1、2020-2021 学年学年北京市海淀区北京市海淀区二校联考高二下二校联考高二下期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。要求的。 1 （4 分）直线（3a+4）x+ay+80 与直线 ax+（a+4）y70 垂直，则 a 的值为（ ） A2 B0 C2 或 0 D0 或 2 2 （4 分）若椭圆的离心率为，则 m 的值等于（ ） A B C或 3 D或 3 3 （4 分）函数 f（x）m2x32mx2+x 在
2、x处取得极大值，则实数 m 的值为（ ） A1 或 3 B3 C1 D0 4 （4 分）两圆 x2+y24x+2y+10 与 x2+y2+4x4y10 的公切线有（ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 5 （4 分）若函数 f（x）lnxax 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，+） B C （0，e） D 6 （4 分）如图所示是 yf（x）的导数 yf（x）的图象，下列四个结论： f（x）在区间（3，1）上是增函数； x1 是 f（x）的极小值点； f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（1，2）上是增函数； x2 是 f（x）的极小值点 其中正确的结论
3、是（ ） A B C D 7 （4 分）几何学史上有一个著名的米勒问题： “设点 M，N 是锐角AQB 的一边 QA 上的两点，试在 QB边上找一点 P，使得MPN 最大” 如图，其结论是：点 P 为过 M，N 两点且和射线 QB 相切的圆的切点根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M（1，2） ，N（1，4） ，点 P在 x 轴上移动，当MPN 取最大值时，点 P 的横坐标是（ ） A7 B1 或7 C2 或7 D1 8 （4 分）若函数 f（x）在区间 A 上，对a，b，cA，f（a） ，f（b） ，f（c）为一个三角形的三边长，则称函数 f（x）为“三角形函数
4、” 已知函数 f（x）xlnx+m 在区间，e上是“三角形函数” ，则实数 m的取值范围为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填写在题中横线上。分，把答案填写在题中横线上。 9 （5 分）椭圆的左右焦点为 F1， F2，b4，离心率为，过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点，则ABF2的周长为 10 （5 分）如图，将一边长为 6m 的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为 m 11 （5 分）若 ，使得不等式
5、 2xlnx+x2mx+30 成立，则实数 m 的最小值为 12 （5 分）曲线 C 是平面内与两个定点 F1（1，0）和 F2（1，0）的距离的积等于常数 a（a1）的点的轨迹，给出下列四个结论： 曲线 C 关于坐标轴对称； 曲线 C 上的点都在椭圆1 外； 曲线 C 上点的横坐标的最大值为； 若点 P 在曲线 C 上（不在 x 轴上） ，对任意的常数 a（a1） ，PF1F2的面积的最大值为 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 小题，共小题，共 48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13已知圆
6、C1圆心为原点，且与直线 3x+4y100 相切，直线 l 过点 M（1，2） （1）求圆 C1的标准方程； （2）若直线 l 被圆 C1所截得的弦长为 2，求直线 l 的方程 14已知函数 f（x）x3+ax2+bx 的图象与直线 15xy280 相切于点（2，2） （）求 a，b 的值； （）求函数 f（x）的单调区间 15已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，且经过点 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 P（0，2）的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求AOB（O 为原点）面积的最大值 16已知函数 f（x）lnx+12ax+有两个不同的极值点 x1，x2 （1）求 a 的取值范围； （
7、2）求 f（x）的极大值与极小值之和的取值范围 参考答案解析参考答案解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。要求的。 1 （4 分）直线（3a+4）x+ay+80 与直线 ax+（a+4）y70 垂直，则 a 的值为（ ） A2 B0 C2 或 0 D0 或 2 【解答】解：当 a0 时，直线 l1为 x2，直线 l2为 y，直线 l1和 l2互相垂直 当两直线的斜率都存在时，根据斜率之积等于1 可得1 a2 综上，a0 或 a2
8、， 故选：C 2 （4 分）若椭圆的离心率为，则 m 的值等于（ ） A B C或 3 D或 3 【解答】解：当 m+99，即 m0 时，焦点 y 轴 c e求得 m3 当 m+99 时，即 m0 时， c e，求得 m 故选：C 3 （4 分）函数 f（x）m2x32mx2+x 在 x处取得极大值，则实数 m 的值为（ ） A1 或 3 B3 C1 D0 【解答】解：f（x）3m2x24mx+1， 由题意得：f（）m2m+10， 解得：m1 或 m3， m1 时，f（x）x32x2+x， f（x）（3x1） （x1） ， 令 f（x）0，解得：x1 或 x， 令 f（x）0，解得：x1， 故
