1、2020-2021 学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 （4 分）在等差数列an中，若 a12，a24，则 a4（ ） A6 B8 C16 D32 2 （4 分）下列求导运算中错误的是（ ） A （3x）3xln3 B （） C （x+）1+ D （sinxcosx）cos2x 3 （4 分）已知 m，n，p，q 为正整数，在等差数列an中， “m+np+q”是“am
2、+anap+aq”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （4 分）已知 x2 是函数 f（x）x33ax+2 的极小值点，那么函数 f（x）的极大值为（ ） A2 B6 C17 D18 5 （4 分）如果等比数列an的前 n 项和 Sn2n+1+a，则常数 a（ ） A1 B1 C2 D2 6 （4 分）用数学归纳法证明时，由 nk 到 nk+1 时，不等式左边应添加的项是（ ） A B C D 7 （4 分）已知函数 f（x），则函数 yf（x）的图象大致是（ ） A B C D 8 （4 分）数列an，bn用图象表示如下，记数列anb
3、n的前 n 项和为 Sn，则（ ） AS1S4，S10S11 BS4S5，S10S13 CS1S4，S10S11 DS4S5，S10S13 9 （4 分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为 27 且用料最省，则水桶底面圆的半径为（ ） A1 B3 C5 D7 10 （4 分）已知xn是递增数列，且 xn0，则关于数列xn，对任意的正整数 p，q，下列结论不可能成立的（ ） Axpqpxq+qxp Bxp+qpxq+qxp Cxpqxp+xq1 Dxp+q2xpxq 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 11 （4 分）已知 f（x）l
4、n（3x1） ，则 f（1） 12 （4 分）已知 3 个等差数列an，bn，cn，其中数列cn的前 n 项和记为 Sn，已知 anbnSn，写出一组符合条件的an与bn的通项公式 13 （4 分）已知数列an的前 n 项和 Sn，且满足 an+Sn1，则+ 14 （4 分）若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件： （i）直线 l 在点 P（x0，y0）处与曲线 C 相切； （ii）曲线C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号） 直线 l：y0 在点 P（0，0）处“切过”曲线 C：yx3 直线 l：yx1
5、在点 P（1，0）处“切过”曲线 C：ylnx 直线 l：yx+ 在点 P（，0）处“切过”曲线 C：ysinx 直线 l：yx+1 在点 P（0，1）处“切过”曲线 C：yex 15 （4 分）已知数列an满足，k2，kN*，an表示不超过 an的最大整数（如1.61） ，记 bnan，数列bn的前 n 项和为 Tn 若数列an是公差为 1 的等差数列，则 T4 ； 若数列an是公比为 k+1 的等比数列，则 Tn 四、解答题（每道题四、解答题（每道题 10 分，共分，共 40 分）分） 16 （10 分）已知an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，已知 a55，S515 （1）求数列an的
6、通项公式； （2）设 anlog2bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 17 （10 分）问题提出：新型冠状病毒是一种人传人，不易被人们直觉发现，危及人们生命的严重病毒我们把与新型冠状病毒患者有过密切接触的人群称为密切关联者已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为 p（0p1） 一旦被确诊为阳性后即将其隔离某位患者在隔离之前，每天有 k位密切关联者与之接触，其中被感染的人数为 X（0Xk） 该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14 天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间 设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与 k 位密切关联者接触并继续传染其他人小明想通过数学建
