1、四川省眉山市东坡区二校联考四川省眉山市东坡区二校联考 2022 年中考模拟数学试卷年中考模拟数学试卷 一选择题（本题共 12 小题，共 48 分） 1. 2035的绝对值是( ) A. 2035 B. 2035 C. 2035 D. 12035 2. 今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万数字1109万用科学记数法可表示为( ) A. 1.109 107 B. 1.109 106 C. 0.1109 108 D. 11.09 106 3. 下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 4. 如图是由5个完全相同的小正方形搭成
2、的几何体，如果将小正方体放到小正方体的正上方，则它的( ) A. 主视图会发生改变 B. 俯视图会发生改变 C. 左视图会发生改变 D. 三种视图都会发生改变 5. 某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如表：表中表示零件个数的数据中，众数、中位数分别是( ) 零件个数(个) 6 7 8 人数(人) 15 22 13 A. 7个，7个 B. 7个，6个 C. 22个，22个 D. 8个，6个 6. 下列运算中，错误的是( ) A. 2 3= 6 B. 2+ 2= 22 C. (2)3= 6 D. (3)2= 92 7. 下面命题正确的是( ) A. 三角形的内心到三个顶点距离
3、相等 B. 方程2= 14的解为 = 14 C. 三角形的外角和为360 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 8. 关于的一元二次方程2+ (2 ) = 0的根的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 9. 如图，以点为圆心的两个圆中，大圆的弦切小圆于点，半径交小圆于点，若 = 2，tan =12，则的长是( ) A. 4 B. 43 C. 8 D. 43 10. 某出租车公司为降低成本，推出了“油改气”措施，如图，1，2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程(单位：千米)与所需费用(单位：元)的关系， 已知燃气汽车每千米所需的费用比燃
4、油汽车每千米所需费用少0.5元，设燃气汽车每千米所需费用为元，则可列方程为( ) A. 30=10;0.5 B. 30;0.5=10 C. 30=10:0.5 D. 30:0.5=10 11. 如图，抛物线 = 2+ + 经过点(1,0)，与轴交于(0,2)，抛物线的对称轴为直线 = 1， 则下列结论中： + = ； 方程2+ + = 0的解为1和3；2 + = 0； 2，其中正确的结论为( ) A. B. C. D. 12. 如图，正方形边长为2，、分别是正方形的两个外角的平分线，点，分别是平分线、上的点，且满足 = 45，连接、.则下列结论： = 3.6， = ， = 135 2+ 2=
5、2，其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二填空题（本题共 6 小题，共 24 分） 13. 因式分解：43 162+ 16 = _ 14. 不等式组 3 0:42 1的解集为_ 15. 已知方程2 4 1 = 0的两根为1，2，则(1 1)(1 2) = _ 16. 如图，和是 的两条弦， = = 2， ，点为 上一点， = 30，则劣弧的长为_ 17. 如图，已知正方形的边长为8，点是正方形内部一点，连接，且 = ，点是边上一动点，连接，则 + 的长度最小值为_ 18. 如图，已知双曲线 =12( 0)，直线与双曲线 =12交于点，将直线向下平移与双曲线 =1
6、2交于点， 与轴交于点， 与双曲线 =交于点， = 6， ： = 2： 1， 则的值为_ 三解答题（本题共 8 小题，共 78 分） 19. 计算：( 2020)0 245 16 + |1 2| 20. 先化简，再求值：(1;212;4) 2;22;4，其中 = 2 + 1 21. 我省某校想知道学生对“开阳十里画廊”、 “贵定音寨”、 “安顺天龙屯堡”等旅游名片的了解程度，随机抽查了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项(每位被调查的学生必选一项).不知道，.了解较少，.了解较多，.十分了解将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： (1)本次调查了多少名学
