1、2022年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 的倒数是 （ ）A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（）A. （a2）3a5B. a2a3a6C. a5a3a2D. （a+2a）24a23. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A 正三角形B. 菱形C. 平行四边形D. 等腰梯形4. 关于反比例函数y，下列说法中错误的是（）A. y的值随x的值增大而减小B. 它的图象在第一、三象限C. 它的图象是双曲线D. 若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上5. 如果一组数据1、2、x、5、6的众数是6，则这组数据的中位数是
2、（ ）A. 1B. 2C. 5D. 66. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当ABBC时，四边形ABCD是菱形B. 当ABC90时，四边形ABCD矩形C. 当ACBD时，四边形ABCD是菱形D. 当ACBD时，四边形ABCD是正方形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算：_8. 在实数范围内因式分解：=_9. 如图，在ABC中，点D在边AB上，且，点E是AC的中点，试用向量，表示向量，那么_10. 不等式组的解集是_11. 函数的定义域是_.12. 如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为点D，如果，AD=8，那么CD的长是 _1
3、3. 如图，在ABC中，AE是BC边上的中线，点G是ABC的重心，过点G作GFAB交BC于点F，那么_14. 已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是_15. 已知正六边形外接圆的半径为3，那么它的边心距为 _16. 如图，O的半径为10cm，ABC内接于O，圆心O在ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么ABC的面积为 _cm217. 如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形.已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB=10，则它的周长等于_18. 如图，四边形
4、ABCD是O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A、D，如果直线AD与O相切，若AB=2，那么BC的长为_三、解答题（本大题共7题，满分78分）19. 计算：12022+2cot260|3|+20. 已知二次函数yx2+6x5图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C（1）将函数yx2+6x5的解析式化为ya（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求ABD的面积22. 已知：如图，AO是O的半径，AC为O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=10，EF=3（1）
5、求AO的长；（2）过点C作CDAO，交AO延长线于点D，求OD的长24. 冬至是一年中太阳光照射最少日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼，已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29（参考数据：sin290.48；cos290.87；tan290.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）2
6、6. 已知：如图，在ABC中，AB=AC，DE/BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且EDF=ABE求证：（1）DEFBDE；（2）DGDF=BDEF27. 在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点，（1）当B的坐标为（5，0）时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画A，以C为圆心，AB长为半径画C，通过计算说明A和C的位置关系；（3）如果BAC与AOC相似，求抛物线顶点P坐标29. 在RtABC中，ACB=90，AC=9，sinBAC=点D在边AB上（不与点A
7、、B重合），以AD为半径的A与射线AC相交于点E，射线DE与射线BC相交于点F，射线AF与A交于点G，（1）如图1，设AD=x，用含x的代数式表示DE的长；（2）如果点E是的中点，求AFD的余切值；（3）如果AFD为等腰三角形，直接写出AD的长2022年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 的倒数是 （ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】D【解析】【分析】直接根据求一个数的倒数的方法排除选项即可【详解】的倒数是；故选D【点睛】本题主要考查二次根式的化简及倒数，关键是根据题意得到这个数的倒数，然后根据最简二次根式化简即可2. 下列计算正确的
8、是（）A. （a2）3a5B. a2a3a6C. a5a3a2D. （a+2a）24a2【2题答案】【答案】C【解析】【分析】分别根据幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法和除法法则、合并同类项法则和积的乘方运算法则进行计算，即可得出答案.【详解】解：A、（a2）3a6，所以此选项不正确；B、a2a3a5，所以此选项不正确；C、a5a3a2，所以此选项正确；D、（a+2a）2（3a）29a2，所以此选项不正确；故选C【点睛】本题考查了幂的运算性质和合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解题的关键3. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）A. 正三角形B. 菱形C. 平行四边形D. 等腰梯形【
