1、2021 年浙江省杭州市上城区七年级年浙江省杭州市上城区七年级下期末数学试卷下期末数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30分）分） 1. 下列各式是二元一次方程的是（ ） A. 2x2y0 B. 12xy C. xy D. 2304xyy 2. “潮涌”是 2022 年杭州亚运会会徽，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，如图是会徽的一部分，在以下四个选项中，能由该图经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使分式124x有意义，x的取值范围是（ ） A. x2 B. x2 C. x2 D. x1 4. 如图，直线
2、 EF 与直线 AB，CD相交图中所示的各个角中，能看做1的内错角的是（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 计算 422021482021622021结果为（ ） A. 2021 B. 20210 C. 202100 D. 2021000 6. 如图为某服装品牌公司 20162020 年销售额年增长率统计图，则这 5 年中，该公司销售额最大的是（ ）年 A. 2020 B. 2019 C. 2018 D. 2017 7. 一个长方形的面积是 15x3y510 x4y420 x3y2，一边长是 5x3y2，则它的另一边长是（ ） A. 2y33xy24 B. 3y32xy24 C.
3、 3y32xy24 D. 2xy23y34 8. 如图，BDCB180，AC平分DAB，且DDAC52，则D 的度数是（ ） A. 100 B. 105 C. 110 D. 120 9. 甲瓶糖水含糖量为1m，乙瓶糖水含糖量为1n，从甲、乙两瓶中各取质量相等的糖水混合制成新糖水的含糖量为（ ） A. 1mn B. mnnm C. mnnm2 D. 由所取糖水质量而定 10. 已知方程组42abab，下列说法正确的是（ ） a2b212；（ab）28；112ab；6baab A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4分，
4、共分，共 24 分）分） 11. 已知一组数据的频数为 24，频率为 0.8，则样本容量为_ 12. 计算（st） （st）_ 13. 已知52xy 是方程 x3y1的一个解，请再写出这个方程的一个解_ 14. 若 mn3，mn7，则 m2nmn2_ 15. 2020年某企业生产医用口罩，为扩大产量，添置了甲、乙两条生产线甲生产线每天生产口罩的数量是乙生产线每天生产口罩数量的 2 倍，两生产线各加工 6000箱口罩，甲生产线比乙生产线少用 5天则甲、乙两生产线每天共生产的口罩箱数为_ 16. 如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若 x225与（xb）2为关联多项式，则b_；若
5、（x1） （x2）与 A为关联多项式，且 A 为一次多项式，当 Ax26x2不含常数项时，则 A为_ 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分应写出文字说明、证明过程或演算 ）分应写出文字说明、证明过程或演算 ） 17. 分解因式 （1）a26ab9b2； （2）a2b16b 18. 静静同学解分式方程6251313xxxxx的过程如下： 去分母得：6x2（3x）5（x1） 去括号得：6x62x5x5 移项得：6x2x5x56 合并同类项得：13x11 两边同除以 13 得：x1311经检验 x1311是方程的解 静静的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出
6、正确的解答过程 19. 为了普及新冠病毒的有关知识，某校举办了一场关于新冠病毒的知识竞赛为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，得到如下频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值） 请根据该直方图，回答下列问题 （1）数据分组时的组距为 分 （2）自左至右分别为第 1，2，3，4 组，频数最大的是哪一组？并说出该组的组中值 （3）学校决定为成绩在 80 分以上（包括 80 分）的学生颁发优秀证书，若该校共有 800 名学生，请估计能拿到优秀证书的学生人数 20. 如图，政府规划由西向东修一条公路从 A 修至 B 后为了绕开村庄，改为沿南偏东 25方向修建 BC段，
