1、2022 年江苏省溧阳市九年级下学期模拟测试数学试题年江苏省溧阳市九年级下学期模拟测试数学试题 一、选择题一、选择题 1. 下列几何体中，从正面看为三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个数的相反数2，则这个数是( ) A. 2 B. 2或2 C. 2 D. 12 3. 用不等式表示如图解集，其中正确的是（ ） A. 2x B. 2x C. 2x D. 2x 4. 冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度的白菜价格进行调查四个菜市第四个季度白菜的平均值均为 2.50 元，方差分别为 S甲218.3，S乙217.4，S丙220.1，S丁212.5第四季度白菜价格最稳定的菜市
2、场是（ ）. A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 下列计算正确的是（ ） A. 523abab B. 2aaa C. 235abbaab D. 22770 x yxy 6. 在 RtABC中，C90，如果 AB2，BC1，那么 sinB的值是（ ） A. 12 B. 32 C. 33 D. 3 7. 如图，在长为 32 米、宽为 20米矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分） ，余下部分种植草坪，要使小路的面积为 100平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ） A. 32 20 3220100 xx B. 23220100 xxx C. 23220100 xxx D. 322010
3、0 xx 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 平行四边形的对角互补 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 相似三角形的面积比等于对应高的比 D. 位似三角形是相似三角形 9. 如图，AB是圆 O的直径，C，D 是 AB 上的两点，连接 AC，BD相交于点 E，若BEC56 ，那么DOC的度数为（ ） A. 28 B. 56 C. 64 D. 68 10. 如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E 在边 CD上，且 CE=1，连结 AE，点 F 在边 AD上，连结 BF，把ABF沿BF翻折， 点A恰好落在AE上的点G处， 下列结论： AE=BF； AD=3DF； 6ABFS； GE=0.2
4、，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题二、填空题 11. 分解因式：229xy_ 12. 在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的 2 张卡片，分别标有数字 1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为_ 13. 如图，在ABC中，分别以 A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于 P、Q两点，直线 PQ交 BC于点 D，连接 AD；再分别以 A、C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于 M，N 两点，直线MN交 BC于点 E，连接 AE若11CDADE，的周长为 17，则 BD的长为_ 14. 如图，A、B是
5、函数6yx上两点，P为一动点， 作PBy轴，PAx轴， 若2BOPS， 则ABPS_ 15. 如图，ABO中，以点 O 为圆心，OA为半径作O，边AB与O相切于点 A，把ABO绕点 A逆时针旋转得到ABO ，点 O 的对应点O恰好落在O上，则sin BAB的值是_ 三、解答题三、解答题 16. 解方程：2230 xx 17. 某校 760名学生参加植树活动，要求每人植树的范围是 2x5棵，活动结束后随机抽查了若名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：2 棵；B：3 棵；C：4棵；D：5棵，将各类的人数绘制成扇形统计图（如图 2）和条形统计图（如图 1） 回答下列问题： （1）补全条形统计图；
6、（2）被调查学生每人植树量的众数、中位数分别是多少？ （3）估计该校全体学生在这次植树活动中共植树多少棵？ 18. 在坐标系中作出函数 yx2 的图象，根据图象回答下列问题： （1）方程 x20的解是 ； （2）不等式 x21 的解 ； （3）若2y2，则 x 的取值范围是 19. 如图，在Rt ABC中，90ACB，E是 BC的中点，以 AC为直径的O与 AB边交于点 D，连接DE （1）求证：DE是O的切线； （2）若53cmcm3CDDE，求O直径的长 20. 69 中学计划购买 A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个 A比购买一个 B 多用 20 元，若用 400元购买 A 的数量是
7、用 160元购买 B 数量的一半， （1）求 A、B 两种学习用品每件多少钱？ （2）经商谈，商店给该校购买一个 A奖品赠送一个 B 奖品的优惠，如果该校需要 B奖品的个数是 A奖品个数的 2 倍还多 8个，且该学校购买 A、B两种奖品的总费用不超过 670元，那么该校最多可购买多少个 A 奖品？ 21. 【探索发现】 如图，是一张直角三角形纸片，B=90 ，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 【拓展应用】 如图，在 ABC中，BC=a
8、，BC边上的高 AD=h，矩形 PQMN的顶点 P、N分别在边 AB、AC 上，顶点Q、M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为 （用含 a，h 的代数式表示） 灵活应用】 如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（B为所剪出矩形的内角） ，求该矩形的面积 【实际应用】 如图， 现有一块四边形的木板余料 ABCD， 经测量 AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm， 且 tanB=tanC=43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、N在边 BC上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积 22.
