1、2022年江西省抚州八校联考九年级第三次质量检测数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题只有一个正确选项）1. 的倒数是（ ）A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 2022年2月7日，中国女足不屈不挠、力闯难关，以骄人战绩时隔16年再次夺得亚洲杯冠军如图所示，小楠将“中国女足夺冠”这句话写在了一个正方体的表面展开图上，那么在原正方体中，与“冠”所在面相对的面上的汉字是（ ）A. 中B. 国C. 女D. 足4. 如图，与，分别交于点E，G，F，且，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 5. 若一次函数的图象不经过第四象限，则m的取值范围是（
2、 ）A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形，为中点，延长至，使：，连接交于点，若的面积是，则五边形的面积是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题）7. 函数y的自变量x的取值范围是_8. 截至2022年5月5日，据平台数据显示，电影长津湖之水门桥累计票房破40.61亿，长津湖系列电影总票房达98.36亿，成为中国电影史系列电影票房冠军将数据98.36亿用科学记数法表示为_9. 设、分别为一元二次方程的两个实数根，则_10. 如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D落在BAC的内部，若CAD=33，则CAE的度数为_11. 中国古代大数学家张丘建在
3、其著作张丘建算经三卷中，用开方法解决了求自然数算术平方根的近似值问题即若设自然数为，它的算术平方根的整数部分为，则按照上述取近似值的方法，_（精确到）12. 在边长为的等边三角形中，点在边上，且，点是射线上不与点A重合的一点，若中有一个角与相等，则的长为_三、解答题13. （1）计算：；（2）解方程组14. 先化简代数式，然后从3x1范围内选取一个合适的整数作为x的值，代入求代数式值15. 为有效预防和打击电信诈骗犯罪活动，政法系统在全国各地深人推进“全民反诈”，组织了各类反诈骗宣传活动，打击诈骗分子已知某校南、北两个校区各有三名学生宣传委员，为了更好地进行反诈知识宣传，从南、北两个校区的宣传
4、委员中，各随机抽取一名学生做反诈知识宣传负责人，已知南校区的三名宣传委员均是女生，北校区的三名宣传委员中有两名女生和一名男生（1）从南校区抽取反诈知识宣传负责人是一名男生，这一事件是_事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）；（2）求抽取的两位反诈知识宣传负责人恰好是一男一女的概率（请用画树状图或列表的方法）16. 如图所示，四边形是半圆的内接四边形，是半圆的直径，点是弧的中点，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹）（1）在图（1）中，作一个等腰三角形；（2）在图（2）中，作一个以为对角线的矩形17. 临川仙盖山是江西省5A级乡村旅游景区，也是国家级4A级旅游景区，是江西省中小学研
5、学实践教育基地之一为了激发学生个人潜能和打造团队精神，抚州市某学校组织学生去仙盖山研学基地开展了为期一天的素质拓展活动已知仙盖山景区成人票每张30元，学生票每张15元（1）某班教师和学生一共去了50人，门票共需810元，求这个班参与活动的教师和学生各有多少人？（2）某旅行网上有两种优惠活动，活动一，买一张成人票送一张学生票；活动二，满48人可购团体票，团体票价享受9折优惠小惠班里教师和学生一共去了50人，她计算后发现按活动二购买门票更划算，则小惠班里参与活动的教师最多有多少人？18. 2021年，河南省多地义务教育阶段学校积极响应教育部号召，提供课后延时服务，并因地制宜，各具特色河南省某市教育
6、局为了解该市中学课后延时服务的开展情况，从甲、乙两所中学中各随机抽取100名学生的家长进行问卷调查，将每位学生家长对延时服务的评分记为x，将所得数据分为5组（A90x100；B80x90；C.70x80；D.60x70；E.0x60），并对数据进行整理、分析，得到部分信息如下：a甲中学延时服务得分情况扇形统计图b乙中学延时服务得分情况颊数分布表（不完整）组别频数A15BC30D10E5c将乙中学在B组的得分按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：81，81，81，82，82，83，83，83，83，83d甲、乙两中学延时服务得分的平均数中位数、众数如下表：学校平均数中位数众数甲757980乙7
