1、2020-2021 学年北京市学年北京市海淀区四校联考海淀区四校联考高二高二下期中数学试卷下期中数学试卷 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 （5 分）一个首项为 23，公差为整数的等差数列，从第 7 项开始为负数，则它的公差是（ ） A2 B3 C4 D6 2 （5 分）设等比数列an的公比 q2，前 n 项和为 Sn，则（ ） A2 B4 C D 3 （5 分）下列函数中，在（0，+）上为增函数的是（ ） Af（x）sin2x Bf（x）x
2、ex Cf（x）x3x Df（x）x+lnx 4 （5 分）函数 f（x）x2lnx 的最小值为（ ） A B C D 5 （5 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx+c，则“a23b0”是“f（x）有三个不同的零点”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）函数 f（x）3sinx+4cosx 的图象在点 T（0，f（0） ）处的切线 l 与坐标轴围成的三角形面积等于（ ） A B C D 7 （5 分）若数列an的通项公式是 an（1）n（3n2） ，则 a1+a2+a10（ ） A15 B12 C12 D15 8 （5 分
3、）若数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an+1，nN*，则下列说法不正确的是（ ） Aa516 BS563 C数列an是等比数列 D数列Sn1是等比数列 9 （5 分）若函数 f（x）lnxax+1，aR 有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，1） B （0，1） C （1，1） D （1，2） 10 （5 分）已知函数 f（x）x3+ax+b，其中 a，bR，则下列选项中的条件使得 f（x）仅有一个零点的有（ ） Aab，f（x）为奇函数 Baln（b2+1） Ca3，b240 Da1，b 二、填空题：共二、填空题：共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2
4、5 分分 11 （5 分）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S510，则 a5 ，Sn的最小值为 12 （5 分）设数列an为等比数列，其公比为 q，已知 a1+a2+a3+a43，a5+a6+a7+a848，则 13 （5 分）已知 x 轴为函数 f（x）x3+ax+的图象的一条切线，则实数 a 的值为 14 （5 分）已知定义在区间（，）上的函数 f（x）xsinx+cosx，则 f（x）的单调递增区间是 15 （5 分）已知函数 f（x），其中 a0如果对于任意 x1，x2R，且 x1x2，都有f（x1）f（x2） ，则实数 a 的取值范围是 三、解答题共三、解答题共 4
5、 小题，共小题，共 45 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 16 （10 分）已知公差不为 0 的等差数列an的首项 a11，且 a1，a2，a6成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn 17 （10 分）在S264，q0，S396，S1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中 设等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，前 n 项积为 Tn，nN*，满足_，S480问 Tn是否存在最大值？若存在，求出 n 的值；若不存在，请说明理由 18 （12 分）已知函数，曲线 yf（x）在 x1 处的
6、切线经过点（2，1） （）求实数 a 的值； （）设 b1，求 f（x）在区间上的最大值和最小值 19 （13 分）已知函数 f（x）lnx+ax2+（2a+1）x （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 a0 时，证明：f（x）2； （3）若不等式 f（x）0 恰有两个整数解，求实数 a 的取值范围 参考答案解析参考答案解析 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 （5 分）一个首项为 23，公差为整数的等差数列，从第 7 项开始为负数，则它的
7、公差是（ ） A2 B3 C4 D6 【解答】解：一个首项为 23，公差为整数的等差数列，从第 7 项开始为负数， 则， 解得d， dZ，它的公差为4 故选：C 2 （5 分）设等比数列an的公比 q2，前 n 项和为 Sn，则（ ） A2 B4 C D 【解答】解：S531a1，a22a1， 则 故选：D 3 （5 分）下列函数中，在（0，+）上为增函数的是（ ） Af（x）sin2x Bf（x）xex Cf（x）x3x Df（x）x+lnx 【解答】解：对于 A，f（x）sin2x 是周期函数，在（0，+）上无单调性，不满足题意； 对于 B，f（x）xex，f（x）（1+x）ex， 当 x
8、（0，+）时，f（x）0，f（x）在（0，+）上是增函数； 对于 C，f（x）x3x，f（x）3x21， 当 x（0，）时，f（x）0，f（x）是减函数； x（，+）时，f（x）0，f（x）是增函数；不满足题意； 对于 D，f（x）x+lnx，f（x）1+， 当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）是增函数， 当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）是减函数，不满足题意 综上，在（0，+）上为增函数的是 B 故选：B 4 （5 分）函数 f（x）x2lnx 的最小值为（ ） A B C D 【解答】解：f（x）2xlnx+xx（2lnx+1） （x0） ， 令 f（x）0，得 ； f（x）0，
