1、2022 年辽宁省沈阳市重点中学中考数学一模试卷年辽宁省沈阳市重点中学中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题，共 20分）分） 1. 在3、1、0、2这四个数中，为无理数的是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 2. H7N9 型禽流感是一种新型禽流感，于 2013 年 3 月在上海和安徽两地率先发现，截至 2014 年 4 月 22日19 时，全国 H7N9禽流感患者人数增至 104例，小明上网查得 H7N9 禽流感病毒的直径大约是 0.00000008米，则它的直径用科学记数法可表示为（ ）米 A. 70.8 10 B. 78 10 C.
2、88 10 D. 98 10 3. 如图，正方形 ABCD的顶点 A的坐标为（-1，0） ，点 D 在反比例函数 y=mx的图象上，B 点在反比例函数y=2x的图象上，AB 的中点 E在 y轴上，则 m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 4. 不等式-3x6 的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是( ) A. 235aaa B. 339aaa C. 3 26()aa D. 22()abab 6. 如图，已知 ABCD，BED=90 ，则1 与2之间数量关系可表示为（ ） A. 2=21 B. 2+1=90 C. 1+2=180 D. 无法表
3、示 7. 若0mn，0mn，则一次函数ymxn的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 我市连续十天的空气污染指数的数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物，又称 PM10） ：61，75，70，56，81，90，92，91，76，81那么该组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 92，75 B. 81，81 C. 81，78 D. 78，81 9. 如图，在 RtADB中，D=90 ，BC是ABD 的角平分线，交 AD 于点 C，且A=50 ，则ACB 的度数为（ ） A. 110 B. 120 C. 130 D. 140 10. 若二次函数 yx2
4、+mx 的对称轴是 x3，则抛物线 yx2+mx 与 x 轴的交点坐标为（ ） A （0，0） B. （0，6） C. （0，0）和（0，6） D. （0，0）和（6，0） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，共小题，共 18分）分） 11. 分解因式：3x2y2+xy-1=_ 12. 把二次函数 y=-x2-4x-3 化成 y=a（x-h）2+k的形式是_ . 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB：BC=3：2，点 A（-3，0） ，B（0，6）分别在 x 轴，y轴上，反比例函数 y=kx（x0）的图象经过点 D，且与边 BC 交于点 E，则点 E 的
5、坐标为_ 14. 如图，在斜坡 AB上有一棵树 BD，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，在地面上 C点处测得树顶部 D的仰角为 60 ，测得坡角BAE=30 ，AB=6米，AC=4 米则树高 BD=_ 15. 如图，ABC 的面积是 12，点 D、E、F、G 分别是 BC、AD、BE、CE 的中点，则阴影部分的面积是_ 16. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时， 提出了分线段的“中末比”问题： 点 G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项， 即满足515MGGNMNMG，后人把512这个数称为“黄金分割”数，把点 G称为线段的“黄金分割”点如图，在 AB
6、C中，已知 AB=AC=3，BC=4，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则 ADE 的面积为_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 82分）分） 17 （1）计算：1014sin60|32| 2020124 （2）先化简，再求值：21111211aaaaaa，其中3a 18. 某校在“校艺术节”期间，举办了A演讲、B唱歌、C书法、D绘画共四个项目的比赛要求每位同学必须参加且限报一项以九年级（一）班为样本进行统计，并将结果绘制如下尚不完整的条形和扇形统计图，请根据统计图解答下列问题： （1）在扇形统计图中，D项的百分率是 （2）在扇形统计图中，C项的圆心角的度数是 （
7、3）请补充完整条形统计图； （4）若该校九年级有500名学生，那么九年级参加演讲和唱歌比赛的学生共有多少人？ 19. 甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的 4张牌做抽数学游戏游戏规则是：将这4 张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数若这个两位数小于 45，则甲获胜，否则乙获胜你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由 20. 如图，已知 ABDE，AFBE，145，23，依次求出2，3，A 的度数 21. 如图，要建一个面积为 14
