1、2020-2021 学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（A） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1 （4 分）已知函数 f（x）sinx，那么函数 f（x）在处的导数为（ ） A B C D1 2 （4 分）某质点沿直线运动，位移 y（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的关系为 y（t）3t2+4，则质点在 t2 时的瞬时速度为（ ） A8m/s B12m/s C18m/s D24m/s 3 （4 分）甲、乙、丙、丁
2、4 名同学和 1 名老师站成一排合影留念，要求老师必须站在中间，则不同站法种数为（ ） A12 B24 C48 D120 4 （4 分）在（3x2）5的展开式中，各项系数的和是（ ） A25 B55 C1 D1 5 （4 分）将 5 封不同的信分别投入到 4 个信箱中，则不同的投送方式的种数为（ ） A45 B54 C120 D24 6 （4 分）已知函数 f（x）的图象如图所示，那么下列各式正确的是（ ） Af（1）f（2）f（3）0 Bf（1）f（2）f（3）0 Cf（3）f（2）f（1）0 Df（3）f（2）f（1）0 7 （4 分）若从 0，2，4 中任取 2 个数字，从 1，3 中任
3、取 1 个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A18 B24 C28 D32 8 （4 分）将一个边长为 6（单位：m）的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积最大为（ ） A1m3 B3m3 C12m3 D16m3 9 （4 分）已知函数，则该函数的大致图象是（ ） A B C D 10 （4 分）已知可导函数 f（x）的定义域为（0，+） ，且 xf（x）f（x） ，若 ab0，则（ ） Abf（a）af（b） Bbf（a）af（b） Cbf（a）af（b） Dbf（a） ，af（b）的大小关系不能确定 二、填空题（每小题二、填空题（每小
4、题 4 分，共分，共 24 分分.） 11 （4 分）在平面直角坐标系中，点 M 的横坐标在集合 A2，4内取值，纵坐标在集合 B1，3内取值，则不同的点 M 共有 个 12 （4 分）在（x+）6的展开式中，常数项为 13 （4 分）在（1+2x）n的展开式中，x2的系数为 40，则 n 14 （4 分）现要从抗击疫情的 5 名志愿者中选 3 名志愿者，分别承担“防疫宣传讲解” 、 “站岗执勤”和“发放口罩”三项工作，其中志愿者甲不能承担“防疫宣传讲解”工作，则不同的选法有 种 （结果用数字作答） 15 （4 分）已知直线 ykx2 是曲线 ylnx 的切线，则 k 的值为 16 （4 分）
5、已知函数 （1）若 a1，则函数 f（x）的单调递减区间为 ； （2）若 f（x）ax 在区间（0，e）上恒成立，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（共三、解答题（共 36 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 17 （9 分）已知函数 f（x）x33x+1 （）求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）求函数 f（x）的极值 18 （6 分）某学校为普及 2022 年北京冬奥会知识，现从 4 名男同学和 2 名女同学中选出 3 名同学担任宣讲员 （）共有多少种不同选法？（结果用数字作答） （）如果至少有 1 名女同学参加
6、，且这 3 名同学分别在周五、周六和周日进行宣讲，那么共有多少种不同选法？（结果用数字作答） 19 （9 分）已知函数 f（x）aex+bx+1 在 x0 处有极值 2 （）求 a，b 的值； （）证明：f（x）exx 20 （12 分）已知函数 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）求出函数 f（x）零点的个数 2020-2021 学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（学年北京市丰台区高二（下）期中数学试卷（A） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的在每小题给出的四个选项中，
7、只有一个选项是正确的.） 1 （4 分）已知函数 f（x）sinx，那么函数 f（x）在处的导数为（ ） A B C D1 【解答】解：根据题意，函数 f（x）sinx，则其导数 f（x）cosx， 则有 f（）cos， 故选：C 2 （4 分）某质点沿直线运动，位移 y（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的关系为 y（t）3t2+4，则质点在 t2 时的瞬时速度为（ ） A8m/s B12m/s C18m/s D24m/s 【解答】解：根据题意，y（t）3t2+4，则 y（t）6t， 在 t2 时，y（2）12，即质点在 t2 时的瞬时速度为 12m/s， 故选：B 3 （4 分）甲、乙、
8、丙、丁 4 名同学和 1 名老师站成一排合影留念，要求老师必须站在中间，则不同站法种数为（ ） A12 B24 C48 D120 【解答】解：根据题意，将甲、乙、丙、丁 4 名同学全排列，有 A4424 种排法， 老师必须站在中间，有 1 种安排方法， 则有 24124 种站法； 故选：B 4 （4 分）在（3x2）5的展开式中，各项系数的和是（ ） A25 B55 C1 D1 【解答】解： （3x2）5的展开式中， 令 x1， 可得各项系数的和为（312）51， 故选：C 5 （4 分）将 5 封不同的信分别投入到 4 个信箱中，则不同的投送方式的种数为（ ） A45 B54 C120 D2
