1、 云南省曲靖市罗平县云南省曲靖市罗平县 2021-2022 学年中考数学一模试卷学年中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36 分） 1. 2022年春季开学后，罗平县遇到天气突然降温，2月22日的最高气温是3，最低气温是2，那么这天的温差是( ) A. 5 B. 5 C. 1 D. 1 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若1 = 55，则2的度数为( ) A. 35 B. 45 C. 55 D. 25 4. 若一个多边形的每个外角都是60，则这个多边形的内角和是( )
2、A. 540 B. 720 C. 900 D. 1080 5. 下列计算正确的是( ) A. 9 = 3 B. 53 32= 2 C. ( + )2= 2+ + 2 D. ()3= 33 6. 如图，点、分别是 边、的中点， 的面积等于8，则 的面积为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. .5 7. 九章算术是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是( ) A. 8 = 3
3、7 = 4 B. 8 = 37 = 4 C. 8 = 37 = 4 D. 8 = 3 7 = 4 8. 如图， 中， = 90， = 5， = 4， 于，则tan的值为( ) A. 45 B. 54 C. 43 D. 34 9. 下列说法正确的是( ) A. 为了加强“五项管理”，要了解某市中学生的睡眠时间，采用全面调查 B. 打开电视机，它正在播广告是必然事件 第 2 页，共 19 页 C. 一组数据“5，4，6，2，7，4，3”的众数是4，中位数是2 D. 甲、乙两名同学5次数学测试的平均分都是92分，方差分别为甲2= 0.8，乙2= 1.2，由此可以判断甲的数学成绩比乙的稳定 10. 已
4、知关于的一元二次方程(1 )2+ 2 2 = 0有两个不相等的实数根，则的取值范围是( ) A. 12 C. 12且 1 11. 有一列按一定规律排列的式子：3，9，27，81，243，则第个式子是( ) A. (3) B. (3):1 C. 3 D. 3 12. 如图所示，二次函数 = 2+ + 的图象经过点(3,0)，其对称轴为直线 = 1，有下列结论： 0； + + 0；当 0其中正确结论的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分） 13. 计算：(1)2+ 260 + 2;2 ( 2022)0的值是_ 14. 若点(,)在反比例
5、函数 =4的图象上，则代数式的值为_ 15. 分解因式：32 27 =_ 16. 若实数，满足| 2| + 4 = 0，则=_ 17. 如图，在平面直角坐标系中，(3,0)，(0,4)，连接，在平面直角坐标系中找一点，使 与 全等，则点的坐标为_ 18. 如图，在正方形中，连接对角线和相交于点，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，当 = 2时，则图中的阴影部分的面积为_(结果保留) 三、解答题（本大题共 6 小题，共 66 分） 19. 2021年4月25日，教育部办公厅印发了关于加强义务教育学校作业管理的通知(以下简称通知).通知强调要严格控制书面作业总量，要求小学一二
6、年级不布置书面家庭作业，小学其他年级每 天书面作业完成时间平均不超过60分钟；初中不超过9分钟同时，通知明确提出不得要求学生自批自改， 严禁给家长布置或变相布置作业， 严禁要求家长批改作业， 让作业回归到学校育人环节中来 有条件的地方，鼓励科学利用信息技术手段进行作业分析诊断某校对八年级学生每天完成数学作业时间调查如下， 按照完成时间分为： “15分钟”、 “20分钟”、 “25分钟”、 “30分钟”、 “35分钟”.为了了解学生对课外数学作业的完成情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图 根据以上信息，回答下列问题： (1)统计图中的 =_， =_； (2)该
7、校八年级共有600名学生，请你估计该校八年级学生能在20分钟内完成数学作业的学生人数 (3)为了学生各学科之间均衡发展，你认为该校八年级布置的数学课外作业是否合理？若合理，请你说明理由若不合理，请你设计出合理化的布置方案 20. 到2023年云南省率先实现体育中考改革，把体育与语、数、英并列，按100分计入升学总分，每学期进行一次体育测试，现有四张分别标有数字和球类的卡片，1足球、2篮球、3排球、4乓球，将4张卡片洗匀后背面朝上 (1)若小宇从中任意抽取1张，抽到篮球测试的概率是_； (2)若小宇先从中任意抽取1张(不放回)， 再从余下的3张中任意抽取1张， 求两次抽到篮球和排球测试的概率_.