7、生？ (2)补全条形统计图； (3)该校共有650名学生，请你估计“十分了解”的学生共有多少名？ (4)在被调查“十分了解”的学生中有四名普通话较好，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选两人做家乡旅游品牌的宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率 22. 如图， 在平面直角坐标系中， 一次函数 = + ( 0)与反比例函数 =( 0)的图象相交于，两点，过点作 轴于点， = 5，： = 3：4，点的坐标为(6,) (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求 的面积； (3)是轴上一点，且 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标 23. “花果山”
8、水果店计划购进和两种水果，经了解，用1200元采购种水果的箱数是用500元采购种水果箱数的2倍，一箱种水果的进价比一箱种水果的进价多20元 (1)求一箱种水果和一箱种水果的进价分别为多少元？ (2)若“花果山”水果店购进，两种水果共100箱，其中种水果的箱数不多于种水果的箱数，已知种水果的售价为150元/箱，种水果的售价为140元/箱，且能全部售出，该水果店销售这批水果最少能获利多少元？(不考虑其他费用支出) 24. 如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物的高度， 他们先在斜坡上的处， 测得建筑物顶端的仰角为30.且离地面的高度 = 5.坡底 = 3
9、0，然后在处测得建筑物顶端的仰角是60，点，在同一水平线上，求建筑物的高(结果用含有根号的式子表示) 25. 如图1，点为菱形内一点， = ， = 90，点在上， =12 (1)求证： ； (2)如图2，延长至，使得 = ，连接，取中点，连接 若，三点在同一条直线上，求的值； 求证： = 2 26. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2+ + ( 0)的顶点坐标为(3,6)，并与轴交于点(0,3)，点是对称轴与轴的交点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图所示， 是抛物线上的一个动点， 且位于第一象限， 连接， ， 求 的面积的最大值； (3)如图所示，在对称轴的右侧作 = 30交抛物
10、线于点，求出点的坐标；并探究：在轴上是否存在点，使 = 60？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由 答案和解析答案和解析 1.【答案】 【解析】解：负数的绝对值等于它的相反数， 2035的绝对值等于2035 故选： 根据绝对值的定义即可进行求解 此题主要考查了绝对值的定义，规律总结： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 2.【答案】 【解析】解： 1109万= 11090000， 11090000 = 1.109 107 故选： 科学记数法的表示形式为 10，其中1 | 0， 方程总有两个不相等的实数根 故选： 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式
11、= 2 4的值的符号就可以了 本题考查了根的判别式： 一元二次方程2+ + = 0( 0)的根与 = 2 4有如下关系： 当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 = 0时，方程有两个相等的实数根；当 0时，方程无实数根 9.【答案】 【解析】解：如图，连接， 是 切线， ， = ， 在 中， = 90， = = 2，tan =12， 2=12， = 4， = 2 = 8， 故选： 如图，连接，在 中，由tan =，求出即可解决问题 本题考查切线的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，属于中考常考题型 10.【答案】 【解析】解：设燃气汽车每千米所需费用
12、为元，则燃油汽车每千米所需费用为( + 0.5)元， 根据题意得：30:0.5=10 故选： 设燃气汽车每千米所需费用为元，则燃油汽车每千米所需费用为( + 0.5)元，根据路程=总费用每千米所需费用结合路程相等，即可得出关于的分式方程，此题得解 本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及函数的图象， 找准等量关系， 正确列出分式方程是解题的关键 11.【答案】 【解析】解： 抛物线 = 2+ + 经过点(1,0)， + = 0， + = ，故正确； 对称轴为 = 1，一个交点为(1,0)， 另一个交点为(3,0)， 方程2+ + = 0的解为1和3，故正确； 由对称轴为 = 1， 2= 1， =