7、模分析从某一名患者携带新型冠状病毒的第 1 天开始算起，第 n 天新增患者数 En（n2） ，同时他想研究戴口罩是否能够切实减少病毒传染 一、模型假设：1潜伏期病毒未被发现，持续传播 2每位患者每天接触的人数均为 k 3假设每位患者每天接触的密切关联者被感染人数为定值 Xkp 二、模型求解： 根据题意，最初患者自己被感染，即第 1 天人数为 1， 第 2 天被感染人数增至为：1+1kp1+kp； 第 3 天被感染人数增至为 于是可以得出，第 n 天新增加人数 En ， 小明根据自己的生活经验取 k10，p E8的值为 ； 经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率 p满足关系式 pln（1+
8、p），当 p取得最大值时，计算 p所对应的 E6和 p所对应的 E6值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性 （参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6，0.3，0.7，6646656计算结果保留整数） 三、模型检验与评价：通过与新闻中的数据对比，小明计算出的被感染人数远高于实际的感染人数，你认为原因是什么？ 18 （10 分）已知函数 f（x）ln（1+x）mx （）当 m1 时，求函数 f（x）的单调递减区间； （）求函数 f（x）的极值； （）若函数 f（x）在区间0，e21上恰有两个零点，求 m 的取值范围 19 （10 分）设 n 为给定的大于 2 的正整数，集合 S1，2
9、，n，已知数列 An：x1，x2，xn满足条件： 当 1in 时，xiS； 当 1ijn 时，xixj 如果对于 1ijn，有 xixj，则称（xi，xj）为数列 An的一个逆序对记数列 An的所有逆序对的个数为 T（An） （1）若 T（A4）1，写出所有可能的数列 A4； （2）若 T（An）2，求数列 An的个数； （3）对于满足条件的一切数列 An，求所有 T（An）的算术平均值 一、选择题（共三道小题，每题一、选择题（共三道小题，每题 6 分，分，18 分）分） 20 （6 分）若函数 f（x）的导函数的图象关于 y 轴对称，则 f（x）的解析式可能为（ ） Af（x）3cosx B
10、f（x）x3+x2+1 Cf（x）sin2x Df（x）ex+x 21 （6 分）若 exalnx+a 对一切正实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A B （，1 C （，2 D （，e 22 （6 分）将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为 f（x）acosh，其中 a 为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为 coshx，相应地双曲正弦函数的函数表达式为 sinhx若直线 xm 与双曲余弦函数 C1和双曲正弦函数 C2分别相交于点 A，B，曲线 C1在点 A 处的切线与
11、曲线 C2在点 B 处的切线相交于点 P，则（ ） Aysinhxcoshx 是偶函数 Bcosh（x+y）coshxcoshysinhxsinhy C|BP|随 m 的增大而减小 DPAB 的面积随 m 的增大而减小 二、填空题（共三道小题，每题二、填空题（共三道小题，每题 6 分，分，18 分）分） 23 （6 分）某堆雪在融化过程中，其体积 V（单位：m3）与融化时间 t（单位：h）近似满足函数关系：V（t）H（10t）3（H 为常数） ，其图象如图所示记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为（m3/h） 那么 t1，t2，t3，t4中，瞬时融化速度等于 （m3/h）的时刻是图中的 24
12、 （6 分）法国数学家拉格朗日于 1778 年在其著作解析函数论中提出一个定理：如果函数 yf（x）满足如下条件： （1）在闭区间a，b上是连续不断的； （2）在区间（a，b）上都有导数 则在区间（a，b）上至少存在一个数 ，使得 f（b）f（a）f （） （ba） ，其中 称为拉格朗日中值则g（x）ex在区间0，1上的拉格朗日中值 25 （6 分）如图，已知抛物线 y2x 及两点 A1（0，y1）和 A2（0，y2） ，其中 y1y20过 A1，A2分别作y 轴的垂线， 交抛物线于 B1， B2两点， 直线 B1B2与 y 轴交于点 A3（0， y3） ， 此时就称 A1， A2确定了 A3
