1、高三数学二模参考答案1 / 8房山区 2022 年高考第二次模拟考试参考答案高三年级数学学科一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010B BC CA AD DC CC CB BA AB BD D二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）12x （12）2（13）(1,2); 2 21（14）答案不唯一，满足1a 或01a即可（15）三、解答题共 6 小题，共 85 分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 14 分）（）方法一：在ABC中，因为1cos+2aBbc,所以由正弦定
2、理可得1sincossinsin.2ABBC 2因为ABC ，所以sinsin()sincoscossinCABABAB. 4所以1sincossin2BAB.在ABC中，sin0B ，所以1cos2A ，所以60A . 6方法二：在ABC中，因为1cos+2aBbc,由余弦定理222cos=2acbBac 2得2221+22acbabcac，整理得222cbabc所以2221cos=22cbaAbc， 所以60A . 6（）选条件选条件：由（）知0120B因为在ABC中，2sin2B ，所以45B 8又ABC ，所以75C 9高三数学二模参考答案2 / 8所以sinsin(4530 )sin
3、45 cos30cos45 sin30C 1023212222 11624 12设BC边上高线的长为h，则6262sin242hbC. 14选条件选条件：因为1333sinsin60222ABCSbcAcc 8所以13c ， 9由余弦定理得2222cos442 322(13)cos606abcbcA 11所以6a . 12设BC边上高线的长为h，则2336226ABCSha 14（17）（本小题 14 分）（）设BC中点为E，连接AE，易知ADCE为正方形，且2AC ，1AE ，2AB 所以222BCABAC，所以ABAC 2因为PA底面ABCD，AC 底面ABCD，所以PAAC 4又,PA
4、ABPAB面，PAABA所以AC 平面PAB 5（）因为PA底面ABCD，在正方形ADCE中AEAD所以,AE AD PA两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系Axyz， 6设(0)PAa a则(1,1,0),(0,1,0), (1, 1,0), (0,0, )CDBPa所以(0,1,)PDa ，(1,0,0)DC ，7设平面PCD的法向量为( , , )nx y z，则高三数学二模参考答案3 / 80,0.PDDC nn00.yazx即 8所以(0, ,1)na 9由（）知，平面PAB的法向量为(1,1,0)AC 10因为平面PAB与平面PCD的夹角为3，所以222(1,1,0) (0,1,)
5、1cos|cos,|32201()ACaACACa nnn 11解得1a 12设点B到平面PCD的距离为d(0,2,0),BC (0,1,1)n 则(0,2,0) (0,1,1)22BCd nn14（18）（本小题 14 分）（）方法一：记事件A为 “从所有调查学生中随机抽取 1 人，女生被抽到” ,事件B为 “从所有调查学生中随机抽取 1 人，参加体育活动时间在50,60)”459( ), ()100100P AP AB由题意可知， 2因此9()91100()45( )455100P ABP B AP A 4所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在50,6
6、0)的概率为15方法二：记事件M为“从所有调查学生中随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在50,60)”由题意知，从所有调查学生中随机抽取 1 人，抽到女生所包含的基本事件共 45 个，抽到女生且参加体育活动时间在50,60)所包含的基本事件共 9 个 2所以91()455P M 4所以从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动高三数学二模参考答案4 / 8时间在50,60)的概率为15（）方法一：X的所有可能值为 0,1,2,5记事件C为 “从参加体育活动时间在80,90)的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生” ，事件D为 “从参加体育活动时
7、间在90,100)的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生” .由题意知，事件C、D相互独立，且102( )153P C，82()=123P D6所以111(0)()( ) ()=339P XP CDP C P D7(1)()( ) ()( ) ()P XP CDCDP C P DP C P D21124333398(2)()( ) ()P XP CDP C P D2243399所以X的分布列为:X012P19494910故X的数学期望144124012=99993 E X 12方法二：X的所有可能值为 0,1,2,5因为从参加体育活动时间在80,90)和90,100)的学生中各随机抽取1人是相
