1、2022年北京市高考临考押题数学试卷（二）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（）ABCD2若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（）ABCD3已知向量满足，.则（）ABCD4设，则（）ABCD5已知函数，且，则当时，的最大值为（）AB1CD26已知、，则“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，
2、另外3位志愿者参加“社区值守”若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者则这6位志愿者不同的分配方式共有（）A19种B20种C30种D60种8斐波拉契数列满足：，该数列与如图所示的美丽曲线有深刻联系，设，给出以下三个命题：（）；其中真命题的个数为（）A0B1C2D39已知是双曲线的一个焦点，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点若，则的面积为（）ABCD10正四面体的棱长为1，现将正四面体绕着旋转，则所经过的区域构成的几何体的体积为（）ABCD二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分11复数的虚部是_.12已知函数的值域为，的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与的图象重合，写出符合
3、上述条件的一个函数的解析式：_.13如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：D1OAC；存在一点P，D1OB1P；若D1OOP，则D1C1P面积的最大值为；若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.其中所有正确结论的序号是_.14已知是等比数列，且公比为，为其前项和，若是、的等差中项，则_，_.15魏晋南北朝(公元)时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越
4、西方约一千年，关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高度和距离(图1)，故题为海岛算经受此题启发，小清同学依照此法测量奥林匹克公园奥林匹克塔的高度和距离(示意图如图2所示)，录得以下是数据(单位：米)：前表却行，表高，后表却行，表间.则塔高_米，前表去塔远近_米.三、解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题14分）在中，.(1)求的大小；(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长.条件：，；条件：，；条件：，.17（本小题14分）为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训
5、结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.(1)从参加培训的学生中随机选取人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；(2)从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；(3)根据以往培训数据，规定当时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.18（本小题14分）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，.(1)求证：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.19（本小题15分）已知函数，.(1)当时，
6、求曲线在处的切线方程；求证：在上有唯一极大值点；(2)若没有零点，求的取值范围.20（本小题14分）已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为(1)求椭圆的方程；(2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.21（本小题14分）已知集合(且），且若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；(2)若是的3元完美子集，求的最小值；(3)若是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件2022年北京市高考临考押题数学试卷（二） 一、选择题
7、：本题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（）ABCD【答案】D【详解】因为，因此，.故选：D.2若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（）ABCD【答案】C【详解】圆的标准方程方程为，即点在圆内，圆心，由垂径定理可知，则，故直线的方程为，即.故选：C.3已知向量满足，.则（）ABCD【答案】B【详解】由向量，可得，因为且，则.故选：B.4设，则（）ABCD【答案】D【详解】由以及，可得.故选：D.5已知函数，且，则当时，的最大值为（）AB1CD2【答案】B【详解】因为，故可得，故在上单调递增；又的定义域关于原点对称，且，故为奇函数；则，
8、即，即，也即，故点在以为圆心，以为半径的圆上以及内部.又表示以与点构成直线的斜率，数形结合及可知当时，取最大值1.故选：B.6已知、，则“”是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【详解】若，由基本不等式可得，则，所以，“”“”；若，可取，但，所以，“”“”.因此，“”是“”的充分不必要条件，故选：A.7在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者则这6位志愿者不同的分配方式
9、共有（）A19种B20种C30种D60种【答案】A【详解】6位志愿者3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”的分配方式共有种，“社区值守”岗位全是女性的分配方式共1种，故“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有种.故选：A8斐波拉契数列满足：，该数列与如图所示的美丽曲线有深刻联系，设，给出以下三个命题：（）；其中真命题的个数为（）A0B1C2D3【答案】D【详解】由，则且，所以，故正确；由，故正确；由，则，又，所以，则，故正确.故选：D9已知是双曲线的一个焦点，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点若，则的面积为（）ABCD【答案】C【详解】不妨设为双曲线的左焦点，