9、九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践应用探究的过程 （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为 10米，隧道顶部最高处距地面 6.25 米，并画出了隧道截面图，建立了如图 1 所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式 （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为 0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽 3 米，最高 3.5 米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解
10、答： 如图 2，在抛物线内作矩形 ABCD，使顶点 C、D落在抛物线上，顶点 A、B 落在 x轴上，设矩形 ABCD周长为为 l，求 l的最大值 如图 3，过原点作一条直线 y=x，交抛物线于 M，交抛物线的对称轴于 N，P为直线 OM上一动点，过点P作 x轴的垂线交抛物线于点 Q，问在直线 OM 上是否存在点 P，使以点 P、N、Q 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点 P的坐标，若不存在，请说明理由 2022 年江苏省溧阳市九年级下学期模拟测试数学试题年江苏省溧阳市九年级下学期模拟测试数学试题 一、选择题一、选择题 1. 下列几何体中，从正面看为三角形的是（ ） A. B. C.
11、 D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析从正面看到的图形即可解题 【详解】A.从正面看是长方形，故 A不符合题意； B. 从正面看是长方形形，故 B不符合题意； C. 从正面看是是三角形，故 C 符合题意； D. 从正面看是两个长方形拼成的几何图形，故 D 不符合题意 故选：C 【点睛】本题考查从正面看几何体，是基础考点，掌握相关知识是解题关键 2. 一个数的相反数2，则这个数是( ) A. 2 B. 2或2 C. 2 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的概念直接判断即可得出结果 【详解】一个数的相反数是-2，则这个数是：2 故选：A 【点睛】本题考查了相反数的概念，属
12、于基础题，掌握相反数的概念即可 3. 用不等式表示如图的解集，其中正确的是（ ） A. 2x B. 2x C. 2x D. 2x 【答案】C 【解析】 【分析】根据表示解集射线方向右，可知 x大于 2，从数字 2出发，且为实心点可知 x等于 2，综上可知正确选项 【详解】解：由数轴可知，表示解集射线方向右，从数字 2出发，且为实心点，故 x的值大于等于 2， 故选：C 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解题，能够用在数轴上表示不等式的解集，并能根据数轴上表示的不等式解题还原不等式是解决此类题目的关键 4. 冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度的白菜价格进行调查四个菜市第四个季度
13、白菜的平均值均为 2.50 元，方差分别为 S甲218.3，S乙217.4，S丙220.1，S丁212.5第四季度白菜价格最稳定的菜市场是（ ）. A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差越小数据越稳定即可得出答案 【详解】解：S甲218.3，S乙217.4，S丙220.1，S丁212.5， S丁2S乙2S甲2S丙2， 第四季度白菜价格最稳定的菜市场是丁， 故选：D 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好 5.
14、下列计算正确的是（ ） A. 523abab B. 2aaa C. 235abbaab D. 22770 x yxy 【答案】C 【解析】 【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变据此判断即可 【详解】解：A523abab，故选项错误，不符合题意； B2aaa，故选项错误，不符合题意； C235abbaab，故选项正确，符合题意； D22770 x yxy，故选项错误，不符合题意 故选：C 【点睛】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键 6. 在 RtABC中，C90，如果 AB2，BC1，那么 sinB的值是（ ） A. 12 B
15、. 32 C. 33 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出直角三角形，然后由勾股定理得出3AC ，利用正弦函数的定义（对边比斜边）求解即可 【详解】解：根据题意作图如下： 2AB ，1BC ， 223ACABBC， 3sin2ACBAB， 故选：B 【点睛】题目主要考查求锐角的正弦函数值，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键 7. 如图，在长为 32 米、宽为 20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分） ，余下部分种植草坪，要使小路的面积为 100平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ） A. 32 20 3220100 xx B. 2322010
