1、2022 年四川省成都市天府新区中考数学二诊试卷年四川省成都市天府新区中考数学二诊试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 1 （4 分）下面的数中，比1 大的数是（ ） A0 B1 C2 D3 2 （4 分）下列几何体中，截面形状不可能是圆的是（ ） A B C D 3 （4 分）2022 年 3 月 4 日3 月 10 日全国政协十三届五次会议在北京召开3 月 5 日，李克强总理作政府工作报告，提出了今年发展主要预期目标，其中之一是：城镇新增就业 1100 万人， “1100 万”用科学记数法表示正确的是（ ） A1
2、100104 B1.1107 C1.1108 D0.11108 4 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（3，2）关于 y 轴对称的点的坐标是（ ） A （3，2） B （3，2） C （2，3） D （3，2） 5 （4 分）下列计算正确的是（ ） A3x2y6xy Bx3x4x12 C （2x3y）24x6y2 Da2b3a2b3 6 （4 分）某餐厅所有员工的工资如表所示，则该餐厅所有员工的工资的众数、中位数分别是（ ） 人员 经理 厨师 会计 服务员 人数 1 3 1 4 工资（元） 12000 8800 6000 2800 A2800，6000 B2800，8800 C74
3、00，2800 D8800，2800 7 （4 分）我国私人汽车拥有量 2019 年约为 2.3 亿辆，2021 年约为 2.6 亿辆，设私人汽车拥有量年平均增长率为 x，则可列方程（ ） A2.3（1+x）2.6 B2.3（1x）2.6 C2.3（1+x）22.6 D2.3（1x）22.6 8 （4 分）如图，圆形螺帽的内接正六边形的边心距为 2cm，则圆形螺帽的面积是（ ） A8cm2 B16cm2 C8cm2 D16cm2 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 9 （4 分）分解因式：x27x 10 （4 分）反比例
4、函数 y的图象位于二，四象限，则常数 k 的取值范围为 11 （4 分）二次函数 yx22x+4 的顶点坐标是 12 （4 分）计算的结果是 13 （4 分）如图，分别以线段 AB 的两个端点 A，B 为圆心，大于AB 为半径作弧，两弧交于点 M，N，作直线 MN，点 C 为直线 MN 上一点，连接 CB，CA，以 C 为圆心，CB 长为半径作弧，交 AC 的延长线于点 D，连接 BD若BDC25，则BAC 的度数为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 个小题，共个小题，共 48 分）分） 14 （12 分） （1）计算： （2）解不等式组： 15 （8 分）2021 年 7 月 2
5、4 日，中共中央办公厅，国务院办公厅发布关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和课外培训负担的意见 ，该意见要求初中书面作业平均完成时间不超过 90 分钟为了解实施情况，天府新区某调查组随机调查了某初中学校部分同学最近一周完成家庭作业的时间，得到他们平均每天完成家庭作业时长 x（单位：分）的一组数据，将所得数据分为四组（A：x60，B：60 x90，C：90 x120，D：x120） ，并绘制成如图所示两幅不完整的统计图 根据如图所示信息，解答下列问题： （1） 调查组一共抽样调查了 名同学； 在扇形统计图中， 表示 A 组的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）D 组的
6、 4 名学生是 3 名男生和 1 名女生，若从他们中任选 2 人了解最近一周平均每天完成家庭作业时间较长的原因，试求恰好选中 1 名男生和 1 名女生的概率 16 （8 分）兴隆湖是天府新区规划建设的一座“生态之肾” ，如图，为测量天府新区规划厅 A 到湖心岛 C的距离， 天府新区某校数学兴趣小组选择了观察点 B 进行了如下测量， 测得CAB45， CBA63.4，AB 之间的距离约为 1.5km，请计算出天府新区规划厅 A 到湖心岛 C 的距离 （结果精确到 0.1km） （参考数据：tan63.42.00，sin63.40.89，cos63.40.45，1.41） 17 （10 分）已知：
7、如图，PA，PB 是O 的两条切线，A，B 是切点，BC 是直径，AB 交 PO 于点 M，O的半径为 3，PA4 （1）求证：ACPO； （2）求 AC 的长 18 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 在反比例函数 y（x0）的图象上（点 B 在点A 右侧） ，过点 A 作 x 轴的平行线，过点 B 作 y 轴的平行线，两线相交于点 C，OC 交 AB 于点 E，过点 B作 BDx 轴交 OC 于点 D，连接 AD设点 A 的横坐标为 1，点 B 的横坐标为 m （1）求点 A 的坐标及直线 OC 的表达式（直线 OC 表达式用含 m 的式子表示） ； （2）求证：四
