1、2020-2021 学年天津市和平区二校联考八年级下期中数学试卷学年天津市和平区二校联考八年级下期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分 ）分 ） 1二次根式3 + 在实数范围内有意义，x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 22.5化成最简二次根式为（ ） A0.5 B52 C102 D5 3估计6 +1 的值在（ ） A2 到 3 之间 B3 到 4 之间 C4 到 5 之间 D5 到 6 之间 4下列算式： （1）2 + 5 = 7 （2）5 2 = 3 （3）8+502=4 +25 = 7 （4）
2、33 + 27 = 63 其中正确的是（ ） A （1）和（3） B （2）和（4） C （3）和（4） D1）和（4） 5利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段如图，在数轴上找到点 A，使 OA5，过点 A 作直线 l 垂直于 OA，在 1 上取点 B，使 AB2，以原点 O 为圆心，以 OB 长为半径作弧，弧与数轴的交点为 C，那么点 C 表示的无理数是（ ） A21 B29 C7 D29 6下列命题中正确的是（ ） A如果 a，b，c 是一组勾股数，那么 4a，4b，4c 也是一组勾股数 B如果一个三角形的三个内角的度数之比是 1：2：3，那么这个三角形三个内角所对的边之比也是 1：2：
3、3 C如果直角三角形的两边分别是 3，4，那么斜边一定是 5 D任何一个定理都有逆定理 7 （3 分）已知菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则菱形的面积是（ ） A48 B30 C24 D20 8 （3 分） 正方形的边长为 acm， 它的面积与长为 96cm、 宽为 12cm 的矩形的面积相等， 则 a 的值为 （ ） A243 B36 C242 D24 9如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A当 ABBC 时，四边形 ABCD 是菱形 B当 ACBD 时，四边形 ABCD 是菱形 C当ABC90时，四边形 ABCD 是矩形 D当 ACBD 时，四边形
4、ABCD 是正方形 10我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意平行四边形的中点四边形是（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 11 （3 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，过点 A 作 AMBC 于点 M，交 BD 于点 E，过点 C 作 CNAD 于点 N，交 BD 于点 F，连接 CE，当 EAEC，且点 M 为 BC 的中点时，AB：AE 的值为（ ） A2 B3 C32 D2 12如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为MN，则折痕 MN 的长是（ ） A53c
5、m B55cm C46cm D45cm 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13化简：(3)2= 14命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 15直角三角形两条直角边的长分别为 8 和 6，则斜边上的高为 16 如图， 网格中的小正方形边长均为 1， ABC 的三个顶点在格点上， 则ABC 中 AB 边上的高为 17如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A60，M 是边 AD 的中点，则 CM 的长 18 （3 分） 如图， ABE 是等边三角形， M 是正方形 ABCD 对角线 BD （不含 B 点） 上任意一点，
6、 BMBN，ABN15（点 N 在 AB 的左侧） ，当 AM+BM+CM 的最小值为3 +1 时，正方形的边长为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 46 分分. 19 （6 分）计算： （1）27 50 6 （2） （24 12）（18+ 6） 20 （6 分）如图，四边形 ABCD 是矩形纸片，AD10，CD8，在 CD 上取一点 E，将纸片沿 AE 翻折，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处 （1）AF 的长 ； （2）BF 的长 ； （3）CF 的长 ； （4）求 DE 的长 21 （6 分）已知：点 D、E 分别是ABC 的边 BC、AC 边的中点 （
7、1）如图，若 AB10，求 DE 的长； （2）如图，点 F 是边 AB 上一点，FGAD，交 ED 的延长线于点 G，求证：AFDG 22 （6 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 OAOD若OAD50，求OAB的度数 23 （6 分）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E，F 是 DB 上的两点，并且 DEBF求证四边形 AFCE 是平行四边形 24 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，有一矩形 OABC，OA8，OC6，过点 D（0，6）作 y 轴的垂线交 OA 于点 E，点 B 恰在这条直线上 （1）求矩形 OABC 的对角线的长； （2
8、）求点 B 的坐标； （3）求EOB 的面积 25 （8 分）如图，P 为正方形 ABCD 的边 BC 上的一动点（P 不与 B、C 重合） ，连接 AP，过点 B 作 BQAP 交 CD 于点 Q，将BCQ 沿着 BQ 所在直线翻折得到BQE，延长 QE 交 BA 的延长线于点 M （1）探求 AP 与 BQ 的数量关系； （2）若 AB3，BP2PC，求 QM 的长 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