13、 依此类推，可由 A2，A3确定 A4，记 An（0，yn） ，n1，2，3， 给出下列三个结论： 数列yn是递减数列； 对nN*，yn0； 若 y14，y23，则 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题（共三、解答题（共 14 分）分） 26 （14 分）已知函数 f（x）lnx+ax2（a+1）x， （aR） （1）当 a1 时，判断函数 yf（x）的单调性； （2）若关于 x 的方程 f（x）ax2有两个不同实根 x1，x2，求实数 a 的取值范围，并证明 x1x2e2 2020-2021 学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷学年北京市海淀区高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参
14、考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 （4 分）在等差数列an中，若 a12，a24，则 a4（ ） A6 B8 C16 D32 【解答】解：在等差数列an中，a12，a24， da2a1422， a4a1+3d2+68 故选：B 2 （4 分）下列求导运算中错误的是（ ） A （3x）3xln3 B （） C （x+）1+ D （sinxcosx）cos2x 【解答】解：， 故选：C 3 （4 分）已知 m，n，p，q 为正整
15、数，在等差数列an中， “m+np+q”是“am+anap+aq”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：根据题意，在等差数列an中，若公差 d0，有 m+np+q，但 am+anap+aq， 则“m+np+q”不是“am+anap+aq”的充分条件， 反之，在等差数列an中，若公差 d1，有 a1+a72a4，a2+a42a3， 有 a1+a7a2+a4，但 1+72+4， 则“m+np+q”不是“am+anap+aq”的必要条件， 故“m+np+q”不是“am+anap+aq”的既不充分也不必要条件， 故选：D 4 （4 分）已
16、知 x2 是函数 f（x）x33ax+2 的极小值点，那么函数 f（x）的极大值为（ ） A2 B6 C17 D18 【解答】解：函数 f（x）x33ax+2 的导数 f（x）3x23a， 由题意得，f（2）0，即 123a0，a4 f（x）x312x+2，f（x）3x2123（x2） （x+2） ， f（x）0，得 x2 或 x2；f（x）0，得2x2， 故 x2 取极小值，x2 取极大值，且为8+24+218 故选：D 5 （4 分）如果等比数列an的前 n 项和 Sn2n+1+a，则常数 a（ ） A1 B1 C2 D2 【解答】解：等比数列an的前 n 项和 Sn2n+1+a， ， a
17、2S2S123+a22a4， 8， a1，a2，a3成等比数列， 42（4+a）8， 解得常数 a2 故选：C 6 （4 分）用数学归纳法证明时，由 nk 到 nk+1 时，不等式左边应添加的项是（ ） A B C D 【解答】解：当 nk 时，左边的代数式为， 当 nk+1 时，左边的代数式为 ， 故用 nk+1 时左边的代数式减去 nk 时左边的代数式的结果为： 故选：D 7 （4 分）已知函数 f（x），则函数 yf（x）的图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：根据题意，函数 f（x）， 在区间（0，1）上，f（x）xlnx，x0 而 lnx0，有 f（x）0，排除 C， 在区间
18、（1，+）上，f（x）xlnx，x0 而 lnx0，有 f（x）0，排除 BD， 故选：A 8 （4 分）数列an，bn用图象表示如下，记数列anbn的前 n 项和为 Sn，则（ ） AS1S4，S10S11 BS4S5，S10S13 CS1S4，S10S11 DS4S5，S10S13 【解答】解：由数列an，bn图象可知，当 n4 时，an0，当 n5 时，an0； 当 n10 时，bn0，当 n11 时，bn0， 当 n4 时，anbn0，S1S4，排除 A 选项； a5b50，S4S5，排除 D 选项； a11b110，S10S11，排除 C 选项； 11n13 时，anbn0，S10S
19、13，B 选项正确 故选：B 9 （4 分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为 27 且用料最省，则水桶底面圆的半径为（ ） A1 B3 C5 D7 【解答】解：设圆柱的高为 h，半径为 r，则由圆柱的体积公式可得，r2h27， h， S全面积r2+2rhr2+2rr2+r2+27， 当且仅当 r2即 r3 时取等号， 当半径为 3 时，S 最小即用料最省， 故选：B 10 （4 分）已知xn是递增数列，且 xn0，则关于数列xn，对任意的正整数 p，q，下列结论不可能成立的（ ） Axpqpxq+qxp Bxp+qpxq+qxp Cxpqxp+xq1 Dxp+q2xpxq 【解答】解：A