8、边形 ACBD 为矩形； （3）若AOC2ACO，求 m 的值 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 19 （4 分）比较大小： 2（填“” ， “”或“” ） 20 （4 分）若关于 x 的一元二次方程 x24x+m1 有两个相等的实数根，则实数 m 的值是 21 （4 分）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的 2 倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形” ，当已知矩形的长和宽分别为 3 和 1 时，其“加倍矩形”的对角线长为 22 （4 分）已知：如图，A，B，C，D 是O
9、上的四个点，ABAC，ACBD，AD 交 BC 于点 E，AE4，ED10，则O 的半径为 23 （4 分）已知：如图，在 RtABC 中，A90，AB8，tanABC，点 N 是边 AC 的中点，点 M是射线 BC 上的一动点（不与 B，C 重合） ，连接 MN，将CMN 沿 MN 翻折得EMN，连接 BE，CE，当线段 BE 的长取最大值时，sinNCE 的值为 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分）分） 24 （8 分）第 31 届世界大学生夏季运动会定于 2022 年 6 月 26 日至 7 月 7 日在成都举办，这是继北京、深圳之后，中国大陆第
10、三次举办世界大学生夏季运动会某超市购进了一批以大运会为主题的纪念品进行销售，购进价为 7 元/个，为了调查这种纪念品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量y（个）与每个的销售价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）该超市规定这种纪念品每个的售价不得低于 8 元，且不超过 15 元，设该超市每天销售这种纪念品能获得的利润为 W 元，当销售单价为多少元时，该超市可获得最大利润？最大利润是多少元？ 25 （10 分）如图，抛物线 yax2+x4a 与 x 轴交于 A（1，0） ，B 两点，与 y 轴交于点 C，在直线 BC上方的抛
11、物线上有一动点 E， 过点 E 作 EGx 轴于 G， EG 交直线 BC 于点 F， 过点 E 作 EDBC 于点 D （1）求抛物线及直线 BC 的函数关系式； （2）设 SEDF为 S1，SBGF为 S2，当 S1S2时，求点 E 的坐标 （3）在（2）的条件下，在 y 轴上是否存在点 M，使得MAB2EAB？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 26 （12 分）如图 1，ABC 和DEF 中，ABCDEF90，2， 边 DE 与 AB 相交于点 P，且2，连接 PF，PC （1）求的值； （2）如图 2，连接 CF，BE，将DEF 绕着点 P 在平面内旋转，在旋转过
12、程中是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若 BC2，EF1，当 B，E，F 三点在一条直线上时，求 BF 的长度 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 1 （4 分）下面的数中，比1 大的数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】分别比较各选项中的数字与 1 的大小即可 【解答】解：01，11，21，31， 比1 大的数是 0， 故选：A 【点评】本题主要考查有理数大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键 2 （4 分）下列几何体中，截面形状不
13、可能是圆的是（ ） A B C D 【分析】根据每一个几何体的截面形状，即可判断 【解答】解：因为圆锥、圆柱、球的截面都可能是圆，三棱柱的截面只可能是多边形，不可能是圆， 故选：D 【点评】本题考查了截一个几何体，熟练掌握每一个几何体的截面形状是解题的关键 3 （4 分）2022 年 3 月 4 日3 月 10 日全国政协十三届五次会议在北京召开3 月 5 日，李克强总理作政府工作报告，提出了今年发展主要预期目标，其中之一是：城镇新增就业 1100 万人， “1100 万”用科学记数法表示正确的是（ ） A1100104 B1.1107 C1.1108 D0.11108 【分析】科学记数法的表
14、示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：1100 万110000001.1107 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （4 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（3，2）关于 y 轴对称的点的坐标是（ ） A （3，2） B （3，2） C （2，3） D （3，2） 【分析