9、要求的）目要求的） 1 （3 分） （2020武昌区模拟）二次根式3 + 在实数范围内有意义，x 的取值范围是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案 【解答】解：二次根式3 + 在实数范围内有意义， 则 3+x0， 解得：x3， 故选：D 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件分析是解题关键 2 （3 分） （2021 春单县期末）2.5化成最简二次根式为（ ） A0.5 B52 C102 D5 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可 【解答】解：2.5 =52=5222=102， 故选：C 【点评】本题考查二
10、次根式的化简，掌握二次根式的性质是正确解答的前提 3 （3 分） （2020吉林三模）估计6 +1 的值在（ ） A2 到 3 之间 B3 到 4 之间 C4 到 5 之间 D5 到 6 之间 【分析】首先确定6在整数 2 和 3 之间，然后可得6 +1 的值在 3 到 4 之间 【解答】解：263， 36 +14， 故选：B 【点评】此题主要考查了估算无理数，关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值 4 （3 分） （2020 春兖州区期末）下列算式： （1）2 + 5 = 7 （2）5 2 = 3 （3）8+502=4 +25 = 7 （4）33 + 27 = 63 其中正确的是（
11、） A （1）和（3） B （2）和（4） C （3）和（4） D1）和（4） 【分析】根据二次根式的加法法则对各小题进行逐一分析即可 【解答】解： （1）2与5不是同类项，不能合并，故本小题错误； （2）5 2 =3，故本小题正确； （3）8+502=22+522=7227，故本小题错误； （4）33 + 27 =33 +33 =63，故本小题正确 故选：B 【点评】 本题考查的是二次根式的加减法， 熟知二次根式相加减， 先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键 5 （3 分） （2021 春汉阴县期末）利用勾股定理
12、，可以作出长为无理数的线段如图，在数轴上找到点 A，使 OA5，过点 A 作直线 l 垂直于 OA，在 1 上取点 B，使 AB2，以原点 O 为圆心，以 OB 长为半径作弧，弧与数轴的交点为 C，那么点 C 表示的无理数是（ ） A21 B29 C7 D29 【分析】利用勾股定理列式求出 OB 判断即可 【解答】解：由勾股定理得，OB= 52+ 22= 29， 点 C 表示的无理数是29 故选：B 【点评】本题考查了勾股定理，熟记定理并求出 OB 的长是解题的关键 6 （3 分）下列命题中正确的是（ ） A如果 a，b，c 是一组勾股数，那么 4a，4b，4c 也是一组勾股数 B如果一个三角
13、形的三个内角的度数之比是 1：2：3，那么这个三角形三个内角所对的边之比也是 1：2：3 C如果直角三角形的两边分别是 3，4，那么斜边一定是 5 D任何一个定理都有逆定理 【分析】利用勾股数的定义、三角形的性质、勾股定理等知识分别判断后即可确定正确的选项 【解答】解：A、如果 a，b，c 是一组勾股数，那么 4a，4b，4c 也是一组勾股数，正确，符合题意； B、如果一个三角形的三个内角的度数之比是 1：2：3，那么这个三角形三个内角所对的边之比也是 1：3：2，故原命题错误，不符合题意； C、如果直角三角形的两边分别是 3，4，那么斜边是 5 或7，故原命题错误，不符合题意； D、任何命题
14、都有逆命题，但定理不一定有逆定理，故原命题错误，不符合题意， 故选：A 【点评】 考查了命题与定理的知识， 解题的关键是了解勾股数的定义、 三角形的性质、 勾股定理等知识，属于基础题，比较简单 7 （3 分）已知菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则菱形的面积是（ ） A48 B30 C24 D20 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线积的一半计算即可 【解答】解：菱形的两条对角线长分别是 6 和 8， 这个菱形的面积为126824， 故选：C 【点评】本题考查了菱形的面积的计算等知识点易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选 8 （3 分）
15、 正方形的边长为 acm， 它的面积与长为 96cm、 宽为 12cm 的矩形的面积相等， 则 a 的值为 （ ） A243 B36 C242 D24 【分析】根据正方形的性质和矩形的性质得出方程，求出方程的解即可 【解答】解：根据题意得：a29612， 解得：a242（负数舍去） ， 故选：C 【点评】 本题考查了算术平方根和矩形、 正方形的面积等知识点， 能根据题意列出方程是解此题的关键 9 （3 分） （2020 春龙口市期末）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A当 ABBC 时，四边形 ABCD 是菱形 B当 ACBD 时，四边形 ABCD 是菱形
16、C当ABC90时，四边形 ABCD 是矩形 D当 ACBD 时，四边形 ABCD 是正方形 【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案 【解答】解：A、正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形； B、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形； C、正确，有一个角为 90的平行四边形是矩形； D、不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形； 故选：D 【点评】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 10（3 分）（2015 春和平区期末） 我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意平行四边形的中