13、 2，则2 + = 0，故正确； 抛物线 = 2+ + 与轴交于(0,2)， = 2， 2，故正确， 故选： 将点(1,0)代入解析式可判断；由对称性可得另一个交点为(3,0)，可判断；由2= 1，可判断，由 = 2， 0可判断，即可求解 本题考查了抛物线与轴的交点， 根与系数关系， 二次函数图象与系数关系， 二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键 12.【答案】 【解析】解： 、分别是正方形的两个外角平分线， = = 135， + = 45， = 45， + = 45， = ，故正确； ， =， 正方形边长为2， = = 4，故错误； =， =， 即=， = = 4
14、5， ， = ， = 360 90 ， + = 180 = 180 45， = 135，故正确； 如图，将 绕点顺时针旋转90，得 ，连接，与相交于点， ， = ， = ， = ， = ， = + = + = = 45， = = 45， = ， ()， = ， = 45， = 90， = 45， = + = + + 45 = + + 45， + = 180 = 180 135 = 45， = 90， 是直角三角形， 2+ 2= 2， 2+ 2= 2，故正确 属于其中正确的有，共3个 故选： 根据、分别是正方形的两个外角平分线，即可得结论，进而即可判断； 结合以上结论证明 ，对应边成比例即可判断
15、； ，对应边成比例，根据正方形的性质可得=，由 = = 45，可得 ，进而可得结论； 将 绕点顺时针旋转90至 ，可使与重合，证明 ()可得 是直角三角形，最后利用勾股定理可得结论 本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握翻转变换的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键 13.【答案】4( 2)2 【解析】解：43 162+ 16 = 4(2 4 + 4) = 4( 2)2 故答案为：4( 2)2 直接提取公因式4，再利用公式法分解因式即可 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键 14.【答案】2
16、 3 【解析】解： 3 0:42 1， 解得 3； 解得 2 故不等式组的解集为2 3 故答案为：2 3 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解 考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 15.【答案】4 【解析】解：根据题意得1+ 2= 4，12= 1， 所以(1 1)(1 2) = 1 (1+ 2) + 12= 1 4 + (1) = 4 故答案为4 先根据根与系数的关系得到1+ 2= 4， 12= 1， 再利用乘法公式展开得到(1 1)(1 2) = 1 (1+2) + 12，然后利用整体代入的方法计算 本题考查了
17、根与系数的关系：若1，2是一元二次方程2+ + = 0( 0)的两根时，1+ 2= ，12= 16.【答案】26 【解析】解：连接， ， = 90， 是 的直径， = = 2， = = 45， = 2+ 2= 22， = 2， = 30， = = 15， = 2 = 30， 302180=26， 故答案为：26 连接， ， 由圆周角的性质可得是直径， 由勾股定理可求得， 根据等腰直角三角形的性质求得，进而求得，根据弧长公式即可求得结果 本题主要考查了弧长的计算公式，勾股定理，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线并求出直径是解决问题的关键 17.【答案】413 4 【解析】 【分析】
18、 本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点根据正方形的性质得到 = 90，推出 = 90，得到点在以为直径的半圆上移动，如图，设的中点为，作正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是，连接交于，交 于，则线段的长即为 + 的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论 【解答】 解：四边形是正方形， = 90， + = 90， = ， + = 90， = 90， 点在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为，作正方形关于直线对称的正方形，则点的对应点是， 连接交于，交半圆于，则