7、在 C 处又改变方向修建 CD 段，测得BCD70，在 D处继续改变方向，朝与出发时相同方向修至 E （1）补全施工路线示意图，求CDE 的度数； （2）原计划在 AB的延长线上依次修建两个公交站 M，N（均在 CD 右侧） ，连结 DM和 MN，求CDM 与DMN的数量关系 21. 亮亮计算一道整式乘法的题（3xm） （2x5） ，由于亮亮在解题过程中，抄错了第一个多项式中 m前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为 6x25x25 （1）求 m的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果 22. 如图，在长方形 ABCD中，放入 8个完全相同的小长方形 （1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘
8、米？ （2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 23. 光线反射是一种常见物理现象，在生活中有广泛地应用例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理 （1） 提词器的原理如图， AB 表示平面镜， CP 表示入射光线， PD 表示反射光线， CPD90， 求APC的度数； （2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图） ，a 表示入射光线，b表示反射光线，ab平面镜 AB 与 BC 的夹角ABC，求 （3）如图，若108，设平面镜 CD与 BC 的夹角BCD（90180） ，入射光线 a 与平面镜 AB的夹角为 x（0
9、 x90） ，已知入射光线 a 从平面镜 AB开始反射，经过 2 或 3次反射，当反射光线 b与入射光线 a 平行时，请直接写出的度数 （可用含 x 的代数式表示） 2021 年浙江省杭州市上城区七年级下期末数学试卷年浙江省杭州市上城区七年级下期末数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30分）分） 1. 下列各式是二元一次方程的是（ ） A. 2x2y0 B. 12xy C. xy D. 2304xyy 【答案】D 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，依次分析各个选项，选出是二元一次方程的选项即可 【详解】解：A该方程是
10、二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即 A选项不合题意； B是分式方程，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即 B选项不合题意； C不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，即 C选项不合题意； D符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，即 D 选项符合题意 故选：D 【点睛】 本题考查了二元一次方程的定义， 解决本题的关键是注意二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有 2 个未知数； （2）含未知数项的最高次数为一次； （3）方程是整式方程 2. “潮涌”是 2022 年杭州亚运会会徽，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，如图是会徽的一部分，在以下四
11、个选项中，能由该图经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质即可进行判断 【详解】解：根据平移的性质可知：能由该图经过平移得到的是 C， 故选：C 【点睛】本题考查了利用平移设计图案，解决本题的关键是掌握平移的性质 3. 要使分式124x有意义，x的取值范围是（ ） A. x2 B. x2 C. x2 D. x1 【答案】B 【解析】 【分析】分式有意义，分母不等于零 【详解】解：当分母 2x-40，即 x2 时，分式124x有意义 故选：B 【点睛】本题考查了分式有意义的条件从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义分母为零； （2
12、）分式有意义分母不为零； （3）分式值为零分子为零且分母不为零 4. 如图，直线 EF 与直线 AB，CD相交图中所示的各个角中，能看做1的内错角的是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角根据内错角的边构成“Z”形判断即可 【详解】解：由图可知：能看作1 的内错角的是3， 故选：B 【点睛】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的定义，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形 5. 计算 422021