8、0 平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为 18 米，在 与墙垂直的一边要开一扇 2 米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长 为 32 米，那么这个仓库的宽和长分别是多少米？ 22. 如图，在 ABC中，ABAC，以 AB 为直径O交 BC于点 D，过点 D作 EFAC于点 E，交 AB的延长线于点 F （1）求证：EF是O的切线； （2）当BAC60 时，DE 与 DF有何数量关系？请说明理由； （3）当 AB5，BC6 时，求 tanBAC 的值 23. 如图， 在 ABC 和 ADE 中， 边 AD与边 BC交于点 P （不与点 B、 C重合） ， 点 B、 E在 A
9、D异侧， OA、OC 分别是PAC和PCA的角平分线 （1）当APC =60 时，求AOC的度数； （2）当 ABAC，AB=AD=4，AC=3，BC=5 时，设 AP=x，用含 x 的式子表示 PD，并求 PD的最大值； （3）当 ABAC，B=20 时，AOC的取值范围为 AOC ，直接写出 、的值 24. 某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题： 如图 1，在ABC 和ADE 中，ACB=AED=90 ，CAB=EAD=60 ，点 E，A，C在同一条直线上，连接 BD，点 F 是 BD 的中点，连接 EF，CF，试判断CEF的形状并说明理由 （1）问题探究：小婷同学提出解题思路：先探究
10、CEF 的两条边是否相等，如 EF=CF，以下是她的证明过程 证明：延长线段 EF交 CB的延长线于点 G F是 BD 的中点， BF=DF ACB=AED=90 ， EDCG BGF=DEF 又BFG=DFE， BGFDEF（_ ） EF=FG CF=EF=12EG 请根据以上证明过程，解答下列两个问题： 在图 1中作出证明中所描述的辅助线； 在证明括号中填写理由（请在 SAS，ASA，AAS，SSS 中选择） （2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出CEF 的度数，并判断CEF 的形状 （3）问题拓展：如图 2，当ADE绕点 A逆时针旋转某个角度时，连接 CE，延长 DE 交 B
11、C的延长线于点P，其他条件不变，判断CEF 的形状并给出证明 25. 如图 1，已知抛物线顶点 A 在 x 轴上，直线 l：y=3x-3交抛物线于 A，B 两点，且 AB=23 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线与 y 轴交于 C点，点 P 在抛物线上，且在第一象限，APC=45 ，求 P点坐标； （3）如图 2，过点 M（1，-1）作直线交抛物线与 E、F，点 N在抛物线上且 NEx 轴，连 FN，试证明：直线 FN 过定点，并求定点的坐标 2022 年辽宁省沈阳市重点中学中考数学一模试卷年辽宁省沈阳市重点中学中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，共小题
12、，共 20分）分） 1. 在3、1、0、2这四个数中，为无理数的是（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数， 而无限不循环小数是无理数 由此即可判定选择项 【详解】解：A、-3 是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B、-1 是整数，属于有理数，故本选项不合题意； C、0 是整数，属于有理数，故本选项不合题意； D、2是无理数，故本选项符合题意 故选：D 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等；
13、开方开不尽的数；以及像 0.5757757775（相邻两个 5之间的 7 的个数逐次加 1）等有这样规律的数 2. H7N9 型禽流感是一种新型禽流感，于 2013 年 3 月在上海和安徽两地率先发现，截至 2014 年 4 月 22日19 时，全国 H7N9禽流感患者人数增至 104例，小明上网查得 H7N9 禽流感病毒的直径大约是 0.00000008米，则它的直径用科学记数法可表示为（ ）米 A. 70.8 10 B. 78 10 C. 88 10 D. 98 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义计算求值即可； 【详解】解：0.00000008米=88 10， 故选：
14、 C 【点睛】 本题考查了科学记数法： 把一个绝对值小于 1的数表示成 a 10-n的形式 （a 大于或等于 1 且小于 10，n 是正整数） ；n的值为小数点向右移动的位数 3. 如图，正方形 ABCD的顶点 A的坐标为（-1，0） ，点 D 在反比例函数 y=mx的图象上，B 点在反比例函数y=2x的图象上，AB 的中点 E在 y轴上，则 m的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设 B（a，2a） ，由 A 点和中点坐标公式可得 a 的值，从而得出 B 点坐标；过 B 作 BMx 轴于 M，过 D 作 DNx 轴于 N，由DANABM可得 DN
