1、四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ）A. B. C. D. 3. 某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A. B. 估计这批产品该项质量指标的众数为45C. 估计这批产品该项质量指标的中位数为60D. 从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.54. 已知，是两个不同的平面，m是一条直线，
2、若，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件5. 已知函数，则（ ）A. 为奇函数B. C. 在上单调递增D. 的图象关于点对称6. 已知曲线在处的切线为l，若l与相切，则实数（ ）A. 2或B. 或3C. 2D. 37. 函数的部分图象如图所示，则（ ）A. B. 1C. D. 8. 在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界我国古代天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的
3、长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ）A. 11.5尺B. 13.5尺C. 12.5尺D. 14.5尺9. 若抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，且，则（ ）A. B. C. 2D. 410. 今4名医生分别到A、B、C三所医院支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为（ ）A. B. C. D. 11. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B
4、. C. D. 12. 在给出的；三个不等式中，正确的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知双曲线（其中，）焦距为，其中一条渐近线的斜率为2，则_14. 在等边ABC中，则_15. 已知数列的前n项和为，若，则_16. 在棱长为2的正方体中，已知点P为棱的中点，点Q为棱CD上一动点，底面正方形ABCD内的点M始终在平面上，则由所有满足条件的点M构成的区域的面积为_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共6
5、0分17. 在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，且（1）求角B的大小；（2）若，求ABC的面积S19. 随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份201620172018201920202021年份代码x123456新能源乘用车年销售y（万辆）5078126121137352（1）根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保留整数）（2）若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程为，经计算该模型和第（1）问中模型的（为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别用这两个模型，求2022年我
6、国新能源乘用车的年销售量的预测值；（3）你认为（2）中用哪个模型得到预测值更可靠？请说明理由参考数据：设，其中1444.78841570380528参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，21. 在四棱锥中，底面ABCD为梯形，已知，PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形（1）证明：平面PBC；（2）Q为棱AB上一点，且三棱锥的体积为，求的大小23. 函数（1）若函数有2个零点，求实数a的取值范围；（2）若在上的值域为，求实数a的值25. 已知椭圆（其中）的离心率为，直线与椭圆E交于、两点，且，当时，（1）求椭圆的方程；（2）在直线上是否存在点，
7、使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题做答如果多做，则按所做的第一题记分【选修44：坐标系与参数方程】27. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的方程为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线E的极坐标方程为，（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；（2）若E与l交于点A，E与C交于点B，求的取值范围【选修45：不等式选讲】29. 已知函数（1）求关于x的不等式的解集；（2）求证：四川省绵阳市2022届高三第三次诊断性考试文科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题
8、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等号求集合A，再由集合的交运算求.【详解】由题设，又所以.故选：B2. 若复数，则（ ）A. B. C. D. 【2题答案】【答案】D【解析】【分析】由复数乘法运算求得，根据共轭复数定义可求得结果.【详解】，.故选：.3. 某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）A. B. 估计这批产品该项质量指标的众数为45C. 估计这批产品该项质量指标中位数为6
9、0D. 从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5【3题答案】【答案】C【解析】【分析】利用各组的频率之和为1，求得的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，从而判定D.【详解】，解得，故A正确；频率最大的一组为第二组，中间值为，所以众数为45，故B正确；质量指标大于等于60的有两组，频率之和为，所以60不是中位数，故C错误；由于质量指标在50,70)之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故D正确.故选:4. 已知，是两个不同的平面，m是一条直线，若，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不
10、充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【4题答案】【答案】C【解析】【分析】由线面、面面的位置关系判断条件间的推出关系，再结合充分、必要性的定义即可得答案.【详解】由，若则，同理也有.所以“”是“”的充要条件.故选：C5. 已知函数，则（ ）A. 为奇函数B. C. 在上单调递增D. 的图象关于点对称【5题答案】【答案】D【解析】【分析】由函数定义域即可判断A，求得再代入求判断B，由直接判断区间单调性和对称中心判断C、D.【详解】由解析式知：定义域为，显然不关于原点对称，不是奇函数，A错误；，则，B错误；由，在上递减且关于对称，故C错误，D正确.故选：D6. 已知曲线在处的切线为
11、l，若l与相切，则实数（ ）A. 2或B. 或3C. 2D. 3【6题答案】【答案】A【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即可得到方程，解得即可；【详解】解：因为，当时，又，所以，所以曲线在处的切线为，即，又，即，即圆心，半径，因为直线与相切，所以圆心到直线的距离，解得或；故选：A7. 函数的部分图象如图所示，则（ ）A. B. 1C. D. 【7题答案】【答案】B【解析】【分析】由图象可得、求出，五点法求，进而写出解析式，即可求.【详解】由图知：且，则，可得，又且，则，由，可得，所以，则.