9、 f（x）在（，）递增，在（，1）递减，在（1，+）递增， 故 x是极大值点，符合题意， m3 时，f（x）9x36x2+x， f（x）27x212x+1（3x1） （9x1） ， 令 f（x）0，解得：x或 x， 令 f（x）0，解得：x， 故 f（x）在（，）递增，在（，）递减，在（，+）递增， 故 x是极小值点，不合题意， 综上：m1， 故选：C 4 （4 分）两圆 x2+y24x+2y+10 与 x2+y2+4x4y10 的公切线有（ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 【解答】解：因为圆 x2+y24x+2y+10 化为（x2）2+（y+1）24，它的圆心坐标（2，1） ，半
10、径为2； 圆 x2+y2+4x4y10 化为（x+2）2+（y2）29，它的圆心坐标（2，2） ，半径为 3； 因为52+3， 所以两个圆相外切， 所以两个圆的公切线有 3 条 故选：C 5 （4 分）若函数 f（x）lnxax 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，+） B C （0，e） D 【解答】解：函数 f（x）lnxax 在 R 上有两个不同的零点可化为 ylnx 与 yax 在 R 上有两个不同的交点， 作函数 ylnx 与 yax 在 R 上的图象如下， 当直线与 ylnx 相切时， 则， 解得，xe； 故直线与 ylnx 相切时，切线的斜率 a； 故实数
11、 a 的取值范围是（0，） ； 故选：B 6 （4 分）如图所示是 yf（x）的导数 yf（x）的图象，下列四个结论： f（x）在区间（3，1）上是增函数； x1 是 f（x）的极小值点； f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（1，2）上是增函数； x2 是 f（x）的极小值点 其中正确的结论是（ ） A B C D 【解答】解：由导函数的图象可得： x （3，1） 1 （1，2） 2 （2，4） 4 （4，+） f（x） 0 + 0 0 + f（x） 单减 极小 单增 极大 单减 极小 单增 由表格可知：f（x）在区间（3，1）上不具有单调性，因此不正确； x1 是 f（x）的极小值点
12、，正确； f（x）在区间（2，4）上是减函数，在区间（1，2）上是增函数，正确； x2 是 f（x）的极大值点，因此不正确 综上可知：只有正确 故选：B 7 （4 分）几何学史上有一个著名的米勒问题： “设点 M，N 是锐角AQB 的一边 QA 上的两点，试在 QB边上找一点 P，使得MPN 最大” 如图，其结论是：点 P 为过 M，N 两点且和射线 QB 相切的圆的切点根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M（1，2） ，N（1，4） ，点 P在 x 轴上移动，当MPN 取最大值时，点 P 的横坐标是（ ） A7 B1 或7 C2 或7 D1 【解答】解：经过 M
13、、N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y3x 上， 设圆心为 S（a，3a） ， 则圆 S 的方程为： （xa）2+（y3+a）22（a1）2， 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大， 当MPN 取最大值时，经过 M，N，P 三点的圆 S 必与 x 轴相切于点 P， 即圆 S 的方程中的 a 值必须满足 2（1+a2）（3a）2， 解得 a1 或 a7 即对应的切点分别为 P（1，0）和 P（7，0） ， 而过点 M，N，P的圆的半径大于过点 M，N，P 的圆的半径， MPNMPN，故点 P（1，0）为所求， 点 P 的横坐标为 1， 故选：D 8 （4 分）
14、若函数 f（x）在区间 A 上，对a，b，cA，f（a） ，f（b） ，f（c）为一个三角形的三边长，则称函数 f（x）为“三角形函数” 已知函数 f（x）xlnx+m 在区间，e上是“三角形函数” ，则实数 m的取值范围为（ ） A B C D 【解答】解：若 f（x）为“区域 D 上的三角形函数” 则在区间 D 上，函数的最大值 M 和最小值 m 应满足：M2m， 函数 f（x）xlnx+m 在区间，e上是“三角形函数” ， f（x）lnx+1， 当 x，）时，f（x）0，函数 f（x）递减； 当 x（，e时，f（x）0，函数 f（x）递增； 故当 x时，函数 f（x）取最小值+m， 又由
15、 f（e）e+m，f（）+m， 故当 xe 时，函数 f（x）取最大值 e+m， 0e+m2（+m） ， 解得：m， 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，把答案填写在题中横线上。分，把答案填写在题中横线上。 9 （5 分）椭圆的左右焦点为 F1， F2，b4，离心率为，过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点，则ABF2的周长为 20 【解答】解：椭圆的左右焦点为 F1，F2，b4，离心率为， ，解得 a5，b4，c3， 过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点， ABF2的周长为 4a20 故答案为：20 10 （5 分）如图