15、、AN的长度，便可求得 D点坐标，再代入反比例函数y=mx求 m 即可； 【详解】解：B 点在反比例函数 y=2x的图象上，设 B（a，2a） ， AB 的中点 E 在 y 轴上，A 的坐标为（-1，0） ， 12（-1+a）=0，解得：a=1，即 B（1，2） ， 如图，过 B作 BMx轴于 M，过 D作 DNx 轴于 N， ABCD 是正方形，则 AD=BA，BAD=90 ， DAN+ADN=90 ，DAN+BAM=90 ， ADN=BAM，又AND=BMA=90 ，AD=BA， DANABM（AAS） ，DN=AM=2，NA=MB=2， A（-1，0） ，D（-3，2） ，代入比例函数
16、y=mx得：m=-6， 故选： C 【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质等知识；由全等的性质求得 D点坐标是解题关键 4. 不等式-3x6 的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质解不等式判断即可； 【详解】解：-3x6， x-2， 在数轴上表示为： 故选： D 【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；掌握其性质是解题关键 5. 下列计算正确的是( ) A. 235aaa B. 339aaa C. 3 26()aa D. 22()abab 【答案】C 【解析
17、】 【分析】根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘，合并同类项，分别判断即可得到答案. 【详解】解：A、2a与3a不是同类项，不可以合并，故 A 错误； B、336aaa，故 B错误； C、3 26()aa，故 C正确； D、222()aba b，故 D错误； 故选择：C. 【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘，合并同类项，解题的关键是熟记运算法则. 6. 如图，已知 ABCD，BED=90 ，则1 与2之间的数量关系可表示为（ ） A. 2=21 B. 2+1=90 C. 1+2=180 D. 无法表示 【答案】B 【解析】 【分析】过点 E作 EFAB，依据平行线的性质，即可得
18、到3+4=1+2，进而得出BED=1+2，故可得结论 【详解】如图，过点 E 作 EFAB， ABCD， ABCDEF， 3=1，4=2， 3+4=1+2， 即BED=1+2； BED=90 ， 1+2=90 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质此题注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 7. 若0mn，0mn，则一次函数ymxn的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据 m+n0，mn0判断出 m、n的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可 【详解】mn0， m、n 同号， m+n0， m0，n0， 一
19、次函数 y=mx+n的图象过二、三、四象限 故选 A 【点睛】 考查了一次函数的性质， 解题的关键是识记一次函数 y=kx+b在 k、b符号不同情况下所在的象限 8. 我市连续十天的空气污染指数的数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物，又称 PM10） ：61，75，70，56，81，90，92，91，76，81那么该组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 92，75 B. 81，81 C. 81，78 D. 78，81 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数
20、如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 【详解】解：81 出现了 2次，次数最多，故众数为 81， 把这组数据按照从小到大的顺序排列为，56，61，70，75，76，81，81，90，91，92， 故中位数为（7581）278, 故选：C 【点睛】本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错一组数据中出现次数最多的数据叫做众数 9. 如图，在 RtADB中，D=90 ，BC是ABD 的角平分线，交 AD 于
21、点 C，且A=50 ，则ACB 的度数为（ ） A. 110 B. 120 C. 130 D. 140 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出ABD的度数，再根据角平分线的定义求出CBD的度数，最后根据三角形的外角性质求出答案 【详解】D=90 ，A=50 ， ABD=40 ， BC是ABD 的角平分线， CBD=20 ， ACB=CBD+D=20 +90 =110 ， 故选 A 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为 180 度，此题基础题，比较简单 10. 若二次函数 yx2+mx 的对称轴是 x3，则抛物线 yx2+mx 与 x 轴的交点坐标为（
