩的中位数8.5，故 C 正确； 对于 D：这 10 名男生引体向上测试成绩的 20 百分位数为7.5，故 D 正确 故选：CD 10下列说法正确的有（ ） A设 z1，z2是两个虚数，若 z1+z2，和 z1z2均为实数，则 z1，z2是共轭复数 B若 z1z20，则 z1与互为共轭复数 C设 z1，z2是两个虚数，若 z1与 z2是共轭复数，则 z1+z2和 z1z2均是实数 D若 z1+z2R，则 z1与 z2互为共轭复数 解：对于选项 A：设 z1a+bi，z2c+di，（a，b，c，dR）， 则 b0，d0，b+d0，ad+bc0，
17、故 bd0，ac， 故 z1，z2是共轭复数，故正确； 对于选项 B：z1z20，z1z2，又z2与互为共轭复数，z1与互为共轭复数，故正确； 对于选项 C：设 z1a+bi，则 z2abi，（a，bR，b0）， 则 z1+z22aR，z1z2a2+b2R，故正确； 对于选项 D：设 z13+i，z24i，则 z1+z27，但 z1与 z2不互为共轭复数，故错误； 故选：ABC 11在平面直角坐标系 xOy 中，OAB 的三个顶点 O，A，B 的坐标分别为（0，0），（x1，y1），（x2，y2），设 ， ， ，则（ ） ASOAB BSOAB CSOAB（R 为OAB 外接圆的半径） DSO
18、AB|x1y2x2y1| 解：由正弦定理可得2R（R 为OAB 外接圆的半径）， 所以| |，| |，sinAOB， 所以SOAB|sinAOB| | |sinAOB， 故A错误； SOAB|sinAOB| | |，故 C 错误， SOAB|sinAOB | |x1y2x2y1|，故 B，D 正确 故选：BD 12在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 BC1上的动点，则下列结论正确的有（ ） AA1DD1P B三棱锥 AB1PD1的体积为定值 C存在点 P 使得APD1 D直线 DP平面 AB1D1 解：对于 A，D1C1平面 AA1D1D，则 D1C1A1D， A1
19、DAD1，则 A1DD1B，而 D1BD1C1D1， A1D平面 D1C1B，而 D1P平面 D1C1B， A1DD1P，故 A 正确； 对于 B，AD1BC1，AD1平面 AD1B1，BC1平面 AD1B1， BC1平面 AD1B1，则 P 到平面 AD1B1的距离为定值， 为定值，故 B 正确； 对于 C，两平行线 AD1与 BC1间的距离为 1，则平面 ABC1D1内以 AD1为直径的圆与 BC1无交点， 故APD1为锐角，C 错误； 对于 D，ADB1C1，ADB1C1，四边形 AB1C1D 为平行四边形，可得 AB1DC1， 同理可证 DBD1B1，而 DBDC1D，平面 DBC1平
20、面 AB1D1， 而 DP平面 DBC1，直线 DPAB1D1，故 D 正确 故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请将答案填写在答题卡相应的位置上请将答案填写在答题卡相应的位置上. 13若 sincossincossinx，请写出一个符合要求的 x 解：sincossincossinx， x 或， 当 k0 时，x符合题意 故答案为： 14若数据 3（a1+1），3（a2+1），3（a7+1）的方差为 9，则数据 a1，a2，a7的方差为 1 解：数据 3（a1+1），3（a2+1），3（a7+1）的方差为 9， 则数
21、据 a1，a2，a7的方差为：1 故答案为：1 15 如图， 由若干个边长为 1 的正方形拼接而成一个矩形 A0B0B2021A2021， 则 （+） 2021 解：由图可知，即（k1，2，.，2021）， 又， （+） +.+ 1+1+.+12021 故答案为：2021 16如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高已知拟柱体 ABCDA1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1和下底面 ABCD 均为平行四边形，点 E，F，G，H 分别为侧棱 AA1，BB1，CC1，DD1，的中点，记三
22、角形 D1HG 的面积为 S1，梯形 CC1D1D 的面积为 S2，则 ；若三棱锥 D1EGH的体积为 1，则四棱锥 EBCC1B1的体积为 4 解：由条件知 CDD1C1为梯形，设 CDa，C1D1b，则 HG 设梯形的高为 h，则，所以 因为 EFGH 为平行四边形，所以； 因为 D1C1平面 EFGH，所以，所以 因为，所以 故答案为： 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知平面向量 ， 满足 + （3，6）， （m，2），其中 mR （1）若 ，求| |； （2）若