15、】关于 y 轴的对称点的坐标特点为：横坐标互为相反数，纵坐标不变 【解答】解：点 P（3，2）关于 y 轴对称的点的坐标是（3，2） ， 故选：B 【点评】本题主要考查了关于 y 轴的对称点的坐标特点，即点 P（x，y）关于 y 轴的对称点 P的坐标是（x，y） 5 （4 分）下列计算正确的是（ ） A3x2y6xy Bx3x4x12 C （2x3y）24x6y2 Da2b3a2b3 【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法以及幂的乘方，积的乘方的知识求解即可求得答案 【解答】解：A、3x2y 不能合并，故 A 选项错误，不合题意； B、x3x4x7，故 B 选项错误，不合题意； C、 （
16、2x3y）24x6y2，故 C 选项正确，符合题意； D、a2b3a2不能合并，故 D 选项错误，不合题意 故选：C 【点评】此题考查了并同类项的法则，同底数幂的乘法以及幂的乘方和积的乘方等知识，解题的关键是熟记法则 6 （4 分）某餐厅所有员工的工资如表所示，则该餐厅所有员工的工资的众数、中位数分别是（ ） 人员 经理 厨师 会计 服务员 人数 1 3 1 4 工资（元） 12000 8800 6000 2800 A2800，6000 B2800，8800 C7400，2800 D8800，2800 【分析】把所有员工的工资按从小到大的顺序排列，然后根据众数和中位数的定义求解 【解答】解：把
17、数据按从小到大的顺序排列为：2800，2800，2800，2800，6000，8800，8800，8800，12000， 则众数为，2800， 中位数为：6000 故选：A 【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数 7 （4 分）我国私人汽车拥有量 2019 年约为 2.3 亿辆，2021 年约为 2.6 亿辆，设私人汽车拥有量年平均增长率为 x，则可列方程（ ） A2.3（1+x）2.6 B2.3（1x）2.6 C2.3（1+x）22.6 D2.3（
18、1x）22.6 【分析】设年平均增长率 x，根据等量关系“2021 年底汽车拥有量2019 年底汽车拥有量（1+年平均增长率）2”列出一元二次方程求得 【解答】解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为 x 根据题意，得 2.3（1+x）22.6， 故选：C 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用增长率问题，若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，增长率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2b（当增长时中间的“”号选“+” ，当降低时中间的“”号选“” ） 8 （4 分）如图，圆形螺帽的内接正六边形的边心距为 2cm，则圆形螺帽的面积是（ ） A8cm2 B16cm2 C8cm2 D1
19、6cm2 【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形的性质解答即可 【解答】解：如图所示，AB4cm，过 O 作 OGAB 于 G； 此多边形是正六边形， AOB60，AOG30， AO4cm， S圆形螺帽16cm2 故选：D 【点评】此题比较简单，根据题意画出图形，再根据正多边形的性质即锐角三角函数的定义解答即可 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分） 9 （4 分）分解因式：x27x x（x7） 【分析】直接提公因式 x 即可 【解答】解：原式x（x7） ， 故答案为：x（x7） 【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关
20、键是正确确定公因式 10 （4 分）反比例函数 y的图象位于二，四象限，则常数 k 的取值范围为 k1 【分析】根据反比例函数的图象可知 k+10，即可求出 k 的取值范围 【解答】解：根据题意，可知 k+10， k1， 故答案为：k1 【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象与系数的关系是解题的关键 11 （4 分）二次函数 yx22x+4 的顶点坐标是 （1，3） 【分析】利用抛物线顶点坐标公式（，）求出顶点坐标即可 【解答】解：yx22x+4， 1 3， 即顶点坐标为（1，3） ， 故答案为： （1，3） 【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法关键是掌握求顶点坐标的
21、公式 12 （4 分）计算的结果是 a+1 【分析】先通分计算括号里面，再把除法转化为乘法计算乘法，最后化简 【解答】解：原式 a+1 故答案为：a+1 【点评】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键，注意分式运算的结果需化为最简分式 13 （4 分）如图，分别以线段 AB 的两个端点 A，B 为圆心，大于AB 为半径作弧，两弧交于点 M，N，作直线 MN，点 C 为直线 MN 上一点，连接 CB，CA，以 C 为圆心，CB 长为半径作弧，交 AC 的延长线于点 D，连接 BD若BDC25，则BAC 的度数为 65 【分析】由作图可知 CBCDCA，求出ACB50，可得结
