1、2022年山东省济南市章丘区中考一模数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48分）1. 的值是（）A. 3B. 3或3C. 3D. 92. 如图，正三棱柱的主视图为（ ）A. B. C. D. 3. 银河系中大约有恒星160 000 000 000颗，数据160 000 000 000用科学记数法表示为（）A. 0.161012B. 1.61011 C. 161010D. 1601094. 下列选项中的垃圾分类图标，属于中心对称图形的是（ ）A. B. C D. 5. 如图所示，AE/BC，EFBD，垂足为E，则2的度数为（ ） A. 30B. 40C. 62D. 506. 下列计算正确的是
2、（ ）.A. B. C. D. 7. 如图AB、BC为O两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若CBD62，则AOC的度数为（ ）A. 130B. 124C. 114D. 1008. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（ ）A. 7 h；7 hB. 8 h；7.5 hC. 7 h ；7.5 hD. 8 h；8 h9. 正比例函数ykx的图象经过一、三象限，则一次函数ykxk的图象大致是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，
3、在中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上若，当最小时，的面积是（ ）A. 2B. 1C. 6D. 711. 在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB 约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是（ ）m（结果精确到1m）（参考数据：tan420.9，tan350.7，tan481.1，tan551.4）A 2.5B. 2.
4、6C. 2.8D. 312. 已知函数在上的最大值是1，最小值是，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共24分）13. 分解因式：_14. 在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球从袋中随机摸出一个球，是黄球的概率为_15. 若关于x的一元二次方程x2+kx20的一个根为x1，则这个一元二次方程的另一个根为 _16. 如图，从一块直径为2cm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90的扇形，则此扇形的面积为_cm217. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形当水面触到杯
5、口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是_厘米18. 如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为_三、解答题（本大题共9小题，共78分）19. 计算：20. 解方程：.21. 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BAEDAF求证：AEAF22. 达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中m= ，n= ，并把条形统计图补充完整（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两
6、人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示）23. 如图，为的外接圆，为直径，的角平分线交于点，过点作的切线，交的延长线于点（1）求证：；（2）若，求的半径24. 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用25. 如图，四边形为正方形，点在轴上，点
7、在轴上，且，反比例函数在第一象限图象经过正方形的顶点（1）求点的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求值（3）在（2）的条件下，坐标系内是否存在点，使以点，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由26. 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图，在中，分别为、边上一点，连接，且，将绕点在平面内旋转（1）观察猜想绕点旋转到如图所示的位置，若，则的值为_（2）类比探究若，将绕点旋转到如图所示的位置，求的值（3）拓展应用若，为中点，当时，请
8、直接写出的值27. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线，且抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点A.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴直线上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若CBQ=45，请求出点Q坐标.2022年山东省济南市章丘区中考一模数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48分）1. 的值是（）A. 3B. 3或3C. 3D. 9【答案】C【解析】【分析】根据平方根的定义，求数9的算术平方根即可【详解】解：的值是3故选：C【点睛】本题考查了算术平
9、方根和平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根2. 如图，正三棱柱的主视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：主视图是从物体的前面往后看到的平面图形，正三棱柱的主视图是矩形，中间有竖着的实线，故选B考点：几何体的三视图3. 银河系中大约有恒星160 000 000 000颗，数据160 000 000 000用科学记数法表示（）A. 0.161012B. 1.61011 C. 161010D. 160109【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数
10、变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【详解】解：160000000000=1.61011，故答案为B【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值4. 下列选项中的垃圾分类图标，属于中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【详解】解：A不是中心对称图形
11、，故选项错误，不符合题意；B不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；C是中心对称图形，故选项正确，符合题意；D不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意故选：C【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合5. 如图所示，AE/BC，EFBD，垂足为E，则2的度数为（ ） A. 30B. 40C. 62D. 50【答案】C【解析】【分析】根据平行线的性质可得AEF的度数，再根据2与AEF互余，可得2的度数【详解】解：，又EFBD，故选：C【点睛】本题考查了平行线的性质和余角的性质，熟练运用平行线的性质是解题关键6. 下列计算正确的是（ ）.A. B
12、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的除法运算法则逐项判断即得答案【详解】解：A.与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；B. ，故本选项运算错误，不符合题意；C. ，故本选项运算错误，不符合题意；D. ，故本选项运算正确，符合题意故选：D【点睛】本题考查了合并同类项的法则和幂的运算性质，属于基础题型，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键7. 如图AB、BC为O的两条弦，连接OA、OC，点D为AB的延长线上一点，若CBD62，则AOC的度数为（ ）A. 130B. 124C. 114D. 100【答案】B【解析】【分析】如图
13、，设点E是优弧（不与A，C重合）上的一点，则，根据圆内接四边形的对角互补即可求得【详解】解：如图，设点E是优弧（不与A，C重合）上的一点，连接AE、CE，CBD62 AOC2E124故选：B【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理，解题关键是利用圆内接四边形对角互补求出圆周角8. 为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（ ）A. 7 h；7 hB. 8 h；7.5 hC. 7 h ；7.5 hD. 8 h；8 h【答案】C【解析】【
14、分析】根据众数的定义及所给频数分布直方图可知，睡眠时间为7小时的人数最多，根据中位数的定义，把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数，从而可得结果【详解】由频数分布直方图知，睡眠时间为7小时的人数最多，从而众数为7h；把睡眠时间按从小到大排列，第25和26位学生的睡眠时间的平均数是中位数，而第25位学生的睡眠时间为7h，第26位学生的睡眠时间为8h，其平均数为7.5h，故选：C【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数和中位数，读懂频数分布直方图，掌握众数和中位数定义是解决本题的关键9. 正比例函数ykx的图象经过一、三象限，则一次函数ykxk的图象大致是（ ）A.