22、 ） A. （0，0） B. （0，6） C. （0，0）和（0，6） D. （0，0）和（6，0） 【答案】D 【解析】 【分析】由对称轴为 x3，可求出 m的值，进而得到抛物线的解析式，再令 y0，解方程即可求出抛物线yx2+mx 与 x轴的交点坐标 【详解】解：二次函数 yx2+mx 的对称轴是 x3， xm23， m6， yx26x， 令 y0，则 x26x0， 解得：x0或 6， 抛物线 yx2+mx 与 x 轴的交点坐标为（0，0）和（6，0） ， 故选 D 【点睛】本题考查了抛物线和 x 轴交点的问题，根据抛物线对称轴方程求出 m的值是解题关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本
23、大题共 6 小题，共小题，共 18分）分） 11. 分解因式：3x2y2+xy-1=_ 【答案】113113366xyxy 【解析】 【分析】先提取公因数再配方，再利用平方差公式分解因式即可 【详解】解：原式=2211113336363x yxy =22113366xy=11311336666xyxy =113113366xyxy 故答案为：113113366xyxy 【点睛】 本题考查了公式法分解因式， 二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键 12. 把二次函数 y=-x2-4x-3 化成 y=a（x-h）2+k的形式是_ . 【答案】y=-（x+2）2+11 【解析】
24、【分析】根据配方法即可求解 【详解】y=-x2-4x-3 =-（x2+4x+4）+11 =-（x+2）2+11， 故答案为：y=-（x+2）2+11 【点睛】此题主要考查二次函数的顶点式，解题的关键是熟知配方法的运用 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB：BC=3：2，点 A（-3，0） ，B（0，6）分别在 x 轴，y轴上，反比例函数 y=kx（x0）的图象经过点 D，且与边 BC 交于点 E，则点 E 的坐标为_ 【答案】 （-2，7） 【解析】 【详解】解：过点 D作 DFx 轴于点 F，则AOBDFA90， OAB+ABO90， 四边形 ABCD是矩形， BAD
25、90，ADBC， OAB+DAF90， ABODAF， AOBDFA， OA：DFOB：AFAB：AD， AB：BC3：2，点 A（3，0） ，B（0，6） ， AB：AD3：2，OA3，OB6， DF2，AF4， OFOA+AF7， 点 D的坐标为： （7，2） ， 反比例函数的解析式为：y14x，点 C的坐标为： （4，8） 设直线 BC的解析式为：ykx+b， 则b=6-4k+b=8解得： 1k=-2b=6 直线 BC的解析式为：y12x+6， 联立得： x=-2y=7或x=14y=-1（舍去） ， 点 E的坐标为： （2，7） 故答案为（2，7） 14. 如图，在斜坡 AB上有一棵树
26、BD，由于受台风影响而倾斜，恰好与坡面垂直，在地面上 C点处测得树顶部 D的仰角为 60 ，测得坡角BAE=30 ，AB=6米，AC=4 米则树高 BD=_ 【答案】 （23+4）米#（4+2 3）米 【解析】 【分析】过 A 作 AMAB交 CD 于 M，再过 M作 MNBD 于 N，可得MCA是等边三角形；再由 ABNM是矩形求得 BN和 MN 的长；然后解 RtDMN 求得 DN的长即可解答. 【详解】解：如图，过 A作 AMAB交 CD 于 M，再过 M 作 MNBD于 N， CAM=180 -MAB-BAE=60 ，C=60 ， MCA等边三角形， AM=AC=4米，AMC=60 ，
27、 ABN=MAB=MNB=90 ， 四边形 ABNM是矩形， MN=AB=6米，BN=AM=4 米，AMN=90 ， RtDMN 中，DMN=180 -AMN-AMC=30 ， DN=MNtanDMN=363=2 3米， BD=BN+ND=（2 3+4）米， 故答案为： （2 3+4）米. 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形；正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键 15. 如图，ABC 的面积是 12，点 D、E、F、G 分别是 BC、AD、BE、CE 的中点，则阴影部分的面积是_ 【答案】92 【解析】 【分析】 根据中线的性质， 可得AEF的面积12A
28、BE的面积14ABD的面积18ABC的面积32，AEG的面积32， 根据三角形中位线的性质可得EFG的面积14BCE的面积32， 进而得到AFG的面积 【详解】解：点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点， AD是ABC中线，BE是ABD的中线，CE是ACD的中线，AF是ABE的中线，AG是ACE的中线， AEF的面积12ABE的面积14ABD的面积18ABC的面积32， 同理可得AEG的面积32， BCE的面积12ABC的面积6， 又FG是BCE的中位线， FGBC，BC=2FG， EFG的面积14BCE的面积32， AFG的面积是39322， 故答案为：92 【点睛】本题主要考查