13、482021622021 的结果为（ ） A. 2021 B. 20210 C. 202100 D. 2021000 【答案】C 【解析】 【分析】先提取公因式 2021，变形为 2021 （42+2 4 6+62） ，再利用完全平方公式计算即可 【详解】解：原式=2021 （42+2 4 6+62） =2021 （4+6）2 =2021 102 =2021 100 =202100， 故选：C 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式 6. 如图为某服装品牌公司 20162020 年销售额年增长率的统计图，则这 5年中，该公司销售额最大
14、的是（ ）年 A. 2020 B. 2019 C. 2018 D. 2017 【答案】A 【解析】 【分析】根据折线统计图的意义解答 【详解】解：根据折线统计图，增长率在减小，但销售额在增大， 所以这 5年中，该商场销售额最大的是 2020 年， 故选：A 【点睛】本题考查了折线统计图，解题的关键是分析清楚折线统计图的意义 7. 一个长方形的面积是 15x3y510 x4y420 x3y2，一边长是 5x3y2，则它的另一边长是（ ） A. 2y33xy24 B. 3y32xy24 C. 3y32xy24 D. 2xy23y34 【答案】B 【解析】 【分析】利用长方形的面积公式，列出相应的式
15、子，结合整式的除法法则进行运算即可 【详解】解： （15x3y5-10 x4y4+20 x3y2） （5x3y2） =15x3y5 （5x3y2）-10 x4y4 （5x3y2）+20 x3y2 （5x3y2） =3y3-2xy2+4 故选：B 【点睛】本题考查了整式的除法，解答本题的关键是掌握长方形的面积公式和整式的除法法则 8. 如图，BDCB180，AC平分DAB，且DDAC52，则D 的度数是（ ） A. 100 B. 105 C. 110 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】 由于B+DCB=180 ， 得 ABCD， 故D+DAB=180 根据角平分线的定义， DAB=2D
16、AC 再根据D：DAC=5：2可求得D 【详解】解：B+DCB=180 ， ABCD D+DAB=180 设D=5x，则DAC=2x AC平分DAB， DAB=2DAC=22x=4x ABCD， D+DAB=180 5x+4x=180 x=20 D=5x=5 20=100 故选：A 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定以及角平分线的定义是解决本题的关键 9. 甲瓶糖水含糖量为1m，乙瓶糖水含糖量为1n，从甲、乙两瓶中各取质量相等的糖水混合制成新糖水的含糖量为（ ） A. 1mn B. mnnm C. mnnm2 D. 由所取糖水质量而定 【答案】
17、C 【解析】 【分析】设从甲乙两瓶中各取重量相等的糖水 x，列式计算即可 【详解】解：设从甲乙两瓶中各取重量相等的糖水 x， 则混合制成新糖水的含糖量为：1122xxmnmnxmn， 故选：C 【点睛】本题考查了分式的混合运算，关键是根据混合制成新糖水的含糖量计算解答 10. 已知方程组42abab，下列说法正确是（ ） a2b212；（ab）28；112ab；6baab A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行变形，利用整体代入思想即可进行计算 【详解】解：因为方程组42abab， 2222()24412ababab，故正确； 222()()
18、4488ababab ，故正确； 11422baabab，故正确； 221262babaabab，故正确 故选：D 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解决本题的关键是利用完全平方公式进行变形 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4分，共分，共 24 分）分） 11. 已知一组数据的频数为 24，频率为 0.8，则样本容量为_ 【答案】30 【解析】 【分析】根据频率=频数 总数进行计算即可 【详解】解：24 0.8=30， 故答案为：30 【点睛】本题主要考查了频率，关键是掌握频率的计算公式 12. 计算（st） （st）_ 【答案】s2-t2 【解