10、点在渐近线上，因为，所以，即的面积.故选：C10正四面体的棱长为1，现将正四面体绕着旋转，则所经过的区域构成的几何体的体积为（）ABCD【答案】C【详解】解：根据题意，取棱中点，连接，因为正四面体的棱长为1，则，所以当正四面体绕着旋转时，形成的几何体为两个底面重合的圆锥，其底面圆的半径为，顶点为点，顶点到底面圆的距离均为，故所求几何体的体积为.故选：C二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分11复数的虚部是_.【答案】【详解】因为，所以复数的虚部是.故答案为：.12已知函数的值域为，的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与的图象重合，写出符合上述条件的一个函数的解析式：_.【答案】(答
11、案不唯一)【详解】由题设，易知的周期为1，又值域为，符合题设要求.故答案为：.13如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.给出下列四个结论：D1OAC；存在一点P，D1OB1P；若D1OOP，则D1C1P面积的最大值为；若P到直线D1C1的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【详解】对于，连接，由正方体的性质知三角形为等边三角形，由于为底面的中心，故为中点，故，正确；对于，将D1O进行平移到过B1点，使之与B1P具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能满足平行
12、或重合于B1P，所以D1O不可能平行于，错误；对于，取B1B的中点E，连 接，证明平面，所以在线段上运动，当点到点位置时，最大，此时面积最大为：.所以正确.对于，P到直线D1C1的距离为线段的长度，所以，判定出P点位置为直线的垂直平分线，故错误.故正确的序号是: .故答案为: .14已知是等比数列，且公比为，为其前项和，若是、的等差中项，则_，_.【答案】 【详解】由题意可得，则，解得.故答案为：；.15魏晋南北朝(公元)时期，中国数学在测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高水深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步，超越西方约一千年，关
13、于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高度和距离(图1)，故题为海岛算经受此题启发，小清同学依照此法测量奥林匹克公园奥林匹克塔的高度和距离(示意图如图2所示)，录得以下是数据(单位：米)：前表却行，表高，后表却行，表间.则塔高_米，前表去塔远近_米.【答案】 246 122【详解】解：依题意可得，所以，又，所以，解得，所以故答案为：；三、解答题：本大题共6小题，共85分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在中，.(1)求的大小；(2)再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上高线的长.条件：，；条件：，；条件：，.【解析】(1)解：在中，因为，
14、所以由正弦定理可得因为，所以.所以，在中，所以，因为，所以.(2)解：选条件：因为在中，所以.因为，所以.设边上高线的长为，则.选条件：由余弦定理可得，整理可得，解得或，此时不唯一；选条件：由余弦定理得，所以.所以为等腰三角形，.设边上高线的长为，则.17为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.(1)从参加培训的学生中随机选取人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；(2)从图中考核成绩满足的学生中任取人，
15、设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；(3)根据以往培训数据，规定当时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.【解析】(1)解：设该名学生的考核成绩优秀为事件，由茎叶图中的数据可知，名同学中，有名同学的考核成绩为优秀，故.(2)解：由可得，所以，考核成绩满足的学生中满足的人数为，故随机变量的可能取值有、，所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，.(3)解：由可得，由茎叶图可知，满足的成绩有个，所以，因此，可认为此次冰雪培训活动有效.18如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，.(1)求证：；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.【解析】(1)
16、证明：因为四边形为正方形，则，因为平面平面，平面平面，平面，平面，平面，所以，.(2)解：取的中点，连接，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，以点为坐标原点，、的方向分别为、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设，其中，则、，设平面的法向量为，则，取，则，由题意可得，解得，则.19已知函数，.(1)当时，求曲线在处的切线方程；求证：在上有唯一极大值点；(2)若没有零点，求的取值范围.【解析】(1)若，则，.在处，.所以曲线在处的切线方程为.令，在区间上，则在区间上是减函数.又，所以在上有唯一零点.列表得：+-极大值所以在上有唯一极大值点.(2)，令，则.若，则，在上是增
17、函数.因为，所以恰有一个零点.令，得.代入，得，解得.所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.若，此时的定义域为.当时，在区间上是减函数；当时，在区间上是增函数.所以.又，由题意，当，即时，无零点，符合题意.综上，的取值范围是.20已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为(1)求椭圆的方程；(2)设直线 与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【解析】(1)解：设椭圆的标准方程为，根据题意，可得且，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.(2)解：根据题意，可设直线的方程为，取，可得，可得直线的方程为
18、，直线的方程为，联立方程组，可得交点为；若，由对称性可知交点，若点在同一直线上，则直线只能为；以下证明：对任意的，直线与直线的交点均在直线上，由，整理得，设，则，设与交于点，由，可得，设与交于点，由，可得，因为 ，因为，即与重合，所以当变化时，点均在直线上，.21已知集合(且），且若对任意（），当时，存在()，使得，则称是的元完美子集(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；(2)若是的3元完美子集，求的最小值；(3)若是（且）的元完美子集，求证：，并指出等号成立的条件【解析】(1)解：（1）因为，又，所以不是的3元完美子集因为，且，而，所以是的3元完美子集(2)解：不妨设若，则，与3元完美子集矛盾；若，则，而，符合题意，此时若，则，于是，所以综上，的最小值是12(3)证明：不妨设对任意，都有，否则，存在某个，使得由，得所以是中个不同的元素，且均属于集合，该集合恰有个不同的元素，显然矛盾所以对任意，都有于是即等号成立的条件是且
