1、2022年山东省青岛市南区中考二摸数学试题一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1. 的绝对值是（ ）A. B. C. D. 2. 用肥皂水吹泡泡，共泡沫的厚度约0.000 326毫米，用科学记数法表示为（ ）A. 毫米B. 毫米C. 厘米D. 米3. 如图所示，用木板制作的“中”字的俯视图是（ ）A B. C. D. 4. 如图，在O中，BAC15，ADC20，则ABO的度数为（）A. 70B. 55C. 45D. 355. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差后来小亮进行了补测，成绩为9
2、0分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）A. 平均分不变，方差变大B. 平均分不变，方差变小C. 平均分和方差都不变D. 平均分和方差都改变6. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到，若上一点平移后对应点为，点绕原点顺时针旋转，对应点为，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，矩形的顶点，分别落在的边，上，若，要求只用无刻度的直尺作的平分线，小明的作法如下：连接，交于点，作射线，则射线平分，有以下几条几何性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线互相平分；等腰三形的“三线合一”；角平分线上的点到角两边的距离相等小明的作
3、法依据是（ ）A. B. C. D. 8. 如图，一次函数y1x与二次函数y2ax2bxc图象相交于P、Q两点，则函数yax2（b1）xc图象可能是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9. 计算：_10. 某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为_万元11. 如图，两个反比例函数和的图像分别是和设点P在上，PCx轴，交于点APDx轴，交于点B，则PAB的面积为_12. 如图，在中，将绕点顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以
4、，为圆心，、长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是_13. 如图，已知为线段上一点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，在一条直线上，分别是对角线，的中点，则线段的长为_14. 如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是如图，当时，；如图，当时，；如图，当时，；依此类推，当（为正整数）时，_三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹15. 已知：求作：，使得，四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16. （1）解不等式组：（2）化简：17. 我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：A
5、经典诵读与写作B数学兴趣与培优C英语阅读与写作D艺体类E其他为了了解学生的选择情况（每名学生均按要求选择了其中一项），现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图请根据统计图提供的信息回答下列问题：（1）此次共调查了_名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）“数学兴趣与培优”对应扇形的圆心角的度数为_；（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A，B，C三类活动的学生共有多少人18. 某大桥采用型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离为2米，两拉索底端距离为
6、10米，请求出立柱的长（结果精确到1米）（参考数据：，） 19. 有四张反面完全相同的纸牌，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由（纸牌用表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平20. 文美书店准备购进甲、乙两种图书共1200本进行销售已知甲、乙两种图书的
7、进价分别为每本20元、14元，不同方案甲、乙两种图书的购进数量和售完后总收入的对应关系如下表所示：方案一方案二购进数量（本）甲种图书600400乙种图书600800售完后总收入（元）2880027200（1）甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店决定用不多于20000元来购进这1200本图书，为了让利读者，实际销售甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得大利润？（购进的两种图书全部销售完）21. 已知：如图，正方形的对角线相交于点，的平分线分别交，于点，作于点，分别交，于点，连接，（1）求证：；（2）判断四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论22.
8、 某超市销售一种文具，进价为5元/件售价为6元/件时，当天的销售量为100件在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件设当天销售单价统一为元/件（，且是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为元（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润23. 新定义：如图1，在长方形中，点为边上一点（不与、重合）若一个小球从点出发，依次在长方形各边上经过次反弹后恰好回到点（反弹点分别为、，且每次反弹的入射角等于反射角）设此时的，则称
