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2022年北京市房山区高三二模数学试卷及答案

1、高三数学二模参考答案1 / 8房山区 2022 年高考第二次模拟考试参考答案高三年级数学学科一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010B BC CA AD DC CC CB BA AB BD D二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。(11)12x (12)2(13)(1,2); 2 21(14)答案不唯一,满足1a 或01a即可(15)三、解答题共 6 小题,共 85 分。 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。(16)(本小题 14 分)()方法一:在ABC中,因为1cos+2aBbc,所以由正弦定

2、理可得1sincossinsin.2ABBC 2因为ABC ,所以sinsin()sincoscossinCABABAB. 4所以1sincossin2BAB.在ABC中,sin0B ,所以1cos2A ,所以60A . 6方法二:在ABC中,因为1cos+2aBbc,由余弦定理222cos=2acbBac 2得2221+22acbabcac,整理得222cbabc所以2221cos=22cbaAbc, 所以60A . 6()选条件选条件:由()知0120B因为在ABC中,2sin2B ,所以45B 8又ABC ,所以75C 9高三数学二模参考答案2 / 8所以sinsin(4530 )sin

3、45 cos30cos45 sin30C 1023212222 11624 12设BC边上高线的长为h,则6262sin242hbC. 14选条件选条件:因为1333sinsin60222ABCSbcAcc 8所以13c , 9由余弦定理得2222cos442 322(13)cos606abcbcA 11所以6a . 12设BC边上高线的长为h,则2336226ABCSha 14(17)(本小题 14 分)()设BC中点为E,连接AE,易知ADCE为正方形,且2AC ,1AE ,2AB 所以222BCABAC,所以ABAC 2因为PA底面ABCD,AC 底面ABCD,所以PAAC 4又,PA

4、ABPAB面,PAABA所以AC 平面PAB 5()因为PA底面ABCD,在正方形ADCE中AEAD所以,AE AD PA两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系Axyz, 6设(0)PAa a则(1,1,0),(0,1,0), (1, 1,0), (0,0, )CDBPa所以(0,1,)PDa ,(1,0,0)DC ,7设平面PCD的法向量为( , , )nx y z,则高三数学二模参考答案3 / 80,0.PDDC nn00.yazx即 8所以(0, ,1)na 9由()知,平面PAB的法向量为(1,1,0)AC 10因为平面PAB与平面PCD的夹角为3,所以222(1,1,0) (0,1,)

5、1cos|cos,|32201()ACaACACa nnn 11解得1a 12设点B到平面PCD的距离为d(0,2,0),BC (0,1,1)n 则(0,2,0) (0,1,1)22BCd nn14(18)(本小题 14 分)()方法一:记事件A为 “从所有调查学生中随机抽取 1 人,女生被抽到” ,事件B为 “从所有调查学生中随机抽取 1 人,参加体育活动时间在50,60)”459( ), ()100100P AP AB由题意可知, 2因此9()91100()45( )455100P ABP B AP A 4所以从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,估计该学生参加体育活动时间在50,6

6、0)的概率为15方法二:记事件M为“从所有调查学生中随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,该学生参加体育活动时间在50,60)”由题意知,从所有调查学生中随机抽取 1 人,抽到女生所包含的基本事件共 45 个,抽到女生且参加体育活动时间在50,60)所包含的基本事件共 9 个 2所以91()455P M 4所以从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,估计该学生参加体育活动高三数学二模参考答案4 / 8时间在50,60)的概率为15()方法一:X的所有可能值为 0,1,2,5记事件C为 “从参加体育活动时间在80,90)的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生” ,事件D为 “从参加体育活动时

7、间在90,100)的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生” .由题意知,事件C、D相互独立,且102( )153P C,82()=123P D6所以111(0)()( ) ()=339P XP CDP C P D7(1)()( ) ()( ) ()P XP CDCDP C P DP C P D21124333398(2)()( ) ()P XP CDP C P D2243399所以X的分布列为:X012P19494910故X的数学期望144124012=99993 E X 12方法二:X的所有可能值为 0,1,2,5因为从参加体育活动时间在80,90)和90,100)的学生中各随机抽取1人是相

8、互独立,且抽到初中学生的概率均为23,故2(2, )3XB6所以02221(0)(1)39P XC71112224(1)( ) (1)339P XC822224(2)( )39P XC2243399所以X的分布列为:X012P19494910故X的数学期望24233E Xnp 12()211mZm 14高三数学二模参考答案5 / 8(19)(本小题 14 分)()当0a时,,e ) 1()(xxxf.e)(xxxf 1所以, 0)0( f. 1)0(f 3所以曲线)(xfy 在1x处的切线方程为:. 1y 4()).e (e)(axaxxxfxx 5当0a时,0eax所以2 , 1 x时,0)