19、线段的长即为 + 的长度最小值， = 4， = 90， = = = 8， = 12， = 2+ 2= 413， = 413 4， + 的长度最小值为413 4， 故答案为：413 4 18.【答案】3 【解析】解：如图连接，作 于， 轴于 /， = = 6， ： = 1：2， = 4，= 2， =12 12 = 6， = 2， ， = 2 (12)2=12， =32， = 3 故答案为：3 如图连接，作 于， 于.根据/，得到= = 6，根据已知条件得到= 4，= 2，根据相似三角形的性质即可得到结论 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的
20、作出辅助线是解题的关键 19.【答案】解：原式= 1 2 22 4 + (2 1) = 1 2 4 + 2 1 = 4 【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20.【答案】解：原式= :2(;2)(:2)1(;2)(:2) (;2)(:2)(;2) =:1(;2)(:2)(;2)(:2)(;2) =:1(;2)， 当 = 2 + 1时 原式=2:1:1(2:1)(2:1;2) =2:22;1 = 2 + 2 【解析】括号内先通分后计算，再将除法转化为乘法计算，最后代入求值即可 本题考查分式
21、的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则并准确化简分式 21.【答案】解：(1)15 30% = 50(人)， 答：本次调查了50名学生 (2)50 10 15 5 = 20(人)， 补全条形图如图所示： (3)650 1050= 130(人)， 答：估计“十分了解”的学生有130名 (4)树状图如下： 共有12种等可能情况，其中所选两位参赛选手恰好是一男一女有6种 所以，所选两人恰好是一男一女的概率为612=12 【解析】(1)根据组人数以及百分比计算即可解决问题； (2)求出组人数，画出条形图即可解决问题； (3)用650 “十分了解”所占的比例即可； (4)先画出树状图，继而根据
22、概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率 此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 22.【答案】解：(1) = 5，： = 3：4， 设： = 3， = 4，则 = 5 = 5，解得： = 1， 故点(3,4)， 则 = 3 4 = 12， 故反比例函数的表达式为： =12，故 B(6,2)， 将点、的坐标代入一次函数表达式 = + 得：4 = 3 + 2 = 6 + ，解得： =23 = 2， 故一次函数的表达式为： =23 + 2； (2)
23、设一次函数交轴于点(0,2)， 的面积 =12 ( ) =12 2 (3 + 6) = 9； (3)设点(0,)，而点、的坐标分别为：(3,4)、(0,0)， 2= 9 + ( 4)2，2= 25，2= 2， 当 = 时，9 + ( 4)2= 25，解得： = 8或0(舍去0)； 当 = 时，同理可得： = 5； 当 = 时，同理可得： =278； 综上，点坐标为：(0,8)或(0,5)或(0,5)或(0,278). 【解析】(1)设： = 3， = 4，则 = 5 = 5，解得： = 1，故点(3,4)，故反比例函数的表达式为： =12，故 B(6,2)，将点、的坐标代入一次函数表达式，即可
24、求解； (2) 的面积 =12 ( ) =12 2 (3 + 6) = 9； (3)分 = 、 = 、 = 三种情况，分别求解即可 本题考查了反比例函数的图象的性质以及等腰三角形的性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法 23.【答案】解：(1)购进一箱种水果的进价为元，则购进一箱种水果的进价为( 20)元， 由题意可得，1200= 2 500;20， 解得 = 120， 经检验， = 120是原分式方程的解且符合题意， 20 = 100， 购进一箱种水果的进价为120元，则购进一箱种水果的进价为100元 (2)设购进种水果箱，则购进种水果(100 )箱，获利为元， 由题意可知， 10
25、0 ，即 50， = (150 120) + (140 100)(100 ) = 10 + 4000， 10 0， 随的增大而减小， 当 = 50时，的取值最小，此时 = 3500， 即该水果店销售这批水果最少能获利3500元 【解析】(1)购进一箱种水果的进价为元，则购进一箱种水果的进价为( 20)元，由题意可得，1200= 2 500;20，解之即可； (2)设购进种水果箱，则购进种水果(100 )箱，获利为元，由题意可知， 100 ，即 50， = (150 120) + (140 100)(100 ) = 10 + 4000，再由一次函数的增减性可求得的最小值 本题主要考查分式方程的应