15、B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正比例函数的图象经过一、三象限，可以知道，由此，从而得到一次函数图象情况【详解】解：正比例函数ykx的图象经过一、三象限一次函数的图象经过一、二、四象限故选：A【点睛】本题考查一次函数图象，熟记相关知识点并能灵活应用是解题关键10. 如图，在中，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上若，当最小时，的面积是（ ）A. 2B. 1C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】由点为线段上的一个动点，最短时，如图，由题意知，是的角平分线，由角平分线的性质可得，证明，则有，由求出
16、的值，根据计算求解即可【详解】解：由点为线段上的一个动点，最短时，如图，由基本尺规作图可知，是的角平分线，在和中，故选B【点睛】本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用11. 在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB 约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是（ ）m（结果精确到1m）（参考数据：tan420.9，tan35
17、0.7，tan481.1，tan551.4）A. 2.5B. 2.6C. 2.8D. 3【答案】D【解析】【分析】设，然后结合角的正切值列方程组求解，从而求得的高度【详解】解：如图，由题意可得四边形矩形，四边形是矩形，设，在中，在中，联立方程组，可得，解得：，故选：【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，理解锐角三角函数的定义、利用角的正切值列方程组是解题关键12. 已知函数在上的最大值是1，最小值是，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式可直接得到函数的对称轴，再判断对称轴是否在x的取值范围内，若在，则在对称轴处可取的最小值，缩小m的取值范围，当
18、x=1时，求出y值与最大值相等，找出关于对称轴对称的点，进而求出m的取值范围【详解】解：函数的对称轴为直线x=-=-，且抛物线开口向上， 当x=-时，y有最小值，此时，由题可知在上函数最小值是， 当x=1时，=1，对称轴为直线x=-，当x=-1-(-)=-2时，y=1，函数在上的最大值是1，且，；故选C【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，当a0时，抛物线开口向上，在对称轴处函数取得最小值，在取值范围内，离对称轴最远处取得最大值，熟知何处取最值是解题的关键二、填空题（本大题共6小题，共24分）13. 分解因式：_【答案】【解析】【分析】先提公因式 再利用平方差公式分解即可.详解】解： 故答
19、案为：【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“平方差公式分解因式及因式分解一定要彻底”是解本题的关键.14. 在一个不透明的袋中装有6个只有颜色不同的球，其中3个红球、2个黄球和1个白球从袋中随机摸出一个球，是黄球的概率为_【答案】【解析】【分析】用黄球的数量除以所有球的数量即可求得是黄球的概率【详解】解：袋子中共有6个小球，其中黄球有2个，摸出一个球是黄球的概率是 ，故答案为【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= 15. 若关于x的一元二次方程x2+kx20的一个根为x1，则这个一
20、元二次方程的另一个根为 _【答案】x=-2【解析】【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为-2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解【详解】解：a=1，b=k，c=-2，x1x2=-2关于x的一元二次方程x2+kx-2=0的一个根为x=1，另一个根为x=-21=-2故答案为：x=-2【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之积等于是解题的关键16. 如图，从一块直径为2cm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90的扇形，则此扇形的面积为_cm2【答案】【解析】【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式进行求解即
21、可【详解】解：如图，连接AC，从一块直径为2cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90的扇形，即ABC=90，AC为直径，即AC=2cm，AB=BC（扇形的半径相等），在中，AB=BC=，阴影部分的面积是 （cm2）故答案为：【点睛】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键17. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是_厘米【答案】【解析】【分析】先由勾股定理求出，再过点作于，由的比例线段求得结果即可【详解】解：过点作于，如图所示：BC=6厘米，
22、CD=16厘米，CD厘米，由勾股定理得：，即，故答案为：【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键18. 如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为_【答案】38【解析】【分析】首先连接AC，过B作BHAC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可【详解】解：连接，过作于，当G在BH上时，ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小