19、析】 【分析】直接利用平方差公式进行运算即可 【详解】解： （-s+t） （-s-t） =（-s）2-t2 =s2-t2 故答案为：s2-t2 【点睛】本题主要考查平方差公式，解答的关键是对平方差公式的掌握 13. 已知52xy 是方程 x3y1的一个解，请再写出这个方程的一个解_ 【答案】10 xy 【解析】 【分析】将方程 x+3y=1变形为 x=1-3y，任取一个 y，代入即可得到 x的值从而可得此方程的一个解 【详解】解：将方程 x+3y=1变形为 x=1-3y，令 y=0，则 x=1 则解为10 xy， 故答案为：10 xy 【点睛】本题考查了二元一次方程解，将方程 x+3y=1变形
20、为 x=1-3y 是解题关键 14. 若 mn3，mn7，则 m2nmn2_ 【答案】21 【解析】 【分析】把所求的式子提取公因式 mn，得 mn（m-n） ，把相应的数字代入运算即可 【详解】解：mn=3，m-n=7， m2n-mn2 =mn（m-n） =3 7 =21 故答案为：21 【点睛】 本题主要考查因式分解-提公因式法， 解答的关键是把所求的式子转化成含已知条件的式子的形式 15. 2020年某企业生产医用口罩，为扩大产量，添置了甲、乙两条生产线甲生产线每天生产口罩的数量是乙生产线每天生产口罩数量的 2 倍，两生产线各加工 6000箱口罩，甲生产线比乙生产线少用 5天则甲、乙两生
21、产线每天共生产的口罩箱数为_ 【答案】1800 【解析】 【分析】设乙生产线每天生产 x箱口罩，则甲生产线每天生产 2x箱口罩，根据工作时间=工作总量 工作效率结合两生产线各加工 6000 箱口罩时甲生产线比乙生产线少用 5天，即可得出关于 x的分式方程，解之经检验后即可得出结论 【详解】解：设乙生产线每天生产 x 箱口罩，则甲生产线每天生产 2x箱口罩， 依题意，得：6000600052xx， 解得：x=600， 经检验，x=600 是原分式方程的解，且符合题意， 2x=1200 600+1200=1800（箱） ， 答：甲、乙两生产线每天共生产的口罩箱数为 1800， 故答案为：1800
22、【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程 16. 如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若 x225与（xb）2为关联多项式，则b_；若（x1） （x2）与 A为关联多项式，且 A 为一次多项式，当 Ax26x2不含常数项时，则 A为_ 【答案】 . 5 . -2x-2 或-x-2 【解析】 【分析】 先将 x2-25 因式分解， 再根据关联多项式的定义分情况求出 b； 再分 A=k （x+1） =kx+k或 A=k （x+2）=kx+2k两种情况，根据不含常数项 【详解】解：x2-25=（x+5） （x-5） ， x2-25 的公因式为 x
23、+5、x-5 若 x2-25 与（x+b）2为关联多形式，则 x+b=x+5或 x+b=x-5 当 x+b=x+5 时，b=5 当 x+b=x-5时，b=-5 综上：b= 5 （x+1） （x+2）与 A为关联多项式，且 A 为一次多项式， A=k（x+1）=kx+k或 A=k（x+2）=kx+2k，k为整数 当 A=k（x+1）=kx+k（k 为整数）时，若 A+x2-6x+2不含常数项，则 k+2=0，即 k=-2 A=-2（x+1）=-2x-2 当 A=k（x+2）=kx+2k（k为整数）时，若 A+x2-6x+2 不含常数项，则 2k+2=0，即 k=-1 A=-x-2 综上，A=-2
24、x-2 或 A=-x-2 故答案为： 5，-2x-2 或-x-2 【点睛】本题主要考查多项式、公因式，熟练掌握多项式、公因式的意义是解决本题的关键 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分应写出文字说明、证明过程或演算 ）分应写出文字说明、证明过程或演算 ） 17 分解因式 （1）a26ab9b2； （2）a2b16b 【答案】 （1） （a-3b）2； （2）b（a+4） （a-4） 【解析】 【分析】 （1）用完全平方公式分解即可； （2）先提公因式，再用平方差公式分解因式 【详解】解： （1）原式=a2-6ab+（3b）2 =（a-3b）2； （2）原
25、式=b（a2-16） =b（a+4） （a-4） 【点睛】本题考查了用完全平方公式、提公因式、平方差公式进行因式分解，熟悉以上因式分解的方法是解题关键 18. 静静同学解分式方程6251313xxxxx的过程如下： 去分母得：6x2（3x）5（x1） 去括号得：6x62x5x5 移项得：6x2x5x56 合并同类项得：13x11 两边同除以 13 得：x1311经检验 x1311是方程的解 静静的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程 【答案】见解析 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的解 【详解】解：静静的解答过