23、 m5，求 与 夹角的余弦值 解：（1） + （3，6）， （m，2）， （，2）， （，4）， ， ，解得 m1， （1，2），| （2）当 m5 时， （1，2）， （4，4）， 1（4）+244， ， 设 与 的夹角为 ，则 cos， 故 与 夹角的余弦值为 18已知复数 z1（1+i）2，设 z2 （1）求复数 z2； （2）若复数 z 满足，z+z2，求|z| 解：（1）z1（1+i）22i， z2 故 z2 （2）设复数 zx+yi（其中 x，yR） 由， 得， 所以， 解得 x1 由 z+z2， 得， 所以， 解得 所以 z 故 19在平面四边形 ABCD 中，ADB，AB7 （
24、1）若 BD5，求ABD 的面积； （2）若 BCBD，BAC，BC，求 sinABD 解：（1）在ABD 中，由余弦定理得 ABAD+BD2ADBDcosADB， 即 7AD+52AD5（），整理得 AD+5AD240， 解得 AD3，或 AD8（舍去）； 所以ADBDsin35sin， （2）设ABD（0），则BCA（+）， 在ABC 中，由正弦定理得， 即，所以 sin（）， 因为 0，所以 0， cos（）， sinsinsincos（）cossin（）， 20今年四月份某单位组织 120 名员工参加健康知识竞赛，将 120 名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示 （1）求实数
25、 a 的值，并求 80 分是成绩的多少百分位数？ （2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩； （3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间90，100内的员工中，随机选取 2 名员工到某社区开展“学知识、健体魄”活动已知这次健康知识竞赛成绩落在区间90，100内的员工中恰有 3 名男性，求至少有1 名男性员工被选中的概率 解：（1）10（a+3a+4a+5a+6a+a）1，解得 a0.005， 110（40.005+0.005）0.75， 80 分是成绩的 75 百分位数 （2）450.05+550.15+650.25+750.30+850.20+950.0571（分）， 这次知识
26、竞赛的平均成绩是 71 分 （3）这次知识竞赛成绩落在区间90，100内的员工有 1200.056 名， 记“至少有一个男性员工被选中”为事件 A， 记这 6 人为 1，2，3，4，5，6 号，其中男性员工为 1，2，3 号， 则样本空间： （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）， A（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6）， P（A） 至少有 1 名男性
27、员工被选中的概率为 21如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ABAC，PAAC2， AB2，E 为 PC 的中点，过点 A 作 AFBE，垂足为点 F （1）求证：AF平面 PBC； （2）求 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值 解：（1）证明：在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC， AB平面 ABC，PAAB， ABAC，PAACA，PA平面 PAC，AC平面 PAC， AB平面 PAC， 又 PC平面 PAC，ABPC， 在PAC 中，由 E 为 PC 的中点，且 PAAC，可知 AEPC， ABAEA，AB平面 ABE，AE平面 ABE， PC平面 ABE， 又 AF平
28、面 ABE，PCAF， AFBE，PCBEE，PC平面 PBC，BE平面 PBC， AF平面 PBC （2）由（1）知，AF平面 PBC， AE 与平面 PBC 所成角为AEF， 又由（1）知，AB平面 PAC，AE平面 PAC，ABAE， 由 PA平面 ABC，又 AC平面 ABC，PAAC， 在 RtPAC 中，由 PAAC2，E 为 PC 的中点，得 AE， 在 RtABE 中，BE， AF， AE 与平面 PBC 所面角的正弦值为 22在斜三角形 ABC 中，已知 tanBtanC，tanB+tanC （1）求 A； （2）设 0 x，若sinA，求 tanx 的值 解：（1）在斜三角形 ABC 中，A+B+C， tanBtanC，tanB+tanC tanAtan（B+C）tan（B+C）， 又0A， （2）sinA， sinA， cosBcosCtan2x+sin（B+C）tanA+sinBsinCsinA， 由（1）可知 A， sin（B+C）sin， tanB+tanC， ，即 sin（B+C）， cosBcosC， 又cos（B+C）cos， ， sinBsinC， 式可化为 6tan2x+5tanx40，解得 tanx或 tanx， 0 x， tanx