23、值，四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24连接BG，由G是EF中点，EF=4知，BG=2，故G在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示， 由勾股定理得：AC=10，ACBH=ABBC，BH=4.8，即四边形面积的最小值=故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹三、解答题（本大题共9小题，共78分）19. 计算：【答案】【解析】【分析】根据绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，二次根式的化简，负整数指数幂
24、的运算规律求值即可；【详解】解：原式=228=；【点睛】本题考查实数的混合运算；牢记特殊角的三角函数值，二次根式的运算法则，负整数指数幂定义是解题关键20. 解方程：.【答案】x= -5【解析】【分析】按照解分式方程的基本步骤规范求解即可【详解】，去分母，得2x-(x-1)=-4，去括号，得2x-x+1=-4，移项、合并同类项，得x= -5，经检验，x= -5是原方程的根【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键21. 如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BAEDAF求证：AEAF【答案】见解析【解析】【分析】根据菱形的性质可得B=D，AB=AD，再证
25、明ABEADF，即可得AE=AF【详解】证明：四边形ABCD是菱形，B=D，AB=AD，在ABE和ADF中，ABEADF（ASA），AE=AF【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质22. 达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中m= ，n= ，并把条形统计图补充完整（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的
26、概率（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示）【答案】（1）40，20，30，作图见试题解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）由题意得：参加演讲比赛的学生共有：410%=40（人），然后根据扇形统计图的知识，可求得m，n的值，继而补全统计图；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A等级中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案试题解析：（1）根据题意得：参加演讲比赛学生共有：410%=40（人），n%=100%=30%，m%=140%10%30%=20%，m=20，n=30；如图：故答案为40，20，30；（2）画树状图得：共有1
27、2种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，A等级中一男一女参加比赛的概率为：=考点：1列表法与树状图法；2扇形统计图；3条形统计图23. 如图，为的外接圆，为直径，的角平分线交于点，过点作的切线，交的延长线于点（1）求证：；（2）若，求的半径【答案】（1）见解析 （2）2【解析】【分析】（1）根据切线性质得，再根据圆及角平分线的性质，证得，最后根据平行线的性质，证得结论（2）连接交AC于点F，证明四边形是矩形，再设的半径r，在中运用勾股定理，建立关于r的方程，求解即可【小问1详解】证明：如图，连接， 与相切于点， ，平分，【小问2详解】解：如图，连接交AC于点F，是的直径，四边形
28、是矩形，设的半径为，则，解得，的半径为【点睛】本题考查了与圆有关的综合问题，灵活运用切线性质，勾股定理进行推理求值是解题的关键24. 为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用【答案】（1）购进A种树苗10棵，B种树苗7棵（2）购进A种树苗9棵，B种树苗8棵，这时所需费用为1200元【解析】【分析】（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17x）棵
29、，利用购进A、B两种树苗刚好用去1220元，结合单价，得出等式方程求出即可；（2）结合（1）的解和购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出方案.【详解】解：（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17x）棵，根据题意得：80x+60（17x ）=1220，解得：x=1017x=7答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵（2）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17x）棵，根据题意得：17xx，解得：x8.5购进A、B两种树苗所需费用为80x+60（17x）=20x+1020，是x的增函数，费用最省需x取最小整数9，此时17x=8，所需费用为209+1020=1200（元）答：费用最省方案为：
30、购进A种树苗9棵，B种树苗8棵，这时所需费用为1200元25. 如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点（1）求点的坐标和反比例函数的关系式；（2）如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求值（3）在（2）的条件下，坐标系内是否存在点，使以点，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由【答案】（1）点的坐标为； （2）3 （3）存在，点坐标为或或【解析】【分析】（1）过点C作CEx轴于点E，证明AOBBEC，根据全等三角形的性质分别求出BE、CE，求出点C的坐标，进而求出反比