8、(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程) 第 4 页，共 19 页 21. 如图，已知 中，是的中点，过点作 交于点，过点作/交于点，连接、 (1)求证：四边形是菱形； (2)若 = 2， = 30， = 45，求的长 22. 罗平县小黄姜生产销售扶贫公司，2021年生产并销售小黄姜情况如图该公司销售量与生产量相等，图中的折线、线段分别表示该产品每千克生产成本1(单位：万元)、销售价2(单位：万元)与产量(单位：吨)之间的函数关系 (1)求该产品每千克生产成本1与之间的函数关系式； (2)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，已知是 的直径，是 的切线，
9、切点为点弦/，直线、相交于点 (1)求证：直线是 的切线； (2)若： = 1：2，求sin的值 24. 如图， 已知抛物线 = 2+ + 与轴相交于点(1,0)， (3,0)， 与轴的交点(0,6) (1)求抛物线的解析式； (2)点(,)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 的面积为，求关于的函数表达式(指出自变量的取值范围)和的最大值； (3)点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得 = 90，且 与 相似，如果存在，请求出点和点的坐标 第 6 页，共 19 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：3 (2) = 3 + 2 = 5()， 故选： 用最高气温
10、减去最低气温并求解 此题考查了用有理数的减法解决实际问题的能力，关键是能根据题意准确列式并计算 2.【答案】 【解析】解：.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选： 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概
11、念，正确掌握相关定义是解题关键 3.【答案】 【解析】解：如图， /， 1 = 3 = 55， 2 = 180 90 55 = 35， 故选： 利用平行线的性质可得3的度数，再利用平角定义可得答案 此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等 4.【答案】 【解析】解：一个多边形的每个外角都是60， = 360 60 = 6， 则内角和为：(6 2) 180 = 720， 故选： 根据正多边形的性质，边数等于360除以每一个外角的度数，然后利用多边形的内角和公式计算内角和即可 本题主要考查了利用外角求正多边形的边数的方法以及多边形的内角和公式，解题的关键是掌握任意多边形的外角和
12、都等于360 5.【答案】 【解析】解：、9 = 3，原计算错误，故此选项不符合题意； B、53与32不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； C、( + )2= 2+ 2 + 2，原计算错误，故此选项不符合题意； D、()3= 33，原计算正确，故此选项符合题意 故选： 根据算术平方根的定义、合并同类项法则、完全平方公式和积的乘方的运算法则计算得出答案 此题主要考查了算术平方根、合并同类项以及完全平方公式和积的乘方运算，正确掌握运算法则和公式是解题的关键 6.【答案】 【解析】解：点、分别是 边、的中点， 是 的中位线， /， =12， = ， = ， ， = ()2= (12
13、)2=14， =14， 的面积等于8， 的面积=14 8 = 2， 故选： 第 8 页，共 19 页 由点、分别是 边、的中点，可得是 的中位线，得出/， =12，进而得出 ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方， 结合 的面积等于8， 即可得出答案 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键 7.【答案】 【解析】解：设合伙人数为人，物价为钱，根据题意可得： 8 = 3 7 = 4， 故选： 直接利用每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，分别得出等式求出答案 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键 8.【答
14、案】 【解析】 【分析】 求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值先求得 = ，然后根据锐角三角函数的概念求解即可 本题考查了解直角三角形，了解同角三角函数值相等是本题解题的关键 【解答】 解： = 90， = 5， = 4， = 3， 在 与 中， + = 90， + = 90 = tan = =34， 故选 D 9.【答案】 【解析】 解： 、 为了加强“五项管理”， 要了解某市中学生的睡眠时间， 采用抽样调查， 故 A 不符合题意； B、打开电视机，它正在播广告是随机事件，故 B 不符合题意； C、一组数据“5，4，6，2，7，4，3”的众数是4，中位数是4，故 C不符
15、合题意； D、甲、乙两名同学5次数学测试的平均分都是92分，方差分别为甲2= 0.8，乙2= 1.2，由此可以判断甲的数学成绩比乙的稳定，故 D符合题意； 故选： 根据随机事件，全面调查与抽样调查，中位数，众数，方差的意义，逐一判断即可 本题考查了随机事件，全面调查与抽样调查，中位数，众数，方差，熟练掌握这些数学概念是解题的关键 10.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程(1 )2+ 2 2 = 0有两个不相等的实数根， 22 4(1 ) (2) 0且1 0， 整理得：4 + 8 8 0且 1 解得： 0， 对称轴在轴左侧， 0， 抛物线与轴交点在轴下方， 0， 0， 4 2 0，错误，不
