1、2022 年广东省深圳市中考冲刺数学试卷年广东省深圳市中考冲刺数学试卷（5） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知有理数 a、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） Aab Ba+b0 C|a|b| Dab0 2 （3 分）2020 年 2 月 11 日，联合国及农业组织向全球发出沙漠蝗虫灾害预警，30 多个国家遭蝗虫灾难，巴基斯坦当前蝗虫数目约为 4000 亿只，4000 亿用科学记数法表示为（ ） A4103亿 B4107亿 C41010亿 D41011亿 3 （3 分）若一次函数 yax+b 的
2、图象经过第一、二、四象限，则2 ( )2=（ ） A2ab B2ab Cb D2a+b 4（3 分） 已知点 A （1， 3） 关于 x 轴的对称点 A在反比例函数 y=的图象上， 则实数 k 的值为 （ ） A3 B13 C13 D3 5 （3 分）下列计算正确的是（ ） A （2）01 Bx3x4x12 C （mn）3 （mn）2m3n3 D35=35 6 （3 分）关于 x 的一元二次方程（m1）x2+2x+30 有实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am43 Bm43且 m1 Cm43 Dm43且 m1 7 （3 分） “5.12”汶川大地震导致某段铁路隧道被严重破坏，为尽快抢修其中一
3、段 1200 米的铁路，施工队每天比原计划多修10米， 结果提前4天开通列车， 设原计划每天修x米， 则下面列出的方程正确的是 （ ） A1200+101200= 4 B1200101200= 4 C12001200+10= 4 D1200120010= 4 8 （3 分） 如图， O 是ABC 的外接圆， A50， E 是边 BC 的中点， 连接 OE 并延长， 交O 于点 D，连接 BD，则CBD 的大小为（ ） A20 B21 C23 D25 9（3 分） 二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示， 对称轴为 x1 给出下列结论， 其中正确的结论有 （ ） abc0，b24ac，4a
4、+2b+c0，3a+c0 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10 （3 分）如图，O 为锐角三角形 ABC 的外心，四边形 OCDE 为正方形，其中 E 点在ABC 的外部，则O 也是下列哪个三角形的外心（ ） AAED 的外心 BAEB 的外心 CACD 的外心 DBCD 的外心 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 （3 分）因式分解：x4xy2 12 （3 分）将抛物线 y（x+m）21 向右平移 2 个单位长度后，对称轴是 y 轴，那么 m 的值是 13 （3 分）对实数 a，b 定义新运算“*”如下： = ( )()
5、，如3 2 = 3，(5) 2 = 2，若 x2+x20 的两根为 x1，x2，则 x1*x2 14 （3 分）如图，菱形 ABCD 的周长为 8，BAD60，DFBC 于点 F，以点 A 为圆心，AB 的长为半径在菱形 ABCD 内画弧，则图中空白部分的面积为 15 （3 分）如图，四边形 OABC 是矩形，对角线 OB 在 y 轴正半轴上，点 A 在反比例函数 y=1的图象上，点 C 在反比例函数 y=2的图象上，且点 A 在第一象限过点 A、C 分别作 x 轴的垂线段，垂足分别为点 E、F，则以下说法：k1k21，=|12|，阴影部分面积是12（k1+k2） ，若四边形 OABC 是正方
6、形，则 k1+k20，正确的是 （填序号） 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 55 分）分） 16 （9 分） （1）解方程：32+ 1 =32； （2）解不等式组：1 +13 03 ( 1)1 17 （6 分）先化简，再求值：(2141) +221，然后从2，1，0 中选择适当的数代入求值 18 （7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=（x0）的图象与直线 yx2 交于点 A（4，m） （1）求 k，m 的值； （2）已知点 P（n，n） （n0） ，过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 yx2 于点 M，过点 P 作平行于y 轴的直线，交函数 y= （