26、程有错误， 正确解答过程为： 去分母得：6x-2（3-x）=5（x-1） 去括号得：6x-6+2x=5x-5 移项得：6x+2x-5x=-5+6 合并同类项得：3x=1 两边同除以 3得：x=13， 经检验，x=13是方程的解， 所以原方程的解为：x=13 【点睛】 此题考查了解分式方程， 解分式方程的基本思想是“转化思想”， 把分式方程转化为整式方程求解 解分式方程一定注意要验根 19. 为了普及新冠病毒的有关知识，某校举办了一场关于新冠病毒的知识竞赛为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，得到如下频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值） 请根据该直方图，回
27、答下列问题 （1）数据分组时的组距为 分 （2）自左至右分别为第 1，2，3，4 组，频数最大的是哪一组？并说出该组的组中值 （3）学校决定为成绩在 80 分以上（包括 80 分）的学生颁发优秀证书，若该校共有 800 名学生，请估计能拿到优秀证书的学生人数 【答案】 （1）10； （2）15人组，85； （3）580 人 【解析】 【分析】 （1）根据频数分布直方图中的横轴即可求出组距； （2）人数最多的，即为频数最大的组，找出即可，找出该组的组中值为 85； （3）找出抽取的部分参赛学生的成绩在 80分以上（包括 80分）的有 15+14=29（人） ，求出所占的比例乘以该校学生总数即可
28、【详解】解： （1）根据题意得：6人组的组边界值分别为 70 与 80，则组距为 80-70=10（分） ， 故答案为：10； （2）频数最大的是 15人组，该组的组中值为 85； （3）抽取的部分参赛学生的成绩在 80分以上（包括 80 分）的有 15+14=29（人） ， 8002956 15 14=580（人） ， 答：估计能拿到优秀证书的学生人数有 580人 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 20. 如图，政府规划由西向东修一条公路从 A 修至 B 后为了绕开村庄，改为沿
29、南偏东 25方向修建 BC段，在 C 处又改变方向修建 CD 段，测得BCD70，在 D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至 E （1）补全施工路线示意图，求CDE 的度数； （2）原计划在 AB的延长线上依次修建两个公交站 M，N（均在 CD 右侧） ，连结 DM和 MN，求CDM 与DMN的数量关系 【答案】 （1）画图见解析，135 ； （2）DMN-CDM=45 【解析】 【分析】 （1） 补全 DEAB即可， 过 C作 lAB的延长线于 G， 过 D作直线 mAB 的延长线于 H， 则 lm，由平行线性质可得到CDH=45 ，又HDE=90 ，从而可得CDE 的度数； （2）设D
30、MN=x，CDM=y，由于 DEFN，所以EDM=180 -xCDM=y=135 -（180 -x）=x-45 ，则x-y=45 ，从而得DMN-CDM=45 【详解】解： （1）补全施工路线如图 1所示过 C作 lAB的延长线于 G，过 D 作直线 mAB的延长线于H， 则 lm， 根据平行线的性质可得：BCG=25 ，CDH=GCD=70 -BCG=70 -25 =45 ， 又HDE=90 ， CDE=CDH+HDE=45 +90 =135 （2）如图所示， 设DMN=x，CDM=y， 由于 DEFN， EDM=180 -DMN=180 -x， 又CDM=y=CDE-EDM=135 -（1
31、80 -x）=x-45 ， 则 x-y=45 ， 即DMN-CDM=45 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到CDF=135 是解题的关键 21. 亮亮计算一道整式乘法的题（3xm） （2x5） ，由于亮亮在解题过程中，抄错了第一个多项式中 m前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为 6x25x25 （1）求 m的值； （2）计算这道整式乘法的正确结果 【答案】 （1）5； （2）6x2-25x+25 【解析】 【分析】 （1） 根据题意可得 （3x+m） （2x-5） ， 应用多项式乘多项式的法则进行计算， 可得 6x2- （15-2m） x-5m，由已知常数项相