9、得 ； 所以函数 f（x）在上单调递减，在单调递增； 所以当时，f（x）有最小值：， 故选：C 5 （5 分）已知函数 f（x）x3+ax2+bx+c，则“a23b0”是“f（x）有三个不同的零点”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：f（x）3x2+2ax+b， 若 f（x）3x2+2ax+b0，且4a212b0，即 a23b0 时， 设 f（x）0 两根为 x1，x2，且 x1x2， 当 xx1 或 xx2时，f（x）0，f（x）单调递增， 当 x1xx2时，f（x）0，f（x）单调递减， 若，则 f（x）有三个不同的零点，
10、a23b0 是 f（x）有三个不同的零点的必要不充分条件 故选：B 6 （5 分）函数 f（x）3sinx+4cosx 的图象在点 T（0，f（0） ）处的切线 l 与坐标轴围成的三角形面积等于（ ） A B C D 【解答】解：由 f（x）3sinx+4cosx，得 f（x）3cosx4sinx， f（0）3，又 f（0）4， 切线 l 的方程为 3xy+40， 取 x0，解得切线 l 在 y 轴上的截距 b4， 取 y0，解得切线 l 在 x 轴上的截距， 直线 l 与坐标轴围成的三角形面积|a|b| 故选：D 7 （5 分）若数列an的通项公式是 an（1）n（3n2） ，则 a1+a2
11、+a10（ ） A15 B12 C12 D15 【解答】解：依题意可知 a1+a23，a3+a43a9+a103 a1+a2+a105315 故选：A 8 （5 分）若数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an+1，nN*，则下列说法不正确的是（ ） Aa516 BS563 C数列an是等比数列 D数列Sn1是等比数列 【解答】解：数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn2an+1， 当 n1 时，解得 a11， 当 n2 时，Sn12an1+1， 得：an2an2an1， 故 an2an1， 整理得（常数） ， 所以数列an是以1 为首项，2 为公比的等比数列； 所以 根据数列的通项公式
12、和求和公式，整理得 a516， 由于，所以 故 ACD 正确，B 错误 故选：B 9 （5 分）若函数 f（x）lnxax+1，aR 有两个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，1） B （0，1） C （1，1） D （1，2） 【解答】解：函数 f（x）lnxax+1，aR 有两个零点， 等价为 f（x）0 即 a有两个不等的实数解 令 g（x），g（x）， 当 x1 时，g（x）0，g（x）递减；当 0 x1 时，g（x）0，g（x）递增 g（x）在 x1 处取得极大值，且为最大值 1 当 x+，y0 画出函数 yg（x）的图象， 由图象可得 0a1 时，yg（x）和 ya 有两
13、个交点， 即方程有两个不等实数解，f（x）有两个零点 故选：B 10 （5 分）已知函数 f（x）x3+ax+b，其中 a，bR，则下列选项中的条件使得 f（x）仅有一个零点的有（ ） Aab，f（x）为奇函数 Baln（b2+1） Ca3，b240 Da1，b 【解答】解：f（x）3x2+a， 对于 A：由 f（x）是奇函数，知 b0， 因为 a0， 所以 f（x）存在两个极值点， 由 f（0）0 知，f（x）有三个零点，故 A 错误； 对于 B：因为 b211，所以 a0，f（x）0， 所以 f（x）单调递增，则 f（x）仅有一个零点，故 B 正确； 对于 C：若 b2，f（x）3x23，
14、 则 f（x）的极大值为 f（1）4，极小值为 f（1）0， 此时 f（x）有两个零点，故 C 错误； 对于 D：f（x）x3x+， f（x）3x21， 令 f（x）0，得 x1，x2， 当 x（，）时，f（x）0，f（x）单调递增， 当 x（，）时，f（x）0，f（x）单调递减， 当 x（，+）时，f（x）0，f（x）单调递增， f（x）的极大值为 f（）+0，极小值为 f（）+0， 所以 f（x）有三个零点，故 D 错误 故选：B 二、填空题：共二、填空题：共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 11（5 分） 设等差数列an的前 n 项和为 Sn， 若 a23，
15、S510， 则 a5 0 ， Sn的最小值为 10 【解答】解：设等差数列an的前 n 项和为 Sn，a23，S510， ， 解得 a14，d1， a5a1+4d4+410， Sn4n+（n）2， n4 或 n5 时，Sn取最小值为 S4S510 故答案为：0，10 12（5 分） 设数列an为等比数列， 其公比为 q， 已知 a1+a2+a3+a43， a5+a6+a7+a848， 则 【解答】解：a1+a2+a3+a43，a5+a6+a7+a848， （1q4）3，（1q8）（1q4）48， 解得 q416 则 故答案为： 13 （5 分）已知 x 轴为函数 f（x）x3+ax+的图象的一
16、条切线，则实数 a 的值为 【解答】解：由 f（x）x3+ax+，得 f（x）3x2+a， 设切点为（x0，0） ， 则，消去 a 并整理，得，则 故答案为： 14（5 分） 已知定义在区间 （， ） 上的函数 f （x） xsinx+cosx， 则 f （x） 的单调递增区间是 ， 【解答】解：由题意得，f（x）sinx+xcosxsinxxcosx， 根据余弦函数的性质得， 当或时，f（x）0， 所以 f（x）的单调递增区间是和， 故答案为：和 15 （5 分）已知函数 f（x），其中 a0如果对于任意 x1，x2R，且 x1x2，都有f（x1）f（x2） ，则实数 a 的取值范围是 【解
