1、2020-2021 学年北京市学年北京市海淀区三校联考海淀区三校联考高二高二下期中数学试卷下期中数学试卷 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题；共小题；共 40 分）分） 1 （4 分）已知集合 Ax|1x3，Bx|0 x4，则 AB（ ） A （0，3） B （1，4） C （0，4 D （1，4 2 （4 分）已知等比数列an的各项均为正数，且 a33，则 log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5（ ） A B5 C10 D15 3 （4 分）已知 f（x）为偶函数，其局部图象如图所示，那么（ ） Af（2）2 Bf（2）2 Cf（2）2 Df（2）2 4
2、（4 分）已知等差数列an，则“a2a1”是“数列an为单调递增数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （4 分）从 1，2，3，4，5，6，7，8 中不放回地依次取 2 个数，事件 A“第一次取到的是奇数” ，B“第二次取到的是奇数” ，则 P（B|A）（ ） A B C D 6 （4 分）设变量 x 与 y 有如表五组数据：由散点图可知，y 与 x 之间有较好的线性相关关系，已知其线性回归方程是 0.5x+ ，则 （ ） x 1 2 3 4 5 y 4.5 4 2 3 2.5 A4.4 B4.5 C4.6 D4.7 7 （4 分）
3、设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，O 为坐标原点，P 是 C 上一点若|PF|4，则|OP|（ ） A B5 C2 D4 8 （4 分）函数 f（x）2sin（x+） （0，|）的部分图象如图所示，则 f（）（ ） A B C D 9 （4 分）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为（ ） A24 B36 C42 D48 10 （4 分）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形 ABCD （） 中作边长为 1 的正方形 ABFE， 以 F 为圆心， AB 长
4、为半径作圆弧；然后在矩形 CDEF 中作正方形 DEHG，以 H 为圆心，DE 长为半径作圆弧；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线记圆弧，的长度分别为 l，m，n，则 l+m+n（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题；共小题；共 25 分）分） 11 （5 分）设复数 z 满足 zi2i，i 为虚数单位，则 z 12 （5 分）在（x）6展开式中，常数项为 （用数值表示） 13 （5 分）某学生为了研究高二年级同学的体质健康成绩与学习成绩的关系，从高二年级同学中随机抽取30 人，统计其体质健康成绩和学习成绩，得到 22 列联表如表： 体质健康成绩高 体质健康成绩
5、低 总计 学习成绩高 17 2 19 学习成绩低 3 8 11 总计 20 10 30 有 的把握认为学生的体质健康成绩高低与学习成绩高低有关 附：K2 P （K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 14 （5 分） 如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90， ABACAA12， 点 G、 E、 F 分别是 A1B1、CC1、AB 的中点，点 D 是 AC 上的动点若 GDEF，则线段 DF 长度为 15 （5 分）从 4G 到 5G 通信，网络速度提升了 40 倍其中香农公式 CWlog2（1+）是被广泛公
6、认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率 C 取决于信道带宽 W、信道内信号的平均功率 S、信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中叫做信噪比 根据香农公式，以下说法正确的是 若不改变信噪比，而将信道带宽 W 增加 k 倍，则 C 增加 k 倍 若不改变信道带宽 W 和信道内信号的平均功率 S，而将高斯噪声功率 N 降低为原来的一半，则 C 增加一倍 若不改变带宽 W，而将信噪比从 15 提升至 127，C 增加了 50% 若不改变带宽 W，要使得 C 增加一倍，则需要将信噪比从 63 提升至 1023 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题；共小题；共 85