29、了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 16. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时， 提出了分线段的“中末比”问题： 点 G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项， 即满足515MGGNMNMG，后人把512这个数称为“黄金分割”数，把点 G称为线段的“黄金分割”点如图，在 ABC中，已知 AB=AC=3，BC=4，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则 ADE 的面积为_ 【答案】10-45 【解析】 【分析】作 AHBC于 H，根据等腰三角形的性质得到 BH=CH=2，根据勾股定理求出 AH，根据线段的“黄金分割”点的
30、定义得到 CD、BE 的长，求出 DE的长，最后由三角形面积公式解答即可 【详解】解：如图，过点 A作 AHBC于 H， AB=AC， BH=CH=12BC=2， 在 RtABH 中，2222325AHABBH， D，E 是边 BC的两个“黄金分割”点， 515142 5222CDBEBC， 2 522 5244 58DEBECDBC ， 11.(4 58)5104 522ADESDE AH， 故答案为：10-45 【点睛】本题考查的是黄金分割、等腰三角形的性质，熟记黄金比值是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 82分）分） 17. （1）计算：1014
31、sin60|32| 2020124 （2）先化简，再求值：21111211aaaaaa，其中3a 【答案】 （1）33； （2）221a ，1 【解析】 【分析】 （1）先代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂、化简二次根式、计算负整数指数幂，再计算乘法、去括号，最后计算加减可得； （2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得 【详解】 （1）原式34(23) 1 2 342 ， 2 3231 2 34 ， 33； （2）原式21111(1)1aaaaa， 1111aa， 11(1)(1)aaaa ， 221a， 当3a 时，原式=222213 1231 【点睛
32、】本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则 18. 某校在“校艺术节”期间，举办了A演讲、B唱歌、C书法、D绘画共四个项目比赛要求每位同学必须参加且限报一项以九年级（一）班为样本进行统计，并将结果绘制如下尚不完整的条形和扇形统计图，请根据统计图解答下列问题： （1）在扇形统计图中，D项的百分率是 （2）在扇形统计图中，C项的圆心角的度数是 （3）请补充完整条形统计图； （4）若该校九年级有500名学生，那么九年级参加演讲和唱歌比赛的学生共有多少人？ 【答案】 （1）4%； （2）72； （3）见解析； （4）九年级参加演讲和唱歌比赛的学生共有
33、 380 人 【解析】 【分析】 （1）根据 A的人数和百分比求出总人数，再用 D 人数除以总人数即可得到答案； （2）根据总人数求出 C 的人数，再求出 C的百分率，用 C的百分率乘以360即可； （3）根据总人数求出 C 的人数，即可补全图形； （4）利用样本估计总体即可 【详解】 （1）由图可知： 参加 A项目的人数为 13人，占全班总人数的百分比为26% 总人数为13 26%50人 参加 D项目的人数为 2人 参加 D项目的百分率为250 100%4% （2）全班总人数为 50人，参加 A 项目、B项目、D项目的人数分别为 13人、25人、2人， 参加 C项目的人数为50 13 25
34、210人 参加 C项目的的百分比为10 50 100%20% C项目的圆心角度数为20% 36072 （3）因为参加 C项目的人数为 10人，补全图形如图所示： （4）50026% 50%380人 九年级参加演讲和唱歌比赛的学生共有380人 【点睛】本题主要考查条形统计图和扇形统计图,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小. 19. 甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是：3，4，5，6的 4张牌做抽数学游戏游戏规则是：将这4 张牌的正面全部朝下，洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的
35、数字，然后，将所抽的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数若这个两位数小于 45，则甲获胜，否则乙获胜你认为这个游戏公平吗？请运用概率知识说明理由 【答案】这个游戏不公平 【解析】 【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等 【详解】解：这个游戏不公平， 游戏所有可能出现的结果如下表： 3 4 5 6 3 33 34 35 36 4 43 44 45 46 5 53 54 55 56 6 63 64 65 66 表中共有 16