9、3题答案】【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可【详解】解：A、正三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不正确；B、菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；C、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不正确；D、等腰梯形不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不正确故选：B.【点睛】本题考查轴对
10、称图形与中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键.4. 关于反比例函数y，下列说法中错误的是（）A. y的值随x的值增大而减小B. 它的图象在第一、三象限C. 它的图象是双曲线D. 若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上【4题答案】【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数y=的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析【详解】A在每一象限内，y的值随x的增大而减小，错误，符合题意；Bk=40，图象位于一、三象限，正确，不符合题意；C反比例函数的图像是双曲线，正确，不符合题意；Dab=ba，若点（a，b）在它的图像上，则点（b，a）也在它的
11、图像上，故正确，不符合题意故选A【点睛】本题主要考查反比例函数的性质注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内5. 如果一组数据1、2、x、5、6的众数是6，则这组数据的中位数是（ ）A. 1B. 2C. 5D. 6【5题答案】【答案】C【解析】【详解】分析：根据众数的定义先求出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得出答案详解：数据1，2，x，5，6众数为6，x=6，把这些数从小到大排列为：1，2，5，6，6，最中间的数是5，则这组数据的中位数为5；故选C.点睛：本题考查了中位数的知识点，将一组数据按照从小到大的顺序排列，如果数据的个数为奇数，则处于中间位置的数就是这组数据
12、的中位数；如果这组数据的个数为偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.6. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A. 当ABBC时，四边形ABCD是菱形B. 当ABC90时，四边形ABCD是矩形C. 当ACBD时，四边形ABCD是菱形D. 当ACBD时，四边形ABCD是正方形【6题答案】【答案】D【解析】【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形；根据对角线相等的平行四边形是矩形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形.【详解】A. 当ABBC时，平行四边形ABCD是菱形，故该选项正确，不符合题意；B. 当ABC90时，平行四边形A
13、BCD是矩形，故该选项正确，不符合题意；C. 当ACBD时，平行四边形ABCD是菱形，故该选项正确，不符合题意；D. 当ACBD时，平行四边形ABCD是矩形，故该选项不正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算：_【7题答案】【答案】【解析】【分析】根据异分母分式加减法法则计算即可【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了分式的加减异分母分式的减法，关键是掌握分式加减的计算法则8. 在实数范围内因式分解：=_【8题答案】【答案】(x+)(x-)
14、【解析】【分析】运用平方差在实数范围内因式分解即可【详解】解：(x+)(x-)故答案为(x+)(x-)【点睛】本题考查了平方差公式法的因式分解,掌握并灵活运用平方差公式是解答本题的特点9. 如图，在ABC中，点D在边AB上，且，点E是AC的中点，试用向量，表示向量，那么_【9题答案】【答案】【解析】【分析】首先由向量的知识，得到与的值，即可得到的值【详解】解：在ABC中，点D在边AB上，且，点E是AC的中点，故答案为：【点睛】此题考查了线性向量的计算，向量的知识解题的关键是注意数形结合思想的应用10. 不等式组的解集是_【10题答案】【答案】【解析】【详解】分析：分别解不等式，找出解集的公共部
15、分即可.详解： 解不等式，得 解不等式，得 原不等式组的解集为 故答案为点睛：点睛：考查解一元一次不等式组，比较容易，分别解不等式，找出解集的公共部分即可.11. 函数的定义域是_.【11题答案】【答案】x-3【解析】【详解】分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围详解：根据题意得：x+30，解得：x3 故答案为x3点睛：考查了函数的定义域，函数的定义域一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，定义域可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负12. 如图，在RtABC中，ACB=90，CDA
16、B，垂足为点D，如果，AD=8，那么CD的长是 _【12题答案】【答案】【解析】【分析】证明ADCCDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC【详解】解：ACB90，ACDBCD90，CDAB，AACD90，ABCD，又ADCCDB，ADCCDB，即，解得，CD，故答案为：【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键13. 如图，在ABC中，AE是BC边上的中线，点G是ABC的重心，过点G作GFAB交BC于点F，那么_【13题答案】【答案】#1:3【解析】【分析】由点G是ABC的重心，可得GE：AG=1：2，则GE：AE=1：3
17、，再GFAB，得出结论【详解】解：点G是ABC的重心，GE：AG=1：2，GE：AE=1：3，GFAB，EGFEAB，是边上的中线，故答案为【点睛】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1也考查了相似三角形的判定与性质14. 已知一个40个数据的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别是10、5、7、6，第五组的频率是0.2，那么第六组的频数是_【14题答案】【答案】4【解析】【分析】首先根据频率频数总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再进一步根据一组数据中，各组的频率和是1，进行计算【详解】解：根据题意，得：第一组到