20、xpqpxq+qxp，取 xnnlnn，则数列xn满足条件，选项 A 可能成立； Bxp+qpxq+qxp，令 pq1，则 x22x1；令 p2，q1，则 x32x1+x24x1；令 pq2，则 x44x28x1；令 p3，q1，则 x43x1+x37x1，8x17x1，即 x10，xn0，与xn是递增数列矛盾，选项 B 不可能成立； Cxpqxp+xq1，xpq1（xp1）+（xq1） ，取 xnlnn+1，则数列xn满足条件，选项 C 可能成立； Dxp+q2xpxq，2xp+q（2xp） （2xq） ，取，则数列xn满足条件，选项 D 可能成立 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 5
21、 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 11 （4 分）已知 f（x）ln（3x1） ，则 f（1） 【解答】解：f（x）ln（3x1） ， f（x）， 则 f（1）， 故答案为： 12 （4 分）已知 3 个等差数列an，bn，cn，其中数列cn的前 n 项和记为 Sn，已知 anbnSn，写出一组符合条件的an与bn的通项公式 ann，bn（答案不唯一） 【解答】解：取 ann，bn，cnn， 则 anbn，Sn1+2+ +n 故答案为：ann，bn（答案不唯一） 13 （4 分）已知数列an的前 n 项和 Sn，且满足 an+Sn1，则+ 1013 【解答】解：由题
22、意，当 n1 时，a1+S12a11，解得 a1， 当 n2 时，由 an+Sn1， 可得 an1+Sn11， 两式相减，可得 anan1+an0， 整理，得 anan1， 数列an是以为首项，为公比的等比数列， an （）n1（）n，nN*， Sn1（）n 2n1， + （211）+（221）+（231）+ +（291） （21+22+23+ +29）9 9 1013 故答案为：1013 14 （4 分）若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件： （i）直线 l 在点 P（x0，y0）处与曲线 C 相切； （ii）曲线C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，则称直线 l 在点 P 处“切过”
23、曲线 C下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号） 直线 l：y0 在点 P（0，0）处“切过”曲线 C：yx3 直线 l：yx1 在点 P（1，0）处“切过”曲线 C：ylnx 直线 l：yx+ 在点 P（，0）处“切过”曲线 C：ysinx 直线 l：yx+1 在点 P（0，1）处“切过”曲线 C：yex 【解答】解：，由 yx3，得 y3x2，则 y|x00，直线 y0 是过点 P（0，0）的曲线 C 的切线， 又当 x0 时 y0，当 x0 时 y0，满足曲线 C 在 P（0，0）附近位于直线 y0 两侧，故命题正确； 由 ylnx，得 y，则 y|x11，曲线在 P（1，0）处的切
24、线为 yx1， 由 g（x）x1lnx，得 g（x）1，当 x（0，1）时，g（x）0，当 x（1，+）时， g（x）0则 g（x）在（0，+）上有极小值也是最小值，为 g（1）0 即 yx1 恒在 ylnx 的上方，不满足曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧，故命题错误， 由 ysinx，得 ycosx，则 y|x1，直线 yx+ 是过点 P（0，0）的曲线的切线， 又 x（，0）时 xsinx，x（0，）时 xsinx，满足曲线 C 在 P（0，0）附近位于直线 yx+ 两侧，故命题正确； 函数 yex的导数 f（x）yex，则 f（0）1，则切线方程为 yx+1， 设 g（x）e
25、x（x+1） ，则 g（x）ex1，当 x0，g（x）0，函数 g（x）递增， 当 x0 时，g（x）0，函数 g（x）递减， 则当 x0 时，函数取得极小值同时也是最小值 g（0）110， 则 g（x）g（0）0，即 exx+1，则曲线不在切线的两侧，故错误 故答案为： 15 （4 分）已知数列an满足，k2，kN*，an表示不超过 an的最大整数（如1.61） ，记 bnan，数列bn的前 n 项和为 Tn 若数列an是公差为 1 的等差数列，则 T4 6 ； 若数列an是公比为 k+1 的等比数列，则 Tn （1+k）nnk1 【解答】解：数列an满足，k2，kN*， an表示不超过 a