17、答】解：对于任意 x1，x2R，且 x1x2，都有 f（x1）f（x2） 成立，即函数 f（x）在 R 上单调递增， 先考察函数 g（x）x2+2x3，xR 的图象， 配方可得 g（x）（x1）22， 函数 g（x） 在 （，1）上单调递增，在 （1，+） 上单调递减，且 g（x）maxg（1）2， a1， 以下考察函数 h（x）xlnx，x（0，+） 的图象， 则 h（x）lnx+1，令 h（x）lnx+10，解得 随着 x 变化时，h（x） 和 h（x） 的变化情况如下： x h（x） 0 + h（x） 单调递减 极小值 单调递增 即函数 h（x） 在 上单调递减，在 上单调递增，且 对于
18、任意 x1，x2R，且 x1x2，都有 f（x1）f（x2） 成立， ， ，即 h（x）ming（x）max， a 的取值范围为 故答案为： 三、解答题共三、解答题共 4 小题，共小题，共 45 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 16 （10 分）已知公差不为 0 的等差数列an的首项 a11，且 a1，a2，a6成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn，求数列bn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d，d 不为 0， 由 a11，且 a1，a2，a6成等比数列，可得 a22a1a6， 即为（1+d）
19、21+5d，解得 d3， 所以 an1+3（n1）3n2； （2）bn（） ， 则 Sn（1+.+）（1） 17 （10 分）在S264，q0，S396，S1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中 设等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，前 n 项积为 Tn，nN*，满足_，S480问 Tn是否存在最大值？若存在，求出 n 的值；若不存在，请说明理由 【解答】解：若选S264，q0，S480， 可得 a1+a264，a3+a4S4S216， 两式相除可得 q2，解得 q， 由 a1a164，解得 a1128， 所以 ana1qn1（1）n128n， 当 n 为奇数时，an0，当 n
20、 为偶数时，an0， 当 1n8 时，|an|1；当 n9 时，|an|1， 所以当 n8 时，前 n 项积为 Tn取得最大 若选S396，S480，则 a4S4S316， 即有 a1q316，a1+a1q+a1q296， 解得 a1128，q， ana1qn1（1）n128n， 当 n 为奇数时，an0，当 n 为偶数时，an0， 当 1n8 时，|an|1；当 n9 时，|an|1， 所以当 n8 时，前 n 项积为 Tn取得最大 若选S1，S480，则 a1，（1+q+q2+q3）80， 解得 q，an28n， 当 1n6 时，an1；当 n7 时，0an1 所以当 n6 时，前 n 项
21、积为 Tn取得最大 18 （12 分）已知函数，曲线 yf（x）在 x1 处的切线经过点（2，1） （）求实数 a 的值； （）设 b1，求 f（x）在区间上的最大值和最小值 【解答】 （本小题满分 13 分） 解： （）f（x）的导函数为，（2 分） 所以 f（1）1a 依题意，有 ， 即 ，（4 分） 解得 a1（5 分） （）由（）得 当 0 x1 时，1x20，lnx0，所以 f（x）0，故 f（x）单调递增； 当 x1 时，1x20，lnx0，所以 f（x）0，故 f（x）单调递减 所以 f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减（8 分） 因为，所以 f（x）最
22、大值为 f（1）1（9 分） 设，其中 b1（10 分） 则， 故 h（b）在区间（1，+）上单调递增（11 分） 所以 h（b）h（1）0，即，（12 分） 故 f（x）最小值为（13 分） 19 （13 分）已知函数 f（x）lnx+ax2+（2a+1）x （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 a0 时，证明：f（x）2； （3）若不等式 f（x）0 恰有两个整数解，求实数 a 的取值范围 【解答】 解：（1） 由题意， 得 f （x） 的定义域为 若 a0，则当 x（0，+） 时，f（x）0，故 f（x） 在 （0，+） 上单调递增， 若 a0，则当 时，f（x）0，当 时 f（x）
23、0，故 f（x） 在 上单调递增，在 上单调递减 综上所述，若 a0，f（x） 在 （0，+） 上单调递增；若 a0，f（x） 在 上单调递增，在 上单调递减 （2）由（1）知，当 a0 时，f（x） 在 取得最大值， 最大值为 ， 所以 等价于 ， 设 g（x）lnxx+1，则 ， 当 x（0，1）时，g（x）0；当 x（1，+） 时，g（x）0， 所以 g（x） 在 （0，1）上单调递增，在 （1，+） 上单调递减， 故当 x1 时，g（x） 取得最大值，最大值为 g（1）0， 所以当 x0 时，g（x）0， 从而当 a0 时， 即 （3）当 a0 时， 由 （1）知 f（x） 在 （0，+） 上单调递增，因为 f（1）1+3a0， 所以当 x1 时，f（x）0 恒成立，不符合题意； 当 a0 时，由 （1）知 f（x） 在 上单调递增，在 上单调递减， 且 ， （i） 当 时，此时 ， 所以 f（x）max0，即 f（x）0 恒成立，显然不满足题意； （ii） 当 时，此时 ， 1 当 ，即 时，此时结合题意有 2 当 时，即 时， 此时 f（1）1+3a0，f（2）2+ln2+8a0，f（3）3+ln3+15a0，与题意矛盾 综上所述，a 的取值范围为
