1、2020-2021 学年北京市西城区学年北京市西城区二校联考二校联考高二高二下期中数学试卷下期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共.40 分分. 1 （4 分）在数列an中，an+1an+2，且 a11，则 a4等于（ ） A8 B6 C9 D7 2 （4 分）函数 ycosx 的导数是（ ） Asinx Bsinx Ccosx Dcosx 3 （4 分）将一枚均匀硬币随机掷 3 次，恰好出现 2 次正面向上的概率为（ ） A B C D 4 （4 分）曲线 f（x）x32x+1 在点（1，0）处的切线方程是（ ） Axy10
2、B2xy20 C2x+y20 Dx+y10 5 （4 分）等差数列an的首项 a11，公差 d0，如果 a1、a2、a5成等比数列，那么 d 等于（ ） A3 B2 C2 D2 6 （4 分）函数在（ ） A （，+）内是增函数 B （，+）内是减函数 C （1，1）内是增函数，在其余区间内是减函数 D （1，1）内是减函数，在其余区间内是增函数 7 （4 分） 九章算术 的盈不足章第 19 个问题中提到： “今有良马与驽马发长安， 至齐 齐去长安三千里 良马初日行一百九十三里，日增一十三里驽马初日行九十七里，日减半里”其大意为： “现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去已知长安和齐的距离是 3
3、000 里良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行 13 里驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里”试问前 4 天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（ ） A1235 B1800 C2600 D3000 8 （4 分）函数 yex（2x1）的大致图象是（ ） A B C D 9 （4 分）甲、乙、丙、丁 4 个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军，4 个人相互比赛的胜率如表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率 甲 乙 丙 丁 甲 ： 0.3 0.3 0.8 乙 0.7 ： 0.6 0.4
4、丙 0.7 0.4 ： 0.5 丁 0.2 0.6 0.5 ： 那么甲得冠军且丙得亚军的概率是（ ） A0.21 B0.15 C0.105 D0.045 10 （4 分）函数 f（x）ax3bx2+cx 的图象如图所示，且 f（x）在 xx0与 x1 处取得极值，给出下列判断： c0； f（1）+f（1）0； 函数 yf（x）在区间（0，+）上是增函数 其中正确的判断是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. 11 （5 分）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若
5、a5+a62，则 S10 12 （5 分）已知函数 f（x）ln（2x+1） ，则 f（1） 13 （5 分）离散型随机变量 的分布列为： 1 2 3 p p1 p2 且 E（）2，则 p1 ；p2 14 （5 分）等比数列满足如下条件：a10；数列an单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 an 15 （5 分）研究函数的性质，完成下面两个问题： 将 f（2） ，f（3） ，f（5）按从小到大排列为 ； 若方程 f（x）m 有两个不同的实根，则实数 m 的取值范围是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步
6、骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16 （13 分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与 p，且乙投球 2 次均未命中的概率为 （）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； （）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 3 次的概率 17 （14 分）已知函数 f（x）x32x+5 （）求函数 f（x）的单调增区间和减区间； （）当 x1，2时，求函数 yf（x）的最值和最值点 18 （14 分）已知数列an中，a12，_，其中 nN* （）求数列an的通项公式： （）设，求证：数列bn是等比数列； （）求数列an+bn的前 n 项和 Tn 从前 n 项和，
7、an+12an，a48 且 2an+1an+an+2，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答 19 （14 分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于 65%或小于 40%时，有利于病毒繁殖和传播下表记录了某年甲、乙两个城市 12 个月的空气月平均相对湿度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 甲地 54% 39% 46% 54% 56% 67% 64% 66% 78% 72% 72% 59% 乙