16、，将一边长为 6m 的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为 1 m 【解答】解：设剪去小正方形的边长为 x， 则容器的容积为：V（62x）2x（0 x3） ， V（62x） （66x） ， 令 V0，则 x13（舍去 ） ，x21， 当 0 x1 时，V0，函数单调递增， 当 1x3 时，V0，函数单调递减， 所以当 x1 时铁盒的容积最大， 故截去的小正方形边长为 1m 故答案为：1 11 （5 分）若 ，使得不等式 2xlnx+x2mx+30 成立，则实数 m 的最小值为 4 【解答】解：时，不
17、等式 2xlnx+x2mx+30 化为 m2lnx+x+， 设 f（x）2lnx+x+，x，e； 则 f（x）+1， 令 f（x）0，解得 x1 或 x3（不合题意，舍去） ； 所以 x，1） ，f（x）0，f（x）单调递减； x（1，e时，f（x）0，f（x）单调递增； 所以 x1 时，f（x）取得最小值为 f（x）minf（1）0+1+34； 所以实数 m 的取值范围是 m4，即 m 的最小值为 4 故答案为：4 12 （5 分）曲线 C 是平面内与两个定点 F1（1，0）和 F2（1，0）的距离的积等于常数 a（a1）的点的轨迹，给出下列四个结论： 曲线 C 关于坐标轴对称； 曲线 C
18、上的点都在椭圆1 外； 曲线 C 上点的横坐标的最大值为； 若点 P 在曲线 C 上（不在 x 轴上） ，对任意的常数 a（a1） ，PF1F2的面积的最大值为 其中，所有正确结论的序号是 【解答】解：对于，设点 P（x，y）则， 故（x+1）2+y2（x1）2+y2a2 代入点（x，y） ，得到（x+1）2+（y）2（x1）2+（y）2（x+1）2+y2（x1）2+y2a2，故曲线 C 关于坐标轴对称，故正确； 对于， 所以曲线 C 上的点都在椭圆1 外；故正确； 对于，令 y0 可得；x，所以曲线 C 上的点的横标的最大值为，故正确； 对于，由于点 P 在曲线 C 上，则， 由得：或（舍）
19、 ， 令，则， 所以， 则， 点 P 在 x 轴上取等号，故错误 故答案为： 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 小题，共小题，共 48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13已知圆 C1圆心为原点，且与直线 3x+4y100 相切，直线 l 过点 M（1，2） （1）求圆 C1的标准方程； （2）若直线 l 被圆 C1所截得的弦长为 2，求直线 l 的方程 【解答】解： （1）根据已知可得圆的半径为 R2，圆心为（0，0） ， 所以圆 C1的方程为 x2+y24； （2）根据题意，圆 C1：x2+y24，其圆心 C1（0，0）
20、 ，半径 R2， 又直线 l 过点 M（1，2） ，且与圆相交， 则可设直线 l 的方程为 x1m（y2） ，即 xmy1+2m0， 直线 l 被圆 C1所截得的弦长为 2， 则圆心到直线的距离 d1， 则有1，解可得 m0 或 m， 则直线 l 的方程为 x1 或 3x4y+50 14已知函数 f（x）x3+ax2+bx 的图象与直线 15xy280 相切于点（2，2） （）求 a，b 的值； （）求函数 f（x）的单调区间 【解答】解： （I）求导函数可得 f（x）3x2+2ax+b， f（x）的图象与直线 15xy280 相切于点（2，2） ， f（2）2，f（2）15， ， a3，b9
21、 （II）由（I）得 f（x）3x2+6x9， 令 f（x）0，可得 3x2+6x90， 3x1， 函数 f（x）的单调递减区间是（3，1） 令 f（x）0，可得 3x2+6x90， 单调增区间为： （，3） ， （1，+） 综上：函数 f（x）的单调递减区间是（3，1） 单调增区间为： （，3） ， （1，+） 15已知椭圆 C：1（ab0）的离心率为，且经过点 （）求椭圆 C 的方程； （）过点 P（0，2）的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，求AOB（O 为原点）面积的最大值 【解答】 （本小题满分 14 分） （）解：由 ， 得 （2 分） 由椭圆 C 经过点，得 （3 分） 联立，解
22、得 b1， （4 分） 所以椭圆 C 的方程是 （5 分） （）解：易知直线 AB 的斜率存在，设其方程为 ykx+2 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立， 消去 y 得 （1+3k2）x2+12kx+90（7 分） 令144k236（1+3k2）0，得 k21 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则， （9 分） 所以 （10 分） 因为 ， 设 k21t（t0） ， 则 （13 分） 当且仅当，即时等号成立， 此时AOB 面积取得最大值（14 分） 16已知函数 f（x）lnx+12ax+有两个不同的极值点 x1，x2 （1）求 a 的取值范围； （2）求 f（x）的极大值与极小值之和的取值范围 【解答】解： （1） 因为 f（x）有两个不同的极值点 x1，x2，且 x10，x20， 所以 x2x+a0 有两个不同的正根，故 （2）因为 x1x2a，x1+x21，不妨设 x1x2， 所以 f（x）极小值f（x1） ，f（x）极大值f（x2） ， 所 以lna+24a 令 （a）lna4a+2，则， 所以 （a）在上单调递增，所以， 即 f（x）的极大值与极小值之和的取值范围是（，2ln2+1）