32、等可得-5m=-25，计算即可得出答案； （2）由（1）可知 m的值，代入应用多项式乘多项式进行计算即可得出答案 【详解】解： （1）根据题意可得， （3x+m） （2x-5） =6x2-15x+2mx-5m =6x2-（15-2m）x-5m， 即-5m=-25， 解得 m=5； （2） （3x-5） （2x-5） =6x2-15x-10 x+25 =6x2-25x+25 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键 22. 如图，在长方形 ABCD中，放入 8个完全相同的小长方形 （1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ （2）图中阴影部分面积
33、为多少平方厘米？ 【答案】 （1）长和宽分别是 10 厘米，2 厘米； （2）92 平方厘米 【解析】 【分析】 （1）设小长方形的长为 x厘米，宽为 y 厘米，观察图形，根据小长方形长与宽之间的关系，可得出关于 x，y的二元一次方程组，解之即可得出 x，y的值； （2）利用阴影部分面积=大长方形的面积-8 小长方形的面积，即可求出结论 【详解】解： （1）设小长方形的长为 x厘米，宽为 y 厘米， 依题意，得：41812xyxy， 解得：102xy， 答：每个小长方形的长和宽分别是 10厘米，2厘米； （2）每个小长方形的长和宽分别是 10 厘米，2 厘米， 图中阴影部分面积为 18 （12
34、+2）-8 2 10=92（平方厘米） 答：图中阴影部分面积为 92 平方厘米 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键 23. 光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理 （1） 提词器的原理如图， AB 表示平面镜， CP 表示入射光线， PD 表示反射光线， CPD90， 求APC的度数； （2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图） ，a 表示入射光线，b表示反射光线，ab平面镜 AB 与 BC 的夹角ABC
35、，求 （3）如图，若108，设平面镜 CD与 BC 的夹角BCD（90180） ，入射光线 a 与平面镜 AB的夹角为 x（0 x90） ，已知入射光线 a 从平面镜 AB开始反射，经过 2 或 3次反射，当反射光线 b与入射光线 a 平行时，请直接写出的度数 （可用含 x 的代数式表示） 【答案】 （1）45 ； （2）90 ； （3）162 或（72+x） 【解析】 【分析】 （1）根据平面镜成像原理入射角等于反射角可知：APC=BPD，即可解决问题； （2）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，由光线 ab，可知同内角互补，可得两法线垂直，从而求得a 的度数； （3）分两次反射和三次反射进
36、行讨论，两次反射的情况可利用（2）结论；三次反射的情况画图进行分析即可 【详解】解： （1）平面镜成像原理入射角等于反射角， APC=BPD， CPD=90 ， APC+BPD=90 ， APC=45 ； （2）如图：过点 P作 PGAB，QGBC，相交于点 G， 平面镜成像原理入射角等于反射角， EPG=QPG，PQG=FQG， ab， EPQ+PQF=180 ， 2（GPQ+PQG）=180 ， GPQ+PQG=90 ， GPQ+PQG+PGQ=180 ， PGQ=90 ， PGAB，QGBC， PBQ+BQG+QGP+GPB=360 ， PBQ=360 -90 -90 -90 =90 ，
37、 即 =90 （3）若经过两次反射，如图所示，延长 AB、DC交于点 E， 由（2）知，E=90 ， =108 ， BCE=-E=108 -90 =18 ， =180 -BCE=180 -18 =162 ； 若经过三次反射标记各反射点，如图-2 所示，作 FMab， BHF=AHP=x， BFH=CFG=180 -x=180 -108 -x=72 -x， PHF=180 -2x，HFG=180 -2BFH=180 -2（72 -x）=36 +2x， ab， PHF+HFG+FGQ=360 ， FGb=360 -（36 +2x）-（180 -2x）=144 ， 则CGF=180 -FGQ=36 ， 由CGF+CFG+=180 ， 得 =180 -CFG-CGF=180 -（72 -x）-36 =72 +x， 综上，角的度数为 162 或 72 +x 【点睛】本题主要考查平行线的知识，熟练掌握平面镜成像原理入射角等于反射角是解题的关键