31、例函数解析式；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点A横坐标，根据平移的性质解答；（3）根据题意画出图形，然后分三种情况讨论【小问1详解】解：如图所示，过点C作CEx轴于点E，则BEC=90，四边形ABCD为正方形，AB=BC，ABC=90，OBA+EBC=90，OBA+OAB=90，OAB=EBC，在AOB和BEC中，OAB=EBC，AOB=BEC，AB=BC，AOBBEC(AAS)，BE=OA=4，CE=OB=2，OE=OB+BE=6，点C的坐标为(6，2)，将点C的坐标为(6，2)代入 y，得k=12，反比例函数的关系式为y；【小问2详解】解：OA=4，点A纵坐标为4，点A横坐标为
32、=3，m=3；【小问3详解】解：如图，设所求坐标为（s，t），则：当四边形POBA为平行四边形时，由（2）可得：t=4，OB=OB+3=5，s=3-5=-2，此时点P的坐标为(-2，4)，当四边形AOBP为平行四边形时，由（2）可得：t=4，s=3+5=8，点P的坐标为(8，4)，当四边形AOPB为平行四边形时， ，点P的坐标为(2，-4)，综上所述：以点O，A，B，P为顶点的四边形为平行四边形时，点P坐标为(-2，4)或(2，-4)或(8，4)【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，掌握待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的
33、性质是解题的关键26. 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题：如图，在中，分别为、边上一点，连接，且，将绕点在平面内旋转（1）观察猜想绕点旋转到如图所示的位置，若，则的值为_（2）类比探究若，将绕点旋转到如图所示的位置，求的值（3）拓展应用若，为的中点，当时，请直接写出的值【答案】（1）； （2）； （3）的值为或【解析】【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得到BMNBAC60，ACBMNB，根据等边三角形的性质得到ABBC，BMBN，根据旋转的性质得到ABMCBN，根据全等三角形的性质得到AMCN，于是得到结论；（2）根据已知条件得到ABC
34、和BMN均为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到结论；（3）分两种情况：如图4，当ABC旋转到直线BN的下方时，如图5，当ABC旋转到直线BN的上方时，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，求得AM的值于是得到结论【小问1详解】如图，绕点旋转到如图所示的位置，在与中，故答案为：；【小问2详解】，和均为等腰直角三角形，；【小问3详解】是的中点，分两种情况：如图，当旋转到直线的下方时， ，在中，由知，；图，当旋转到直线的上方时， ，由知，；综上所述，的值为或【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判
35、定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题27. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线，且抛物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点A.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴直线上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若CBQ=45，请求出点Q坐标.【答案】（1）；（2）当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为；（3）点.【解析】【分析】（1）根据对称轴方程可得，把B、C坐标代入列方程组求出a、b、c的值即可得答案；（2）根
36、据二次函数的对称性可得A点坐标，设直线AC与对称轴的交点为M，可得MB=MA，即可得出MB+MC=MC+MA=AC，为MB+MC的最小值，根据A、C坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，把x=-1代入求出y值，即可得点M的坐标.（3）设直线BQ交y轴于点H，过点作于点，利用勾股定理可求出BC的长，根据CBQ=45可得HM=BM，利用OCB的正切函数可得CM=3HM，即可求出CM、HM的长，利用勾股定理可求出CH的长，即可得H点坐标，利用待定系数法可得直线BH的解析式，联立直线BQ与抛物线的解析式求出交点坐标即可得点Q坐标.【详解】（1）抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线，抛
37、物线经过B(1，0)，C(0，3)两点，解得：，抛物线解析式为.（2）设直线AC的解析式为y=mx+n，抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线，B（0，0），点A坐标为（-3，0），C（0，3），解得：，直线解析式为，设直线与对称轴的交点为，点A与点B关于对称轴x=-1对称，MA=MB，MB+MC=MA+MC=AC，此时的值最小，当时，y=-1+3=2，当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.（3）如图，设直线交轴于点，过点作于点，B（1，0），C（0，3），OB=1，OC=3，BC=，CBQ=45，BHM是等腰直角三角形，HM=BM，tanOCB=，CM=3HM，BC=MB+CM=4HM=，解得：，CM=，CH=，OH=OC-CH=3-=，设直线BH的解析式为：y=kx+b，解得：，的表达式为：，联立直线BH与抛物线解析式得，解得：（舍去）或x=，当x=时，y=，点Q坐标为（，）.【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