36、种等可能结果，小于 45 的两位数共有 6种 P（甲获胜）=63168，P（乙获胜）=105168= 3858， 这个游戏不公平 20. 如图，已知 ABDE，AFBE，145，23，依次求出2，3，A 的度数 【答案】2=45 ；3=45 ；A=135 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等和等量代换即可求解. 【详解】AB/DE， 1=2， 1=45 ， 2=45 ， 又2=3， 3=45 ， AF/BE， 1+A=180 ， A=180 -1=135 . 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行的性质. 21. 如图，要建一个面积为 140 平方米的仓库，仓
37、库的一边靠墙，这堵墙的长为 18 米，在 与墙垂直的一边要开一扇 2 米宽的门，已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长 为 32 米，那么这个仓库的宽和长分别是多少米？ 【答案】长和宽分别为 14米和 10米. 【解析】 【分析】首先设这个仓库的长为x米， 则宽表示为1(322)2x，再根据面积为 140 平方米的仓库可得1(322)1402x x，再解一元二次方程即可 【详解】解： 设这个仓库的长为x米， 由题意得： 1(322)1402x x， 解得：120 x ，214x ， 这堵墙的长为 18 米， 20 x 不合题意舍去， 14x ， 宽为：1(322 14)102（米) 答：
38、 这个仓库的宽和长分别为 14 米、 10 米 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用， 关键是正确理解题意， 正确表示出长方形的长和宽 22. 如图，在 ABC中，ABAC，以 AB 为直径的O交 BC于点 D，过点 D作 EFAC 于点 E，交 AB的延长线于点 F （1）求证：EF是O的切线； （2）当BAC60 时，DE 与 DF有何数量关系？请说明理由； （3）当 AB5，BC6 时，求 tanBAC 的值 【答案】 （1）证明见解析； （2）DE与 DF的数量关系为：DF=2DE理由见解析； （3）247 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，根据题意可得出1=C，则 ODAC，
39、由 EFAC可得出结论； （2） 连接 AD， 由圆周角定理可得出 ADBC， 根据已知条件可得出3=30 ， 从而得出3=F， 则 AD=DF，由直角三角形的性质即可得出 DF=2DE； （3）设O与 AC 的交点为 P，连接 BP，可求出 BD，再根据勾股定理求出 AD，根据三角形的面积公式得出 BP，再由勾股定理得出 AP，则得出 tanBAC的值 小问 1 详解】 证明：连接 OD， AB=AC， 2=C， OD=OB， 2=1， 1=C， ODAC， EFAC， ODEF， 点 D在O上， EF 是O的切线； 【小问 2 详解】 解：DE 与 DF的数量关系是 DF=2DE连接 AD
40、， AB 是O的直径， ADBC， AB=AC， 3=4=12BAC= 60 =30 ， F=90 -BAC=90 -60 =30 ， 3=F， AD=DF， 4=30 ，EFAC， DE=12AD， DF=2DE； 【小问 3 详解】 解：设O与 AC的交点为 P，连接 BP， AB 为直径，BPAC，由上知 BD=12BC=12 6=3， AD=2222= 53ABBD=4， SABC=12BCAD=12ACBP， 12 6 4=12 5 BP， BP=245， 直角 ABP中，AP=2222247 = 5() =55ABBP， tanBAC=24245775BPAP 【点睛】本题考查了切
41、线的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，是一道综合题，难度中等 23. 如图， 在 ABC 和 ADE 中， 边 AD与边 BC交于点 P （不与点 B、 C重合） ， 点 B、 E在 AD异侧， OA、OC 分别是PAC和PCA的角平分线 （1）当APC =60 时，求AOC的度数； （2）当 ABAC，AB=AD=4，AC=3，BC=5 时，设 AP=x，用含 x 的式子表示 PD，并求 PD的最大值； （3）当 ABAC，B=20 时，AOC的取值范围为 AOC ，直接写出 、的值 【答案】 （1）AOC的度数为 120 ； （2）PD=4x ，PD 的最大值
42、为85； （3）=100，=145 【解析】 【分析】 （1）根据三角形内角和求得PAC+PCA 的度数，然后根据角平分线的定义求得OAC+OCA的度数，从而求解； （2）在 ABC 中，当 APBC时，AP 最小，PD最大，由面积法求出 AP长，即可求出 PD的最大值； （3）如图，由已知可推出BAC=90 ，设BAP=y，则PAC=90 -y，PCA=70 ， 推出AOC=12y+100 ， ，因为 0 y90 ，可推出 100 AOC145 ，即可写出 、 的值 【详解】解：在 APC中，PAC+PCA=180-APC=120 又OA、OC 分别是PAC和PCA的角平分线 OAC+OCA
43、=12PAC+12PCA=12（PAC+PCA）=60 在OAC中，AOC=180-60=120 （2）AD=AB=4，而 PD=AD-AP=4-AP=4-x， 当 APBC时，AP 最小，PD 最大， 此时，S ABC=12BCAP=12ABAC， 即12 5x=12 4 3， 解得，x=125， PD=4x，PD的最大值为：4-125=85； （3）如图， ABAC， BAC=90 ， 设BAP=y，则PAC=90 -y，PCA=70 ， OA、OC分别是PAC和PCA 的角平分线， OAC=12PAC，OCA=12PCA， AOC=180 -（OAC+OCA） =180 -12（PAC+