22、论 【解答】解：由作图可知 CBCDCA， DCBD25， ACBCBD+D50， BACCBA（18050）65， 故答案为：65 【点评】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 个小题，共个小题，共 48 分）分） 14 （12 分） （1）计算： （2）解不等式组： 【分析】 （1）首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可 （2）先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可 【解答】解： （1） 4+9+（
23、42）3 2+9+423 10 （2）解不等式，可得：x2.5， 解不等式，可得：x3， 原不等式组的解集是：2.5x3 【点评】此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序；以及解一元一次不等式组的方法，先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分 15 （8 分）2021 年 7 月 24 日，中共中央办公厅，国务院办公厅发布关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和课外培训负担的意见 ，该意见要求初中书面作业平均完成时间不超过 90 分钟为了解实施情况，天府新区某调查组随机调查了某初中学校部分同学最近一周完成家庭作业的时间，得到他们平均每天完成家庭作业时长 x（单位：分）的一组数据，将所得
24、数据分为四组（A：x60，B：60 x90，C：90 x120，D：x120） ，并绘制成如图所示两幅不完整的统计图 根据如图所示信息，解答下列问题： （1）调查组一共抽样调查了 50 名同学；在扇形统计图中，表示 A 组的扇形圆心角的度数为 108 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）D 组的 4 名学生是 3 名男生和 1 名女生，若从他们中任选 2 人了解最近一周平均每天完成家庭作业时间较长的原因，试求恰好选中 1 名男生和 1 名女生的概率 【分析】 （1）根据 B 组的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用 360乘以 A 组所占的百分比即可； （2）用总人数减去其它组的人数
25、，求出 C 组的人数，从而补全统计图； （3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）调查组一共抽样调查的学生人数有：50（名） ， 在扇形统计图中，表示 A 组的扇形圆心角的度数为：360108； 故答案为：50，108； （2）C 组的人数有：50152348（人） ， 补全统计图如下： （3）列表如下： 男 男 男 女 男 （男，男） （男，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （男，女） 由表知，共有 12 种等可能结果，其中
26、恰好选中 1 名男生和 1 名女生的有 6 种结果， 所以恰好选中 1 名男生和 1 名女生的概率为 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比同时也考查了统计图 16 （8 分）兴隆湖是天府新区规划建设的一座“生态之肾” ，如图，为测量天府新区规划厅 A 到湖心岛 C的距离， 天府新区某校数学兴趣小组选择了观察点 B 进行了如下测量， 测得CAB45， CBA63.4，AB 之间的距离约为 1.5km，请计算出天府新区规划厅 A 到湖心岛 C 的
27、距离 （结果精确到 0.1km） （参考数据：tan63.42.00，sin63.40.89，cos63.40.45，1.41） 【分析】过点 C 作 CDAB，垂足为 D，设 DBxkm，先在 RtCDB 中，利用锐角三角函数的定义表示出 CD 的长，再在 RtACD 中，利用锐角三角函数的定义表示出 AD 的长，然后根据 AB1.5km，列出关于 x 的方程，最后在 RtACD 中，利用锐角三角函数的定义求出 AC 的长，进行计算即可解答 【解答】解：过点 C 作 CDAB，垂足为 D， 设 DBxkm， 在 RtCDB 中，B63.4， CDBDtan63.42x（km） ， 在 RtA
28、CD 中，A45， AD2x（km） ， AB1.5km， AD+DB1.5， 2x+x1.5， x0.5， CD2x1（km） ， AC1.4（km） ， 天府新区规划厅 A 到湖心岛 C 的距离为 1.4km 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键 17 （10 分）已知：如图，PA，PB 是O 的两条切线，A，B 是切点，BC 是直径，AB 交 PO 于点 M，O的半径为 3，PA4 （1）求证：ACPO； （2）求 AC 的长 【分析】 （1）根据切线长定理得出 PAPB，且 PO 平分BPA，利用等腰三角形三线合一的性质得出 P