9、的值为次完美反弹比（且为奇数），设长方形中，（1）问题提出：当时，与、之间有什么等量关系呢？探究1：设每个小正方形的边长均为1如图2，在长方形中，若小球从格点出发，依次在、边上经过3次反弹后恰好回到点，显然，此时如图3，在长方形中，若小球从格点出发，依次在、边上经过3次反弹后恰好回到点，显然，此时如图4，在长方形中，若小球从格点出发，依次在、边上经过3次反弹后恰好回到点，请在图3中用、标记每条边上的反弹点，并画出小球每次反弹的轨迹，再直接写出此时_（2）问题解决1：通过归纳，时，与、间等量关系为：_（3）探究2：当时，与、之间又有什么等量关系呢？当时，有图5、图6两种情况请直按写出与、之间所有
10、可能等量关系：_请直接写出当时，与、之间所有可能的等量关系：_（4）问题解决2：若长方形中，为该长方形的次完美反弹比（且为奇数），请直接写出与、之间所有可能的等量关系：_24. 已知：如图，在中，cm，cm点是中点，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为2cm/s；同时点从点出发，沿向点匀速运动，速度为3cm/s；连接，将绕点旋转得，连接，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）当为何值时，四边形是菱形？（3）设四边形的面积为（cm2），求与的函数关系式；（4）是否存在某一时刻，使得点在的外接圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由2022年山东省青岛市南区中考二摸数学试
11、题一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）1. 的绝对值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数来求解【详解】解：的绝对值是|；故选：C【点睛】本题主要考查了绝对值的性质理解正数和的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键2. 用肥皂水吹泡泡，共泡沫的厚度约0.000 326毫米，用科学记数法表示为（ ）A. 毫米B. 毫米C. 厘米D. 米【答案】A【解析】【分析】绝对值小于1的数用科学计数法表示形式为：，指数n等于原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数，按此法则选择即可【详解】解：0.000326毫米用科学计数法表示
12、为：毫米，故选：A【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数的方法，其一般形式为：，1掌握n等于原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数是解题关键3. 如图所示，用木板制作的“中”字的俯视图是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据立体图形俯视图的作法求解即可得【详解】解：俯视图是从上方往下所看到的平面图形，实际存在的部分，但是上方不能直接看到，用虚线表示，直接看到的部分用实线表示，如下：故选：C【点睛】题目主要考查立体图形的三视图，理解俯视图的作法是解题关键4. 如图，在O中，BAC15，ADC20，则ABO的度数为（）A. 70B. 55C. 45D. 35【答案】B【
13、解析】【分析】根据圆周角定理可得出AOB的度数，再由OA=OB，可求出ABO的度数【详解】连接OA、OC，BAC15，ADC20，AOB2（ADC+BAC）70，OAOB（都是半径），ABOOAB （180AOB）55故选B【点睛】本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半5. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ）A. 平均分不变，方差变大B. 平均分不变，方差变小C. 平均
14、分和方差都不变D. 平均分和方差都改变【答案】B【解析】【分析】根据平均数，方差的定义计算即可【详解】解：小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，故选：B【点睛】本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型6. 如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，经过平移后得到，若上一点平移后对应点为，点绕原点顺时针旋转，对应点为，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】分析：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1，再根据
15、P1与P2关于原点对称，即可解决问题详解：由题意将点P向下平移5个单位，再向左平移4个单位得到P1 P（1.2，1.4），P1（2.8，3.6） P1与P2关于原点对称，P2（2.8，3.6） 故选A点睛：本题考查了坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7. 如图，矩形的顶点，分别落在的边，上，若，要求只用无刻度的直尺作的平分线，小明的作法如下：连接，交于点，作射线，则射线平分，有以下几条几何性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线互相平分；等腰三形的“三线合一”；角平分线上的点到角两边的距离相等小明的作法依据是（ ）A. B
16、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据矩形对角线互相平分，等腰三角形“三线合一”即可求解【详解】解：在矩形中，对角线AC，BD互相平分，点E是AC的中点，射线平分，（等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线互相重合）故选：D【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，正确理解矩形的性质，等腰三角形的性质是解决本题的关键8. 如图，一次函数y1x与二次函数y2ax2bxc图象相交于P、Q两点，则函数yax2（b1）xc的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c
17、=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-0，即可进行判断【详解】点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，x=ax2+bx+c，ax2+（b-1）x+c=0；由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，又-0，a0-=-+0函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-0，A符合条件，故选A二、填空题（本题满分18分，共有6