7、8b83根据以上信息，回答下列问题：（1）a ，b （2）已知乙中学共有3000名学生，若对延时服务的评分在80分以上（含80分）表示认为学校延时服务合格，请你估计乙中学有多少名学生的家长认为该校延时服务合格（3）小明说：“乙中学的课后延时服务开展得比甲中学好”你同意小明的说法吗？请写出一条理由19. 如图（1）是一架踏板式人字梯，图（2）是其侧面抽象示意图，是攀爬梯，是支撑梯在攀爬梯上焊接了块宽度相同的踏板，当梯子完全撑开时，踏板均平行于水平地面，且相邻两块踏板之间的竖直距离及地面与最低一层踏板之间的竖直距离均为，最上面一层踏板正好可以连接两边的梯子与已知（1）求这架人字梯的张角的大小；（2
8、）求人字梯的最高点到水平地面的距离（结果精确到)（参考数据：，）20. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的垂直平分线交双曲线与点（1）若点的坐标为，则点的坐标为 （2）若，点的横坐标为求与之间的关系式；连接，若的面积为6，求的值21. 如图，RtABC中，ABC=90，以AB为直径作O，交AC于点E，点D为O上一点，且CD=CB连接DO并延长交CB的延长线于点F（1）求证：CD是的切线（2）若，连接求图中阴影部分的面积；求DF长22. 在数学学习过程中，我们总是从一些最简单的图形出发，研究其中的边角关系，然后再应用所得到的结论去解决其他较复杂的问题（1）【基本图形】如图（1），在中，则
9、（用含，的式子表示）（2）【解決问题】在中， ，如图（2），是边上一动点，点关于，的对称点分别是，连接，请写出与的数量关系，并说明理由；如图（3），若，分别是边，上的动点，则的周长的最小值为 （3）【应用拓展】如图（4），分别是边长为的正方形的边，上的动点，且，分别是的边，上的动点，请直接写出的周长的最小值23. 我们约定a，b，c为二次函数的“相关数”【特例感知】“相关数”为1，4，3的二次函数的解析式为，“相关数”为2，5，3的二次函数的解析式为；“相关数”为3，6，3的二次函数的解析式为；（1）下列结论正确的是_（填序号）抛物线，都经过点；抛物线，与直线都有两个交点；抛物线，有两个交点【
10、形成概念】把满足“相关数”为n，n+3，3（n为正整数）的抛物线称为“一簇抛物线”，分别记为，抛物线与轴的交点为，【探究问题】（2）“簇抛物线”，都经过两个定点，这两个定点坐标分别为 拋物线顶点为，是否存在正整数，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由当时，抛物线与轴的左交点，与直线的一个交点为，且点不在轴上判断和是否相等，并说明理由2022年江西省抚州八校联考九年级第三次质量检测数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题只有一个正确选项）1. 的倒数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据倒数的概念求解即可.【详解】根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接
11、得到-的倒数为故选A2. 下列计算正确的是（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用同底数幂的乘除运算法则，积的乘方法则以及完全平方公式逐项判断即可【详解】解：A、，原式错误，故本选项错误；B、，原式错误，故本选项错误；C、，原式正确，故本选项正确；D、，原式错误，故本选项错误故选：C【点睛】本题考查了同底数幂的乘除运算，积的乘方以及完全平方公式，掌握运算法则是解答本题的关键3. 2022年2月7日，中国女足不屈不挠、力闯难关，以骄人战绩时隔16年再次夺得亚洲杯冠军如图所示，小楠将“中国女足夺冠”这句话写在了一个正方体的表面展开图上，那么在原正方体中，与“冠”所在面相对的面上的
12、汉字是（ ）A. 中B. 国C. 女D. 足【答案】B【解析】【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可【详解】解：由正方体的表面展开图可知，与“冠”所在面相对的面上的汉字是“国”故选：B【点睛】本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征，正确判断正方体展开图中“相对的面”是正确解答的关键4. 如图，与，分别交于点E，G，F，且，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定定理，可判断A，根据平行线的性质，可判断B，D，根据锐角三角函数的定义，可判断C，进而即可得到答案【详解】解：，故A正确，不符合题意；，故B正确，不符合题意；，即