29、OAB根据圆周角定理得出 ACAB，进而得到 ACPO； （2）证明PAMBCA，由相似三角形的性质得出，设 AM2x，则 AC3x，由勾股定理可得出答案 【解答】 （1）证明：PA、PB 是O 的两条切线，A、B 是切点， PAPB，且 PO 平分BPA， POAB BC 是直径， CAB90， ACAB， ACPO； （2）解：PA 是O 的切线， PAOA， PAO90， BAC90， PAMOAC， OAOC， OACOCA， 又PMABAC， PAMBCA， ， 设 AM2x，则 AC3x， AB4x， AB2+AC2BC2， （4x）2+（3x）262， x（负值舍去） ， AC
30、【点评】本题考查切线的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质及利用勾股定理列方程是解题关键 18 （10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 在反比例函数 y（x0）的图象上（点 B 在点A 右侧） ，过点 A 作 x 轴的平行线，过点 B 作 y 轴的平行线，两线相交于点 C，OC 交 AB 于点 E，过点 B作 BDx 轴交 OC 于点 D，连接 AD设点 A 的横坐标为 1，点 B 的横坐标为 m （1）求点 A 的坐标及直线 OC 的表达式（直线 OC 表达式用含 m 的式子表示） ； （2）求证：四边形 ACBD 为矩形； （
31、3）若AOC2ACO，求 m 的值 【分析】 （1）将点 A 的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出 A 的纵坐标，先求出 B 点坐标，然后根据平行线的性质求出点 C 坐标，即可求出直线 OC 的解析式； （2）先证四边形 ACBD 是平行四边形，再证ACB90，即可得证； （3） 根据矩形的性质， 可得AEO2ACO， E 的坐标， 进一步可知 OAEA， 用两点之间的距离公式，列方程，即可求出 m 的值 【解答】解： （1）点 A 的横坐标为 1， 将 A 点横坐标代入反比例函数 y， 得 y1， A（1，1） ， B 的横坐标为 m， 代入反比例函数 y， 得 y， B（m，） ， AC
32、x 轴，BCy 轴， C（m，1） ， 设 OC 的解析式：ykx， 代入 C 点坐标，得 mk1， 解得 k， 直线 OC 的解析式：yx； （2）ACx 轴，BDx 轴， ACBD，D（1，） ， ACm1，BDm1， ACBD， 四边形 ACBD 是平行四边形， 又ACx 轴，BCy 轴， ACB90， 四边形 ACBD 为矩形； （3）四边形 ACBD 为矩形， 点 E 是 CD 的中点， AEO2ACO， E（，） ， AOC2ACO， AOCAEO， AOAE， 即， 解方程，得 m1 或 m或 m， B 在点 A 右侧， m 【点评】 本题考查了反比例函数得综合， 涉及待定系数法
33、求解析式， 矩形的判定与性质， 中点坐标公式，两点之间的距离公式，等腰三角形的性质等，综合性很强 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 19 （4 分）比较大小： 2（填“” ， “”或“” ） 【分析】先估算出的范围，再求出+1 的范围，再除以 2 即可 【解答】解：23， 3+14， 2， 即2， 故答案为： 【点评】本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键 20 （4 分）若关于 x 的一元二次方程 x24x+m1 有两个相等的实数根，则实数 m 的值是 m5 【分析】先把方程化为一般
34、式，再根据根的判别式的意义得到（4）24（m1）0，然后解方程即可 【解答】解：方程化为 x24x+m10， 根据题意得（4）24（m1）0， 解得 m5 故答案为：m5 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根 21 （4 分）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的 2 倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形” ，当已知矩形的长和宽分别为 3 和 1 时，其“加倍矩形”的对角线长为 2 【分析】设“加
35、倍矩形”的长为 x，则宽为2（3+1）x，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论 【解答】解：设“加倍”矩形的长为 x，则宽为2（3+1）x， 依题意，得：x2（3+1）x231， 整理，得：x28x+60， 解得：x14+，x24， 当 x4+时，2（3+1）x44+，符合题意； 当 x4时，2（3+1）x4+4，符不符合题意，舍去 “加倍矩形”的对角线长为2 故答案为：2 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 22 （4 分）已知：如图，A，B，C，D 是O 上的四个点，ABAC，ACBD，AD 交