8、地 38% 34% 31% 42% 54% 66% 69% 65% 62% 70% a% b% （）从上表 12 个月中，随机取出 1 个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率； （）从上表第一季度和第二季度的 6 个月中随机取出 2 个月，记这 2 个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为 X，求 X 的分布列； （） 若a+b108， 设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M， 求M的最大值和最小值（只需写出结论） 20 （15 分）已知函数 f（x）axlnx（aR） （）当 a2 时，求曲线 yf（x）的在点 x1 处的切线方
9、程； （）求函数 f（x）的单调区间； （）若 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围 21 （15 分）已知函数 （）求函数 f（x）的极值； （）求证：当 x（0，+）时，； （）当 x0 时，若曲线 yf（x）在曲线 yax2+1 的上方，求实数 a 的取值范围 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共.40 分分. 1 （4 分）在数列an中，an+1an+2，且 a11，则 a4等于（ ） A8 B6 C9 D7 【解答】解：因为 an+1an+2，所以 an+1an2， 所以数列an是公差 d2 的等差数列
10、，首项 a11， 所以 a4a1+3d1+327， 故选：D 2 （4 分）函数 ycosx 的导数是（ ） Asinx Bsinx Ccosx Dcosx 【解答】解：ycosx， 函数的导数 ysinx， 故选：B 3 （4 分）将一枚均匀硬币随机掷 3 次，恰好出现 2 次正面向上的概率为（ ） A B C D 【解答】解：将一枚均匀硬币随机投掷 3 次，恰好出现 2 次正面向上为事件 A， 则 p（A）（1） 故选：C 4 （4 分）曲线 f（x）x32x+1 在点（1，0）处的切线方程是（ ） Axy10 B2xy20 C2x+y20 Dx+y10 【解答】解：f（x）x32x+1
11、的导数为 f（x）3x22， 可得 f（x）x32x+1 在点（1，0）处的切线的斜率为 k1， 则 f（x）x32x+1 在点（1，0）处的切线的方程为 y0 x1， 即为 xy10 故选：A 5 （4 分）等差数列an的首项 a11，公差 d0，如果 a1、a2、a5成等比数列，那么 d 等于（ ） A3 B2 C2 D2 【解答】解：等差数列an中，有 a2a1+d，a5a1+4d a1、a2、a5成等比数列 （a1+d）2a1 （a1+4d） 解得 d2 故选：C 6 （4 分）函数在（ ） A （，+）内是增函数 B （，+）内是减函数 C （1，1）内是增函数，在其余区间内是减函数
12、 D （1，1）内是减函数，在其余区间内是增函数 【解答】解：函数y 当 y0 时，解得1x1 故原函数的增区间为： （1，1） 当 y0 时，解得 x1 或 x1 故原函数的减区间为： （，1） ， （1，+） 故选：C 7 （4 分） 九章算术 的盈不足章第 19 个问题中提到： “今有良马与驽马发长安， 至齐 齐去长安三千里 良马初日行一百九十三里，日增一十三里驽马初日行九十七里，日减半里”其大意为： “现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去已知长安和齐的距离是 3000 里良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行 13 里驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里”试
13、问前 4 天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为（ ） A1235 B1800 C2600 D3000 【解答】解：长安和齐的距离是 3000 里良马第一天行 193 里，之后每天比前一天多行 13 里 驽马第一天行 97 里，之后每天比前一天少行 0.5 里， 前 4 天，良马和驽马共走过的路程之和的里数为： S4（4193+）+41235 故选：A 8 （4 分）函数 yex（2x1）的大致图象是（ ） A B C D 【解答】解：yex（2x1）+2exex（2x+1） ， 令 y0 得 x， 当 x时，y0，当 x时，y0， yex（2x1）在（，）上单调递减，在（，+）上单调递增，
14、当 x0 时，ye0（01）1，函数图象与 y 轴交于点（0，1） ； 令 yex（2x1）0 得 x，f（x）只有 1 个零点 x， 当 x时，yex（2x1）0，当 x时，yex（2x1）0， 综上，函数图象为 A 故选：A 9 （4 分）甲、乙、丙、丁 4 个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军，4 个人相互比赛的胜率如表所示，表中的数字表示所在行选手击败其所在列选手的概率 甲 乙 丙 丁 甲 ： 0.3 0.3 0.8 乙 0.7 ： 0.6 0.4 丙 0.7 0.4 ： 0.5 丁 0.2 0.6 0.5 ： 那么甲得
