1、浙江省绍兴市嵊州市2021-2022学年九年级上期末数学试卷参考公式：抛物线的顶点坐标是卷（选择题）一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1. 的值为（ ）A. B. C. D. 2. 将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线（ ）A. B. C. D. 3. 在一个不透明的箱子里放有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相同从箱子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DEBC，若BD=2AD，则（）A. B. C. D. 5. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄
2、金比例，是自然界最美的鬼斧神工如图，P是AB的黄金分割点，若线段AB的长为6cm，则AP的长约为（ ）A. 3.71cmB. 4.14cmC. 4.32cmD. 4.86cm6. 如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 7. 如图，在Rt中，CD是斜边AB上的高，则下列比值中不等于的是（ ）A B. C. D. 8. 如图，CD是的弦，直径，垂足为M，连接AD若，则AD的长为（ ）A. 10B. C. D. 9. 如图，点B，E，C三点共线，若，则BC长为（ ）A. 45cmB. 42cmC. 40cmD. 10. 已知A，
3、B两点的坐标分别为，线段AB上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点，两点（点P在Q的左侧）若恒成立，则b的取值范围为（ ）A. B. C. D. 卷（非选择题）二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11. 已知，则的值为_12. 某林业部门对某种树苗在一定条件下的移植成活率进行了统计，结果如下表：移植总数/棵50270400750150035007000900014000成活的频率0.9400.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970900若要有18000棵树苗成活，估计需要移植_棵树苗较为合适13. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，
4、将OAB放大后得到OCD，若，则OAB与OCD的面积比为_14. 如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_15. 如图，ABC内接于，连接AO，CO若，则的半径为_16. 如图，在RtABC中，D是AB中点，M是线段AC上的一动点，连接DM，以DM为直角边作直角三角形DEM，使得，斜边DE所在直线交射线MC于点F若MDF的面积是MEF面积的倍，则CM的长为_三、解答题（本大题有8小题，第1720小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题12分，第24小题14分，共80分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17. （1）计算：（2）已知线
5、段c是线段a，b比例中项，且，求线段c的长18. 一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到、中的2个座位上（1）甲坐在号座位的概率是_；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率19. 如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度AOB为40时，车门是否会碰到墙？请说明理由（参考数据：sin400.64；cos400.77；tan400.84）20. 已知：如图，在ABC中，以腰AB为直径作，分别交BC，AC于点D，E，连接OD，DE（1）求证：（2）若，求的度
6、数21. 嵊州大桥桥面上有两个完全相同的拱形钢梁，每一个拱形钢梁可看作抛物线的一部分，如图是大桥的侧面示意图，桥面长米点是桥面的中点，钢梁最高点，离桥面的高度均为米以桥面所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系（1）求过点，三点的抛物线表达式（2）“嵊州大桥”四个字标注在离桥面高度为米的拱形钢梁的点处（点在点的左侧），小明从点出发在桥面上匀速前行，半分钟后到达点正下方的点处，则小明通过桥面需多少分钟？22. 在矩形ABCD中，E是AD上一点，将ABE沿BE折叠，点A的对应点为F（1）如图1，若点F落在矩形ABCD的边CD上求证：求边AD的长（2）如图2，若点F落在对角线BD上，
7、求边AD的长23. 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义，两点之间的“直角距离”为二次函数的图象如图所示（1）点A为图象与y轴的交点，点在该二次函数的图象上，求的值（2）点C是二次函数图象上的一点，记点C的横坐标为m求的最小值及对应的点C的坐标当时，的最大值为p，最小值为q，若，求t的值24. 正方形ABCD的四个顶点都在上，点P是劣弧上一点（点P与点C，D不重合），连接PA，PD（1）如图1，求的度数（2）如图2，连接PB在线段PB上取点M，使得，过点M作交PA于点N记PA，PB与边CD交于点E，F求证：若，求正方形ABCD的面积浙江省绍兴市嵊州市2021-2022学年九年级上期末数
8、学试卷参考公式：抛物线的顶点坐标是卷（选择题）一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分请选出每小题中一个最符合题意的选项，不选、多选、错选，均不给分）1. 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据特殊角三角函数值直接求解即可【详解】解：，故选：B【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键2. 将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数图象的平移方法“左加右减，上加下减”可直接排除选项【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所得到的抛物