16、0 xxx C. 23220100 xxx D. 3220100 xx 【答案】C 【解析】 【分析】先将图形利用平移进行转化，可得两长方形面积之和=小路的面积+两长方形重合的面积 【详解】利用图形平移可将原图转化为下图，道路的宽为 x米 根据题意可得：23220100 xxx 故选：C 【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际运用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 平行四边形的对角互补 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 相似三角形的面积比等于对应高的比 D. 位似三角形是相似三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的
17、性质、矩形的判定定理、相似三角形的性质、位似三角形的概念判断即可 【详解】解：A、平行四边形的对角相等，不一定互补，本选项说法是假命题，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法是假命题，不符合题意； C、相似三角形的面积比等于对应高的比的平方，本选项说法是假命题，不符合题意； D、位似三角形是相似三角形，本选项说法是真命题，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握平行线的性质、矩形的判定定理、相似三角形的性质、位似三角形的概念是解题的关键 9. 如图，AB是圆 O的直径，C，D 是 AB 上的两点，连接 AC，BD相交于点 E，若BEC56 ，那么DOC
18、的度数为（ ） A. 28 B. 56 C. 64 D. 68 【答案】D 【解析】 【分析】连接 BC，利用直径所对的圆周角是直角，可得90ACB，易得1，利用圆周角定理可得结果 【详解】解：连接 BC，如图所示， AB 是圆 O的直径， 90ACB， 56BEC， 1 90905634BEC ， 2 12 3468DOC ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及直径所对的圆周角为直角，三角形内角和定理等，理解题意，作出恰当的辅助线是解答此题的关键 10. 如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E 在边 CD上，且 CE=1，连结 AE，点 F 在边 AD上，连结 BF，把ABF沿
19、BF翻折， 点A恰好落在AE上的点G处， 下列结论： AE=BF； AD=3DF； 6ABFS； GE=0.2，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据翻折的性质证ABFDAE（ASA） ，得出 AFDE3，BFAE，即可判断正确；根据DFADAF431， 即可判断错误； 由勾股定理得出 BF5， 由 SABF求出即可求得正确； 根据 SABF12ABAF12BFAH，求出 AH，即可判断正确，进而得出答案 【详解】解：四边形 ABCD 为正方形， ABADCD4，BADD90， CE1， DE3， 由折叠的性质可知，ABFGBF，BF垂直平分 AG， B
20、FAE，AHGH， BAH+ABH90， FAH+BAH90， ABHFAH， 在ABF和DAE中， BAFDABADABFDAE ， ABFDAE（ASA） ， AFDE3，BFAE，故正确； DFADAF431， AD4DF，故错误； 在 RtABF中， BF22ABAF22435， SABF12 ABAF12436，故正确； SABF12ABAF12BFAH， 435AH， AH125， AG2AH245， AEBF5， GEAEAG52450.2，故正确； 综上所述：正确的是， 故选：B 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻
21、折的性质 二、填空题二、填空题 11. 分解因式：229xy_ 【答案】(3 )(3 )xy xy 【解析】 【分析】根据平方差公式分解因式即可得到答案 【详解】解：原式=22(3 )(3 )(3 )xyxy xy ， 故答案为：(3 )(3 )xy xy 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟记平方差公式是解题的关键 12. 在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的 2 张卡片，分别标有数字 1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为偶数的概率为_ 【答案】34 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的情况结果，再得出积是偶数的情况数，即可求
22、出所求的概率 【详解】解：列表如下： 1 2 1 1 2 2 2 4 则所有可能的结果有 4个，其中积为偶数的有 3种结果， 两次抽得的数字之积为偶数的概率为34， 故答案为：34 【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 13. 如图，在ABC中，分别以 A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于 P、Q两点，直线 PQ交 BC于点 D，连接 AD；再分别以 A、C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两