16、符合题意 由图象可知，当 0，正确，符合题意 故选： 根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点判断.由图象与轴交点(1,0)判断.根据对称轴为直线 = 1判断.根据抛物线与轴交点个数判断.根据图象即可判断 本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系 13.【答案】54 【解析】解：原式= 1 + 2 12+14 1 = 1 + 1 +14 1 =54 故答案为：54 先算乘方，再把60的余弦值代入算乘法，最后算加减 本题考查了实数的混合运算， 掌握负整数指数、 零指数幂的意义及特殊角的三角函数值是解决本题的关键 14.【答案】4 【解
17、析】解：点(,)在反比例函数 =4的图象上， = 4， 故答案为：4 把点的坐标代入函数解析式，即可求出答案 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能根据题意得出 =4是解此题的关键 15.【答案】3( + 3)( 3) 【解析】解：32 27， = 3(2 9)， = 3( + 3)( 3) 故答案为：3( + 3)( 3) 观察原式32 27，找到公因式3，提出公因式后发现2 9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解 本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式 16.【答案】16 【解析】解：因为| 2| + 4 = 0，而|
18、 2| 0， 4 0， 所以 2 = 0， 4 = 0， 解得 = 2， = 4， 所以= 42= 16 故答案为：16 利用绝对值和算术平方根的非负数的性质求出，即可解决问题 本题考查了非负数的性质关键是根据非负数的性质求、的值 17.【答案】(0,4)或(3,4)或(3,4) 【解析】解： (3,0)，(0,4)， = 5，且 ， 当 与 全等时，则有 或 ， 当 时，则有 = = 5， 点坐标为(3,4)或(3,4)； 当 时，则有 = = 5， 点坐标为(0,4)； 综上可知点的坐标为(0,4)或(3,4)或(3,4)， 故答案为：(0,4)或(3,4)或(3,4) 由题意可知为两三角
19、形的公共边，由条件可知 或 ，再由全等三角形的性质可求得 = 或 = ，可求得点坐标 第 12 页，共 19 页 本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意分类讨论 18.【答案】4 【解析】解： 四边形是正方形， = 2， = = = = 2， = = = 90， 由勾股定理得： = 2+ 2= 22+ 22= 22， 即 = = 2， 所以阴影部分的面积 = 正方形 扇形 扇形 = 2 2 90(2)236090(2)2360 = 4 12 12 = 4 ， 故答案为：4 根据正方形的性质得出 = = = = 2， = = = 90，根据勾股定理求出，求出和
20、，再分别求出正方形和扇形、扇形的面积即可 本题考查了正方形的性质，扇形的面积计算，勾股定理等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键 19.【答案】12 36 【解析】解：(1)18 15% = 120(人)， = 120 10% = 12(人)， = 120 30% = 36(人)， 故答案为：12，36； (2)600 (10% + 15%) = 150(人)， 该校八年级学生能在20分钟内完成数学作业的学生人数为150人； (3)该校八年级布置的数学课外作业不合理，因为八年级的学科较多，初中每天的课外作业时间不超过90分钟，建议该学校八年级的数学作业布置要减少题
21、量或降低难度，让一半以上的同学能在20分钟内完成(答案不唯一，理由合理即可) (1)根据题中数据先求出样本的容量，然后求出和的值即可； (2)根据类和类学生占的比例求值即可； (3)答案不唯一理由合理即可 本题主要考查条形统计图的知识，熟练根据条形统计图和扇形统计图获取信息是解题的关键 20.【答案】14 16 【解析】解：(1)小宇从中任意抽取1张，抽到篮球测试的概率是14； 故答案为：14； (2)画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次抽到篮球和排球测试的结果数为2， 所以两次抽到篮球和排球测试的概率为212=16， 故答案为：16 (1)直接根据概率公式求解即可； (2)画树状
22、图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 21.【答案】解：(1)证明：如图， 在 中，点是的中点， = ， /， = ， = ， ()， = ， 四边形是平行四边形， 又 ，点是的中点，即垂直平分， = ， 平行四边形是菱形 第 14 页，共 19 页 (2)如图，过点作 于点， 由(1)知四边形是菱形，又 = 2， = 30， /， = = 2， = 2 = 60， = = 60， ， = = 90，
23、 = 30， =12 = 1， = 3 = 3， = 45， = = 45， = = 3， = 2 = 6 【解析】(1)由题意可得 ()，则 = ，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形是平行四边形；又垂直平分，根据垂直平分线的性质可得 = ，根据“有一组临边相等的平行四边形是菱形”可得结论； (2)过点作 于点，根据题意可得 = 60， = 2，则 = = 3， = 2 = 6 本题主要考查菱形的性质与判定， 含30角的直角三角形的三边关系， 等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据45，30等特殊角作出正确的垂线是解题关键 22.【答案】解：(1)设线段所表示的1与之间的