8、互独立，且抽到初中学生的概率均为23，故2(2, )3XB6所以02221(0)(1)39P XC71112224(1)( ) (1)339P XC822224(2)( )39P XC2243399所以X的分布列为:X012P19494910故X的数学期望24233E Xnp 12（）211mZm 14高三数学二模参考答案5 / 8（19）（本小题 14 分）（）当0a时，,e ) 1()(xxxf.e)(xxxf 1所以, 0)0( f. 1)0(f 3所以曲线)(xfy 在1x处的切线方程为：. 1y 4（）).e (e)(axaxxxfxx 5当0a时，0eax所以2 , 1 x时，0)
9、( xf.所以)(xf在21，上是增函数.所以.21) 1 ()(minafxf 7当0a时，令, 0)( xf解得axln1，02x（舍） 81当, 1lna即e0 a时，2 , 1 x时，0)( xf.所以)(xf在21，上是增函数.所以.21) 1 ()(minafxf 102当, 2ln1a即2ee a时，所以).1(lnln21)(ln)(2minaaaaafxf 123当, 2lna即2ea时，2 , 1 x时，0)( xf.所以)(xf在21，上是减函数.所以.2e)2()(2minafxf 14综上，当ea时，；axf21)(min当e0 a时，).1(lnln21)(2min
10、aaaaxf当2ea时，.2e)(2minaxf（20）（本小题 15 分）（）由题设，得1b ，1c 2则2222abc 3所以 椭圆C的方程为1222 yx. 4离心率2221ace 5xaln1，aln(ln ,2)a)( xf0)(xf极小值高三数学二模参考答案6 / 8（）方法一：设直线PM的方程为2 kxy 6由12222yxkxy得068)2(122kxxk 706)21 (4)822kk（解得232k设),(),2211yxQyxM（，根据题意21,xx同号，则221218kkxx，221216kxx 9根据椭圆的对称性知MNQONQOMQSSS21，10所以|POMPOQOM
11、QSSS 11|221|221|12xx12xx 12212214)xxxx （2222212421 (64kkk）522整理得03823224kk 13解得219, 222kk，（满足232k）所以, 2k或238k 15方法二:设直线PM的方程为2 kxy由12222yxkxy得068)2(122kxxk06)21 (4)822kk（解得232k设),(),2211yxQyxM（，则221218kkxx，221216kxx根据椭圆的对称性知52221MNQONQOMQSSS，高三数学二模参考答案7 / 8设O到直线MQ的距离为d，212kd2121xxkMQ2124)21 (64)1222
12、22kkkk （dMQSOMQ215222124)21 (64)11221222222kkkkk（整理得03823224kk解得219, 222kk，（满足232k）所以, 2k或238k（21）（本小题 14 分）（）因为31 1 ，所以1，3，5不具有性质P2因为21 2 ，312 ，633，所以1，2，3，6具有性质P4（）因为集合1Aa，2a，na具有性质:P即对任意的(2)kk n ，i，(1)ji j n ，使得kijaaa成立，又因为121naaa，2n，所以1ikaa，1jkaa，所以12kijkaaaa即12nnaa，122nnaa，232nnaa，322aa，212aa 6
13、将上述不等式相加得211212()nnnaaaaaa所以1212nnaaaa；由于11a ，12121nnnnaaaaSa 9（）最小值为 75首先注意到11a ，根据性质P，得到2122aa所以易知数集A的元素都是整数构造1A，2，3，6，9，18，36或者1A，2，4，5，9，18，36，这两个集合具有性质P，此时元素和为 75下面，证明 75 是最小的和假设数集1Aa，2a，12(nnaaaa，2)n，满足1niiSa75（存在性显然，因为满足1niiSa75 的数集A只有有限个）第一步：首先说明集合1Aa，2a，12(nnaaaa，2)n中至少有 7 个元素：高三数学二模参考答案8 /
14、 8由（）可知212aa，32,2aa 又11a ，所以22a ，34a ，48a ，516a ，63236a;所以7n第二步：证明118na，29;na若18A，设18ta ，因为361818na ，为了使得1niiSa最小，在集合A中一定不含有元素ka，使得1836ka，从而118na；假设18A，根据性质P，对36na ，有ia，ja，使得36nijaaa显然ijaa，所以363672nijaaa而此时集合A中至少还有 4 个不同于na，ia，ja的元素，从而1()476nijSaaaa，矛盾，所以18A，进而18ta ，且118na；同理可证：29na（同理可以证明：若9A，则29)n
15、a假设9A因为118na，根据性质P，有ia，ja，使得118nijaaa显然ijaa，所以172nnijaaaa，而此时集合A中至少还有 3 个不同于na，1na，ia，ja的元素从而11375nnijSaaaaa，矛盾，所以9A，且29na至此，我们得到了118na，29na，根据性质P，有ia，ja，使得9ijaa我们需要考虑如下几种情形：8ia ，1ja ，此时集合中至少还需要一个大于等于 4 的元素ka，才能得到元素 8，则76S ；7ia ，2ja ，此时集合中至少还需要一个大于 4 的元素ka，才能得到元素 7，则76S ；6ia ，3ja ，此时集合1A，2，3，6，9，18，36的和最小，为 75；5ia ，4ja ，此时集合1A，2，4，5，9，18，36的和最小，为 75 14