18、道小题，每小题3分）9. 计算：_【答案】3【解析】【分析】先根据负整数指数幂的运算法则和零指数幂的意义计算每一项，再合并即可【详解】解：故答案为：3【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算法则和零指数幂的意义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是关键10. 某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为_万元【答案】220【解析】【详解】解：设每年比上一年盈利额增长的百分率为，可得，解得，故该公司在2010年的盈利额为万元，故答案：220.11. 如图，两个反比例函数和的图像分别是和设点P在上，P
19、Cx轴，交于点APDx轴，交于点B，则PAB的面积为_【答案】【解析】【分析】设P的坐标是，推出A的坐标和B的坐标，表示出线段PA、PB的长，根据三角形的面积公式即可求出答案【详解】点P在上，设P的坐标是，PAx轴，A的横坐标是p，A在上，A的坐标是，PBy轴，B的纵坐标是，B在上，解得：x=2p，B的坐标是（2p，），PAx轴，PBy轴，x轴y轴，PAPB，PAB的面积是：故选：C【点睛】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，与y轴平行的线段，横坐标相同，与x轴平行的线段，纵坐标相同，解决本题的关键是能根据P点的坐标得出A、B的坐标，表示出线段PA、PB的长12. 如图，在中，将绕点顺
20、时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以，为圆心，、长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是_【答案】【解析】【分析】作DHAE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积=ADE的面积+EOF的面积+扇形AOF的面积扇形DEF的面积计算即可得到答案【详解】解：作DHAE于H，AOB=90，OA=4，OB=3， ， 由旋转得EOFBOA， OAB=EFO， FEO+EFO=FEO+HED=90， EFO=HED，HED=OAB，FED=90，DHE=AOB=90， DHEBOA（AAS）， DH=OB=3，阴影部分面积=ADE的面积+EOF的面积+扇形AOF的面积扇形DEF的面积
21、， 故答案为：【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键13. 如图，已知为线段上一点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，在一条直线上，分别是对角线，的中点，则线段的长为_【答案】【解析】【分析】根据菱形的性质可得CAP=30，APM=CPM=60，PMAC，NPB=NPE=30，PNBE，可得MPN=90，利用三角函数求出MP、NP的长，进而利用勾股定理即可得答案【详解】菱形和菱形，点，在一条直线上，AD/PE，EPB=DAP=60，分别是对角线，的中点，CAP=30，APM=CPM=60，PMAC，NPB=NPE=
22、30，PNBE，MPN=90，MP=APsin30=，NP=BPcos30=，MN=，故答案为：.【点睛】本题考查菱形的性质、锐角三角函数的定义及勾股定理，胜利在望菱形的性质是解题关键14. 如图，在以为直角顶点的等腰直角三角形纸片中，将角折起，使点落在边上的点（不与点，重合）处，折痕是如图，当时，；如图，当时，；如图，当时，；依此类推，当（为正整数）时，_【答案】【解析】【分析】根据题意得到正切值的分子的规律和勾股数的规律，再进行计算即可得到答案.【详解】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；，中的
23、中间一个.故答案为【点睛】本题考查规律，解题的关键是由题意得到规律.三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹15. 已知：求作：，使得，【答案】见解析【解析】【分析】作线段BC垂直平分线，作线段AB的垂直平分线，交点为P，以P为圆心，PA为半径作圆，利用圆周角定理判断即可【详解】解：1.分别以B、C为圆心，以大于BC长为半径画弧，二弧交于两点，过这两点作直线；2. 分别以B、A为圆心，以大于AB长为半径画弧，二弧交于两点，过这两点作直线；3.两条直线交于点P，连接PB、PC，则PBC为所求【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作图，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题
24、的关键四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16. （1）解不等式组：（2）化简：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据不等式的性质，求得不等式组的解集（2）按照分式混合运算法则，结合因式分解，进行计算即可【详解】（1）由得：， 由得：， 所以，不等式组的解集是 （2）原式 ，故答案为： ，【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及分式混合运算，理解相关计算方法进行正确的计算是解题关键17. 我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：A经典诵读与写作B数学兴趣与培优C英语阅读与写作D艺体类E其他为了了解学生的选择情况（每名学生均按要求选择了其中一项），现从该校随机抽
25、取了部分学生进行问卷调查，并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图请根据统计图提供的信息回答下列问题：（1）此次共调查了_名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）“数学兴趣与培优”对应扇形的圆心角的度数为_；（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A，B，C三类活动的学生共有多少人【答案】（1）200；（2）图见解析；（3）108；（4）估计该校喜欢A，B，C三类活动的学生共有1300人【解析】【分析】（1）利用A类型的人数除以其所占百分比即可求出结论；（2）利用调查总人数乘D类型人数所占百分比即可求出D类型人数，从而求出B类型人数，然后补全条形统计图即可；（3）求出“数