13、：GFC=90，故D正确，不符合题意；又，即：，故C错误，符合题意 故选C【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键5. 若一次函数的图象不经过第四象限，则m的取值范围是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一次函数y=（2m+1）x-m +3的图象不经过第四象限，可知，然后求解即可【详解】解：一次函数y=（2m+1）x-m +3图象不经过第四象限，解得，故选：D【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确一次函数的性质，列出相应的不等式组，求出m的取值范围6. 如图，平行四边形，
14、为中点，延长至，使：，连接交于点，若的面积是，则五边形的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】连接，先由平行四边形的性质得，及；再由为中点及得的比值；然后由，证得，最后由相似三角形的面积比等于相似比的平方及和之间的关系，可得答案【详解】解：连接，如图所示：四边形是平行四边形，为中点，取的中点，连接，如图所示：，故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及等高三角形的面积关系等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键二、填空题（本大题共6小题）7. 函数y的自变量x的取值范围是_【答案】x2【解析】【分析】根据函数自变量取值范围的求法：有分母时，
15、分母不为0；有二次根式时，被开方数非负，由此计算结果即可.【详解】解：根据题意可得：，解得：x2故答案是：x2.【点睛】本题主要考察函数自变量取值范围的问题，正确分析关系式和列式计算是解题的关键.8. 截至2022年5月5日，据平台数据显示，电影长津湖之水门桥累计票房破40.61亿，长津湖系列电影总票房达98.36亿，成为中国电影史系列电影票房冠军将数据98.36亿用科学记数法表示为_【答案】9.836109【解析】【分析】科学记数法表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同【详解】解：将98.36
16、亿用科学记数法表示为：9.836109故答案为：9.836109【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值9. 设、分别为一元二次方程的两个实数根，则_【答案】-7【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数关系与方程解的概念得到，根据所求通过恒等变形求解即可【详解】解：、分别为一元二次方程的两个实数根，由可得，即，即，故答案为：-7【点睛】本题考查代数式求值，涉及到一元二次方程根与系数关系、方程解的概念，根据所求代数式，准确将已知条件恒等变形求值是解决问题的关键10. 如图，将一张正方形纸片ABCD的
17、一角沿AE折叠，点D的对应点D落在BAC的内部，若CAD=33，则CAE的度数为_【答案】6#6度【解析】【分析】设CAE=，根据折叠的性质列式+33+=45，解之可得答案【详解】解：设CAE=，根据折叠的性质知DAE=DAE=CAE+DAC=+33，四边形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的对角线，CAD=45，即DAE+CAE=+33+=45，解得：=6，CAE的度数为6，故答案为：6【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题11. 中国古代大数学家张丘建在其著作张丘建算经三卷中，用开方法解决了求自然数算术平方根的近似值问题即若设自然数为，它的
18、算术平方根的整数部分为，则按照上述取近似值的方法，_（精确到）【答案】【解析】【分析】先估算出的大小，得到a的值，代入求解即可【详解】解：91016，34，整数部分为3，即a=3，故答案为：【点睛】本题考查了估算无理数的大小，代数式的求值，利用估算得出得出a的值是解题的关键12. 在边长为的等边三角形中，点在边上，且，点是射线上不与点A重合的一点，若中有一个角与相等，则的长为_【答案】或或【解析】【分析】过点A作于点E，首先根据等边三角形的性质及解直角三角形，可求得DE、AE、AD的长，再分三种情况，根据相似三角形的判定与性质，即可分别求得【详解】解：如图：过点A作于点E是等边三角形，DE=B
