1、 20222022 年杭州中考数学模拟试卷年杭州中考数学模拟试卷（二）（二） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分） （2021 秋江夏区期末）有理数2021 的相反数是（ ） A2021 B C2021 D 2 （3 分） （2021 秋江州区期末）2021 年 2 月 10 日 19 时 52 分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获” 在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为 192000000 公里数字192000000 用科学记数法表示为（ ） A19.2107 B19.2108 C1.
2、92108 D1.92109 3 （3 分） （2021 春柳南区校级期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） Aa2+4 Ba2+ab+b2 Ca2+4ab+b2 Dx2+2x+1 4 （3 分） （2022拱墅区模拟）如图，在三角形 ABC 中，ACB90，过点 A 作 ADCD 于点 D，若 AB，CD，则 AC 的长可能是（ ） A3 B2.5 C2 D1.5 5 （3 分） （2022 春宜秀区校级月考）若 a0，b0，则化简 2的结果为（ ） Aa2b B2ab C2ba Db2a 6 （3 分） （2022拱墅区模拟）超市正在热销某种商品，其标价为每件 125 元若
3、这种商品打 8 折销售，则每件可获利 15 元，设该商品每件的进价为 x 元，根据题意可列出的一元一方程为（ ） A1250.8x15 B125x0.815 C （125x）0.815 D125x150.8 7 （3 分） （2021昌平区二模）疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2 个测温通道，分别记为 A、B 通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园某日早晨该校所有学生体温正常小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（ ） A B C D 8 （3 分） （2022北碚区校级开学）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与
4、x 轴负半轴交于（，0） ，对称轴为直线 x1有以下结论：abc0；3a+c0；若点（3，y1） ， （3，y2） ， （0，y3）均在函数图象上，则 y1y3y2；若方程 a（2x+1） （2x5）1 的两根为 x1，x2且 x1x2，则 x1 x2；点 M，N 是抛物线与 x 轴的两个交点，若在 x 轴下方的抛物线上存在一点 P，使得 PMPN，则 a 的范围为 a4其中结论正确的有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 9 （3 分） （2020 秋沙坪坝区校级月考）在 RtABC 中，B90，AB8，AC10以 A 为圆心，AM的长为半径作弧，分别交 AC，AB 于点 M、N再
5、分别以 M、N 为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点 P连接 AP，并延长 AP 交 BC 于 D过 D 作 DEAC 于点 E，垂足为 E，则 DE 的长度为（ ） A B C2 D1 10 （3 分） （2021 秋鹿城区校级月考）如图，平面直角坐标系中，已知 A（m，0） ，B（m+2，0） ，C（m+5，0） ，抛物线 yax2+bx+c 过 A 点、B 点，顶点为 P，抛物线 yex2+fx+g 过 A 点、C 点，顶点为 Q，若 A，P，Q 三点共线，则 a：e 的值为（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）
6、分） 11 （4 分） （2021 秋端州区校级期末）若三角形中三内角的度数之比为 1：2：3，则此三角形中最大锐角的正弦值为 12 （4 分） （2019怀化）合并同类项：4a2+6a2a2 13 （4 分） （2020 秋玄武区月考）如图，直线 ab，垂足为 H，点 P 在直线 b 上，PH4cm，O 为直线 b上一动点，若以 2cm 为半径的O 与直线 a 相切，则 OP 的长为 14 （4 分） （2020 春崇川区校级期中）小军的期末总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比 2：3：5 组成， 现小军平时考试得 90 分， 期中考试得 80 分， 期末考试得 96 分， 则小军的期末总
7、评成绩为 15 （4 分） （2021 春舞阳县期中）如图，在由 10 个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接 AB，AC，BC有下列结论：BCAD；ABC 是直角三角形；BAC45其中，正确的结论是 （填序号） 16 （4 分） （2021 秋大田县期末）如图，长方形 ABCD 中，点 E 是 DC 边上的动点，将BCE 沿直线 BE 折叠，使点 C 落在点 F 处，则 D，F 两点间距离的最小值是 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 66 分）分） 17 （6 分） （2022雁塔区校级二模）解不等式组： 18 （8 分） （2020 春合川区期末）某社区为了解其辖区内