15、冠军且丙得亚军的概率是（ ） A0.21 B0.15 C0.105 D0.045 【解答】解：甲，乙比赛甲获胜的概率是 0.3， 丙，丁比赛丙获胜的概率是 0.5， 甲，丙比赛甲获胜的概率是 0.3， 根据相互独立事件的概率乘法公式， 甲得冠军丙得亚军的概率为 0.30.50.30.045 故选：D 10 （4 分）函数 f（x）ax3bx2+cx 的图象如图所示，且 f（x）在 xx0与 x1 处取得极值，给出下列判断： c0； f（1）+f（1）0； 函数 yf（x）在区间（0，+）上是增函数 其中正确的判断是（ ） A B C D 【解答】解：函数 f（x）ax3bx2+cx，且 f（x
16、）在 xx0与 x1 处取得极值， a0，且 f（x）3ax22bx+c， 则 xx0与 x1 是方程 f（x）3ax22bx+c0 的两个不同的根， 即 1+x0，1x0， 则 2b3a（1+x0） ，c3ax0， 由图象可知 x01，c3ax00，故不正确 f（1）+f（1）2b，且 2b3a（1+x0）0， f（1）+f（1）2b0，故正确 f（x）3ax22bx+c3a（x1） （xx0）是开口向上，对称轴为 x0 函数 yf（x）在区间（0，+）上是增函数，故正确 故正确的命题是， 故选：C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2
17、5 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. 11 （5 分）设 Sn是等差数列an的前 n 项和，若 a5+a62，则 S10 10 【解答】解：Sn是等差数列an的前 n 项和，a5+a62， S105210 故答案为：10 12 （5 分）已知函数 f（x）ln（2x+1） ，则 f（1） 【解答】解：f（x）ln（2x+1） ， ， 故答案为： 13 （5 分）离散型随机变量 的分布列为： 1 2 3 p p1 p2 且 E（）2，则 p1 ；p2 【解答】解：E（）2， 由离散型随机变量 的分布列，得： ， 解得，P2 故答案为：， 14 （5 分）等比数列满足如下条件：a1
18、0；数列an单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 an 【解答】解：等比数列满足如下条件：a10；数列an单调递增， 满足上述所有条件的一个数列的通项公式可以是： an 故答案为： 15 （5 分）研究函数的性质，完成下面两个问题： 将 f（2） ，f（3） ，f（5）按从小到大排列为 f（5）f（2）f（3） ； 若方程 f（x）m 有两个不同的实根，则实数 m 的取值范围是 （0，） 【解答】解：函数， f（x）， 令 f（x）0，可得 0 xe， 令 f（x）0，可得 xe， 所以 f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减， f（3）f（5） ， f（2）f
19、（5）0 f（2）f（5） f（2）f（3）0 f（3）f（2） ， f（5）f（2）f（3） 由可知 f（x）maxf（e）， 在（e，+）上，0， 在（0，e）上，当 x0 时，f（x）， 方程 f（x）m 有两个不同的实根， 即函数与 ym 的图象有两个交点， 故 0m， 即实数 m 的取值范围是（0，） 故答案为：f（5）f（2）f（3） ； （0，） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16 （13 分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与
20、p，且乙投球 2 次均未命中的概率为 （）求甲投球 2 次，至少命中 1 次的概率； （）若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 3 次的概率 【解答】解： （）由题意，甲投球 2 次，都没有命中的概率为， 故甲至少命中 1 次的概率为 1 （）乙投球 2 次均未命中的概率为（1p） （1p），p 若甲、乙两人各投球 2 次，求两人共命中 3 次， 则甲只有一次没有命中、乙 2 次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲 2 次全部命中 而甲只有一次没有命中、乙 2 次全部命中的概率为 （1） ， 而乙只有一次没有命中、甲 2 次全部命中的概率为 ， 故两人共命中 3 次的概率为+ 17 （14
21、分）已知函数 f（x）x32x+5 （）求函数 f（x）的单调增区间和减区间； （）当 x1，2时，求函数 yf（x）的最值和最值点 【解答】解： （I）函数 f（x）x32x+5 f（x）3x2x2（3x+2） （x1） ， 令 f（x）0，解得 x，x1 令 f（x）0，解得 x，或 x1令 f（x）0，解得x1 函数 f（x）的单调增区间为（，） ， （1，+） ；减区间为（，1） （）由（I）可得：函数 f（x）在区间1，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，2上单调递增 可得：x时，函数 f（x）取得极大值；x1 时，函数 f（x）取得极小值 f（），f（1），f（1），f（2
22、）7 x2 时，函数 f（x）取得最大值 7；x1 时，函数 f（x）取得最小值 18 （14 分）已知数列an中，a12，_，其中 nN* （）求数列an的通项公式： （）设，求证：数列bn是等比数列； （）求数列an+bn的前 n 项和 Tn 从前 n 项和，an+12an，a48 且 2an+1an+an+2，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答 【解答】解：选， （）因为 a12，n2 时，anSnSn1n2+n（n1）2（n1）2n， 则 an2n，nN*； （）证明：22n4n， 可得4， 所以数列bn是首项为和公比均为 4 的等比数列； （）an+bn2n+4n， Tn