19、E-BD=2-1=1 如上图：当点P在线段AD上，在中，时 ，得 得， 此时 如图：当点P在线段AD的延长线上，在中，时 ， 得， 解得或PD=0(舍去)此时 如图：当点P在线段AD的延长线上，在中，时，过点B作于点F， 又 ，得 解得此时 综上，AP的长为或或【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，分三种情况，画出图形及辅助线是解决本题的关键三、解答题13. （1）计算：；（2）解方程组【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂运算、绝对值运算和零指数幂运算分别进行，然后利用有理数的加减运算法则求解即可；（2）根据二元一次方程组的解法采用加
20、减消元法求解即可【详解】解：（1）；（2），由得，解得，将代入得，解得，方程组的解为：【点睛】本题考查实数混合运算及二元一次方程组的解法，涉及到负整数指数幂运算、绝对值运算、零指数幂运算及加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则及求解方程的方法是解决问题的关键14. 先化简代数式，然后从3x1的范围内选取一个合适的整数作为x的值，代入求代数式值【答案】，当时，【解析】【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件和不等式确定x的值，代入计算即可【详解】解：，当时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键15. 为有效预防和打击电信诈骗犯罪
21、活动，政法系统在全国各地深人推进“全民反诈”，组织了各类反诈骗宣传活动，打击诈骗分子已知某校南、北两个校区各有三名学生宣传委员，为了更好地进行反诈知识宣传，从南、北两个校区的宣传委员中，各随机抽取一名学生做反诈知识宣传负责人，已知南校区的三名宣传委员均是女生，北校区的三名宣传委员中有两名女生和一名男生（1）从南校区抽取的反诈知识宣传负责人是一名男生，这一事件是_事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）；（2）求抽取的两位反诈知识宣传负责人恰好是一男一女的概率（请用画树状图或列表的方法）【答案】（1）不可能 （2）【解析】【分析】（1）在一定条件下，不可能发生的事件为不可能事件，根据不可能事件的
22、含义可得答案；（2）利用列表的方法得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式进行计算即可【小问1详解】解：从南校区抽取的反诈知识宣传负责人是一名男生，这一事件是不可能事件，故答案为：不可能【小问2详解】解：列表如下：记南校区3名女生分别为A，B，C，记北校区2名女生分别为D，E，男生为F，ABCDD，AD，BD，CEE，AE，BE，CFF，AF，BF，C所以的等可能的结果数为9种，恰好是一男一女的结果数有3种，抽取的两位反诈知识宣传负责人恰好是一男一女的概率为【点睛】本题考查的是随机事件，不可能事件的含义，利用列表法或画树状图求解等可能事件的概率，掌握“列表法或画树状图法”是解
23、本题的关键16. 如图所示，四边形是半圆的内接四边形，是半圆的直径，点是弧的中点，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹）（1）在图（1）中，作一个等腰三角形；（2）在图（2）中，作一个以为对角线的矩形【答案】（1）见解析； （2）见解析【解析】【分析】（1）根据圆周角定理及等腰三角形的性质作图即可得；（2）根据圆周角定理、等腰三角形的性质及矩形的判定即可得【小问1详解】解：三角形如图所示：连接AC，延长BC、AD相交于点E，点C是弧BD的中点，BAC=DAC，AB是圆O的直径，ACB=90，ACBC，ABE是等腰三角形；【小问2详解】解：矩形DMON如图所示：连接OC、BD相交于点