9、线为；故选：A【点睛】本题主要考查二次函数的图象平移，解题的关键是熟练掌握函数图像平移的方法3. 在一个不透明的箱子里放有5个球，其中2个红球，3个白球，它们除颜色外其余都相同从箱子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用概率公式：由红球的数量除以球的总数即可求解【详解】解：一个不透明的箱子里有5个球，其中2个红球，3个白球， 从箱子中随机摸出一个球是红球的概率是： 故选：B【点睛】本题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比4. 如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DEBC，若BD=2AD，则（）
10、A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】DEBC，ADEABC，BD=2AD，故选B5. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工如图，P是AB的黄金分割点，若线段AB的长为6cm，则AP的长约为（ ）A. 3.71cmB. 4.14cmC. 4.32cmD. 4.86cm【答案】A【解析】【分析】根据黄金分割的定义可得据此求解即可【详解】解：P是AB的黄金分割点，故选：A【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键6. 如图，正六边形边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 【答
11、案】D【解析】【分析】根据正多边形内角和公式求出FAB，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积计算即可【详解】解：六边形ABCDEF是正六边形，FAB=，AB=6，扇形ABF面积=，故选择D【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键7. 如图，在Rt中，CD是斜边AB上的高，则下列比值中不等于的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用锐角三角函数定义判断即可【详解】在中， ,在中， , , , ,在中，,故选：D【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键8. 如图，CD是的弦，直径，垂
12、足为M，连接AD若，则AD的长为（ ）A. 10B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理和勾股定理即可求得AD【详解】解：直径ABCD，垂足为M，DMCD4，连接OD，设圆的半径为r，则在直角OMD中，OMr2，由勾股定理得到：OD2OM2MD2，即r2（r2）242，解得r5，OA5，AM1028，在直角AMD中，AD2MD2AM2，AD，故选：C【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键9. 如图，点B，E，C三点共线，若，则BC的长为（ ）A. 45cmB. 42cmC. 40cmD. 【答案】C【解析】
13、【分析】如图所示，过点A作AHBC，过点D作DGBE，证明ABHBDG，得到，再由三线合一定理得到BC=2BH，可求得答案【详解】解：如图所示，过点A作AHBC，过点D作DGBE，AHB=BGD=90，HAB+HBA=90，ABBD，即ABD=90，ABH+GBD=90，ABH=BDG，ABHBDG，AB=AC，BD=DE，BC=2BH，故选：C【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，三线合一定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键10. 已知A，B两点的坐标分别为，线段AB上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于点，两点（点P在Q的左侧）若恒成立，则b的取值范围为（
14、）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由恒成立，即点M要在线段PQ上，即抛物线在x=1时的函数值要比B的纵坐标大和x=-2时函数值要比A的纵坐标大，由此求解即可【详解】解：如图所示，恒成立，即点M要在线段PQ上， 故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解恒成立，即点M要在线段PQ上是解题的关键卷（非选择题）二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11. 已知，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据比例的性质求解即可【详解】解：，故答案为：【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键12. 某林业部门对某种树苗在一定条件下的移植成
15、活率进行了统计，结果如下表：移植总数/棵50270400750150035007000900014000成活的频率0.9400.8700.9230.8830.8900.9150.90508970.900若要有18000棵树苗成活，估计需要移植_棵树苗较为合适【答案】20000【解析】【分析】用成活的数量除以成活的频率估计值即可【详解】解：若要有18000棵树苗成活，估计需要移植树苗180000.920000（棵），故答案为：20000【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来
16、估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率13. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将OAB放大后得到OCD，若，则OAB与OCD的面积比为_【答案】1：9【解析】【分析】根据信息，找到OB与OD的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案【详解】解答：解：B（0，1），D（0，3），OB1，OD3，OAB以原点O为位似中心放大后得到OCD，OAB与OCD的相似比是OB：OD1：3，OAB与OCD的面积的比是1：9故答案是：1：9【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，解题的关键在于找到相似比就是对应边的比14. 如图，直线与抛物线交于点，且点A