26、n的最大整数 bnan，数列bn的前 n 项和为 Tn 数列an是公差为 1 的等差数列， n+， bnann1， T4b1+b2+b3+b40+1+2+36 数列an是公比为 k+1 的等比数列， a1，k2， an （k+1）n1 （kn1+kn2+kn3+k+） ，且 bnan， 数列bn的前 n 项和为： Tn0+1+（k+2）+（k2+3k+3）+（kn2+kn3+kn4+） （1+2+3+n1）+（k+k+k+k）+（k2+k2+k2+k2）+kn2 +k+k2+kn2 +k+k2+kn2 （k2+k3+k4+kn） （1+k）nnk1 故答案为：6，（1+k）nnk1 四、解答题
27、（每道题四、解答题（每道题 10 分，共分，共 40 分）分） 16 （10 分）已知an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，已知 a55，S515 （1）求数列an的通项公式； （2）设 anlog2bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）设数列an的首项为 a1，公差为 d， 则由 a55，S515，得，解得 an1+（n1）1n； （2）由 anlog2bn，得， Tnb1+b2+bn 17 （10 分）问题提出：新型冠状病毒是一种人传人，不易被人们直觉发现，危及人们生命的严重病毒我们把与新型冠状病毒患者有过密切接触的人群称为密切关联者已知每位密切关联者通过核酸检测被确
28、诊为阳性后的概率为 p（0p1） 一旦被确诊为阳性后即将其隔离某位患者在隔离之前，每天有 k位密切关联者与之接触，其中被感染的人数为 X（0Xk） 该病毒在进入人体后有 14 天的潜伏期，在这 14 天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间 设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与 k 位密切关联者接触并继续传染其他人小明想通过数学建模分析从某一名患者携带新型冠状病毒的第 1 天开始算起，第 n 天新增患者数 En（n2） ，同时他想研究戴口罩是否能够切实减少病毒传染 一、模型假设：1潜伏期病毒未被发现，持续传播 2每位患者每天接触的人数均为 k 3假设每位患者每天接触的密切关联者被感染
29、人数为定值 Xkp 二、模型求解： 根据题意，最初患者自己被感染，即第 1 天人数为 1， 第 2 天被感染人数增至为：1+1kp1+kp； 第 3 天被感染人数增至为 （1+kp）2 于是可以得出，第 n 天新增加人数 En kp（1+kp）n2 ， 小明根据自己的生活经验取 k10，p E8的值为 233280 ； 经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率 p满足关系式 pln（1+p），当 p取得最大值时，计算 p所对应的 E6和 p所对应的 E6值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性 （参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6，0.3，0.7，6646656计算结果保留
30、整数） 三、模型检验与评价：通过与新闻中的数据对比，小明计算出的被感染人数远高于实际的感染人数，你认为原因是什么？ 实际上有更多的防疫措施；病人体内病毒的传染性可能会降低；实际接触人数可能较少 【解答】解：根据题意，最初患者自己被感染，即第 1 天人数为 1， 第 2 天被感染人数增至为：1+1kp1+kp； 第 3 天被感染人数增至为： （1+kp）+（1+kp）kp（1+kp）2 第 n1 天被感染的人数增至为： （1+kp）n2，第 n 天被感染的人数增至为： （1+kp）n1， 于是根据题意中均值定义，可以得出，第 n 天新增加人数： En（1+kp）n1（1+kp）n2kp（1+kp
31、）n2， 取 k10，p，得 E8566233280； 根据题意 pf（p）ln（1+p）， ， 当且仅当 p（0，）时，f（p）0，此时 pf（p）单调递增， 当 p，1）时，f（p）0，即 pf（p）单调递减， 于是 pf（p）maxp（）ln3ln20.1， 此时，p，p0.1， E65646480（人） ， E6102416（人） ， 胾口罩情况下患者与密切接触的关联者被感染的人数为 16 人， 而不戴口罩的情况下，患者与密切接触的关联者被感染的人数为 6480 人， 即 E6远远大于 E6，胾口罩是非常必要的 原因：实际上有更多的防疫措施；病人体内病毒的传染性可能会降低；实际接触人数