18、第四组的频率和是 =0.7又第五组的频率是0.2，第六组的频率为1（0.7+0.2）=0.1，第六组的频数为：400.1=4故答案为4【点睛】本题主要考查了对频率、频数灵活运用，注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于115. 已知正六边形外接圆的半径为3，那么它的边心距为 _【15题答案】【答案】【解析】【分析】根据正六边形的性质得到BOGBOC30，再根据余弦的定义计算即可；【详解】解：ABCDDEF为正六边形，BOC360660，OGBCBOGBOC30在RtBOG中，cosBOGOB3，OGOBcosBOG3故答案为：【点睛】本题主要考查了正多边形的性质和余弦的性质，准确分
19、析计算是解题的关键16. 如图，O的半径为10cm，ABC内接于O，圆心O在ABC内，如果AB=AC，BC=12cm，那么ABC的面积为 _cm2【16题答案】【答案】108【解析】【分析】过点A作于点M，连接OC，根据等腰三角形的性质及垂径定理即可求出OM的值，从而可知AM的值，进而面积可求.【详解】如图，过点A作于点M，连接OC，AB=AC且BC=12 cmBM=CM=BC=6 cm圆的半径等于10 cm cm cm cm cm2故答案为108【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键.17. 如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形
20、叫做半高三角形.已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB=10，则它的周长等于_【17题答案】【答案】或【解析】【分析】分两种情况讨论：RtABC中，CDAB，CDAB5；RtABC中，ACBC，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长【详解】解：如图所示，RtABC中，CDAB，CDAB5，设BCa，ACb，则解得ab10，或ab10（舍去），ABC的周长为1010；如图所示，RtABC中，ACBC，设BCa，ACb，则，解得，ABC的周长为；综上所述，该三角形的周长为或故答案为：或【点睛】本题主要考查了三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题的关键是利用勾股定理进行推
21、算18. 如图，四边形ABCD是O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC翻折，点A、点D的对应点分别为A、D，如果直线AD与O相切，若AB=2，那么BC的长为_【18题答案】【答案】【解析】【分析】设直线AD与O相切于G，连接OC，OG交BC于E，根据折叠的性质得到ADBCAD，ABCDCDAB，过O作OHCD，根据垂径定理得到CHCD，根据切线的性质得到OGAD，根据勾股定理即可得到结论【详解】设直线AD与O相切于G，连接OC，OG交BC于E，如图所示:将矩形ABCD沿着直线BC翻折，ADBCAD，ABCDCDAB，过O作OHCD，CHCD，直线AD与O相切，OGAD，BCAD，OGBC，四
22、边形OECH是矩形，CEBEBC，CHOE，ABCDCDAB2，OE1，OCOG，CE，BC2CE，故答案为：【点睛】本题考查了切线的性质,矩形的性质,折叠的性质,垂径定理,勾股定理,正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键三、解答题（本大题共7题，满分78分）19. 计算：12022+2cot260|3|+【19题答案】【答案】【解析】【分析】根据有理数的乘方运算，特殊角的三角函数值，化简绝对值，分数指数幂，进行求解即可【详解】解：原式【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握有理数的乘方运算，特殊角的三角函数值，化简绝对值，分数指数幂是解题的关键20. 已知二次函数yx2+6x5的图象交x轴
23、于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C（1）将函数yx2+6x5的解析式化为ya（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求ABD的面积【20题答案】【答案】（1）该函数图象的开口向下，对称轴为，顶点坐标为 （2）10【解析】【分析】（1）将抛物线化为顶点式，进而根据顶点式可得该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）根据题意求得点的坐标，根据即可求解【小问1详解】解：yx2+6x5，该函数图象的开口向下，对称轴为，顶点坐标为；【小问2详解】由yx2+6x5，令，即，解得，令，则，即，点D在该抛物线上，
24、它是点C关于抛物线对称轴的对称点，对称轴为，【点睛】本题考查了抛物线的图象的性质，化为顶点式，求抛物线与坐标轴的交点，数形结合是解题的关键22. 已知：如图，AO是O的半径，AC为O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=10，EF=3（1）求AO的长；（2）过点C作CDAO，交AO延长线于点D，求OD的长【22题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由垂径定理得出AE4，设圆的半径为r，知OEOFEFr2，根据OA2AE2OE2求解可得；（2）由OAECAD，AEOADC90知AOEACD，从而根据sinACDsinAOE，进而求得的长，即可求得的长可得答案小问1详解】O是圆
25、心，且点F为AC的中点，OFAC，AC10，AE5，EF=3设圆的半径为r，即OAOFr，则OEOFEFr3，由OA2AE2OE2得r252（r3）2， 解得：r，即AO；【小问2详解】OAECAD，AEOADC90，AOEACD，则sinACDsinAOE【点睛】本题主要考查圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理及其推论和勾股定理等知识点24. 冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居