26、学兴趣与培优”的人数所占调查人数的百分比，再乘360即可求出结论；（4）求出喜欢A，B，C三类活动的学生所占调查总人数的百分比，再乘2000即可求出结论【详解】解：（1）调查总人数为4020%=200（人）故答案为：200；（2）D类型人数为20025%=50（人）B类型人数为20040305020=60（人）补全条形统计图如下：（3）“数学兴趣与培优”的人数所占百分比为60200100%=30%36030%=108故答案为：108；（4）喜欢A，B，C三类活动的学生所占调查总人数的（406030）200100%=65%200065%=1300（人）答：估计该校喜欢A，B，C三类活动的学生共有
27、1300人【点睛】此题考查的是条形统计图和扇形统计图，结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息是解题关键18. 某大桥采用型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离为2米，两拉索底端距离为10米，请求出立柱的长（结果精确到1米）（参考数据：，）【答案】17米【解析】【分析】设的长为米，则的长为米，利用选择适当的三角函数计算即可【详解】解：设的长为米，则的长为米在中， ； 中， 解得：，答：立柱的长约为17米【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的函数值，灵活选择三角函数是解题的关键19. 有四张反面完全相同的
28、纸牌，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是 （2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由（纸牌用表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平【答案】(1) ；(2)见解析【解析】【分析】（1）直接根据概率公式计算即可（2）首先列表列出可能的情况，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2
29、种，由概率公式得出概率；得出游戏不公平；关键概率相等修改即可【详解】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有3种，从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是；故答案为；（2）游戏不公平，理由如下：列表得：共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有2种，即（两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形），游戏不公平修改规则：若抽到的两张牌面图形都是中心对称图形（或若抽到的两张牌面图形都是轴对称图形），则小明获胜，否则小亮获胜【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合
30、于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验正确利用树状图分析两次摸牌所有可能结果是关键，区分中心对称图形是要点用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比20. 文美书店准备购进甲、乙两种图书共1200本进行销售已知甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，不同方案甲、乙两种图书的购进数量和售完后总收入的对应关系如下表所示：方案一方案二购进数量（本）甲种图书600400乙种图书600800售完后总收入（元）2880027200（1）甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店决定用不多于20000元来购进这1200本图书，为了让利
31、读者，实际销售甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得大利润？（购进的两种图书全部销售完）【答案】（1）甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元； （2）甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大【解析】【分析】对于（1），先设甲种图书售价每本元，乙种图书售价为每本元，再根据售完后得总收入相等列出方程组，求出解即可；对于（2），设甲种图书进货本，总利润元，根据总利润=甲种图书得利润+乙种图书得利润列出一次函数，然后根据总金额不多于20000元列出不等式，求出的范围，最后根据一次函数的性质得出答案即可【小问1详解】设甲种图书售价每本元，乙种图书
32、售价为每本元由题意得：，解得，答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元；【小问2详解】设甲种图书进货本，总利润元，则：，解得：，随的增大而增大，当最大时最大，当本时，最大，此时，乙种图书进货本数为（本），答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质和应用，确定取值范围是解（2）题的关键21. 已知：如图，正方形的对角线相交于点，的平分线分别交，于点，作于点，分别交，于点，连接，（1）求证：；（2）判断四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论【答案】（1）见解析 （2）菱形，证明见解析【解析】【分析】(1)利用正方形的
33、性质，对顶角相等，证明，从而补充三角形全等的条件即可(2)利用正方形的性质，三角形全等，运用四边相等的四边形是菱形判断小问1详解】证明：四边形是正方形，【小问2详解】解：四边形是菱形，理由如下：四边形是正方形，平分，是的垂直平分线，四边形是菱形【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定，三角形全等，线段垂直平分线的判定好性质，熟练掌握正方形的性质，菱形的判定是解题的关键22. 某超市销售一种文具，进价为5元/件售价为6元/件时，当天的销售量为100件在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件设当天销售单价统一为元/件（，且是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为元（1）求与的