32、可能较少 故答案为： （1+kp）2，kp（1+kp）n2，233280，实际上有更多的防疫措施；病人体内病毒的传染性可能会降低；实际接触人数可能较少 18 （10 分）已知函数 f（x）ln（1+x）mx （）当 m1 时，求函数 f（x）的单调递减区间； （）求函数 f（x）的极值； （）若函数 f（x）在区间0，e21上恰有两个零点，求 m 的取值范围 【解答】 （I）解：依题意，函数 f（x）的定义域为（1，+） ， 当 m1 时，f（x）ln（1+x）x，（2 分） 由 f（x）0 得，即，解得 x0 或 x1， 又x1，x0，f（x）的单调递减区间为（0，+） （4 分） （II）
33、求导数可得， （x1） （1）m0 时，f（x）0 恒成立，f（x）在（1，+）上单调递增，无极值（6 分） （2）m0 时，由于，所以 f（x）在上单调递增，在上单调递减， 从而 （9 分） （III）由（II）问显然可知， 当 m0 时，f（x）在区间0，e21上为增函数，在区间0，e21不可能恰有两个零点 （10分） 当 m0 时，由（II）问知 f（x）极大值， 又 f（0）0，0 为 f（x）的一个零点 （11 分） 若 f（x）在0，e21恰有两个零点，只需 即， （13 分） 19 （10 分）设 n 为给定的大于 2 的正整数，集合 S1，2，n，已知数列 An：x1，x2，x
34、n满足条件： 当 1in 时，xiS； 当 1ijn 时，xixj 如果对于 1ijn，有 xixj，则称（xi，xj）为数列 An的一个逆序对记数列 An的所有逆序对的个数为 T（An） （1）若 T（A4）1，写出所有可能的数列 A4； （2）若 T（An）2，求数列 An的个数； （3）对于满足条件的一切数列 An，求所有 T（An）的算术平均值 【解答】解： （1）A4可以是：1243，1324，2134，共 3 个 （2）依题意，数列 An是 1，2，n 的排列记 bn为满足 T（An）2 的数列 An的个数 设 T（A3）2，考虑数列 An的个数，此时 An只能为 312，即此时只
35、有一个满足题意的数列； 设 T（A4）2，考虑数列 An的个数，此时 An只能为 3124、1423，即此时只有两个满足题意的数列； 设 T（A5）2，考虑数列 An的个数，此时 An只能为 31245、14235、12534，即此时只有三个满足题意的数列； 故 T（An）2，考虑数列 An的个数，此时 An只能为 n2 个，即此时只有 n2 个满足题意的数列； （3）1，2，n 的任意一个排列 An：x1，x2，xn，都存在唯一的倒序排列 An：xn，xn1，x1，并且 An和 An不同因为数对（xi，xj）与（xj，xi）中恰有一个逆序对（其中 1ijn） ，并且 An中数对（xi，xj）
36、共有个， 所以 An和 An中的逆序对总数为个， 即，故 T（An） ，T（An） ，T（An）的算术平均值为 可将 1， 2， ， n 的所有排列两两配对， 每一对An， An均满足： T （An） ， T （An） 的算术平均值为 故所有 T（An）的算术平均值为 一、选择题（共三道小题，每题一、选择题（共三道小题，每题 6 分，分，18 分）分） 20 （6 分）若函数 f（x）的导函数的图象关于 y 轴对称，则 f（x）的解析式可能为（ ） Af（x）3cosx Bf（x）x3+x2+1 Cf（x）sin2x Df（x）ex+x 【解答】解：函数 f（x）的导函数的图象关于 y 轴对称
37、， f（x）的导函数为偶函数， Af（x）3sinx 为奇函数，该选项错误； Bf（x）3x2+2x 为非奇非偶函数，该选项错误； Cf（x）2cos2x 为偶函数，该选项正确； Df（x）ex+1 为非奇非偶函数，该选项错误 故选：C 21 （6 分）若 exalnx+a 对一切正实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A B （，1 C （，2 D （，e 【解答】解：设 f（x）exalnxa（x0） ，则 f（x）0 对一切正实数 x 恒成立，即 f（x）min0， 由，令，则恒成立， 所以 h（x）在（0，+）上为增函数， 当 x0 时，h（x），当 x+时，h（x）+，