44、PCA） =180 -12（90 -y+70 ） =12y+100 ， 0 y90 ， 100 12y+100 145 ， 即 100 AOC145 ， =100，=145 【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，三角形角平分线的有关推理计算，三角形的内角和定理等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用三角形的内角和定理等 24. 某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题： 如图 1，在ABC 和ADE 中，ACB=AED=90 ，CAB=EAD=60 ，点 E，A，C在同一条直线上，连接 BD，点 F 是 BD 的中点，连接 EF，CF，试判断CEF的形状并说明理由 （1）问题探究：小婷同学提出解题思
45、路：先探究CEF 的两条边是否相等，如 EF=CF，以下是她的证明过程 证明：延长线段 EF交 CB的延长线于点 G F是 BD 的中点， BF=DF ACB=AED=90 ， EDCG BGF=DEF 又BFG=DFE， BGFDEF（_ ） EF=FG CF=EF=12EG 请根据以上证明过程，解答下列两个问题： 在图 1中作出证明中所描述的辅助线； 在证明的括号中填写理由（请在 SAS，ASA，AAS，SSS中选择） （2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出CEF 的度数，并判断CEF 的形状 （3）问题拓展：如图 2，当ADE绕点 A逆时针旋转某个角度时，连接 CE，延长 D
46、E 交 BC的延长线于点P，其他条件不变，判断CEF 的形状并给出证明 【答案】 （1）作图见解析；AAS； （2）CEF=60 ，CEF是等边三角形，理由见解析； （3）CEF 是等边三角形，理由见解析； 【解析】 【分析】 （1）根据题意作辅助线即可；根据两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）判断即可； （2）延长 BA，DE 相交于点 H，可得H=30 ；由AEDAEH可得 ED=EH，由（1）结论可得四边形BGEH 是平行四边形G=H=30 ，再由 DECG，DEF=H 即可解答； （3） 延长 EF至 G使， FG=EF， 连接 CG， 由DE
47、FBGF求得EEF=BGF， DE=BG， 从而 BGDP，根据平行线的性质和四边形内角和可得CAE=CBG；RtADE和 RtABC中，由 60 的正切三角函数可得BGBCAEAC；于是BCGACE，BCG=ACE，3CGCE；进而可得ECG=90 ，解 RtECG便可解答； 【小问 1 详解】 解：由题意作辅助线如下： FBG 和FDE中：BFG=DFE，BGF=DEF，BF=DF， FBGFDE（AAS） ， 故答案为：AAS； 【小问 2 详解】 解：如图，延长 BA，DE相交于点 H， BAC=60 ，EAH=60 ，AEH=90 ，H=30 ， EAH=60 =EAD，AED=AE
48、H=90 ，AE=AE， AEDAEH（ASA） ，ED=EH， 由（1）知，BGFDEF， DE=BG，EH=BG， DEBG，四边形 BGEH 是平行四边形，G=H=30 ， DECG，DEF=H=30 ， CEF=AED-DEF=60 ， CF=EF， CEF是等边三角形； 【小问 3 详解】 解：如图，延长 EF至 G使，FG=EF，连接 CG， 点 F是 BD的中点，DF=BF， DFE=BFG， DEFBGF（SAS） ，EEF=BGF，DE=BG， BGDP，P+CBG=180 ， 在四边形 ACPE 中，AEP=ACP=90 ， 根据四边形的内角和得，CAE+P=180 ， C
49、AE=CBG， 在 RtADE 中，DAE=60 ， tanDAE=DEAE=3，即：3BGAE， 同理 RtABC 中：3BCAC， BGBCAEAC， CBG=CAE， BCGACE， BCG=ACE，3CGBCCEAC， ECG=ACE+ACG=BCG+ACG=90 ， 在 RtCEG 中，EF=GF，CF=EF=12EG， tanCEG=CGCE=3，CEG=60 ， CF=EF， CEF是等边三角形； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识；综合性较强，正确作出辅助线是解题关键 25. 如图 1，
50、已知抛物线顶点 A 在 x 轴上，直线 l：y=3x-3交抛物线于 A，B 两点，且 AB=23 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线与 y 轴交于 C点，点 P 在抛物线上，且在第一象限，APC=45 ，求 P点坐标； （3）如图 2，过点 M（1，-1）作直线交抛物线与 E、F，点 N在抛物线上且 NEx 轴，连 FN，试证明：直线 FN 过定点，并求定点的坐标 【答案】 （1）y=（x-1）2 （2） （2，1） （3）直线 FN为 y=kx+1-k=k（x-1）+1 经过点（1，1） ，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）y=3x-3交 x轴于 A，则点 A（1，0） ，设点 B（