34、函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润【答案】（1）；（2）当天销售单价所在的范围为；（3）每件文具售价为9元时，最大利润为280元.【解析】【分析】（1）根据总利润每件利润销售量，列出函数关系式，（2）由（1）的关系式，即，结合二次函数的性质即可求的取值范围（3）由题意可知，利润不超过即为利润率（售价进价）售价，即可求得售价的范围再结合二次函数的性质，即可求【详解】解：由题意（1）故与的函数关系式为：（2）要使当天利润不低于240元，则，
35、解得，抛物线的开口向下，当天销售单价所在的范围为（3）每件文具利润不超过，得文具的销售单价为，由（1）得对称轴为在对称轴的左侧，且随着的增大而增大当时，取得最大值，此时即每件文具售价为9元时，最大利润为280元【点睛】考核知识点：二次函数的应用.把实际问题转化为函数问题解决是关键.23. 新定义：如图1，在长方形中，点为边上的一点（不与、重合）若一个小球从点出发，依次在长方形各边上经过次反弹后恰好回到点（反弹点分别为、，且每次反弹的入射角等于反射角）设此时的，则称的值为次完美反弹比（且为奇数），设长方形中，（1）问题提出：当时，与、之间有什么等量关系呢？探究1：设每个小正方形的边长均为1如图2
36、，在长方形中，若小球从格点出发，依次在、边上经过3次反弹后恰好回到点，显然，此时如图3，在长方形中，若小球从格点出发，依次在、边上经过3次反弹后恰好回到点，显然，此时如图4，在长方形中，若小球从格点出发，依次在、边上经过3次反弹后恰好回到点，请在图3中用、标记每条边上的反弹点，并画出小球每次反弹的轨迹，再直接写出此时_（2）问题解决1：通过归纳，时，与、间的等量关系为：_（3）探究2：当时，与、之间又有什么等量关系呢？当时，有图5、图6两种情况请直按写出与、之间所有可能的等量关系：_请直接写出当时，与、之间所有可能的等量关系：_（4）问题解决2：若长方形中，为该长方形的次完美反弹比（且为奇数）
37、，请直接写出与、之间所有可能的等量关系：_【答案】（1）图见解析，3； （2）； （3）或；或； （4）或【解析】【分析】（1）根据题意，画出图形，即可求解；（2）由（1）得：当，时 ；当，时， ；当，时，；由此发现规律，即可求解；（3）如图5，作OP1P2、P1P2P3的平分线P1E、P2G，P1E交CD，P2G 交AB于点E，G，连接OP3交P2G于点F，根据题意可得， ，从而得到四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，进而得到，然后设，则，可得，从而得到，进而得到，可得；如图6，连接OP2，P3P5，P1P4， OP2与P1P4交于点M， P3P5与P1P4交于点，OP5与P3P2N交
38、于点Q，则点Q在P1P4上，可得根据题意得： ，OABP2，从而得到四边形AOP2B是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，进而得到OM=MP2=，可得到，即可求解；方法同，即可求解；（4）由（3）得：当时，或；当时，；由此发现规律，即可求解【小问1详解】解 探究1：如图， 根据题意得：，故答案为：3；【小问2详解】解问题解决1：由（1）得：当，时 ，当，时， ，当，时，由此发现，当时，与、之间的等量关系为：，故答案为：；【小问3详解】解：如图5，作OP1P2、P1P2P3的平分线P1E、P2G，P1E交CD，P2G 交AB于点E，G，连接OP3交P2G于点F，根据题意得：， ，四边形是平行四边形
39、，A=90，四边形是矩形，同理四边形是矩形，四边形是矩形，设，则，解得：，即，如图6，连接OP2，P3P5，P1P4， OP2与P1P4交于点M， P3P5与P1P4交于点，OP5与P3P2N交于点Q，则点Q在P1P4上，根据题意得 ，OABP2，四边形AOP2B是矩形，同理四边形是矩形，四边形是矩形，OMP1=P1MP2=90，OP2=AB=x，AO=MP1，OMP1P2MP1，OM=MP2=，同理，=，综上所述，当时，或，故答案为：或，方法同得：当时，或，故答案为：或，【小问4详解】问题解决2：由（3）得：当时，或，当时，由此发现，当且为奇数时，与、之间等量关系：或，故答案为：或.【点睛】
40、本题主要考查了矩形的判定和性质、解直角三角形，根据题意，发现规律是解题的关键24. 已知：如图，在中，cm，cm点是中点，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为2cm/s；同时点从点出发，沿向点匀速运动，速度为3cm/s；连接，将绕点旋转得，连接，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）当为何值时，四边形是菱形？（3）设四边形的面积为（cm2），求与的函数关系式；（4）是否存在某一时刻，使得点在的外接圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）s （2）s （3） （4）存在，s或s【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例，可以求得t值（2）根据对角线互相垂
41、直的平行四边形是菱形，求得t值（3）易证四边形PQRT是平行四边形，则有，通过，用t表示的面积，从而得到与的函数关系式（4）取AB的中点为G，以A为原点，建立平面直角坐标系，通过点在的外接圆上，有cm，从而求得t值【小问1详解】解：设s时，在中，cm，cm，cm绕点旋转得，四边形PQRT是平行四边形，点从点出发，速度为2cm/s，s时，（cm），同理，（cm），cm，cm，即，解得：s，故当s时，【小问2详解】解：如图，过P作PEAB，过D作DFAB，cm，点是中点，cm在中，（cm），cm，cm，cm，cm，cm，在中，cm，cm，cm，cm，cm，在中，cm，cm，cm， cm，（cm），cm， cm，cm，（cm），cm，cm，cm，cm，（cm），cm，cm，在中，cm，解得（舍），当为s时，四边形是菱形【小问3详解】解：如图，过P作PEAB，过D作DFAB，四边形PQRT是平行四边形，由（2）可知，（cm），cm，cm同理，cm，cm，