23、（2+4+.+2n）+（4+16+.+4n）n2+n+ n2+n+（4n+14） 选， （）由 a12，an+12an，则 an2n，nN*； （）证明：22n4n， 可得4， 所以数列bn是首项为和公比均为 4 的等比数列； （）an+bn2n+4n， Tn（2+4+.+2n）+（4+16+.+4n）n2+n+ n2+n+（4n+14） 选， （）由 a12，a48 且 2an+1an+an+2， 可得数列an为等差数列，设公差为 d， 则 d2， 则 an2n，nN*； （）证明：22n4n， 可得4， 所以数列bn是首项为和公比均为 4 的等比数列； （）an+bn2n+4n， 所以 T
24、n（2+4+.+2n）+（4+16+.+4n）n2+n+ n2+n+（4n+14） 19 （14 分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于 65%或小于 40%时，有利于病毒繁殖和传播下表记录了某年甲、乙两个城市 12 个月的空气月平均相对湿度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 甲地 54% 39% 46% 54% 56% 67% 64% 66% 78% 72% 72% 59% 乙地 38% 34%
25、 31% 42% 54% 66% 69% 65% 62% 70% a% b% （）从上表 12 个月中，随机取出 1 个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率； （）从上表第一季度和第二季度的 6 个月中随机取出 2 个月，记这 2 个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为 X，求 X 的分布列； （） 若a+b108， 设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M， 求M的最大值和最小值（只需写出结论） 【解答】 （本题满分 13 分） 解： （）设事件 A：从上表 12 个月中，随机取出 1 个月， 该月甲地空气月平均相对湿度有利于病
26、毒繁殖和传播 用 Ai表示事件抽取的月份为第 i 月， 则 A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A11，A12共 12 个基本事件， AA2，A6，A8，A9，A10，A11共 6 个基本事件， 所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率 （4 分） （）在第一季度和第二季度的 6 个月中， 甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有 2 月和 6 月， 故 X 所有可能的取值为 0，1，2 ， ， 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 P （）a+b108，设乙地上表 12 个月的空气月平均相对湿度的中位数为 M， 则 M 的
27、最大值为 58%，最小值为 54% （13 分） 20 （15 分）已知函数 f（x）axlnx（aR） （）当 a2 时，求曲线 yf（x）的在点 x1 处的切线方程； （）求函数 f（x）的单调区间； （）若 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围 【解答】解： （I）函数 f（x）axlnx 当 a2 时，f（x）2xlnx，f（1）2 f（x）2， f（1）1， 曲线 yf（x）的在点 x1 处的切线方程为：y2x1，即 xy+10 （）f（x）a，x（0，+） a0 时，f（x）0，函数 f（x）在 x（0，+）上单调递减 a0 时，f（x）， 则函数 f（x）在 x（0，）上单调递
28、减，在（，+）上单调递增 （）若 f（x）0 恒成立，则 a在 x（0，+）上恒成立 令 g（x），x（0，+） g（x）， 可得 xe 时，函数 g（x）取得极大值即最大值 g（e） a 的取值范围为，+） 21 （15 分）已知函数 （）求函数 f（x）的极值； （）求证：当 x（0，+）时，； （）当 x0 时，若曲线 yf（x）在曲线 yax2+1 的上方，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （）因为，定义域 R， 所以 令 f（x）0，解得 x0 随 x 的变化，f（x）和 f（x）的情况如下： x （，0） 0 （0，+） f（x） + 0 f（x） 增 极大值 减 由表可知函数 f（x）在 x0 时取得极大值 f（0）1，无极小值； （） 证明： 令， 由 x0 得 ex10， 于是 g（x）0， 故函数 g（x）是0，+）上的增函数 所以当 x（0，+）时，g（x）g（0）0，即； （）当时，由（）知，满足题意 令， 当时，若，h（x）0，则 h（x）在上是减函数 所以时，h（x）h（0）0，不合题意 当 a0 时，h（x）0，则 h（x）在（0，+）上是减函数，所以 h（x）h（0）0，不合题意 综上所述，实数 a 的取值范围