7、x0）的图象于点 N 当 n2 时，判断线段 PM 与 PN 的数量关系，并说明理由； 若 PNPM，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围 19 （8 分）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共 20 万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表： 甲 乙 原料成本 12 8 销售单价 18 12 生产提成 1 0.8 （1）若该公司五月份的销售收入为 300 万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？ （2） 公司实行计件工资制， 即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成， 如果公司六月份投入总成本 （原料总成本
8、+生产提成总额）不超过 239 万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润销售收入投入总成本） 20 （8 分）在ABC 和ADE 中，BACDAE90，ABAC，ADAE，固定ABC，将ADE 绕点 A 旋转一周，连接 BE、CD 相交于 H，经过 C、E、H 三点作O （1）如图 1，求证：CE 是O 的直径； （2）若 AB3，AD22，在ADE 旋转过程中，连接 BD 点 A 恰好是CEH 的内心，如图 2，求 BD 的长； 当ABD 最大时，直接写出ACE 的面积为 21 （8 分）定义：有一个内角为 90，且对角线相等的四边形称为准矩形 （
9、1）如图 1，准矩形 ABCD 中，ABC90，若 AB2，BC4，则 BD ； （2）如图 2，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，AB 上的点，且 CFBE，求证：四边形 BCEF是准矩形； （3） 如图 3， 准矩形 ABCD 中， ABC90， BAC60， AB2， ACDC， 求这个准矩形的面积 22 （9 分）对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P，Q，给出如下定义：若 P，Q 为某个三角形的顶点，且边PQ 上的高 h，满足 hPQ，则称该三角形为点 P，Q 的“完美三角形” （1）如图 1，已知点 A，B 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，AB3，BC6，OBC
10、30，试判断ABC是否是点 A，B 的“完美三角形” ，并说明理由； （2）如图 2，已知 A（4，0） ，点 B 在 x 轴上，点 C 在直线 y2x5 上，若 RtABC 是点 A，B 的“完美三角形” ，求点 B 的坐标； （3）已知直线 yx+2 与抛物线 yx2交于 R，S 两点，点 M 是线段 RS 下方抛物线上的一个动点，点 N是坐标平面内一点，RSN 为点 R，S 的“完美三角形” ，直接写出 M，N 两点之间距离的最小值 参考答案解析参考答案解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 【解答】解：由图可知：b0a，
11、且|a|b|， A、ab，故不符合题意； B、a+b0，故不符合题意； C、|a|b|，故不符合题意； D、ab0，故符合题意； 故选：D 2 【解答】解：4000 亿4103亿， 故选：A 3 【解答】解：一次函数 yax+b 的图象经过第一、二、四象限， a0，b0， 2 ( )2= a（ba）b， 故选：C 4 【解答】解：点 A（1，3）关于 x 轴的对称点 A的坐标为（1，3） ， 把 A（1，3）代入 y=得 k133 故选：A 5 【解答】解：A、 （2）01，正确； B、x3x4x7，错误； C、 （mn）3 （mn）2m5n5，错误； D、35=35，错误 故选：A 6 【解
12、答】解：关于 x 的一元二次方程（m1）x2+2x+30 有实数根， 1 0 = 22 4 ( 1) 3 0， 解得：m43且 m1 故选：D 7 【解答】解：由题意可得， 12001200+10= 4， 故选：C 8 【解答】解：连接 CD， 四边形 ABDC 是圆内接四边形，A50， CDB+A180， CDB180A130， E 是边 BC 的中点， ODBC， BDCD， CBDBCD=12（180BDC）25， 故选：D 9 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 2=1， b2a0， 抛物线交 y 轴于负半轴， c0， abc0，故正确， 抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，