17、在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式，得A（0，3），B的坐标为（3，0），利用数形结合思想完成解答【详解】，解得x=3或x=-1，点B的坐标为（3，0），当x=0时，y=3，点A的坐标为（0，3），不等式的解集为,故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像，交点问题，解析式构造的不等式解集问题，熟练掌握函数交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键15. 如图，ABC内接于，连接AO，CO若，则的半径为_【答案】5【解析】【分析】如图所示，连接BO并延长交圆O于D，则BD为圆O的直径，则BCD=90，BAC=BDC，从而，据此求解即可
18、【详解】解：如图所示，连接BO并延长交圆O于D，则BD为圆O的直径，BCD=90，BAC=BDC，圆O的半径为5，故答案为：5【点睛】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角等等，正确作辅助线，构造直角三角形是解题的关键16. 如图，在RtABC中，D是AB的中点，M是线段AC上的一动点，连接DM，以DM为直角边作直角三角形DEM，使得，斜边DE所在直线交射线MC于点F若MDF的面积是MEF面积的倍，则CM的长为_【答案】5【解析】【分析】如图，过点D作DGAC于G，过点E作EHAC于H，先证得ADGABC，求得：DG=3，AG=4，CG=4，再根据MDF的面积是MEF面
19、积的倍，可求得EH=DG=，再利用三角函数定义可得，最后再证明DMGMEH，运用相似三角形性质即可求得答案【详解】解：如图，过点D作DGAC于G，过点E作EHAC于H，则DGM=MHE=90，在RtABC中，D是AB的中点，AD=AB=5，AGD=ACB=90，DAG=BAC，ADGABC， ，即，DG=3，AG=4，CG=AC-AG=8-4=4，MDF的面积是MEF面积的倍，FMDG=FMEH，DG=EH，即EH=DG=，在RtDEM中，DME=90，DEM=30，DMG+MDG=90，DMG+EMH=DME=90，MDG=EMH，DMGMEH，MG=1，CM=CG+MG=4+1=5，故答案
20、为：5【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角函数定义，三角形面积等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键三、解答题（本大题有8小题，第1720小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题12分，第24小题14分，共80分解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17. （1）计算：（2）已知线段c是线段a，b的比例中项，且，求线段c的长【答案】（1）2；（2）8.【解析】【分析】（1）根据特殊角三角函数值混合计算法则求解即可；（2）根据线段c是线段a，b的比例中项，可得，由此求解即可【详解】解：（1）；（2）线段c是线段a，b的比例中项，且，
21、即，【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，成比例线段，熟知相关知识是解题的关键18. 一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示座位上，甲、乙2人等可能地坐到、中的2个座位上（1）甲坐在号座位的概率是_；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，甲与乙相邻而坐的结果有4种，再由概率公式求解即可【详解】解：（1）丙坐了一张座位，甲坐在号座位的概率是；（2）画树状图如图：共有6种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种，甲与乙相邻而坐的概率为=【点睛】本题考查
22、了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比19. 如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度AOB为40时，车门是否会碰到墙？请说明理由（参考数据：sin400.64；cos400.77；tan400.84）【答案】车门不会碰到墙，理由见解析【解析】【详解】试题分析：过点A作ACOB，垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可 试题解析：过点A作ACOB，垂足为点C，在RtACO中，AOC=40，AO=1.2米，AC=sinAOCAO0.641.2=0.768，汽
23、车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，车门不会碰到墙考点：解直角三角形的应用20. 已知：如图，在ABC中，以腰AB为直径作，分别交BC，AC于点D，E，连接OD，DE（1）求证：（2）若，求的度数【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到B=ODB，B=C，再判断，然后利用平行线分线段成比例得到BD=DC； （2）利用三角形内角和计算出B=C=65，则ODB=B=65，再利用圆内接四边形的性质得到EDC=A=50，然后利用平角定义可计算出ODE的度数【小问1详解】证明：OB=OD， B=ODB， AB=AC，B=C， ODB=C， ， ， BD=DC