8、5000 户居民的家庭收入情况，从中随机调查了50 户居民家庭的家庭月收入（收入取整数，单位：元） ，并将数据进行了如下整理： 3800，5200，4950，8882，12400，6870，6760，9980，6863，15000，7800，6200，8911，7532，12100，4800，5800，9950，6740，14600，7840，9860，9940，8910，12090，6870，9760，6980，9763，11380，6900，6200，9950，7882，13400，7870，6340，9980，8700，11380，7850，6560，8430，7763，10120，48
9、65，6830，9950，8072，10500 分组 频数 3000m5000 a 5000m7000 14 7000m9000 13 9000m11000 b 11000m13000 5 13000m15000 3 合计 50 （1）上述频数分布表中的 a b ； （2）补全频数分布直方图； （3）根据以上统计你能得到什么信息？（写出两条即可，并用数据进行说明） 19 （8 分） （2021 秋沂水县期末）如图，ABCD，点 E 在 CB 的延长线上，AE，ACED （1）求证：BCCD； （2）连接 BD，求证：ABDEBD 20 （10 分） （2021 秋重庆期末）如图，一次函数 yk
10、1x+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于点 A（3，1） ，B（1，n）两点 （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足 k1x+b的 x 的取值范围； （3）连接 BO 并延长交双曲线于点 C，连接 AC，求ABC 的面积 21 （10 分） （2021 春锡山区期中）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图 1 中，有12 （1）如图 2，已知镜子 MO 与镜子 ON 的夹角MON90，请判断入射光线 AB 与反射光线 CD 的位置关系，并说明理由； （2）如图 3，有一口井，已知入射光线 AO
11、 与水平线 OC 的夹角为 40，当平面镜 MN 与水平线 OC 的夹角为 ，能使反射光线 OB 正好垂直照射到井底； （3）如图 4，直线 EF 上有两点 A、C，分别引两条射线 AB、CDBAF120，DCF40，射线 AB、CD 分别绕 A 点，C 点以 3 度/秒和 1 度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为 t，在射线 AB 转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得 CD 与 AB 平行？若存在，求出所有满足条件的时间 t 22 （12 分） （2022 春雨花区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知 OAn，OCm，M 与 y 轴相切于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，ACD90
12、，抛物线 yax2+bx+c 经过 A，B，C 三点 （1）求证：OCAOBC； （2）若 A（x1，0） ，B（x2，0） ，且 x1，x2满足 x1+x25，x1x24，求点 C 的坐标和抛物线的解析式； （3）若ACDABD，在四边形 ABDC 内有一点 P，且点 P 到四边形四个顶点的距离之和PA+PB+PC+PD 最小，求此时距离之和的最小值及 P 点的坐标（用含 n 的式子表示） 23 （12 分） （2021 秋海州区校级期中）如图，圆 O 是ABP 的外接圆，BAPC （1）求证：PC 是圆的切线； （2）若 AP6，B45，求劣弧 AP 的长 参考答案解析参考答案解析 一选择
13、题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分） （2021 秋江夏区期末）有理数2021 的相反数是（ ） A2021 B C2021 D 【考点】相反数 【专题】实数；数感 【分析】根据相反数的定义进行解答即可 【解答】解：有理数2021 的相反数为 2021， 故选：C 【点评】本题考查相反数，掌握相反数的定义是正确判断的前提 2 （3 分） （2021 秋江州区期末）2021 年 2 月 10 日 19 时 52 分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获” 在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为 192
14、000000 公里数字192000000 用科学记数法表示为（ ） A19.2107 B19.2108 C1.92108 D1.92109 【考点】科学记数法表示较大的数 【专题】实数；数感 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数；当原数的绝对值1 时，n 是负整数据此解答即可 【解答】解：1920000001.92108， 故选：C 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10