24、M，连接OD，过点O作ONAD于点N，点C是弧BD的中点，OB=OD，OC是BD的垂直平分线，DMO=90，AB是圆O的直径，ADB=90，ONAD，DNO=90，四边形DMON是矩形【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，圆周角定理，矩形的判定定理等，理解题意，综合运用这些知识点进行作图是解题关键17. 临川仙盖山是江西省5A级乡村旅游景区，也是国家级4A级旅游景区，是江西省中小学研学实践教育基地之一为了激发学生个人潜能和打造团队精神，抚州市某学校组织学生去仙盖山研学基地开展了为期一天的素质拓展活动已知仙盖山景区成人票每张30元，学生票每张15元（1）某班教师和学生一共去了50人，门票共需81
25、0元，求这个班参与活动的教师和学生各有多少人？（2）某旅行网上有两种优惠活动，活动一，买一张成人票送一张学生票；活动二，满48人可购团体票，团体票价享受9折优惠小惠班里教师和学生一共去了50人，她计算后发现按活动二购买门票更划算，则小惠班里参与活动教师最多有多少人？【答案】（1）教师有4人，学生有46人 （2）5【解析】【分析】（1）分别根据一共50人、共花费810元作为等量关系列方程组；（2）根据选择方案二，得到方案二的花费小于方案一的花费列不等式求解【小问1详解】解：设个班参与活动的教师有x人，学生有y人,根据题意得解得 答：设个班参与活动的教师有4人，学生有46人【小问2详解】设小惠班里
26、参与活动的教师有x人,根据题意得0.930x+0.915(50-x)30x+15(50-x-x)解得x 又x为自然数，x的最大值为5，答：小惠班里参与活动的教师最多有5人【点睛】本题考查列方程组和一元一次不等式解决实际问题，解决问题的关键是确定满足题意的等量关系以及不等量关系18. 2021年，河南省多地义务教育阶段学校积极响应教育部号召，提供课后延时服务，并因地制宜，各具特色河南省某市教育局为了解该市中学课后延时服务的开展情况，从甲、乙两所中学中各随机抽取100名学生的家长进行问卷调查，将每位学生家长对延时服务的评分记为x，将所得数据分为5组（A90x100；B80x90；C.70x80；D
27、.60x70；E.0x60），并对数据进行整理、分析，得到部分信息如下：a甲中学延时服务得分情况扇形统计图b乙中学延时服务得分情况颊数分布表（不完整）组别频数A15BC30D10E5c将乙中学在B组的得分按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：81，81，81，82，82，83，83，83，83，83d甲、乙两中学延时服务得分的平均数中位数、众数如下表：学校平均数中位数众数甲757980乙78b83根据以上信息，回答下列问题：（1）a ，b （2）已知乙中学共有3000名学生，若对延时服务的评分在80分以上（含80分）表示认为学校延时服务合格，请你估计乙中学有多少名学生的家长认为该校延时服务合
28、格（3）小明说：“乙中学的课后延时服务开展得比甲中学好”你同意小明的说法吗？请写出一条理由【答案】（1）10，82.5 （2）1650 （3）同意，理由见解析【解析】【分析】（1 ）先求出B组对应的百分比，再根据百分比之和为1可得a的值；求出乙中学B组人数，再根据中位数的定义可得b的值；（2 ）用总人数乘以样本中成绩在80分以上（含80分）人数所占比例即可；（ 3）根据中位数、平均数和众数的意义求解即可【小问1详解】B组对应百分比为100%40%，a%1（40%+25%+18%+7%）10%，即a10，乙学校B组人数为100（15+30+10+5）40（人），其中位数为第50、51个数据的平均
29、数，而这两个数据为82、83，其中位数b82.5，故答案为：10、82.5【小问2详解】估计乙中学学生的家长认为该校延时服务合格的人数为30001650（人）【小问3详解】同意因为乙中学延时服务得分的平均数大于甲中学【点睛】本题考查了统计图的意义，样本估计总体思想，中位数的计算，熟练掌握统计图的意义，中位数的计算方法是解题的关键19. 如图（1）是一架踏板式人字梯，图（2）是其侧面抽象示意图，是攀爬梯，是支撑梯在攀爬梯上焊接了块宽度相同的踏板，当梯子完全撑开时，踏板均平行于水平地面，且相邻两块踏板之间的竖直距离及地面与最低一层踏板之间的竖直距离均为，最上面一层踏板正好可以连接两边的梯子与已知（
30、1）求这架人字梯的张角的大小；（2）求人字梯的最高点到水平地面的距离（结果精确到)（参考数据：，）【答案】（1）=23 （2）203.4cm【解析】【分析】（1）过A作AFDE于点F，在RtADF中，可求得DAF的正弦值，对照题中给出的数值，可求得DAF的度数，根据等腰三角形三线合一，可得BAC的度数；（2）在RtADF中，运用锐角三角函数可得AF的长，由AD=AM，则可得点M到DE的距离为2AF，点M到DE的距离，加上点D到BC的距离，即为所求【小问1详解】解：如图，过A作AFDE于点F，由题意可得，AD=AE，DF=EF=8cm，DAF=，在RtADF中，sinDAF=，DAF=11.5，