12、故选：B8. 在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界我国古代天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（ ）A. 11.5尺B. 13.5尺C. 12.5尺D. 14.5尺【8题答案】【答案】B【解析】【分析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷
13、长为,根据题意，结合等差数列的性质，列出方程组求解即得.【详解】解：设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,则,解得,故选：B.9. 若抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于A，B两点，且，则（ ）A. B. C. 2D. 4【9题答案】【答案】A【解析】【分析】设点A和点B的坐标，根据抛物线的定义，用点A和点B的坐标表示出和，再根据题中的等式求解两点横纵坐标差，最后运用两点间距离公式求解.【详解】设 ，不妨设画简图如下：根据抛物线的定义，又, 根据题意，点是直线与抛物线交点所以即 所以，选项A正确.故选：A.10. 今4名医生分别到A、B、C三所医院
14、支援抗疫，每名医生只能去一所医院，且每个医院至少去一名医生，则甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为（ ）A. B. C. D. 【10题答案】【答案】C【解析】【分析】利用先分组后排列的方式求得所有的安排方法种数和符合“甲、乙两医生恰好到同一医院支援”的安排种数，根据每一种安排方法都是等可能的，得到所求概率.【详解】先从4名医生中任选2人，组成一个小组，有种不同的选法，将此小组连同另外的2人作为3个不同元素，在三所医院排序，有3!种排序方式，根据乘法计数原理，共有种不同的安排方式；其中甲、乙两名医生组成一个小组，与其余两人，看成三个不同元素，A、B、C三所医院作为位置，进行全排列，共有3!种
15、不同的安排方式，故甲、乙两医生恰好到同一医院支援的概率为,故选：C.11. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图均为等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【11题答案】【答案】D【解析】【分析】由三视图还原原几何体的直观图，可知几何体为正四棱锥，设该正四棱锥的外接球半径为，根据题意可得出关于的等式，解出的值，再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】由三视图还原原几何体的直观图如下图所示：由图可知，四棱锥为正四棱锥，设底面的中心为，且，因为正方形的边长为，则，所以，由正四棱锥的几何性质可知，正四棱锥的外接球球心在直线上，由勾股定理可得，设球的半径为，
16、则，解得.因此，正四棱锥的外接球的表面积为.故选：D.12. 在给出的；三个不等式中，正确的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【12题答案】【答案】C【解析】【分析】构造，利用导数研究单调性比较大小即可；构造，利用导数研究单调性比较大小即可；由，并与比较大小即可判断.【详解】令，则，所以，在上，即递减，而，所以，即，故，正确；令，则，又，在上，则递增，所以，在上，即，则递减，所以，正确；，而递增，故，错误.故选：C【点睛】关键点点睛：通过构造函数，应用导数研究单调性比较函数值大小确定各式的大小关系.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知双曲线（其中，）的
17、焦距为，其中一条渐近线的斜率为2，则_【13题答案】【答案】2【解析】【分析】根据渐近线斜率求得，根据焦距求得c的值，利用a,b,c的平方关系得到关于a的方程，求得a的值.【详解】双曲线的的渐进线方程为，一条渐近线斜率为2，即,又，,故答案为：214. 在等边ABC中，则_【14题答案】【答案】【解析】【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算求得，然后利用向量数量积的运算求得结论.【详解】由得，所以，,故答案为：15. 已知数列的前n项和为，若，则_【15题答案】【答案】93【解析】【分析】由已知可求出，当时，由，得，两式相减可得，从而可得数列从第2项起是以2为公比的等比数列，进而可求得结果【
18、详解】由，得，当时，由，得，所以，所以，因为，所以数列是以2为公比，3为首项的等比数列，所以，故答案为：9316. 在棱长为2正方体中，已知点P为棱的中点，点Q为棱CD上一动点，底面正方形ABCD内的点M始终在平面上，则由所有满足条件的点M构成的区域的面积为_【16题答案】【答案】【解析】【分析】首先确定两种临界位置，即与重合或与重合，分别确定此时满足条件的点所在的位置，再确定点不在、两点时，所在的位置，即可得到满足条件的平面区域，即可得解；【详解】解：因为在棱上运动，当与重合时，显然平面即为平面，又平面平面，所以点在上运动，当点运动到点时，取的中点，连接、，因为为的中点，所以，又由正方体的性
19、质可知，所以，所以、四点共面，所以平面平面，即在上运动，若点不在、两点时，则可在上取一点，使得，则，所以、四点共面，所以平面平面，即在上运动，所以点在四边形区域（包括边界）运动，又，故所有满足条件的点构成的区域的面积为故答案为：三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，且（1）求角B的大小；（2）若，求ABC的面积S【17题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角(的正弦)，进而利用同角
20、三角函数的关系得到，再根据，结合两角和的正切公式得到关于的方程，求得的值，同时注意根据已知条件判定角为锐角，得到角的值；（2）利用同角三角函数的关系，求得三个内角的正弦值，进而利用正弦定理求得三角形另外两边的长，利用三角形面积公式计算即得S【小问1详解】，,，即,又,解得或，又，角为钝角，角为锐角，；【小问2详解】由（1）知，及已知条件,，又，.19. 随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份201620172018201920202021年份代码x123456新能源乘用车年销售y（万辆）5078126