15、，n为整数，表示时关键要确定 a 的值以及 n 的值 3 （3 分） （2021 春柳南区校级期末）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） Aa2+4 Ba2+ab+b2 Ca2+4ab+b2 Dx2+2x+1 【考点】因式分解运用公式法 【专题】整式；符号意识 【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案 【解答】解：A、a2+4，无法分解因式，故此选项错误； B、a2+ab+b2，无法运用公式分解因式，故此选项错误； C、a2+4ab+b2，无法运用公式分解因式，故此选项错误； D、x2+2x+1（x+1）2，正确 故选：D 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式
16、是解题关键 4 （3 分） （2022拱墅区模拟）如图，在三角形 ABC 中，ACB90，过点 A 作 ADCD 于点 D，若 AB，CD，则 AC 的长可能是（ ） A3 B2.5 C2 D1.5 【考点】垂线段最短 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力 【分析】根据垂线段最短即可得出结果 【解答】解：在三角形 ABC 中，ACB90， ACAB， AB， AC25， ADCD， 在 RtADC 中，ACCD， CD， AC23， 3295，2.526.255，1.522.253，224，345， AC 的长可能是 2 故选：C 【点评】本题考查垂线段最短，熟记垂线段最短是解题的关键
17、5 （3 分） （2022 春宜秀区校级月考）若 a0，b0，则化简 2的结果为（ ） Aa2b B2ab C2ba Db2a 【考点】二次根式的性质与化简 【专题】计算题；二次根式；运算能力 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可 【解答】解：原式22|ab|， a0，b0， ab0， 原式2（ba）2ba 故选：C 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质 6 （3 分） （2022拱墅区模拟）超市正在热销某种商品，其标价为每件 125 元若这种商品打 8 折销售，则每件可获利 15 元，设该商品每件的进价为 x 元，根据题意可列出的一元一方程为（ ） A
18、1250.8x15 B125x0.815 C （125x）0.815 D125x150.8 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程 【专题】一次方程（组）及应用；应用意识 【分析】设该商品每件的进价为 x 元，根据利润售价进价，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解 【解答】解：设该商品每件的进价为 x 元， 依题意，得：1250.8x15 故选：A 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 7 （3 分） （2021昌平区二模）疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2 个测温通道，分别记为 A、B 通道，学生
19、可随机选取其中的一个通道测温进校园某日早晨该校所有学生体温正常小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（ ） A B C D 【考点】列表法与树状图法 【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力 【分析】画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可 【解答】解：画树状图如图： 共有 4 个等可能的结果， 小王和小李两同学该日早晨进校园时， 选择同一通道测温进校园的结果有 2 个， 小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率为， 故选：C 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 8
20、 （3 分） （2022北碚区校级开学）如图，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴负半轴交于（，0） ，对称轴为直线 x1有以下结论：abc0；3a+c0；若点（3，y1） ， （3，y2） ， （0，y3）均在函数图象上，则 y1y3y2；若方程 a（2x+1） （2x5）1 的两根为 x1，x2且 x1x2，则 x1x2；点 M，N 是抛物线与 x 轴的两个交点，若在 x 轴下方的抛物线上存在一点 P，使得 PMPN，则 a 的范围为 a4其中结论正确的有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与
21、x 轴的交点；根的判别式；根与系数的关系 【专题】二次函数图象及其性质 【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决 【解答】解：对称轴为直线 x1，函数图象与 x 轴负半轴交于（，0） ， x1， b2a， 由图象可知 a0，c0， b2a0， abc0，故正确； 由图可知，当 x1 时，yab+c0， a+2a+c0，即 3a+c0，故正确；抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y 值越大； 又|31|4，|31|2，|01|1， y1y2y3；故错误； 由抛物线对称性可知，抛物线与 x 轴另一个交点为（，0） ， 抛物线解析式为：ya（x+） （x） ， 令