9、4 【解答】解：根据题意，每一封信可以放入 4 个信箱中任意一个，即有 4 种投送方式， 则 5 封不同的信有 4444445种投送方式， 故选：A 6 （4 分）已知函数 f（x）的图象如图所示，那么下列各式正确的是（ ） Af（1）f（2）f（3）0 Bf（1）f（2）f（3）0 Cf（3）f（2）f（1）0 Df（3）f（2）f（1）0 【解答】解：结合图像，f（x）在（0，+）单调递减， 故 f（x）0，且 f（x）递增， 故 f（1）f（2）f（3）0， 故选：A 7 （4 分）若从 0，2，4 中任取 2 个数字，从 1，3 中任取 1 个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数
10、为（ ） A18 B24 C28 D32 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： 从 0，2，4 中任取 2 个数字中不含 0，其取法有 1 种，从 1，3 中任取 1 个数字，其取法有 2 种， 将选出的 3 个数字全排列，组成三位数，有 A336 种情况， 此时有 2612 个没有重复数字的三位数， 从 0，2，4 中任取 2 个数字中含有 0，其取法有 2 种，从 1，3 中任取 1 个数字，其取法有 2 种， 用选出的 3 个数字组成三位数，有 A3324 种情况， 此时有 22416 个没有重复数字的三位数， 故有 12+1628 个符合题意的三位数； 故选：C 8 （4 分）将
11、一个边长为 6（单位：m）的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的容积最大为（ ） A1m3 B3m3 C12m3 D16m3 【解答】解：设无盖方盒的底面边长为 a，则 a62x， 则无盖方盒的容积为：V（x）x（62x）2， 得 V（x）12x248x+36， 令 V（x）12x248x+360， 解得 x1 或 x3； 令 V（x）12x248x+360，解得 1x3， 函数 V（x）的定义域为 x（0，3） ， 函数 V（x）的单调增区间是： （0，1） ， 函数 V（x）的单调减区间是： （1，3） ， 令 V（x）12x248x+360， 得 x1
12、或 x3（舍） ，求得 V（1）16， 由 V（x）的单调性知，16 为 V（x）的最大值， 故截去的小正方形的边长 x 为 1m 时，无盖方盒的容积最大， 故选：D 9 （4 分）已知函数，则该函数的大致图象是（ ） A B C D 【解答】解：函数的定义域为x|x1，排除 A， 当 x0 且 x，f（x）0，排除 D， 函数的导数 f（x）， 则当 x1 时，当 f（x）0 得 x0，此时函数为增函数， 由 f（x）0 得1x0 时，此时函数为减函数， 排除 C， 故选：B 10 （4 分）已知可导函数 f（x）的定义域为（0，+） ，且 xf（x）f（x） ，若 ab0，则（ ） Abf
13、（a）af（b） Bbf（a）af（b） Cbf（a）af（b） Dbf（a） ，af（b）的大小关系不能确定 【解答】解：令 g（x）（x0） ， 则 g（x）， xf（x）f（x） ， g（x）0，g（x）在（0，+）递增， 若 ab0，则 g（a）g（b） ， 即，即 bf（a）af（b） ， 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分分.） 11 （4 分）在平面直角坐标系中，点 M 的横坐标在集合 A2，4内取值，纵坐标在集合 B1，3内取值，则不同的点 M 共有 4 个 【解答】解：根据题意，点 M 的横坐标在在集合 A2，4内取值，有 2 种情况，
14、 纵坐标在集合 B1，3内取值，有 2 种情况， 则不同的点 M 有 224 个； 故答案为：4 12 （4 分）在（x+）6的展开式中，常数项为 20 【解答】解：在（x+）6的展开式中，常数项为x6320， 故答案为：20 13 （4 分）在（1+2x）n的展开式中，x2的系数为 40，则 n 5 【解答】解：（1+2x）n的展开式中，x2的系数为 40， （2x）240 x2， 10， 解得：n5， 故答案为：5 14 （4 分）现要从抗击疫情的 5 名志愿者中选 3 名志愿者，分别承担“防疫宣传讲解” 、 “站岗执勤”和“发放口罩”三项工作，其中志愿者甲不能承担“防疫宣传讲解”工作，则
15、不同的选法有 48 种 （结果用数字作答） 【解答】解：根据题意，分 3 步进行分析： 对于“防疫宣传讲解” ，甲不能承担该工作，有 4 种情况， 对于“站岗执勤” ，在剩下 4 人选择 1 个即可，有 4 种情况， 对于“发放口罩” ，在剩下 3 人选择 1 个即可，有 3 种情况， 则有 44348 种不同的选法； 故答案为：48 15 （4 分）已知直线 ykx2 是曲线 ylnx 的切线，则 k 的值为 e 【解答】解：由 ylnx，得， 设直线 ykx2 与曲线 ylnx 相切于（m，n） ， 则 k， 又 nkm2，nk21， 即切点为（，1） ， 把切点坐标代入 ylnx，得1l