21、121137352（1）根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保留整数）（2）若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程为，经计算该模型和第（1）问中模型的（为相关指数）分别为0.87和0.71，请分别用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；（3）你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由参考数据：设，其中1444.788415.70380528参考公式：对于一组具有线性相关关系数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，【19题答案】【答案】（1） （2）答案见解析 （3）越大，模型的拟合效果越好，用模型得到的预测值更可靠【解析】【分析】（1
22、）按求线性回归方程的步骤求解即可（2）把代入两个模型求出相应的预测值即可（3）越大,反映残差平方和越小,模型的拟合效果越好【小问1详解】 关于的线性回归方程为 .【小问2详解】若利用线性回归模型,可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为（万辆）若利用模型,可得2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 （万辆）【小问3详解】,且越大,反映残差平方和越小,模型的拟合效果越好, 用模型得到的预测值更可靠.21. 在四棱锥中，底面ABCD为梯形，已知，PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形（1）证明：平面PBC；（2）Q为棱AB上一点，且三棱锥的体积为，求的大小【21题答案】【答案】（1
23、）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）连接，由平行线、等腰三角形的性质可得，结合已知易知为等边三角形，进而有，若为中点，连接，由勾股定理有，由平行四边形性质有，即有，最后根据线面垂直的判定证明结论.（2）由（1）结论，结合面面垂直的判定可得面面，再由面面垂直的性质易知是的体高，利用棱锥体积公式求得，根据已知条件即可求.【小问1详解】连接，由知：，又，则，所以，而，故，所以为等边三角形，即，在中，易知：，即，所以，若为中点，连接，则，又，即，所以，又且，则为平行四边形，故，所以，又，面PBC，则平面PBC；【小问2详解】由（1）知：平面PBC，又面，则面面，又，面，面面，则面，在是的体高
24、，且，可得，在中，则，故.23. 函数（1）若函数有2个零点，求实数a的取值范围；（2）若在上的值域为，求实数a的值【23题答案】【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用导数求出函数的单调性和最小值，由最小值小于即可解得结果；（2）根据得到，得到函数在上为减函数，进而求出最小值和最大值，结合已知的值域列式可求出的值.【小问1详解】的定义域为，当时，当时，所以在上为减函数，在上为增函数，所以当时，取得最小值，为，因为当趋近于时，趋近于，当趋近于正无穷时，也趋近于正无穷，所以若函数有2个零点，则，解得.【小问2详解】由（1）可知，函数在上为减函数，在上为增函数，且的最小值，为，若在上的值域
25、为，则，即，所以，所以函数在上为减函数，所以，解得符合题意；综上所述：【点睛】关键点点睛：第二问中，利用函数在上的最小值小于等于在上的最小值，求出的范围，这样避免分类讨论是解题关键.25. 已知椭圆（其中）的离心率为，直线与椭圆E交于、两点，且，当时，（1）求椭圆的方程；（2）在直线上是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【25题答案】【答案】（1） （2）存在，且或【解析】【分析】（1）设点在第一象限，由已知可得，可求得点的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程，求出、的值，即可得出椭圆的方程；（2）将直线的方程与椭圆的方程联立，由可得出实数的取值范围，列出韦达定理，分析可知，再由
26、，结合韦达定理可得出关于的方程，可求得的值，即可得出结论.【小问1详解】解：，所以，当时，此时、关于原点对称，直线的方程为，因为，则点在第一象限，则，解得，即点，将点的坐标代入椭圆方程可得，所以，因此，椭圆的方程为.【小问2详解】解：联立可得，由，可得，由韦达定理可得，在直线上是否存在点，使得，则是以为直角的等腰直角三角形，则，直线的斜率为，解得，联立可得，解得或.所以，存在点满足题意，此时或.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题做答如果多做，则按所做的第一题记分【选修44：坐标系与参数方程】27. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的方程为以坐标原
27、点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线E的极坐标方程为，（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；（2）若E与l交于点A，E与C交于点B，求的取值范围【27题答案】【答案】（1）；. （2）【解析】【分析】（1）消去参数得到直线l的普通方程，利用互化公式得到C的极坐标方程；（2）先求得直线l的极坐标方程，利用极坐标方程求得|OA|,|OB|关于角的函数表达式，得到，进而利用三角函数的性质求得取值范围.【小问1详解】直线l的参数方程为（t为参数），、即直线l的普通方程为；将极直互化公式代入曲线C的方程为，得到，等价于，这就是曲线C的极坐标方程；【小问2详解】直线l的极坐标方程为：，即， E：，与l交于点A，E与C交于点B，的取值范围是，的取值范围是，的取值范围是,的取值范围是.【选修45：不等式选讲】29. 已知函数（1）求关于x的不等式的解集；（2）求证：【29题答案】【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得，然后分，和三种情况求解即可，（2）令，利用导数可得在上为增函数，又由于，从而可的单调性可证得结论【小问1详解】由题意得，当时，解得，当时，解得，当时，解得，综上，不等式的解集为【小问2详解】证明：令，则，所以在上为增函数，因为，所以，所以