23、弧交于 M，N 两点，直线MN交 BC于点 E，连接 AE若11CDADE，的周长为 17，则 BD的长为_ 【答案】6 【解析】 【分析】由作图方法可知，PQ 和 MN分别是 AB、AC的垂直平分线，则 BD=AD，AE=CE，再根据 ADE的周长为 17进行求解即可 【详解】解：由作图方法可知，PQ和 MN分别是 AB、AC 的垂直平分线， BD=AD，AE=CE， ADE的周长为 17， AD+AE+DE=17， BD+DE+CE=17， 又CD=11， BD=6， 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键
24、14. 如图，A、B是函数6yx上两点，P为一动点， 作PBy轴，PAx轴， 若2BOPS， 则ABPS_ 【答案】4 【解析】 【分析】直接设 A6( ,)mm、B6( , )nn，根据2BOPS找到 m、n之间的关系，最后表述出ABPS，整体代入求值即可 【详解】设 A6( ,)mm、B6( , )nn， 6( ,)P nm 66PBnm，PAmn 1662()2BOPSnnm，整理得3mn 11 661 66() ()() (3)42223ABPPA PBmnnnSnnmn 故答案为：4 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解本题的关键
25、 15. 如图，ABO中，以点 O 为圆心，OA为半径作O，边AB与O相切于点 A，把ABO绕点 A逆时针旋转得到ABO ，点 O 的对应点O恰好落在O上，则sin BAB的值是_ 【答案】32#132 【解析】 【分析】如图所示，连接OO，由旋转的性质可知OAAO，OABOAB，即可推出OAOBAB， 然后证明OOA是等边三角形， 得到60BABOAO， 则3s i n2BA B 【详解】解：如图所示，连接OO， 由旋转的性质可知OAAO，OABOAB， -OABOABOABOAB， OAOBAB， 又点O在圆 O 上， OOOAOA， OOA是等边三角形， 60BABOAO， 3sin2B
26、 AB， 故答案为：32 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，特殊角三角函数值，正确作出辅助线构造等边三角形时解题的关键 三、解答题三、解答题 16. 解方程：2230 xx 【答案】13x ，21x 【解析】 【分析】方程利用因式分解法求解即可 【详解】解：2230 xx (3)(1)0 xx 30 x ，10 x 13x ，21x 【点睛】本题主要考查解一元二次方程-因式分解因式分解法，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键 17. 某校 760名学生参加植树活动，要求每人植树的范围是 2x5棵，活动结束后随机抽查了若名学
27、生每人的植树量，并分为四种类型，A：2 棵；B：3 棵；C：4棵；D：5棵，将各类的人数绘制成扇形统计图（如图 2）和条形统计图（如图 1） 回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）被调查学生每人植树量的众数、中位数分别是多少？ （3）估计该校全体学生在这次植树活动中共植树多少棵？ 【答案】 （1）见解析 （2）众数：3棵；中位数：3棵 （3）估计这 760名学生共植树 2508 棵 【解析】 【分析】 （1）由 B 类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以 D 类型的对应的百分比即可求出其人数，据此可补全图形； （2）根据众数和中位数的概念可得答案； （3）先求出样本的平均数，再
28、乘以总人数即可 【小问 1 详解】 解：这次调查一共抽查植树学生人数为 8 40%=20（人） ， D 类人数=20 10%=2（人） ，补全统计图如下： 【小问 2 详解】 解：植 3 棵的人数最多， 众数3棵， 把这些数从小到大排列，中位数是第 10、11 个数的平均数， 则中位数是332=3（棵） 【小问 3 详解】 解：这组数据的平均数是：120 （4 2+8 3+4 6+5 2）=3.3（棵） ， 3.3 760=2508（棵） 答：估计这 760 名学生共植树 2508 棵 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关
29、键 18. 在坐标系中作出函数 yx2 的图象，根据图象回答下列问题： （1）方程 x20的解是 ； （2）不等式 x21解 ； （3）若2y2，则 x 的取值范围是 【答案】 （1）x=-2； （2）x-1； （3）-4x0 【解析】 【分析】画出函数图象 （1）方程 x20的解即为 yx2 与 x 轴交点的横坐标； （2）不等式 x21 的解即为 yx2中纵坐标大于 1的图象对应的横坐标的取值范围； （3）若-2y2，则 yx2 的函数值在-2 到 2之间对应图像的横坐标的范围 【详解】解：y=x+2 列表如下： 图象如下图所示： （1）由图形可得，方程20 x 的解是2x ， 故答案为2
30、x ； （2）由图象可得，不等式21x的解是1x ， 故答案为1x ； （3）若22y ，则x的取值范围是40 x ， 故答案为40 x 【点睛】本题考查一次函数的图象、一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是利用数形结合的思想解答问题 19. 如图，在Rt ABC中，90ACB，E是 BC的中点，以 AC为直径的O与 AB边交于点 D，连接DE （1）求证：DE是O的切线； （2）若53cmcm3CDDE，求O直径的长 【答案】 （1）见解析 （2）30 19cm19 【解析】 【分析】 （1）连接 OD，先证明BDC=90 ，ODCOCD ，再由直角三角形斜边上的中线