22、 a（x+） （x）， 则 a（2x+1） （2x5）1， 如图，作 y， 由图形可知，x1x2；故正确； 由题意可知：M，N 到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到 x 轴的距离不小于时， 在 x 轴下方的抛物线上存在点 P，使得 PMPN， 即， ya（x+） （x）ax22axa， ca，b2a， ， 解得：a，故错误； 故选：B 【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型 9 （3 分） （2020 秋沙坪坝区校级月考）在 RtABC 中，B90，AB8，AC10以 A 为圆心，AM的长为半径作弧，分别交 AC，AB 于点 M、N再分别以 M、N
23、 为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点 P连接 AP，并延长 AP 交 BC 于 D过 D 作 DEAC 于点 E，垂足为 E，则 DE 的长度为（ ） A B C2 D1 【考点】作图基本作图；角平分线的性质；勾股定理 【专题】作图题；推理能力 【分析】直接利用基本作图方法得出：CADBAD，再利用全等三角形的判定与性质得出 AEAB，BDDE，结合勾股定理得出答案 【解答】解：如图所示：由题意可得：CADBAD， 在AED 和ABD 中， ， AEDABD（AAS） ， AEAB，BDDE， B90，AB8，AC10， BC6， 设 DEBDx， 则 DC6x，ECACAE1082， 故
24、（6x）2x2+22， 解得：x 故选：A 【点评】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键 10 （3 分） （2021 秋鹿城区校级月考）如图，平面直角坐标系中，已知 A（m，0） ，B（m+2，0） ，C（m+5，0） ，抛物线 yax2+bx+c 过 A 点、B 点，顶点为 P，抛物线 yex2+fx+g 过 A 点、C 点，顶点为 Q，若 A，P，Q 三点共线，则 a：e 的值为（ ） A B C D 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力 【分析】由题意得点 P 的横坐标为 m+
25、1，点 Q 的横坐标为 m+2.5根据两个函数与 x 轴交点的坐标，将函数解析式转化为交点式，然后出去顶点的纵坐标，根据相似列出关于 a 和 e 的等式即可 【解答】解：如图，作 PEx 轴，QFx 轴， 抛物线 yax2+bx+c 过 A（m，0） ，B（m+2，0）两点， 设它的解析式为 ya（xm） （xm2） ，对称轴为直线 xm+1， 它的顶点 P 的坐标为（m+1，a） ， PEa 抛物线 yex2+fx+g 过 A（m，0） ，C（m+5，0）两点， 设它的解析式为 ye（xm） （xm5） ，对称轴为直线 xm+2.5， 它的顶点 Q 的坐标为（m+2.5，6.25e） QF6
26、.25e AB2，AC5， AE1，AF2.5 PEQF， APEAQF， ， ， 故选：B 【点评】本题考查了二次函数图象与性质，以及相似三角形判定和性质，解题的关键是将原函数解析式转化为交点式，求出函数的顶点坐标 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11 （4 分） （2021 秋端州区校级期末）若三角形中三内角的度数之比为 1：2：3，则此三角形中最大锐角的正弦值为 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】利用三角形的内角和为 180 度及三角之比求出最大锐角的度数，然后求出其正弦值 【解答】解：若三角形三个内角度数的比为 1：2：3
27、， 设一个角是 x，则另两角分别是 2x，3x 根据三角形内角和定理得到：x+2x+3x180， 解得：x30 所以三角形中最大锐角的度数为：2x60， 即其正弦值为：sin60 故答案为： 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键在于利用三角形的内角和为 180 度及三角之 比求出最大锐角的度数，然后求出其正弦值 12 （4 分） （2019怀化）合并同类项：4a2+6a2a2 9a2 【考点】合并同类项 【专题】计算题；整式 【分析】根据合并同类项法则计算可得 【解答】解：原式（4+61）a29a2， 故答案为：9a2 【点评】本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：
28、要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：所含字母相同；相同字母的指数也相同； 明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； “合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变 13 （4 分） （2020 秋玄武区月考）如图，直线 ab，垂足为 H，点 P 在直线 b 上，PH4cm，O 为直线 b上一动点，若以 2cm 为半径的O 与直线 a 相切，则 OP 的长为 2cm 或 6cm 【考点】切线的性质 【专题】与圆有关的位置关系；几何直观；推理能力 【分析