36、 BC 于点 E，AE4，ED10，则O 的半径为 4 【分析】连接 OA 交 BC 于 F，连接 OB，设O 的半径为 R，先证ABEADB，得 AB2AEAD，则AB2，再由垂径定理得 BFCFBC7，然后在 RtOBF 中，由勾股定理得出方程，解方程即可 【解答】解：如图，连接 OA 交 BC 于 F，连接 OB， 设O 的半径为 R， ABAC， ABCACB， ACBADB， ABCADB， BADBAE， ABEADB， ， AB2AEAD， AE4，ED10， ADAE+ED14， AB2AEAD41456， AB2， ACBD， DBCACB，ADBCAD， DBCADBCAD
37、ACB， EBED10，CEAE4， BCEB+CE14， ABAC， ， OCBC， BFCFBC7， 在 RtABF 中，由勾股定理得：AF， 在 RtOBF 中，由勾股定理得：BF2+OF2OB2， 即 72+（R）2R2， 解得：R4， 即O 的半径为 4， 故答案为：4 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂径定理、圆周角定理，圆心角、 弧、 弦的关系以及勾股定理等知识， 熟练掌握相似三角形的判定与性质和垂径定理是解题的关键 23 （4 分）已知：如图，在 RtABC 中，A90，AB8，tanABC，点 N 是边 AC 的中点，点 M是射线 BC 上的
38、一动点（不与 B，C 重合） ，连接 MN，将CMN 沿 MN 翻折得EMN，连接 BE，CE，当线段 BE 的长取最大值时，sinNCE 的值为 【分析】由翻折可知：NCNE，所以点 E 在以 N 为圆心，NC 长为半径的圆上，点 B，N，E 共线时，如图所示：此时 BE 最大，由翻折可知：MN 是 CE 的垂直平分线，延长 GN 交 AB 于点 D，可得 DN 平分ANB，过点 D 作 DHBN，然后证明 RtANDRtHND（HL） ，可得 ANHN6，根据勾股定理即可解决问题 【解答】解：如图，由翻折可知：NCNE， 所以点 E 在以 N 为圆心，NC 长为半径的圆上，点 B，N，E
39、共线时，如图所示：此时 BE 最大， 在 RtABC 中，A90， AB8，tanABC， AC12， 点 N 是边 AC 的中点， ANCN6， NE6， 由翻折可知：MN 是 CE 的垂直平分线， ENGCNG， 延长 GN 交 AB 于点 D， BNDAND， DN 平分ANB， DAAN， 过点 D 作 DHBN， DADH， DBABAD8DH， 在 RtAND 和 RtHND 中， ， RtANDRtHND（HL） ， ANHN6， 在 RtABN 中，AB8，AN6， BN10， BHBNHN1064， 在 RtDBH 中，DB8DH，根据勾股定理得： DB2DH2+BH2， （
40、8DH）2DH2+42， 解得 DH3， 在 RtADN 中，DHDA3，AN6，根据勾股定理得： DN2AD2+AN2， DN232+6245， DN3， ANGC90，ANDGNC， ADNNCG， sinADN， sinNCGsinNCE 故答案为： 【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质 二、解答题（本大题共二、解答题（本大题共 3 个小题，共个小题，共 30 分，解答过程写在答题卡上）分，解答过程写在答题卡上） 24 （8 分）第 31 届世界大学生夏季运动会定于 2022 年 6 月
41、26 日至 7 月 7 日在成都举办，这是继北京、深圳之后，中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会某超市购进了一批以大运会为主题的纪念品进行销售，购进价为 7 元/个，为了调查这种纪念品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量y（个）与每个的销售价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）该超市规定这种纪念品每个的售价不得低于 8 元，且不超过 15 元，设该超市每天销售这种纪念品能获得的利润为 W 元，当销售单价为多少元时，该超市可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【分析】 （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b，
42、用待定系数法可得 y 与 x 之间的函数关系式为 y2x+50； （2）根据题意得 W（x7） （2x+50）2（x16）2+162，又 8x15 时，根据二次函数性质可得答案 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b，将（10，30） ， （20，10）代入得： ， 解得， y 与 x 之间的函数关系式为 y2x+50； （2）根据题意知：W（x7） （2x+50）2x2+64x3502（x16）2+162， 20，对称轴为直线 x16， 8x15 时，W 随 x 的增大而增大， x15 时，W 取最大值，最大值为2（1516）2+162160（元） ， 答：当销售