26、用及一次函数的应用，涉及一元一次不等式的应用在解题过程中主要分式方程要检验，对一次函数的增减性要会判断 24.【答案】解：过点作 于点，如图所示： 则四边形是矩形， = ， = = 5， 设建筑物的高度为，则 = ( 5)， 在 中， = 30， = 3( 5)， = = 3( 5) 30， 在 中， = 60，tan =， 3( 5) 30= 3 解得： =15:3032， 答：建筑物的高为15:3032. 【解析】 过点作 于点， 则四边形是矩形， = ， = ， 设建筑物的高度为， 则 = ( 5)，由三角函数得出 = 3( 5)， = = 3( 5) 30，得出 = 60 3( 5)
27、30，解方程即可 本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键 25.【答案】(1)证明：连接交于， 四边形是菱形， 平分和， ， = ， = = = =12， ， =12 = = = ， + = 90， + = + = 90， = 180 ( + ) = 180 90 = 90， ； (2)解：在上截取 = ，连接， = ， = = ， /， = ， = 90， = = = 45， + = 360 2 = 270， = = 135， = =12 = 67.5， = = 67.5 45 = 22.5， = 90， =
28、， = = 45， = = 67.5 45 = 22.5 = ， = ， 在 中，由勾股定理得 = 2+ 2= 2， = + = + = 2 + = (2 + 1)， /， = = 45 = ， = ， =(2:1)= 2 + 1； 证明： = ， = ， 点、在的垂直平分线上， = 90， 是等腰直角三角形， =12，即=12， 设、交与点，连接， 四边形是菱形， = ， =12，/， = = ， =12 =12，即=12， /， = = ， ， =12 = 2 【解析】(1)连接交于，由菱形的性质可得平分和， ，可证 = = = ，可求出 + = + = 90，由三角形内角和得 = 180
29、 90 =90即可； (2)在上截取 = ，连接，由 = 可得 = = ，可求出 = =45， = = 45，可证出 = ，可得 = ，在 中，由勾股定理得 = 2+ 2= 2，求出 = (2 + 1)即可求解； 由知点在上， 可得点、 在的垂直平分线上， 可得 是等腰直角三角形， 可得出 =12，即=12， 设、 交与点， 连接， 根据三角形中位线定理可得 =12 =12， /， 即=12，由平行线的性质得 = = ，根据两边对应成比例且夹角相等可得出 ，由相似三角形的性质即可求解 本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，锐角三
30、角函数等知识，添加恰当辅助线是解本题的关键 26.【答案】解：(1)抛物线顶点坐标为(3,6)， 可设抛物线解析式为 = ( 3)2+ 6， 将(0,3)代入可得 = 13， = 132+ 2 + 3； (2)连接， 由题意， = 3， = 3， 设(,132+ 2 + 3)， = + ， =32， = 122+ 3 +92， =92， = + = 122+92 = 12( 92)2+818， 当 =92时，的最大值为818； (3)存在，设点的坐标为(,132+ 2 + 3)， 过作对称轴的垂线，垂足为， 则 = 3， = 6 (132+ 2 + 3) =132 2 + 3， = 30， 2
31、 = ， 在 中， = 2 2= 3， 3( 3) =132 2 + 3， = 3 + 33或 = 3(舍) (3 + 3,3)， = 3， = 33， 连接，在 中， = 2+ 2= 6， = = 6， = 120， 在以为圆心，为半径的圆与轴的交点为点， 此时， =12 = 60， 设(0,)，为圆的半径， 2= 2+ 2= 9 + 2， 2= 2， 9 + 2= 36， = 33或 = 33， 综上所述：点坐标为(0,33)或(0,33). 【解析】(1)由题意可设抛物线解析式为 = ( 3)2+ 6，将(0,3)代入可得 = 13，则可求解析式； (2)连接，设(,132+ 2 + 3
32、)，分别求出=32，= 122+ 3 +92，=92，所以= + = 122+92 = 12( 92)2+818，当 =92时，的最大值为818； (3)设点的坐标为(,132+ 2 + 3)， 过作对称轴的垂线， 垂足为， 则 = 3， = 6 (132+ 2 +3) =132 2 + 3，在 中， = 2+ 2= 3，所以3( 3) =132 2 + 3，求出(3 + 3,3)， 所以 = 3， = 33， 连接， 在 中， = = 6， = 120， 在以为圆心，为半径的圆与轴的交点为点，此时， =12 = 60，设(0,)，为圆的半径，2= 2+ 2= 9 + 2= 36，求出 = 33或 = 33，即可求 本题考查二次函数的综合题，涉及到待定系数法解二次函数解析式，三角形面积，二次函数的最值，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键