16、n，则 ke 故答案为：e 16 （4 分）已知函数 （1）若 a1，则函数 f（x）的单调递减区间为 （0，1） ； （2）若 f（x）ax 在区间（0，e）上恒成立，则实数 a 的取值范围是 【解答】解： （1）当 a1 时， f（x）在（0，+）单调递增，又 f（1）0， 当 x（0，1）时，f（x）0，即函数 f（x）在（0，1）单调递减； （2）f（x）ax 即为，即， 设 h（x）（1lnx）x2，x（0，e） ，则 h（x）x（12lnx） ，令 h（x）0，解得， 当时，h（x）0，当时，h（x）0， h（x）在上单增，在上单减，且 x0 时，h（x）0，当 xe 时，h（x）
17、0， 当 x（0，e）时， ， ，即实数 a 的取值范围为 故答案为： （1） （0，1） ； （2） 三、解答题（共三、解答题（共 36 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 17 （9 分）已知函数 f（x）x33x+1 （）求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （）求函数 f（x）的极值 【解答】解： （）xR，f（x）3x23， 则 f（0）3，且 f（0）1， 曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 y13（x0） ， 化为：3x+y10 （）令 f（x）0，解得 x1，或 x1 列表如下： x （，
18、1） 1 （1，1） 1 （1，+） f（x） + 0 0 + f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 因此，当 x1 时，f（x）有极大值，并且极大值为 f（1）3； 当 x1 时，f（x）有极小值，并且极小值为 f（1）1 18 （6 分）某学校为普及 2022 年北京冬奥会知识，现从 4 名男同学和 2 名女同学中选出 3 名同学担任宣讲员 （）共有多少种不同选法？（结果用数字作答） （）如果至少有 1 名女同学参加，且这 3 名同学分别在周五、周六和周日进行宣讲，那么共有多少种不同选法？（结果用数字作答） 【解答】解： （）所有不同选法种数，就是从 6 名同学中抽出 3
19、 名的组合数， 所以选法种数为； （）根据题意，分 2 步进行分析： 从 6 名同学抽出的 3 名同学，要求其中至少有 1 名女同学， 包 括 1 名 女 同 学 2 名 男 同 学 和 2 名 女 同 学 1 名 男 同 学 两 种 情 况 ， 所 以 选 法 种 数 为， 将这 3 名同学分别在周五、周六、周日进行宣讲，有 A336 种情况， 则有 16696 种选法 19 （9 分）已知函数 f（x）aex+bx+1 在 x0 处有极值 2 （）求 a，b 的值； （）证明：f（x）exx 【解答】 （）解：f（x）aex+b， 函数 f（x）aex+bx+1 在 x0 处有极值 2，
20、f（0）a+b0，f（0）a+12， 解得 a1，b1 经检验，a1，b1 符合题意 （）证明：由（）可知，f（x）exx+1 要证 f（x）exx 只需证：exx+1exx 即 exex+10 令 g（x）exex+1，则 g（x）exe 令 g（x）0，解得 x1 列表如下： x （，1） 1 （1，+） g（x） 0 + g（x） 单调递减 1 单调递增 可得：x1 时，g（x）有最小值 g（1）ee+110 故 f（x）exx 成立 20 （12 分）已知函数 （）讨论函数 f（x）的单调性； （）求出函数 f（x）零点的个数 【解答】解： （）函数 f（x）的定义域为（0，+） ，f
21、（x），（2 分） 当 a0 时，f（x）0，所以 f（x）在（0，+）上单调递增； （3 分） 当 a0 时，f（x）0，解得 xa 当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化情况如下表所示： x （0，a） a （a，+） f（x） 0 + f（x） 单调递减 f（a）lna+1 单调递增 所以，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）单调递增 （5 分） 综上：当 a0 时，f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a0 时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+）上单调递增 （）当 a0 时，f（x）lnx 在（0，+）上单调递增，且 f（1）0， 所以 f（x）有一个零点； 当
22、a0 时，由（）知，f（x）在（0，+）上单调递增， 且 f（1）a0，f（1）a0，f（ea）a+aeaa（ea1）0， 所以存在唯一 x0（1，ea） ，使得 f（x0）0， 所以 f（x）有一个零点； 当 a0 时，由（）知，f（x）在（0，a）上单调递减， 在（a，+）上单调递增，所以 yminf（a）lna+1，则 lna+10，即 a，f（x）f（a）0， 所以 f（x）没有零点； lna+10，即 a，yminf（a）lna+10， 当 x（0，a）（a，+）时，f（x）0， 所以 f（x）有一个零点； lna+10，即 0a，此时 yminf（a）lna+10， 一方面，f（1）a0，又 f（x）在（a，+）上单调递增， 所以存在唯一 x1（a，1） ，使得 f（x1）0； 另一方面，0a2a，取，则 f（a2）lna2+2lna+， 令 g（a）2lna+（0a） ，则 g（a）， 由于 0a，所以 g（a）0，g（a）在（0，）单调递减 所以，g（a）g（）2ln+ee20 由于 f（x）在（0，a）上单调递减，且 f（a）0，f（a2）0， 所以存在唯一，使得 f（x2）0， 所以，当 0a时，f（x）在（0，+）有两个零点 综上：a0 或 a，f（x）有 1 个零点； a，f（x）有 0 个零点；0a，f（x）有 2 个零点 （12 分）