43、单价为 15 元时，该超市可获得最大利润，最大利润是 160 元 【点评】本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式 25 （10 分）如图，抛物线 yax2+x4a 与 x 轴交于 A（1，0） ，B 两点，与 y 轴交于点 C，在直线 BC上方的抛物线上有一动点 E， 过点 E 作 EGx 轴于 G， EG 交直线 BC 于点 F， 过点 E 作 EDBC 于点 D （1）求抛物线及直线 BC 的函数关系式； （2）设 SEDF为 S1，SBGF为 S2，当 S1S2时，求点 E 的坐标 （3）在（2）的条件下，在 y 轴上是否存在点 M，使得MAB2EAB？若
44、存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）首先将点 A 的坐标，代入抛物线的解析式可得 a 的值，确定抛物线的解析式，确定点 B 和C 的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式； （2）设 E（m，m2+m+3） ，则 F（m，m+3） ，根据 E 在 F 的上方表示 EF 的长，证明BGFEDF，根据面积比等于相似比的平方和已知可得 5ED9BG，再根据OBCDEF，由两个角的余弦相等列等式可解答； （3）分两种情况：分 M 在 y 轴的正半轴和负半轴上，当点 M 在 y 轴的正半轴上时，如图 2，作辅助线构建相似三角形，证明EHPPQA，可知相似比为，设 EH
45、3x，PQ4x，则 PH44x，AQ3+3x，可得 P 的坐标，得 AP 的解析式为：yx+，可得点 M 的坐标，同理当点 M 在 y 轴的负半轴上时，同理得：M（0，） 【解答】解： （1）把 A（1，0）代入抛物线 yax2+x4a 中得：a4a0， a， 抛物线的解析式为：yx2+x+3， 当 y0 时，x2+x+30， 解得：x11，x24， B（4，0） ， 当 x0 时，y3， C（0，3） ， 设直线 BC 的解析式为：ykx+b， 则，解得：， 直线 BC 的解析式为：yx+3； （2）如图 1，设 E（m，m2+m+3） ，则 F（m，m+3） ， EF（m2+m+3）（m+
46、3）m2+3m， EDBC，EGAB， EDFBGF90， DFEBFG， BGFEDF， （）2， S1S2， ， ， 5ED9BG， DEFOBC， cosDEFcosOBC， ， DEEF， 4EF9BG， 4（m2+3m）9（4m） ， 解得：m13，m24（舍） ， E（3，3） ； （3）分两种情况： 当点 M 在 y 轴的正半轴上时，如图 2， 过点 E 作 EPAM 于 P，过点 E 作 ENx 轴于点 N，过点 P 作 QHx 轴，交 NE 于 H，过点 A 作 AQPH 于 Q， MAB2EAB， PAEEAB， PEEN3， tanEANtanPAE， HQ90，HPEQ
47、AP， EHPPQA， ， 设 EH3x，PQ4x，则 PH44x，AQ3+3x， ， x， P（，） ， AP 的解析式为：yx+， M（0，） ； 当点 M 在 y 轴的负半轴上时，同理得：M（0，） ， 综上，点 M 的坐标为（0，）或（0，） 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会用分类讨论和数形结合的思想思考问题，属于中考压轴题 26 （12 分）如图 1，ABC 和DEF 中，ABCDEF90，2， 边 DE 与 AB 相交于点 P，且2，连接 PF，PC （1）求的值； （2）如图
48、 2，连接 CF，BE，将DEF 绕着点 P 在平面内旋转，在旋转过程中是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若 BC2，EF1，当 B，E，F 三点在一条直线上时，求 BF 的长度 【分析】 （1）不妨设 BC1，可计算得出 PC，PB，从而求得结果； （2）可证得FPCEPB，进而求得结果； （3）分为点 E 在 BF 上及在 BF 的延长线上，求出 BE 的长，进而求得结果 【解答】解： （1）不妨设 BC1，AB2， 2， BP， ABC90， PC， ； （2），理由如下： 2， ， 即：， ABCPEF90， PBCPEF， FPEBPC， FPE+CPEBPC+CPE， 即：FPCBPE， 又， FPCEPB， ； （3）如图 1， 当点 E 在 BF 上是， 由（2）得， BC：PB：PC3：4：5， BC2， PB， 同理可得：EF1，PE， BE， BFBE+EF+1， 如图 2， 当点 E 在 BF 的延长线上， BFBEEF， 综上所述：BF或 【点评】本题考查了直角三角形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是弄清线段间数量关系，找出相似三角形