13、即 b24ac，故正确， x2 时，y0， 4a+2b+c0，故错误， x1 时，y0， ab+c0， 把 b2a 代入得：3a+c0，故正确； 故选：C 10 【解答】解： 连接 OB、OD、OA， O 为锐角三角形 ABC 的外心， OAOCOA， 四边形 OCDE 为正方形， OAOCOD， OAOBOCOEOD， A、OAOEOD，即 O 不是AED 的外心，故本选项不符合题意； B、OAOEOB，即 O 是AEB 的外心，故本选项符合题意； C、OAOCOD，即 O 不是ACD 的外心，故本选项不符合题意； D、OBOCOD，即 O 不是BCD 的外心，故本选项不符合题意； 故选：B
14、 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 11 【解答】解：x4xy2 x（14y2） x（1+2y） （12y） ， 故答案为：x（1+2y） （12y） 12 【解答】解：将抛物线 y（x+m）21 向右平移 2 个单位长度后，得到抛物线解析式为 y（x+m2）21，其对称轴为：x2m0， 解得 m2 故答案是：2 13 【解答】解：方程 x2+x20， a1，b1，c2， b24ac1241（2）90， x=242=192=132， 解得：x11，x22， x1x2， 根据题中的新定义得：x1*x21 故答案为：1 14 【解答】解：
15、菱形 ABCD 的周长为 8， BCAB2， BAD60，DFBC， C60， CF1，DF= 3， =12 1 3 =32， S扇形BAD=6022360=23 菱形= = 2 3 = 23 图中空白部分的面积S菱形ABCDSDCFS扇形BAD23 3223=33223 故答案为：33223 15 【解答】解：四边形 OABC 是矩形， OCBBAO， CFx 轴，AEx 轴， CFOAEO90，OF 和 OE 分别对应OCB 和BAC 的高， OEOF， 点 A、C 分别在反比例函数 y=1和 y=2的图象上， OEAE|k1|，OFCF|k2|， |12|=，故符合题意； |k1k2|O
16、EAEOFCFOE2AECF， OE，AE，CF 的长度不确定， k1k2的大小也不确定，故不符合题意； 由图象可知，k10，k20， S阴影SCFO+SOEA=12（k1k2） ，故不符合题意； 若四边形 OABC 是正方形，则 OCOA， FCO+COF90，COF+AOE90， AOEFCO， 又CFOAEO，OCOA， CFOOEA（AAS） ， CFOEOFAE， OEAE|k1|，OFCF|k2|， |k1|k2|， k10，k20， k1k2， k1+k20，故符合题意； 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 55 分）分） 16 【解答】解： （1）3
17、2+ 1 =32， x3+x23， 解得：x1， 检验：当 x1 时，x20， x1 是原方程的根； （2）1 +13 03 ( 1)1， 解不等式得：x2， 解不等式得：x3， 原不等式组的解集为：x2 17 【解答】解：原式（21+41）+2(+1)(1) =2(+2)1(+1)(1)+2 2（x+1） 2x+2， x1 且 x2， 取 x0， 则原式2 18 【解答】解： （1）将 A（4，m）代入 yx2， m422， A（4，2） ， 将 A（4，2）代入 y=， k428， （2）当 n2 时，P（2，2） ， 令 y2，代入 yx2，则 x4， M（4，2） ， PM2， 令 x
18、2 代入 y=8，则 y4， N（2，4） ， PN2 PMPN， P（n，n） ，n0，即点 P 在直线 yx 上， 过点 P 作平行于 x 轴的直线，交直线 yx2 于点 M， M（n+2，n） ， PM2， PNPM， 即 PN2， PN|8n|， |8n|2， 0n2 或 n4 19 【解答】解： （1）设甲型号的产品有 x 万只，则乙型号的产品有（20 x）万只， 根据题意得：18x+12（20 x）300， 解得：x10， 则 20 x201010， 则甲、乙两种型号的产品分别为 10 万只，10 万只； （2）设安排甲型号产品生产 y 万只，则乙型号产品生产（20y）万只， 根据
19、题意得：13y+8.8（20y）239， 解得：y15， 根据题意得：利润 W（18121）y+（1280.8） （20y）1.8y+64， 当 y15 时，W 最大，最大值为 91 万元 20 【解答】 （1）证明：如图 1， BACDAE90， BAC+BADDAE+BAD， 即：CADBAE， ABAC，ADAE， CADBAE（SAS） ， CADABE， 点 A、H、B、C 共圆， BHCCAB90， CHE90， CE 是O 的直径； （2）如图 2， 由（1）知：CHE90， HCE+HEC90， 点 A 是CEH 的内心， CA 平分HCE，AE 平分HEC， ACE=12，A