29、】当点 O 在点 H 的左侧O 与直线 a 相切时，OPPHOH；当点 O 在点 H 的右侧O 与直线a 相切时，OPPH+OH，即可得出结果 【解答】解：直线 ab，O 为直线 b 上一动点， O 与直线 a 相切时，切点为 H， OH2cm， 当点 O 在点 H 的左侧，O 与直线 a 相切时，如图 1 所示： OPPHOH422（cm） ； 当点 O 在点 H 的右侧，O 与直线 a 相切时，如图 2 所示： OPPH+OH4+26（cm） ； O 与直线 a 相切，OP 的长为 2cm 或 6cm， 故答案为：2cm 或 6cm 【点评】本题考查了切线的性质以及分类讨论；熟练掌握切线的
30、性质是解题的关键 14 （4 分） （2020 春崇川区校级期中）小军的期末总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比 2：3：5 组成， 现小军平时考试得 90 分， 期中考试得 80 分， 期末考试得 96 分， 则小军的期末总评成绩为 90 分 【考点】加权平均数 【专题】统计的应用；应用意识 【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出小军的期末总评成绩 【解答】解：90（分） ， 即小军的期末总评成绩为 90 分， 故答案为：90 分 【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法 15 （4 分） （2021 春舞阳县期中）如图，在由 10 个完全相
31、同的正三角形构成的网格图中，连接 AB，AC，BC有下列结论：BCAD；ABC 是直角三角形；BAC45其中，正确的结论是 （填序号） 【考点】勾股定理的逆定理；等边三角形的性质；勾股定理 【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观 【分析】设正方形的边长为 1，根据勾股定理求出 AB，AC，BC，再逐个判断即可 【解答】解：如图，连接 AQ，AQ 交 BD 于 W，过 B 作 BEQF 于 E， 设 10 个完全相同的正三角形的边长是 1， 则 AWBEWQ， 在 RtAMB、RtBEF，RtAQC 中，由勾股定理得： AB2AM2+BM2（）2+（1+1+）27， AC2AQ2+CQ2（+）
32、2+124， BC2（1+）2+（）23， AD1，BC， BCAD，故正确； AB27，AC24，BC23， AC2+BC2AB2， ABC 是直角三角形，故正确； ACBC， BAC45，故错误； 即正确的结论是 故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和等边三角形的性质等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键 16 （4 分） （2021 秋大田县期末）如图，长方形 ABCD 中，点 E 是 DC 边上的动点，将BCE 沿直线 BE 折叠，使点 C 落在点 F 处，则 D，F 两点间距离的最小值是 【考点】翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质 【专题】推理填空题
33、；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力 【分析】连接 DF、BD，由三角形三边关系可知，当 F 点在 BD 上时 DF 最短为 BDBF，根据勾股定理求出 BD，根据翻折性质得出 BFBC，即可求出 DF 最小值 【解答】解：连接 DF、BD， 由三角形三边关系可知，当 F 点在 BD 上时 DF 最短为 BDBF， 在长方形 ABCD 中，A90，AB2，ADBC3， BD， 由翻折知，BFBC3， DFBDBF3， 故答案为：3 【点评】 本题主要考查图形的翻折， 熟练掌握矩形的性质， 翻折的性质及勾股定理的知识是解题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题
34、，满分 66 分）分） 17 （6 分） （2022雁塔区校级二模）解不等式组： 【考点】解一元一次不等式组 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 3（x2）2x5，得：x1， 解不等式1，得：x， 则不等式组的解集为x1 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键 18 （8 分） （2020 春合川区期末）某社区为了解其辖区内 5000
35、户居民的家庭收入情况，从中随机调查了50 户居民家庭的家庭月收入（收入取整数，单位：元） ，并将数据进行了如下整理： 3800，5200，4950，8882，12400，6870，6760，9980，6863，15000，7800，6200，8911，7532，12100，4800，5800，9950，6740，14600，7840，9860，9940，8910，12090，6870，9760，6980，9763，11380，6900，6200，9950，7882，13400，7870，6340，9980，8700，11380，7850，6560，8430，7763，10120，4865，68