7、分）分） 16在ABC 中，cosA，c6，且 bc，再从条件、条件中选择一个作为已知，条件：sinB2sinA；条件：a+b2c求： （）b 的值； （）ABC 的面积 17 为了解果园某种水果产量情况， 随机抽取 10 个水果测量质量， 样本数据分组为100， 150） ， 150， 200） ，200，250） ，250，300） ，300，350） ，350，400（单位：克） ，其频率分布直方图如图所示： （）用分层抽样的方法从样本里质量在250，300） ，300，350）的水果中抽取 6 个，求质量在250，300）的水果数量； （）从（）中得到的 6 个水果中随机抽取 3 个，
8、记 X 为质量在300，350）的水果数量，求 X 的分布列和数学期望； （）果园现有该种水果约 20000 个，其等级规格及销售价格如表所示， 质量 m （单位：克） m200 200m300 m300 等级规格 二等 一等 特等 价格（元/个） 4 7 10 试估计果园该种水果的销售收入 18在等差数列an中，a2+a723，S10145 （）求数列an的通项公式； （）若数列an+bn是首项为 1，公比为 a 的等比数列，求bn的前 n 项和 Sn 19已知：函数 f（x）（a0） （）若 a1，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）求函数 yf（x）的单调区间；
9、（）f（x）在区间0，1上的满足 f（x）1，求 a 的取值范围 20已知椭圆 C：1 （）求椭圆 C 的离心率和长轴长 （）已知直线 ykx2 与椭圆 C 有两个不同的交点 A，B，P 为 x 轴上一点是否存在实数 k，使得PAB 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在， 求出 k 的值及点 P 的坐标； 若不存在， 说明理由 21定义数列an如下：a11，对任意的正整数 n，有 an+1 （）写出 a2，a3，a4，a5的值； （）证明：对任意的正整数 n，都有 0an2n+1； （）是否每一个非负整数都在数列an出现？证明你的结论 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（共一、选择
10、题（共 10 小题；共小题；共 40 分）分） 1 （4 分）已知集合 Ax|1x3，Bx|0 x4，则 AB（ ） A （0，3） B （1，4） C （0，4 D （1，4 【解答】解：Ax|1x3，Bx|0 x4， AB（0，3） 故选：A 2 （4 分）已知等比数列an的各项均为正数，且 a33，则 log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5（ ） A B5 C10 D15 【解答】解：因为等比数列an的各项均为正数，且 a33， 则 log3a1+log3a2+log3a3+log3a4+log3a5log3（a1a2a3a4a5）log3（a35）log3
11、（35）5 故选：B 3 （4 分）已知 f（x）为偶函数，其局部图象如图所示，那么（ ） Af（2）2 Bf（2）2 Cf（2）2 Df（2）2 【解答】解：根据题意，由函数的图象可得 f（2）2， 又由函数为偶函数，则 f（2）f（2）2； 故选：D 4 （4 分）已知等差数列an，则“a2a1”是“数列an为单调递增数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：在等差数列an中，若 a2a1，则 d0，即数列an为单调递增数列， 若数列an为单调递增数列，则 a2a1，成立， 即“a2a1”是“数列an为单调递增数列”充分必要
12、条件， 故选：C 5 （4 分）从 1，2，3，4，5，6，7，8 中不放回地依次取 2 个数，事件 A“第一次取到的是奇数” ，B“第二次取到的是奇数” ，则 P（B|A）（ ） A B C D 【解答】解：从 1，2，3，4，5，6，7，8 中不放回地依次取 2 个数， 事件 A“第一次取到的是奇数” ，B“第二次取到的是奇数” ， 则 P（A），P（AB）， 所以 P（B|A） 故选：C 6 （4 分）设变量 x 与 y 有如表五组数据：由散点图可知，y 与 x 之间有较好的线性相关关系，已知其线性回归方程是 0.5x+ ，则 （ ） x 1 2 3 4 5 y 4.5 4 2 3 2.