26、民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼，已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29（参考数据：sin290.48；cos290.87；tan290.55）（1）冬至中午时，超市以上居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【24题答案】【答案】（1）居民住房会受影响，理由见解析 （2）45米【解析】【分析】（1）首先沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FGAB于点G在RtAFG中，利用正切求得AG的长，进而根据CF=BG=AB-AG求得CF的高度通过比较CF与超市高度6米，可得到中午时，超市以上的居民住房采光是否有
27、影响（2）首先沿着光线作射线AE交直线BC于点E在RtABE中，利用正切求得BE长，即为使得超市采光不受影响，两楼应至少相距的米数【小问1详解】居民住房会受影响，理由如下，沿着光线作射线AF交CD于点F，过点F作FGAB于点G，由题意，在RtAFG中，GF=BC=20，AFG=29，AG=GFtan29=200.55=11米，GB=FC=25-11=14米，146，居民住房会受影响【小问2详解】沿着光线作射线AE交直线BC于点E 由题意，在RtABE中，AB=20，AEB=29，BE45米，至少要相距45米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握正切概念及运算，关键把实际问题转化
28、为数学问题加以计算26. 已知：如图，在ABC中，AB=AC，DE/BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且EDF=ABE求证：（1）DEFBDE；（2）DGDF=BDEF【26题答案】【答案】(1)见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，即可证得：ABC=ACB，又由DEBC，易得ABC+BDE=180，ACB+CED=180，则可证得：BDE=CED，又由已知EDF=ABE，则可根据有两角对应相等的三角形相似，证得DEFBDE；（2）由（1）易证得DE2=DBEF，又由BED=DFE与GDE=EDF证得：GDEEDF，则可得：DE2=DGDF，则证得：
29、DGDF=DBEF【详解】证明：（1）AB=AC，ABC=ACB，DEBC，ABC+BDE=180，ACB+CED=180BDE=CED，EDF=ABE，DEFBDE；（2）由DEFBDE，得，DE2=DBEF，由DEFBDE，得BED=DFEGDE=EDF，GDEEDF，DE2=DGDF，DGDF=DBEF【点睛】考查了相似三角形的性质与判定注意有两角对应相等的三角形相似以及相似三角形的对应边成比例定理的应用，还要注意数形结合思想的应用27. 在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的右侧），且与y轴交于点C，已知点A（3，0），O为坐标原点，（1）当B的坐
30、标为（5，0）时，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，以A为圆心，OA长为半径画A，以C为圆心，AB长为半径画C，通过计算说明A和C的位置关系；（3）如果BAC与AOC相似，求抛物线顶点P的坐标【27题答案】【答案】（1） （2）相离,见解析 （3）P【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）根据题意求得的坐标，计算的半径以及的长，即可判断A和C的位置关系；（3）根据抛物线的性质，以及的位置可得当且仅当时，BAC与AOC相似，分情况讨论，当时，当时，根据相似三角形的性质列出比例式，根据的坐标可得，联立解方程求得，的值，进而求得抛物线解析式，即可求得顶点的坐标【小问1详解】解
31、：A（3，0），B的坐标为（5，0），代入yx2+2bx+c解得抛物线的解析式为：【小问2详解】由，令，解得，即的半径为,的半径为A和C的位置关系；相离【小问3详解】解：，对称轴为在抛物线上，则令，即解得点A在点B的右侧,BAC与AOC相似，而是直角三角形，又在轴上，在轴上，且在轴负半轴，当且仅当时，BAC与AOC相似当时，则或解得或无解当时，则或以上两个方程都无解综上所述，当时，抛物线解析式为，此时顶点坐标为当时，不合题意，舍去综上所述，顶点P坐标为【点睛】本题考查了二次函数综合，圆与圆的位置关系，待定系数法求解析式，相似三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键29. 在RtABC中，AC
32、B=90，AC=9，sinBAC=点D在边AB上（不与点A、B重合），以AD为半径的A与射线AC相交于点E，射线DE与射线BC相交于点F，射线AF与A交于点G，（1）如图1，设AD=x，用含x的代数式表示DE的长；（2）如果点E是中点，求AFD的余切值；（3）如果AFD为等腰三角形，直接写出AD的长【29题答案】【答案】（1） （2） （3）或或【解析】【分析】（1）过点D作DHAC，垂足为H根据锐角三角函数和勾股定理即可用x的代数式表示DE的长；（2）根据题意可设BC4k（k0），AB5k，则AC3k过点A作AMDE，垂足为M，再根据锐角三角函数和勾股定理即可表示DFA的余切值；（3）分三种
33、情况讨论：当时，时，时，根据（1）（2）的结论解直角三角形即可【小问1详解】如图，过点D作DHAC，垂足为H在RtADH中，DHADsinBACx，AH在A中，AEADx，EHAEADx，DE；【小问2详解】sinBAC，可设BC4k（k0），AB5k，则AC3kAC9，3k9，k3 BC12，AB15点E是的中点，由题意可知此时点E在边AC上，点F在BC的延长线上，FACBACFCABCA90，ACAC，FCABCA（ASA），FCBC12AED，又AEDFEC，且AED、FEC都为锐角，tanFEC2ECAEACEC963过点A作AMDE，垂足为M，则EMED sinAED，AMAEsinAED在RtEFC中，EF在RtAFM中，cotAFD答：DFA的余切值为；【小问3详解】当时，点E在AC上，tanFEC= tanAED=2，FCCEtanFEC2（9x），DE，中，解得，当时，即，解得， ，当时，C三点重合，此时，综上所述，的长为或或【点睛】本题考查了解直角三角形，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键