20、EC=12HEC， ACE+AEC=12（HCE+HEC）=12 90 =45， CAE180（ACE+AEC）18045135， CABBAD90， BAD360CABBADCAE45， 作 DGAB 于 G， AGDGADsinBAD22 22=2， BGABAG321， BG= 2+ 2= 12+ 22= 5； （3）如图 3， 以 A 为圆心，AD 为半径作A， 当 BD 与A 相切时， ABD 最大， BD= 2 2=32 (22)2=1， sinBAD=13， 作 EPAC 于 P， BAPDAE90， PAEBAD， PEAEsinPAEAEsinBAD22 13=223， SA
21、CE=12ACPE=12 3 223= 2， 故答案是2 21 【解答】解： （1）ABC90，AB2，BC4， AC= 2+ 2= 22+ 42=25， 四边形 ABCD 是准矩形， BDAC25 故答案为：25； （2）四边形 ABCD 是正方形， ABBC，AABC90， EBF+EBC90， BECF， EBC+BCF90， EBFBCF， ABEBCF（ASA） ， BECF， 四边形 BCEF 是准矩形； （3）作 DFBC，垂足为 F， 准矩形 ABCD 中，ACBD，ACDC， BDCD， BFCF=12BC= 3， DF= 2 2= 16 3 = 13， S准矩形ABCDSD
22、CF+S梯形ABFD =12FCDF+12（AB+DF）BF， =12 3 13 +12（2+13） 3， = 39 + 3 22 【解答】解： （1）BOC90，OBC30， CO=12BC， BC6， CO3， 又AB3， COAB 即ABC 的边 AB 上的高等于 AB， ABC 是点 A，B 的“完美三角形” ； （2）分 A、B、C 为直角顶点讨论： 若 C 为直角顶点，如答图 1， 则ACB90，作 CHAB 于 H，取 AB 中点 M， 根据 RtABC 是点 A，B 的“完美三角形”得 ABCH， M 为 AB 中点，ACB90， CM=12AB， CHAB 于 H 有 CMC
23、H， 12ABAB 得 AB0，这和 AB 为线段矛盾， 故 C 不可能为直角顶点； 若 A 为直角顶点，如答图 2，过 A 作 y 轴平行线交直线 y2x5 于 C， A（4，0） ， C 点横坐标 xc4，代入 y2x5 得 C 纵坐标 yc3，即 AC3， RtABC 是点 A，B 的“完美三角形” ， AB3， B1（1，0）或 B2（7，0） ； 若 B 为直角顶点，如答图 3，过 B 作 y 轴平行线交直线 y2x5 于 C， 设 B（m，0） ，则 C（m，2m5） ， BC|2m5|， 而 A（4，0） ，故 AB|4m|， RtABC 是点 A，B 的“完美三角形” ， BC
24、AB，即|2m5|4m|， 由 2m54m 得 m3，此时 B3（3，0） ， 由 2m5m4 得 m1，此时 B4（1，0） ； 综上所述，RtABC 是点 A，B 的“完美三角形” ，B1（1，0）或 B2（7，0）或 B3（3，0） ； 故答案为： （1，0）或（7，0）或（3，0） ； （3）由 = + 2 = 2得1= 11= 1，2= 22=4， 如答图 4，R（1，1） ，S（2，4） ， RS32， RSN 为点 R，S 的“完美三角形” ， N 到 RS 的距离为 32， 令 yx+2 中 y0 可得 x2，即直线 yx+2 与 x 轴交点 D（2，0） ， 过 D 作 DE
25、RS，在垂线上取 DE32， （注：点 M 是线段 RS 下方抛物线上的一个动点，且 M，N 两点之间距离的最小值，故 E 应在 D 右侧） 直线 yx+2 与 x 轴夹角ODR45， ODE45， 过 E 作 EFRS 交 x 轴于 F，则DEF 是等腰直角三角形， DE32， DF6， F（4，0） ， 设 EF 解析式为 yx+b，将 F（4，0）代入可得 EF 为 yx4， 即 N 点在直线 yx4 上，且直线 yx4 与 y 轴交点 P（0，4） 线段 RS 下方抛物线上的一个动点 M 到 EF 距离最近， 将直线 yx4 平移至与抛物线只有一个交点时，此交点即为 M， 设此时直线为 yx+c， 由 = + = 2只有一个交点可得 c= 14，即直线 MN 为 yx14， 直线MN与y轴交点G （0， 14） ， 过G作GHEF于H， 则GHP是等腰直角三角形， 且GP= 14 （4）=154， GH=1528， M，N 两点之间距离的最小值是1528， 故答案为：1528