31、等于斜边的一半推出EDCECD，从而推出90ODE，即可证明结论； （2）先求出 BC的长，从而求出 BD的长，然后证明 ABCCBD得到ACBCCDBD，据此求解即可 【小问 1 详解】 解：连接 OD， AC为圆 O的直径， 90ADC， BDC=90 ， ODOC， ODCOCD， 在Rt BCD中，E为 BC 中点， 12DEBCCE， EDCECD， 90ODCEDCOCDECD，即90ODE， ODDE， DE是圆 O的切线； 【小问 2 详解】 解：在Rt BCD中，E为 BC 中点， 102cm3BCDE， 3cmCD Q， 2219cm3BDBCCD， AC为直径， 90AD
32、CACBBDC， 又BB， ABCCBD， ACBCCDBD， 1033193AC， 30 19cm19AC 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，直径所对的圆周角是直角等等，熟知圆的相关知识是解题的关键 20. 69 中学计划购买 A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个 A比购买一个 B 多用 20 元，若用 400元购买 A 的数量是用 160元购买 B 数量的一半， （1）求 A、B 两种学习用品每件多少钱？ （2）经商谈，商店给该校购买一个 A奖品赠送一个 B 奖品的优惠，如果该校需要 B奖品的个数是 A
33、奖品个数的 2 倍还多 8个，且该学校购买 A、B两种奖品的总费用不超过 670元，那么该校最多可购买多少个 A 奖品？ 【答案】 （1）买 A 奖品的每个单价是 25 元，购买 B奖品的每个单价是 5 元； （2）该学校最多可购买 21 个 A奖品 【解析】 【分析】 （1）设购买 B 奖品的每个单价是 x元，则购买 A奖品的每个单价是（x+20）元则根据等量关系：购买 A奖品的个数是购买 B 奖品个数的一半，列出方程求解即可； （2）设学校购买 a个 A奖品，则需要购买（2a+8）个 B 奖品，则根据“该学校购买这两种奖品的总费用不超过 670元”列出不等式求解即可 【小问 1 详解】 解
34、：设购买 B 奖品的每个单价是 x元，则购买 A 奖品的每个单价是（x+20）元 根据题意 得4001601202xx， 解得 x=5， 经检验，x=5是原方程的解 所以 x+20=25 答：买 A 奖品的每个单价是 25 元，购买 B 奖品的每个单价是 5 元； 【小问 2 详解】 解：设学校购买 a个 A 奖品，则需要购买（2a+8）个 B 奖品， 由题意得 25a+5（2a+8-a）670， 解得 a21 故该学校最多可购买 21个 A 奖品 【点睛】本题考查了一元一次不等式和分式方程的应用解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量（不等量）关系 21. 【探索发现
35、】 如图，是一张直角三角形纸片，B=90 ，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线 DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 【拓展应用】 如图，在 ABC中，BC=a，BC边上的高 AD=h，矩形 PQMN的顶点 P、N分别在边 AB、AC 上，顶点Q、M 在边 BC 上，则矩形 PQMN 面积的最大值为 （用含 a，h 的代数式表示） 【灵活应用】 如图，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（B为所剪出矩
36、形的内角） ，求该矩形的面积 【实际应用】 如图， 现有一块四边形的木板余料 ABCD， 经测量 AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm， 且 tanB=tanC=43，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、N在边 BC上且面积最大的矩形 PQMN，求该矩形的面积 【答案】 【探索发现 】12； 【拓展应用 】4ah； 【灵活应用 】该矩形的面积为 720；【实际应用 】该矩形的面积为 1944cm2 【解析】 【分析】 【探索发现 】由中位线知 EF=12BC、ED=12AB、由12FEDBABCSEF DESAB BC矩形可得； 【拓展应用 】 由APNABC知PNAEBCAD，
37、 可得 PN=a-AQAPPQ， 设 PQ=x， 由 S矩形PQMN=PQPN-AQAP（x-2h）2+4ah，据此可得； 【灵活应用 】添加如图 1辅助线，取 BF中点 I，FG的中点 K，由矩形性质知 AE=EH=20、CD=DH=16，分别证AEFHED、CDGHDE 得 AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线 IK的两端点在线段 AB和 DE 上，利用【探索发现 】结论解答即可； 【实际应用 】 延长BA、CD交于点E， 过点E作EHBC于点H， 由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=43BH=72，继而求得 BE=CE=90，可判断中位线 PQ的两端
38、点在线段 AB、CD 上，利用【拓展应用 】结论解答可得 【详解】 【探索发现 】 EF、ED 为ABC中位线， EDAB，EFBC，EF=12BC，ED=12AB， 又B=90 ， 四边形 FEDB 是矩形， 则11122=11222FEDBABCBCABSEF DESAB BCAB BC矩形； 【拓展应用 】 PNBC， APNABC， PNAEBCAD，即PNhPQah， PN=a-AQAPPQ， 设 PQ=x， 则 S矩形PQMN=PQPN=x（a-AQAPx）=-AQAPx2+ax=-AQAP（x-2h）2+4ah， 当 PQ=2h时，S矩形PQMN最大值为4ah； 【灵活应用 】