38、则在（0，+）上，存在 x0使得 h（x0）0， 当 0 xx0时，h（x）0，当 xx0时，h（x）0， 故函数 f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增， 所以函数 f（x）在 xx0处取得最小值为 f（x0）， 因为，即 x0alnx0， 所以恒成立，即， 又，当且仅当 x0，即 x01 时取等号， 故 2a2，所以 a1 故选：B 22 （6 分）将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为 f（x）acosh，其中 a 为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为 co
39、shx，相应地双曲正弦函数的函数表达式为 sinhx若直线 xm 与双曲余弦函数 C1和双曲正弦函数 C2分别相交于点 A，B，曲线 C1在点 A 处的切线与曲线 C2在点 B 处的切线相交于点 P，则（ ） Aysinhxcoshx 是偶函数 Bcosh（x+y）coshxcoshysinhxsinhy C|BP|随 m 的增大而减小 DPAB 的面积随 m 的增大而减小 【解答】解：对于 A、ysinhxcoshx是奇函数，故 A 错误； 对于 B、coshxcoshysinhxsinhy ，故 B 错误； 对于 C 与 D、设 A（m，） ，B（m，） ， 则曲线 C1在点 A 处的切线
40、方程为， 曲线 C2在点 B 处的切线方程为， 联立求得 P 的坐标为（m+1，em） ，则 ，|BP|随 m 的增大先减小后增大，PAB 的面积随 m 的增大而减小， 故 C 错误，D 正确 故选：D 二、填空题（共三道小题，每题二、填空题（共三道小题，每题 6 分，分，18 分）分） 23 （6 分）某堆雪在融化过程中，其体积 V（单位：m3）与融化时间 t（单位：h）近似满足函数关系：V（t）H（10t）3（H 为常数） ，其图象如图所示记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为（m3/h） 那么 t1，t2，t3，t4中，瞬时融化速度等于 （m3/h）的时刻是图中的 t3 【解答】解：
41、，反映的是 v（t）图象与坐标轴交点连线的斜率， 观察可知 t3处瞬时速度（即切线的斜率）与平均速度一致 故答案为：t3 24 （6 分）法国数学家拉格朗日于 1778 年在其著作解析函数论中提出一个定理：如果函数 yf（x）满足如下条件： （1）在闭区间a，b上是连续不断的； （2）在区间（a，b）上都有导数 则在区间（a，b）上至少存在一个数 ，使得 f（b）f（a）f （） （ba） ，其中 称为拉格朗日中值则g（x）ex在区间0，1上的拉格朗日中值 ln（e1） 【解答】解：由拉格朗日中值定理可得 f（b）f（a）f（） （ba） ， 即有 f（）， 由 g（x）ex，g（x）ex，
42、可得 ee1， 解得 ln（e1） ， 故答案为：ln（e1） 25 （6 分）如图，已知抛物线 y2x 及两点 A1（0，y1）和 A2（0，y2） ，其中 y1y20过 A1，A2分别作y 轴的垂线， 交抛物线于 B1， B2两点， 直线 B1B2与 y 轴交于点 A3（0， y3） ， 此时就称 A1， A2确定了 A3 依此类推，可由 A2，A3确定 A4，记 An（0，yn） ，n1，2，3， 给出下列三个结论： 数列yn是递减数列； 对nN*，yn0； 若 y14，y23，则 其中，所有正确结论的序号是 【解答】解：由题意，Bn1（） ，Bn2（） ，则直线 Bn1Bn2的方程为
43、令 x0，则， y1y20，yn0，故正确； ，ynyn1，故正确； 若 y14，y23，则，y4，故正确 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 14 分）分） 26 （14 分）已知函数 f（x）lnx+ax2（a+1）x， （aR） （1）当 a1 时，判断函数 yf（x）的单调性； （2）若关于 x 的方程 f（x）ax2有两个不同实根 x1，x2，求实数 a 的取值范围，并证明 x1x2e2 【解答】解： （1）a1 时，f（x）lnx+x22x（x0） ， 故 f（x）+x20， f（x）在（0，+）上单调递增 （2）由题意可知 lnx（a+1）x 有两解， 设直线 ykx 与 ylnx 相切，切点坐标为（x0，y0） ， 则，解得 x0e，y01，k， 0a+1，即1a1 实数 a 的取值范围是（1，1） 不妨设 x2x10，则 lnx1（a+1）x1，lnx2（a+1）x2， 两式相加得：ln（x1x2）（a+1） （x1+x2） ， 两式相减得：ln（a+1） （x2x1） ， ，故 ln（x1x2）ln， 要证 x1x2e2，只需证ln2， 即证 ln， 令 t1，故只需证 lnt在（1，+）恒成立即可 令 g（t）lnt（t1） ，则 g（t）0， g（t）在（1，+）上单调递增，g（t）g（1）0， 即 lnt在（1，+）恒成立 x1x2e2