13、5 A4.4 B4.5 C4.6 D4.7 【解答】解： （1+2+3+4+5）3， （4.5+4+2+3+2.5）， 线性回归方程是 0.5x+ ， 所以 +0.534.7 故选：D 7 （4 分）设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，O 为坐标原点，P 是 C 上一点若|PF|4，则|OP|（ ） A B5 C2 D4 【解答】解：抛物线 y24x 的准线方程为：x1，焦点 F（1，0） ， 又 P 为 C 上一点，|PF|4，xP3， 代入抛物线方程得：|yP|2， |OP| 故选：A 8 （4 分）函数 f（x）2sin（x+） （0，|）的部分图象如图所示，则 f（）（ ） A B
14、C D 【解答】解：根据函数的图象可知 A2， 因为，所以 T，所以 ， 当 x时，f（）2， 由于|，解得 所以 f（x）2sin（2x） ， 故 f（）2sin 故选：D 9 （4 分）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为（ ） A24 B36 C42 D48 【解答】解：先将语文与化学捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排，再减去数学排第一节的排法即可 即不同排法的种数为481236， 故选：B 10 （4 分）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩
15、形 ABCD （） 中作边长为 1 的正方形 ABFE， 以 F 为圆心， AB 长为半径作圆弧；然后在矩形 CDEF 中作正方形 DEHG，以 H 为圆心，DE 长为半径作圆弧；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线记圆弧，的长度分别为 l，m，n，则 l+m+n（ ） A B C D 【解答】解：由题意可得 AB1， 因为，可得 BC， 所以 l21， 因为 EDBCAB1， 所以 m2， 同理，可得，可得 GC， 可得 n2， 所以 l+m+n+， 故选：C 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题；共小题；共 25 分）分） 11 （5 分）设复数 z 满足 zi2i，i 为虚数单位
16、，则 z 12i 【解答】解：由 zi2i，得： 故答案为12i 12 （5 分）在（x）6展开式中，常数项为 20 （用数值表示） 【解答】解：二项式（x）6x+（x1）6， 其展开式的通项公式为： Tr+1x6r （x1）r（1）rx62r， 当 62r0 时，得 r3， 所以展开式的常数项为： T4（1）320 故答案为：20 13 （5 分）某学生为了研究高二年级同学的体质健康成绩与学习成绩的关系，从高二年级同学中随机抽取30 人，统计其体质健康成绩和学习成绩，得到 22 列联表如表： 体质健康成绩高 体质健康成绩低 总计 学习成绩高 17 2 19 学习成绩低 3 8 11 总计 2
17、0 10 30 有 99.9% 的把握认为学生的体质健康成绩高低与学习成绩高低有关 附：K2 P （K2k） 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【解答】解：由列联表中数据，计算 K212.12910.828， 所以有 99.9%的把握认为学生的体质健康成绩高低与学习成绩高低有关 故答案为：99.9% 14 （5 分） 如图， 在直三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90， ABACAA12， 点 G、 E、 F 分别是 A1B1、CC1、AB 的中点，点 D 是 AC 上的动点若 GDEF，则线段 DF 长度为 【解答】解：
18、在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BAC90， 以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 因为 ABACAA12，点 G、E、F 分别是 A1B1、CC1、AB 的中点，点 D 是 AC 上的动点， 设 D（0，y，0） ，G（1，0，2） ，E（0，2，1） ，F（1，0，0） ， 所以， 又 GDEF， 所以112y+20，解得 y， 则 D（0，0） ， 所以 DF 故答案为： 15 （5 分）从 4G 到 5G 通信，网络速度提升了 40 倍其中香农公式 CWlog2（1+）是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率 C 取决于信道带宽