36、30，9950，8072，10500 分组 频数 3000m5000 a 5000m7000 14 7000m9000 13 9000m11000 b 11000m13000 5 13000m15000 3 合计 50 （1）上述频数分布表中的 a 4 b 11 ； （2）补全频数分布直方图； （3）根据以上统计你能得到什么信息？（写出两条即可，并用数据进行说明） 【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表 【专题】统计的应用；数据分析观念 【分析】 （1）根据频数统计的意义，可得出 3000m5000 与 9000m11000 的频数即 a、b 的值； （2）根据频数绘制频数分布直方图；
37、 （3）根据统计图表中所反映的情况得出相应的信息即可 【解答】解： （1）根据频数统计的方法可得， a4，b11， 故答案为：4，11； （2）补全频数分布直方图如下： （3）从频数分布直方图中可以看出：家庭收入在 5000m7000 的户数最多，有 14 户，约占整体的100%28%；家庭收入在 5000m11000 大约占整体的100%76% 【点评】本题考查频数分布直方图，频数分布表，掌握频数、频率、样本容量之间的关系是正确计算的前提 19 （8 分） （2021 秋沂水县期末）如图，ABCD，点 E 在 CB 的延长线上，AE，ACED （1）求证：BCCD； （2）连接 BD，求证：
38、ABDEBD 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】图形的全等；推理能力 【分析】 （1）由“AAS”可证ABCECD，可得 BCCD； （2）由等腰三角形的性质可得CBDCDB，由平行线的性质和平角的性质可得结论 【解答】证明： （1）ABCD， ABCDCE， 在ABC 和ECD 中， ， ABCECD（AAS） ， BCCD； （2）如图，连接 BD， BCCD， CBDCDB， ABCD， ABD+CDB180， 又CBD+EBD180， ABDEBD 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键 20 （10 分） （2021 秋重庆期末）如图，一
39、次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y的图象相交于点 A（3，1） ，B（1，n）两点 （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足 k1x+b的 x 的取值范围； （3）连接 BO 并延长交双曲线于点 C，连接 AC，求ABC 的面积 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力 【分析】 （1）把 A 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把 B 的坐标代入求出 B 的坐标，把 A、B 的坐标代入一次函数 yk1x+b 即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和 A、B
40、的坐标即可得出答案； （3）过 C 点作 CDy 轴，交直线 AB 于 D，求出 D 的坐标，即可求得 CD，然后根据 SABCSACD+SBCD即可求出答案 【解答】解： （1）把 A（3，1）代入 y得：k2313， 反比例函数的解析式是 y， B（1，n）代入反比例函数 y得：n3， B 的坐标是（1，3） ， 把 A、B 的坐标代入一次函数 yk1x+b 得：， 解得：k11，b2， 一次函数的解析式是 yx2； （2）从图象可知：k1x+b的 x 的取值范围是当1x0 或 x3 （3）过 C 点作 CDy 轴，交直线 AB 于 D， B（1，3） ，B、C 关于原点对称， C（1，3
41、） ， 把 x1 代入 yx2 得，y1， D（1，1） ， CD4， SABCSACD+SBCD4（3+1）8 【点评】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用 21 （10 分） （2021 春锡山区期中）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图 1 中，有12 （1）如图 2，已知镜子 MO 与镜子 ON 的夹角MON90，请判断入射光线 AB 与反射光线 CD 的位置关系，并说明理由； （2）如图 3，
42、有一口井，已知入射光线 AO 与水平线 OC 的夹角为 40，当平面镜 MN 与水平线 OC 的夹角为 65 或 115 ，能使反射光线 OB 正好垂直照射到井底； （3）如图 4，直线 EF 上有两点 A、C，分别引两条射线 AB、CDBAF120，DCF40，射线 AB、CD 分别绕 A 点，C 点以 3 度/秒和 1 度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为 t，在射线 AB 转动 一周的时间内，是否存在某时刻，使得 CD 与 AB 平行？若存在，求出所有满足条件的时间 t 【考点】解直角三角形的应用 【专题】分类讨论；方程思想；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力 【分析】 （1）