31、=23【小问2详解】解：在直角三角形ADF中，cosDAF=0.98，AF=0.98AD=39.2cm，AD=AM=40cm，点M到DE的距离为2AF=78.4cm，相邻两块踏板之间的竖直距离及地面与最低一层踏板之间的竖直距离均为，人字梯的最高点到水平地面的距离为78.4+525=203.4cm【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用，根据题意作出辅助线，由三角函数值得到角的度数是解题的关键20. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，的垂直平分线交双曲线与点（1）若点的坐标为，则点的坐标为 （2）若，点的横坐标为求与之间的关系式；连接，若的面积为6，求的值【答案】（1）； （2）；【解析】【分
32、析】（1）由点A坐标可求得反比例函数解析式，根据PD垂直平分AB可得P点纵坐标，进而可求P点横坐标；（2）首先证明PAB，DAP和DBP是等腰直角三角形，可得DADBDP，表示出P点坐标，代入反比例函数解析式，整理即可得出结果；过点P作PCx轴于点C，求出SAOPS梯形PABC6，根据梯形的面积公式列式计算即可【小问1详解】解：将A代入得：，即，PD垂直平分AB，AB8，P点纵坐标为4，P点横坐标为，点的坐标为，故答案为：；【小问2详解】由题意得，点A的纵坐标为，即AB，PD垂直平分AB，PAPB，PAB是等腰直角三角形，PABPBA45，PDAB，DAP和DBP是等腰直角三角形，DADBDP
33、，P（），将P（）代入可得：，整理得：；过点P作PCx轴于点C，则四边形PABC是梯形，SAOBSPOC，SAOES四边形PEBC，SAOPS梯形PABC6，整理得：，解得：或（舍去），【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法的应用，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义等，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键21. 如图，RtABC中，ABC=90，以AB为直径作O，交AC于点E，点D为O上一点，且CD=CB连接DO并延长交CB的延长线于点F（1）求证：CD是的切线（2）若，连接求图中阴影部分的面积；求DF的长【答案】（1）见解析
34、 （2）阴影部分的面积为；DF=8【解析】【分析】（1）连接OC，如图，证明CODCOB得到CDO=CBO=90，然后根据切线的判定定理可判断CD为O的切线；（2）证明OE是三角形的中位线，得到OE的长和EOB=90，利用扇形面积公式和三角形面积公式即可求解；证明FBOFDC，根据相似三角形的性质得到，设BF=x，DF=2x，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论【小问1详解】证明：如图，连接OC，在OCB与OCD中，OCBOCD（SSS），ODC=OBC=90，ODDC，DC是O的切线；【小问2详解】解：连接OE，AB为O的直径，AEB=90，AE=EC，OE=BC=3，OEBC，OE=
35、OB=3，EOB=90，阴影部分的面积=S扇形EOB -SEOB=-33=；AB=CB=6，CD=CB，CD=6，FBO=FDC=90，F=F，FBOFDC，设BF=x，DF=2x，OF=2x-3，OF2=OB2+BF2，（2x-3）2=32+x2，x=4，x=0（不合题意，舍去），BF=4，DF=8【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，扇形的面积公式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键22. 在数学学习过程中，我们总是从一些最简单的图形出发，研究其中的边角关系，然后再应用所得到的结论去解决其他较复杂的问题（1）【基本图形】如图（
36、1），在中，则 （用含，的式子表示）（2）【解決问题】在中， ，如图（2），是边上一动点，点关于，的对称点分别是，连接，请写出与的数量关系，并说明理由；如图（3），若，分别是边，上的动点，则的周长的最小值为 （3）【应用拓展】如图（4），分别是边长为的正方形的边，上的动点，且，分别是的边，上的动点，请直接写出的周长的最小值【答案】（1） （2），理由见解析； （3）【解析】【分析】（1）过点A作ADBC交BC于点D，根据等腰三角形的性质可得，再由锐角三角函数，即可求解；（2）连接BD，CE，可得ABDABP，ACP ACE，从而得到BAD=BAP，CAP=CAE，进而得到ADE为等腰直角三角形