39、如图 1，延长 BA、DE交于点 F，延长 BC、ED 交于点 G，延长 AE、CD交于点 H，取 BF中点 I，FG 的中点 K， 由题意知四边形 ABCH 是矩形， AB=32，BC=40，AE=20，CD=16， EH=20，DH=16， AE=EH，CD=DH， 在AEF和HED中， FAEDHEAEAHAEFHED ， AEFHED（ASA）， AF=DH=16， 同理CDGHDE， CG=HE=20， BI=2ABAF=24， BI=2432， 中位线 IK的两端点在线段 AB和 DE 上， 过点 K作 KLBC 于点 L， 由【探索发现 】知矩形的最大面积为12BG12BF=12
40、 （40+20）12（32+16）=720， 答：该矩形的面积为 720； 【实际应用 】 如图 2，延长 BA、CD 交于点 E，过点 E作 EHBC于点 H， tanB=tanC=43， B=C， EB=EC， BC=108cm，且 EHBC， BH=CH=12BC=54cm， tanB=EHBH=43， EH=43BH=43 54=72cm， 在 RtBHE中，BE=22EHBH=90cm， AB=50cm， AE=40cm， BE的中点 Q 在线段 AB上， CD=60cm， ED=30cm， CE的中点 P 在线段 CD上， 中位线 PQ的两端点在线段 AB、CD 上， 由【拓展应用
41、 】知，矩形 PQMN 的最大面积为14BCEH=1944cm2， 答：该矩形的面积为 1944cm2 22. 九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践应用探究的过程 （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为 10米，隧道顶部最高处距地面 6.25 米，并画出了隧道截面图，建立了如图 1 所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式 （2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为 0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽 3 米，最高 3.5 米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙
42、）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答： 如图 2，在抛物线内作矩形 ABCD，使顶点 C、D落在抛物线上，顶点 A、B 落在 x轴上，设矩形 ABCD周长为为 l，求 l的最大值 如图 3，过原点作一条直线 y=x，交抛物线于 M，交抛物线的对称轴于 N，P为直线 OM上一动点，过点P作 x轴的垂线交抛物线于点 Q，问在直线 OM 上是否存在点 P，使以点 P、N、Q 为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点 P的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】 （1）y=-0.25（x-5）2+6.25； （2）隧道能让
43、最宽 3m，最高 3.5m 的两辆厢式货车居中并列行驶；理由见解析； （3） （）20.5； （）P 点的坐标为： ()55,55-或()5+ 5,5+ 5或（4，4）或（10，10） 【解析】 【详解】解： （1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25） ，且图象过（10，0）点， 代入顶点式得： y=a（x-5）2+6.25， 0=a（10-5）2+6.25， 解得：a=-0.25， y=-0.25（x-5）2+6.25； （2）当最宽 3m，最高 3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时， 10-32=4， 42=2， x=2代入解析式得： y=-0.25（2-5）2+6.25； y=
44、4， 4-3.5=0.5， 隧道能让最宽 3m，最高 3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶； （3）I假设 AO=x，可得 AB=10-2x， AD=-0.25（x-5）2+6.25； 矩形 ABCD的周长为 l为： ()()2220.2556.252 10 20.520,lxxxx轾=-+-=-+ +犏臌 l的最大值为： 21420 14220.542acba骣?琪琪-桫=- II 当以 P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形， P在 y=x的图象上，过 P 点作 x 轴的垂线交抛物线于点 Q POA=OPA=45 ， Q 点的纵坐标为 5， 5= m2+10m 4 ， 解得：55m = ?
45、， 所以 P()55,55-或()5+ 5,5+ 5 当P3NQ3=90时，过点 Q3作 Q3K1对称轴， 当NQ3K1为等腰直角三角形时，NP3Q3为等腰直角三角形， Q 点在 OM 的上方时， P3Q3=2Q3K1，P3Q3=21542xxx-+-， Q3K1=5-x， Q 点在 OM 的下方时， P4Q4=2Q4K2，P4Q4=21542xxx骣琪-+琪桫， Q4K2=x-5， 21710042xx-+=， 解得：x1=4，x2=10， P3（4，4） ，P4（10，10） 使以 P、N、Q 为顶点的三角形是等腰直角三角形，P点的坐标为： ()55,55-或()5+ 5,5+ 5或（4，4）或（10，10）