9、( xf.所以)(xf在21,上是增函数.所以.21) 1 ()(minafxf 7当0a时,令, 0)( xf解得axln1,02x(舍) 81当, 1lna即e0 a时,2 , 1 x时,0)( xf.所以)(xf在21,上是增函数.所以.21) 1 ()(minafxf 102当, 2ln1a即2ee a时,所以).1(lnln21)(ln)(2minaaaaafxf 123当, 2lna即2ea时,2 , 1 x时,0)( xf.所以)(xf在21,上是减函数.所以.2e)2()(2minafxf 14综上,当ea时,;axf21)(min当e0 a时,).1(lnln21)(2min

10、aaaaxf当2ea时,.2e)(2minaxf(20)(本小题 15 分)()由题设,得1b ,1c 2则2222abc 3所以 椭圆C的方程为1222 yx. 4离心率2221ace 5xaln1,aln(ln ,2)a)( xf0)(xf极小值高三数学二模参考答案6 / 8()方法一:设直线PM的方程为2 kxy 6由12222yxkxy得068)2(122kxxk 706)21 (4)822kk(解得232k设),(),2211yxQyxM(,根据题意21,xx同号,则221218kkxx,221216kxx 9根据椭圆的对称性知MNQONQOMQSSS21,10所以|POMPOQOM

11、QSSS 11|221|221|12xx12xx 12212214)xxxx (2222212421 (64kkk)522整理得03823224kk 13解得219, 222kk,(满足232k)所以, 2k或238k 15方法二:设直线PM的方程为2 kxy由12222yxkxy得068)2(122kxxk06)21 (4)822kk(解得232k设),(),2211yxQyxM(,则221218kkxx,221216kxx根据椭圆的对称性知52221MNQONQOMQSSS,高三数学二模参考答案7 / 8设O到直线MQ的距离为d,212kd2121xxkMQ2124)21 (64)1222

12、22kkkk (dMQSOMQ215222124)21 (64)11221222222kkkkk(整理得03823224kk解得219, 222kk,(满足232k)所以, 2k或238k(21)(本小题 14 分)()因为31 1 ,所以1,3,5不具有性质P2因为21 2 ,312 ,633,所以1,2,3,6具有性质P4()因为集合1Aa,2a,na具有性质:P即对任意的(2)kk n ,i,(1)ji j n ,使得kijaaa成立,又因为121naaa,2n,所以1ikaa,1jkaa,所以12kijkaaaa即12nnaa,122nnaa,232nnaa,322aa,212aa 6

13、将上述不等式相加得211212()nnnaaaaaa所以1212nnaaaa;由于11a ,12121nnnnaaaaSa 9()最小值为 75首先注意到11a ,根据性质P,得到2122aa所以易知数集A的元素都是整数构造1A,2,3,6,9,18,36或者1A,2,4,5,9,18,36,这两个集合具有性质P,此时元素和为 75下面,证明 75 是最小的和假设数集1Aa,2a,12(nnaaaa,2)n,满足1niiSa75(存在性显然,因为满足1niiSa75 的数集A只有有限个)第一步:首先说明集合1Aa,2a,12(nnaaaa,2)n中至少有 7 个元素:高三数学二模参考答案8 /

14、 8由()可知212aa,32,2aa 又11a ,所以22a ,34a ,48a ,516a ,63236a;所以7n第二步:证明118na,29;na若18A,设18ta ,因为361818na ,为了使得1niiSa最小,在集合A中一定不含有元素ka,使得1836ka,从而118na;假设18A,根据性质P,对36na ,有ia,ja,使得36nijaaa显然ijaa,所以363672nijaaa而此时集合A中至少还有 4 个不同于na,ia,ja的元素,从而1()476nijSaaaa,矛盾,所以18A,进而18ta ,且118na;同理可证:29na(同理可以证明:若9A,则29)n

15、a假设9A因为118na,根据性质P,有ia,ja,使得118nijaaa显然ijaa,所以172nnijaaaa,而此时集合A中至少还有 3 个不同于na,1na,ia,ja的元素从而11375nnijSaaaaa,矛盾,所以9A,且29na至此,我们得到了118na,29na,根据性质P,有ia,ja,使得9ijaa我们需要考虑如下几种情形:8ia ,1ja ,此时集合中至少还需要一个大于等于 4 的元素ka,才能得到元素 8,则76S ;7ia ,2ja ,此时集合中至少还需要一个大于 4 的元素ka,才能得到元素 7,则76S ;6ia ,3ja ,此时集合1A,2,3,6,9,18,36的和最小,为 75;5ia ,4ja ,此时集合1A,2,4,5,9,18,36的和最小,为 75 14