24、函数关系式为1= 1 + 1， 1= 1 + 1的图象过点(0,60)与(90,42)， 1= 60901+ 1= 42， 解得：1= 0.21= 60 线段所表示的一次函数的表达式为；1= 0.2 + 60(0 90)； 当90 130时，线段的解析式为：1= 42(90 130) 每千克生产成本1与之间的函数关系式为：1= 0.2 + 60(0 90)42(90 130) (2)设2与之间的函数关系式为2= 2 + 2， 经过点(0,120)与(130,42)， 2= 1201302+ 2= 42， 解得：2= 0.62= 120， 线段所表示的一次函数的表达式为2= 0.6 + 120(
25、0 130)； 设产量为时，获得的利润为元， 当0 90时， = (0.6 + 120) (0.2 + 60) = 0.4( 75)2+ 2250， 当 = 75时，的值最大，最大值为2250； 当90 130时， = (0.6 + 120) 42 = 0.6( 65)2+ 2535， 当 = 90时， = 0.6(90 65)2+ 2535 = 2160， 由0.6 65时，随的增大而减小， 90 130时， 2160， 因此当该产品产量为75时，获得的利润最大，最大值为2250 【解析】(1)先根据线段经过的两点的坐标利用待定系数法确定的表达式；再根据线段是一条平行于轴的线段，得到的解析式
26、，最后写出每千克生产成本1与之间的函数关系式； (3)利用：总利润=每千克利润产量，根据的取值范围列出有关的二次函数，求得最值比较可得 本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型 23.【答案】(1)证明：连接，如图， 是 的切线， ， = = 90， /， = ， = ， = ， = ， = ， 在 和 中， = = = ， ()， = = 90， ， 第 16 页，共 19 页 而为 的半径， 直线是 的切线； (2)解： /， =12， 设 = ，则 = 2， 在 中， = 2 2= (3)2 2= 22， = 2， 在 中， = 2+
27、2=2+ (2)2= 3， sin =3=33， ， = ， sin =33 【解析】(1)连接，如图，利用切线的性质得到 = = 90，再证明 得到 = = 90，然后根据切线的判定方法得到结论； (2)利用平行线分线段成比例定理得到=12， 则设 = ， = 2， 利用勾股定理计算出 = 22，所以 = 2， 于是可计算出 = 3， 接着根据正弦的定义得到sin =33， 然后根据 得到 = ，从而得到sin的值 本题考查了相似三角形的判定与性质：灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解决问题的关键也考查了切线的判定与性质和解直角三角形 24.【答案】解：(1) 抛物线 = 2+ + 与
28、轴的交点坐标为(0,6) 抛物线为 = 2+ + 6 将(1,0)、(3,0)(0,6).代入 = 2+ + 6，得 + 6 = 09 + 3 + 6 = 0， 解得 = 2 = 4， 抛物线的解析式为 = 22+ 4 + 6； (2)过点作/轴，交于点，如图1所示 当 = 0时， = 22+ 4 + 6 = 6， 点的坐标为(0,6) 设直线的解析式为 = + ， 将(3,0)、(0,6)代入 = + ，得3 + = 0 = 6， 解得 = 2 = 6， 直线的解析式为 = 2 + 6 点(,)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， 点的坐标为(,22+ 4 + 6)，则点的坐标为(,2
29、 + 6)， = 22+ 4 + 6 (2 + 6) = 22+ 6， =12 = 32+ 9 = 3( 32)2+274， 当 =32时， 面积取最大值，最大值为274 点(,)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， 0 3 综上所述，关于的函数表达式为= 32+ 9(0 3)，的最大值274； (3)存在点、点使得 = 90，且 与 相似 如图2， = 90，当点位于点上方，过点作 轴于点， 第 18 页，共 19 页 = = 90， = ， ， 若 与 相似，则 与 相似， 设(,22+ 4 + 6)，(0,6)， = 22+ 4， = ， 当=36=12时， ， ;22:4=12，
30、 解得， = 1， (1,8)， 此时 =12 =12， (0,172)， 当=12时， ， ;22:4=12， 解得 =74， (74,558)， 此时(0,838). 如图3，当点位于点的下方， 过点作 轴于点， 设(,22+ 4 + 6)，(0,6)， = 22 4， = ， 同理可得：22;4=12或22;4= 2， 与 相似， 解得 =94或 = 3， (94,398)或(3,0)， 此时点坐标为(0,38)或(0,32). 综合以上得，存在(1,8)，(0,172)或(74,558)，(0,838)或(94,398)，(0,38)或(3,0)，(0,32)，使得 = 90，且 与
31、相似 【解析】(1)根据点、的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； (2)过点作/轴，交于点，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点的坐标，根据点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，设点的坐标为(,22+ 4 + 6)，则点的坐标为(,2 + 6)，进而可得出的长度，利用三角形的面积公式可得出 = 32+ 9，配方后利用二次函数的性质即可求出 面积的最大值； (3)分两种不同情况，当点位于点上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点，点的坐标即可 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用方程思想及分类讨论思想是解题的关键