24、；【小问2详解】AB=AC， B=C=， ODB=B=65， EDC=A=50， ODE=180-ODB-EDC=180-65-50=65【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆的内接四边形的性质，也考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例熟练运用圆的内接四边形的性质是解本题的关键.21. 嵊州大桥桥面上有两个完全相同的拱形钢梁，每一个拱形钢梁可看作抛物线的一部分，如图是大桥的侧面示意图，桥面长米点是桥面的中点，钢梁最高点，离桥面的高度均为米以桥面所在的直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系（1）求过点，三点的抛物线表达式（2）“嵊州大桥”四个字标注在离桥面高度为米的拱形钢梁的点处（点
25、在点的左侧），小明从点出发在桥面上匀速前行，半分钟后到达点正下方的点处，则小明通过桥面需多少分钟？【答案】（1） （2）小明通过桥面需分钟【解析】【分析】（1）由题意知，点坐标为，点坐标为，设抛物线的解析式为：，计算求解值，进而可得解析式的一般式；（2）把代入，求解符合题意的，计算速度，然后求出全程的时间即可【小问1详解】解：由题意知，点坐标为，点是过点，三点抛物线的顶点，点坐标为，设抛物线的解析式为：，把点代入得：解得：过点，三点的抛物线表达式为；【小问2详解】解：把，代入解析式得：解得：，点在点的左侧小明通过桥面的速度为：米分小明通过桥面需要时间为：分钟小明通过桥面需分钟【点睛】本题考查了
26、待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用解题的关键在于正确的计算22. 在矩形ABCD中，E是AD上一点，将ABE沿BE折叠，点A的对应点为F（1）如图1，若点F落在矩形ABCD的边CD上求证：求边AD的长（2）如图2，若点F落在对角线BD上，求边AD的长【答案】（1）见解析、 （2）【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可得，从而可证明设DE=x，则AD=x+1，由知，得，再利用勾股定理列方程即可解答（2）设DF=x，证明，得，在RtDEF中，利用勾股定理列方程即可解答【小问1详解】四边形ABCD是矩形，将ABE沿BE折叠，点A的对应点为F， 设DE=x，则AD=x+1由知 CF=2x在
27、RtBCF中，由勾股定理得 解得（舍去）AD=【小问2详解】设DF=x将ABE沿BE折叠， ，又 DE=2x-1在RtDEF中，由勾股定理得 即 解得（舍去）【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键23. 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义，两点之间的“直角距离”为二次函数的图象如图所示（1）点A为图象与y轴的交点，点在该二次函数的图象上，求的值（2）点C是二次函数图象上的一点，记点C的横坐标为m求的最小值及对应的点C的坐标当时，的最大值为p，最小值为q，若，求t的值【答案】（1）5 （2）（1，2）或
28、【解析】【分析】（1）分别求出A、B的坐标，然后根据直角距离的定义求解即可；（2）先求出点C的坐标为（m，），则，由此求解即可；分类讨论当时， 当时， 当时，三种情况分别求解即可【小问1详解】解：点A是二次函数与y轴的交点，点A的坐标为（0，4），点B（-1，b）在二次函数的函数图象上，点B的坐标为（-1，8），；【小问2详解】解：令x=m，则，点C的坐标为（m，），当m=1时，有最小值，最小值为3，此时点C的坐标为（1，2）；，当时，随m的增大而减小，当时，随m的增大而增大，把代入到中得，把代入到中得，当时，解得，当时， 的最小值，最大值，解得或（舍去）；当时， 的最小值，最大值，解得或（舍
29、去）；当时， 的最小值，最大值，解得（舍去）；综上所述，或【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质24. 正方形ABCD的四个顶点都在上，点P是劣弧上一点（点P与点C，D不重合），连接PA，PD（1）如图1，求的度数（2）如图2，连接PB在线段PB上取点M，使得，过点M作交PA于点N记PA，PB与边CD交于点E，F求证：若，求正方形ABCD的面积【答案】（1）45 （2）见解析；400【解析】【分析】（1）连接AC，由正方形的性质得到ACD=45，则由同弧所对的圆周角相等得到APD=ACD=45；（2）分别证明ADP=AMP，APD=APB，即可利用A
30、AS证明；如图所示，连接EM并延长交BC于Q，连接AQ交BF于G，可证DAEMAE（SAS）得到AME=ADE=90，DE=ME，AME=DAE=90即可证明RtAMQRtABQ得到MQ=BQ，再推出BGQ=90，即可证明ABQBCF得到BQ=CF=MQ=12，设PAD=PAM=x，则BAM=90-2x，证明MNE=MEN，即可推出EQ=EM+QM=17，设正方形ABCD的边长为a，则CE=CD-EM=CD-DE=a-5，CQ=BC-BQ=a-12，在直角三角形ECQ中，由此求解即可【小问1详解】解：如图1所示，连接AC，四边形ABCD是正方形，ACD=45，APD=ACD=45；【小问2详解
31、】解：AM=AB，ABP=AMP，四边形ABPD是圆内接四边形，ABP+ADP=180，AMB+AMP=180，ADP=AMP，四边形ABCD是正方形，AD=AB，APD=APB，又AP=AP，ADPAMP（AAS）；如图所示，连接EM并延长交BC于Q，连接AQ交BF于G，由知ADPAMP，DAP=MAP，四边形ABCD是正方形，AM=AB，AD=AB=AM，ADE=ABQ=90，在DAE和MAE中，DAEMAE（SAS）AME=ADE=90，DE=ME，AME=DAE=90在RtAMQ和RtABQ中，RtAMQRtABQ（HL），MQ=BQ，AB=AM，MQ=BQ，AQ是BM的垂直平分线，B
32、GQ=90，AQB+CBF=90，又CBF+BFC=90，AQB=BFC，又ABQ=BCF=90，AB=BC，ABQBCF（AAS），BQ=CF=MQ=12，设PAD=PAM=x，则BAM=90-2x，MNE=BAM=90-2x，MAE=BAE=90-x，又MEN=90-MNE=90-x，MNE=MEN，ME=MN=5，EQ=EM+QM=17，设正方形ABCD的边长为a，则CE=CD-EM=CD-DE=a-5，CQ=BC-BQ=a-12，在直角三角形ECQ中，或a=-3（舍去），【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，圆，弧，弦之间的关系等等，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键