37、，再由勾股定理，即可求解；连接，DQ、ER，则DQ=PQ，PR=ER，可得当点D、Q、R、E四点共线时，PQR的周长最小，最小值为DE的长，再由，得到当AP最小时，PQR的周长最小，根据题意可得当APBC时，AP有最小值，再由ABC=60，BAC=45，可得BAP=30，CAP=15，从而得到，即可求解；（3）过点A作AHEF于点H，延长CB到点G，使BG=DF，连接AG，由（2）得：PQR周长的最小值为，先证明ABGADF，可得AG=AF，GAB=FAD，从而得到GAE=FAE=45，进而证得AGEAFE，即可求解【小问1详解】解 过点A作ADBC交BC于点D，AB=AC=m，即，故答案为：
38、；【小问2详解】解：，理由如下：如图，连接BD，CE，由题意知：AP=AD=AE，BD=BP，CP=CE，AB=AB，AC=AC，ABDABP，ACP ACE，BAD=BAP，CAP=CAE，DAE=BAD+BAP+CAP+CAE=2（BAP+CAP）=2BAC， ，DAE =90，ADE为等腰直角三角形，AD2+AE2=DE2，DE2=2AP2，；如图，连接，DQ、ER，则DQ=PQ，PR=ER，PQR的周长为PQ+QR+PR=DQ+QR+REDE，即当点D、Q、R、E四点共线时，PQR的周长最小，最小值为DE的长，当AP最小时，PQR的周长最小，根据题意得：当APBC时，AP有最小值，AB
39、C=60，BAC=45，ACB=75，当APBC时，APB=APC=90，BAP=30，CAP=15，PQR周长的最小值为；故答案为：【小问3详解】解：过点A作AHEF于点H，延长CB到点G，使BG=DF，连接AG，EAF=45，由（2）得：PQR周长的最小值为，在正方形ABCD中，AB=AD，ABG=ABC=D=90，ABGADF，AG=AF，GAB=FAD，GAF=90又EAF=45，GAE=FAE=45，又AE=AE，AGEAFE，AH=AB=2PQR周长的最小值为【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，最短距离问题，轴对称的性质，熟练掌握相关知识点，作
40、合适的辅助线构造全等三角形，并利用类比思想解答是解题的关键23. 我们约定a，b，c为二次函数的“相关数”【特例感知】“相关数”为1，4，3的二次函数的解析式为，“相关数”为2，5，3的二次函数的解析式为；“相关数”为3，6，3的二次函数的解析式为；（1）下列结论正确的是_（填序号）抛物线，都经过点；抛物线，与直线都有两个交点；抛物线，有两个交点【形成概念】把满足“相关数”为n，n+3，3（n为正整数）的抛物线称为“一簇抛物线”，分别记为，抛物线与轴的交点为，【探究问题】（2）“簇抛物线”，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 拋物线的顶点为，是否存在正整数，使是直角三角形？若存在，请求出的
41、值；若不存在，请说明理由当时，抛物线与轴的左交点，与直线的一个交点为，且点不在轴上判断和是否相等，并说明理由【答案】（1）（2）（0，3），（1，0）n=1或n=5；理由见解析；理由见解析【解析】【分析】（1）令x=0，得到，推出抛物线，都经过点；根据直线y=3，可知抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（4，3）；抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（25，3）；抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（2，3）；推出抛物线，与直线都有两个交点；x=1时，得到，得到抛物线，都经过点（1，0）；结合问结论推出抛物线，都经过点（1，0）和（0，3）两点；（2）写出“一簇抛物线”解析式：，；令x=0，令x=1，得到“一簇抛物线”都经过（0，3），（1，0）两点；配方，得到顶点，设抛物线的对称轴交x轴于点D，得到，根据对称性得到，根据，得到，令，解得x=1或，得到，推出，得到，推出，求得n=1或n=5；根据在点处，解得x=1（舍去），或，得到，同理可得，得到；根据在点处，解得x=0（舍去），或，得到，从而得到，推出，得到【详解】（1）当x=0时，=3，=3，=3，抛物线，都经过点；故正确；直线y=3，当=3时，解得x=0或x=4，抛物线与直线y=3有两个交点（0，3）和（4，3