19、 W、信道内信号的平均功率 S、信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中叫做信噪比 根据香农公式，以下说法正确的是 若不改变信噪比，而将信道带宽 W 增加 k 倍，则 C 增加 k 倍 若不改变信道带宽 W 和信道内信号的平均功率 S，而将高斯噪声功率 N 降低为原来的一半，则 C 增加一倍 若不改变带宽 W，而将信噪比从 15 提升至 127，C 增加了 50% 若不改变带宽 W，要使得 C 增加一倍，则需要将信噪比从 63 提升至 1023 【解答】解：对于：若不改变信噪比，而将信道带宽 W 增加 k 倍，即 kWlog2（1+）kC，则 C增加 k 倍，正确， 对于：若不改变信道带宽 W
20、 和信道内信号的平均功率 S，而将高斯噪声功率 N 降低为原来的一半， 即 Wlog2（1+）Wlog2（1+）2Wlog2（1+） ，错误， 对于：若不改变带宽 W，而将信噪比从 15 提升至 127， 则，所以 C 增加了 75%，故错误， 对于：若不改变带宽 W，若将信噪比从 63 提升至 1023， 则，即 C 增加了约 66.7%，没有增加 1 倍，故错误， 故答案为： 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题；共小题；共 85 分）分） 16在ABC 中，cosA，c6，且 bc，再从条件、条件中选择一个作为已知，条件：sinB2sinA；条件：a+b2c求： （）b 的值； （）A
21、BC 的面积 【解答】解：选条件：sinB2sinA （）在ABC 中，因为，所以 b2a， 因为 cosA，且 c6，cosA，b2a， 所以，化简得 a27a+120， 解得 a3，或 4 当 a3 时，b2a6c，与题意矛盾， 所以 a4，所以 b8 （）因为 cosA，A（0，） ，所以 sinA， 所以 SABCbcsinA863 选条件：sinA+sinB2sinC （）在ABC 中，因为，c6， 所以由 sinA+sinB2sinC，得 a+b2c12， 因为 cosA，且 c6，cosA，a12b， 所以， 解得 b8 （）由（）知 b8，所以 a12b4， 因为 cosA，A
22、（0，） ，所以 sinA 所以 SABCbcsinA863 17 为了解果园某种水果产量情况， 随机抽取 10 个水果测量质量， 样本数据分组为100， 150） ， 150， 200） ，200，250） ，250，300） ，300，350） ，350，400（单位：克） ，其频率分布直方图如图所示： （）用分层抽样的方法从样本里质量在250，300） ，300，350）的水果中抽取 6 个，求质量在250，300）的水果数量； （）从（）中得到的 6 个水果中随机抽取 3 个，记 X 为质量在300，350）的水果数量，求 X 的分布列和数学期望； （）果园现有该种水果约 20000
23、个，其等级规格及销售价格如表所示， 质量 m （单位：克） m200 200m300 m300 等级规格 二等 一等 特等 价格（元/个） 4 7 10 试估计果园该种水果的销售收入 【解答】解： （）质量在250，300） ，300，350）的该种水果的频率分别为 0.008500.4，0.004500.2，其比为 2：1， 所以按分层抽样从质量在250，300） ，300，350）的这种水果中随机抽取 6 个，质量在250，300）的该种水果有 4 个； （）由（）可知，6 个水果中有 2 个质量在300，350） ，所以 X 的所有可能取值为 0，1，2， P（X0），P（X1），P（X
24、2）， 所以 X 的分布列为： 所以 E（X）； （）二等品的频率为（0.002+0.002）500.2， 一等品的频率为（0.003+0.008）500.55， 特等品的频率为（0.004+0.001）500.25， 则 20000 个水果中共有二等品 4000 个，一等品 11000 个，特等品有 5000 个， 则销售收入约为 40004+110007+500010143000 元 18在等差数列an中，a2+a723，S10145 （）求数列an的通项公式； （）若数列an+bn是首项为 1，公比为 a 的等比数列，求bn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （）设等差数列an的首项为