43、计算ABC+BCD 的值便可得出结论； （2）先计算出AOB，进而得AOM+BON 的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果； （3）分四种情况讨论：当 0st20s 时，当 20st40s 时，当 40st80s 时，当 80st120s 时，根据角度大小变化关系锁确 ABCD 时的 t 值 【解答】解： （1）ABCD理由如下： 12，34， ABC1801218022， BCD1803418023， ABC+BCD3602（2+3） ， BOC90， 2+390， ABC+BCD180， ABCD； （2）AOC40，BOC90， AOM+BON1809040
44、50， AOMBON， AOMBON25， COM25+4065，CON25+90115， 当平面镜 MN 与水平线 OC 的夹角为 65或 115时，能使反射光线 OB 正好垂直照射到井底， 故答案为：65 或 115； （3）当 0st20s 时，如下图， 若 ABCD，则BACACD， 即 120+3t140+t， 解得 t10， 当 t10s 时 ABCD； 当 20st40s 时，如下图， 有BAE90ACD，则 AB 与 CD 不平行； 当 40st80s 时，如下图， 有BACACD，AB 与 CD 不平行； 当 80st120s 时，如下图， 若 ABCD，则BACDCF， 即
45、 3t240t40， 解得 t100， 当 t100s 时，ABCD； 综上可知，在射线 AB 转动一周的时间内，存在时间 t，使得 CD 与 AB 平行，其 t10s 或 100s 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题 22 （12 分） （2022 春雨花区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知 OAn，OCm，M 与 y 轴相切于点 C，与 x 轴交于 A，B 两点，ACD90，抛物线 yax2+bx+c 经过 A，B，C 三点 （1）求证：OCAOBC； （2）若 A（x1，0） ，B（x2，0） ，且 x1，x2满足 x1+x25，x1x24，求
46、点 C 的坐标和抛物线的解析式； （3）若ACDABD，在四边形 ABDC 内有一点 P，且点 P 到四边形四个顶点的距离之和PA+PB+PC+PD 最小，求此时距离之和的最小值及 P 点的坐标（用含 n 的式子表示） 【考点】二次函数综合题 【专题】函数的综合应用；图形的全等；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识 【分析】 （1）连接 MC，由M 与 y 轴相切于点 C，可得MCO90，根据ACD90，DMCM，即得OCAADC，而ADCOBC，故OCAOBC； （2）由OCAOBC， AOCBOC90， 得OCAOBC，可得 OC2OA OB，
47、又 x1 x24，即得 OC2，C（0，2） ，根据 x1+x25，x1 x24，得 b5a，c4a，有 yax25ax+4a，把 C（0，2）代入即得 yx2x+2； （3）由两点之间线段最短可得，P 为对角线 BC 与 AD 的交点时，PA+PB+PC+PD 最小值是 AD+BC，过P 作 PKAB 于 K，根据ACDABD，可得CADBAD，ABAC，ABDACD90，从而ACPABP（SAS） ，即可得AOCAPC（AAS） ，从而证明OACCADBAD60，在 RtAPK 中，AKAPcos60n，PKAPsin60n，可得 P（n，n） ，在 RtBPK中，BPn，有 BC2BP2
48、n，在 RtABD 中，AD4n，即可得PA+PB+PC+PD 的最小值为（4+2）n 【解答】 （1）证明：连接 MC，如图： M 与 y 轴相切于点 C， CMOC， MCO90， 又ACD90， ACM+MCD90， 又DMCM， MCDADC， ACM+ADC90， 又OCA+ACMMCO90， OCAADC， 又， ADCOBC， OCAOBC； （2）解：OCAOBC，AOCBOC90， OCAOBC， ， OC2OA OB， 又x1 x24，即 OAOB4， OC24， OC2（OC2 舍去） ， C（0，2） ， x1+x25，x1 x24， ， b5a，c4a， yax25a
49、x+4a， 把 C（0，2）代入得： 4a2， 解得 a， yx2x+2； （3） 解： 由两点之间线段最短可得， P 为对角线 BC 与 AD 的交点时， PA+PB+PC+PD 最小值是 AD+BC，过 P 作 PKAB 于 K，如图： ACDABD， CADBAD，ABAC，ABDACD90， APAP， ACPABP（SAS） ， APCAPB90，ABPACP，CPBP， APC90AOC， 由（1）知OCAOBC， OCAACP， 又 ACAC， AOCAPC（AAS） ， OACCAP，OAAPn， CADBAD， OACCADBAD60， 在 RtAPK 中， AKAPcos6
50、0n，PKAPsin60n， OKOA+AKn， P（n，n） ， CPBP，PKOC， BKOKn， 在 RtBPK 中， BPn， BC2BP2n， 在 RtABD 中，ABAK+BKn+n2n， AD4n， AD+BC4n+2n（4+2）n， 即 PA+PB+PC+PD 的最小值为（4+2）n 答：PA+PB+PC+PD 的最小值为（4+2）n，P（n，n） 【点评】本题考查二次函数、圆的综合应用，涉及全等三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、解直角三角形等知识，解题的关键是证明OACCADBAD60 23 （12 分） （2021 秋海州区校级期中）如图，圆 O 是ABP 的外接圆，