25、a1，公差为 d， 由 a2+a723，S10145，得， 解得， an13（n1）3n+2； （）数列an+bn是首项为 1，公比为 a 的等比数列， an+bnan1，则， Snb1+b2+.+bn （a0+a1+.+an1）+3（1+2+.+n）2n 若 a1，则 a0+a1+.+an1n； 若 a1，则 a0+a1+.+an1 又 3（1+2+.+n）2n 19已知：函数 f（x）（a0） （）若 a1，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）求函数 yf（x）的单调区间； （）f（x）在区间0，1上的满足 f（x）1，求 a 的取值范围 【解答】解： （）若 a1
26、，则 f（x），f（x），所以 f（0）2，又 f（0）1， 所以曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y（1）2x，即 y2x1； （）f（x）（xa） ， 当 x或 axa+1 时，f（x）0，f（x）在（，a）和（a，a+1）单调递减； 当 xa+1 时，f（x）0，f（x）在（a+1，+）单调递增； 所以 f（x）的递减区间为（，a+1） ，递增区间为（a+1，+） ； （）0，1，f（x）1（xa）恒成立0（xa）恒成立， 当 a0 时，xa0，由 exx+a0，得aexx， 令 h（x）exx（0 x1） ，则 h（x）ex1e010， 故 h（x）exx 在区间0
27、，1上单调递增，h（x）minh（0）1， 所以a1，即 a1，于是 a1，0； 当 a1 时，xa0，由 exx+a0 得a（exx）maxe1，即 a1e，与 a1 矛盾； 当 0a1 时，exx+a0 恒成立，xa 符号不确定，故不符合题意； 综上所述，a1，0 20已知椭圆 C：1 （）求椭圆 C 的离心率和长轴长 （）已知直线 ykx2 与椭圆 C 有两个不同的交点 A，B，P 为 x 轴上一点是否存在实数 k，使得PAB 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在， 求出 k 的值及点 P 的坐标； 若不存在， 说明理由 【解答】解： （）椭圆 C：1 可得 a2，c1，故离心
28、率为，长轴长为 4； （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立直线与椭圆方程有，消去 y 并整理可得， （3+4k2）x216kx+40， 由韦达定理有， ， 设线段 AB 的中点为 Q，则由中点坐标公式有， 直线 AB 的垂直平分线方程为， 令 y0，得， 假设存在实数 k， 使得PAB 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形， 则， 且， 又， ， k41，解得 k1， 当 k1 时，当 k1 时， 综上，存在实数 k，使得PAB 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形，且当 k1 时，当k1 时， 21定义数列an如下：a11，对任意的正整数 n，有 an+1 （）写出 a2
29、，a3，a4，a5的值； （）证明：对任意的正整数 n，都有 0an2n+1； （）是否每一个非负整数都在数列an出现？证明你的结论 【解答】解： （）由题意知，a2a110，a322+37，a4a3+18，a5a417 （）证明：用数学归纳法加以证明： （i）n1 时，a11 显然成立； （ii）假设 nk 成立，即 0ak2k+1； 若 ak0，则 ak+12k+32（k+1）+1，满足 0ak+12（k+1）+1； 若 1ak2k，则 ak+1ak1，满足 0ak+12（k+1）+1； 若 ak2k，则 ak+1ak+1，满足 0ak+12（k+1）+1； 综述，对任意的正整数 n，都有
30、 0an2n+1； （）每一个非负整数都在数列中出现，证明如下： 对任意非负整数 m，考虑 am+1， 由（）可知，0am+12（m+1）+1， 若 am+12（m+1）+1，则 am+22（m+2） ， 令， 则 0an2n，令 can， 下面证明：对于 0ic，都有 an+ici， 当 i0 时，成立， 假设 i1 时成立， 当 i 时，由归纳假设可得，an+（i1）c（i1）1 且 an+（i1）c2n2n+（i1）， 则 an+ian+（i1）1ci， 故 i 时也成立， 所以 an+ici，i0，1，2， ，c， 故 an+c0，则 an+c+12（n+c+1）+1， 则 an+c+2+j2（n+c+2）j，0j2（n+c+2） ， 取 j2（n+c+2）m，则 an+c+2+jm， 从而 m 在数列中出现， 故每一个非负整数都在数列中出现