17、点四边形是（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 【分析】利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，那么根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形 【解答】解：如图四边形 ABCD，E、N、M、F 分别是 DA，AB，BC，DC 中点，连接 AC，DE， 根据三角形中位线定理可得： EF 平行且等于 AC 的一半，MN 平行且等于 AC 的一半， 根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形 故选：A 【点评】此题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为题目提供了平行线，为利用平行线判定平
18、行四边形奠定了基础 11 （3 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，过点 A 作 AMBC 于点 M，交 BD 于点 E，过点 C 作 CNAD 于点 N，交 BD 于点 F，连接 CE，当 EAEC，且点 M 为 BC 的中点时，AB：AE 的值为（ ） A2 B3 C32 D2 【分析】根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知 AECF；然后由全等三角形的判定定理 ASA 推知ADECBF；最后根据全等三角形的对应边相等知 AECF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接 AC 交 BF 于点 O，根据 EAEC 推知ABCD 是菱形，根据菱形的邻边相等知 A
19、BBC；然后结合已知条件“M 是 BC 的中点，AMBC”证得ADECBF（ASA） ，所以 AECF，从而证得ABC 是正三角形；最后在 RtBCF 中，利用锐角三角函数的定义求得 CF：BCtanCBF=33，利用等量代换知（AECF，ABBC）AB：AE= 3 【解答】解：连接 AC， 四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD； ADECBD， ADBC 在ADE 和CBF 中， = = 90 = = ， ADECBF（ASA） ， AECF， 又AMBC， AMAD； CNAD， AMCN， AECF； 四边形 AECF 为平行四边形， EAEC， AECF 是菱形， ACBD， 平
20、行四边形 ABCD 是菱形， ABBC， M 是 BC 的中点，AMBC， ABAC， ABC 为等边三角形， ABC60，CBD30； 在 RtBCF 中，CF：BCtanCBF=33， 又AECF，ABBC， AB：AE= 3 故选：B 【点评】本题综合考查了解直角三角形、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点，证得ABCD 是菱形是解题的难点 12 （3 分） （2018合肥二模）如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边的中点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为 MN，则折痕 MN 的长是（ ） A53cm B55
21、cm C46cm D45cm 【分析】如图，连接 DE，过点 M 作 MGCD 于点 G，证明MNGDEC，则有 MNDE 【解答】解：如图，连接 DE 由题意，在 RtDCE 中，CE4cm，CD8cm， 由勾股定理得：DE= 2+ 2= 82+ 42= 45cm 过点 M 作 MGCD 于点 G，则由题意可知 MGBCCD 连接 DE，交 MG 于点 I 由折叠可知，DEMN，NMG+MIE90， DIG+EDC90，MIEDIG（对顶角相等） ， NMGEDC 在MNG 与DEC 中， = = = = 90 MNGDEC（ASA） MNDE= 45cm 故选：D 【点评】考查了翻折问题，
22、翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的本题中 DNEN是解题关键，再利用勾股定理、全等三角形的知识就迎刃而解 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分） （2021巩义市二模）化简：(3)2= 3 【分析】先算出（3）2 的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可 【解答】解：(3)2= 9 =3， 故答案为：3 【点评】本题考查的是算术平方根的定义，把 (3)2化为9的形式是解答此题的关键 14 （3 分） （2011德宏州） 命题 “同旁内角互补， 两直线平行” 的逆命题是 两直线平行， 同旁内角
23、互补 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补 【解答】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补， 故答案为：两直线平行，同旁内角互补 【点评】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一个命题的逆命题 15 （3 分）直角三角形两条直角边的长分别为 8 和 6，则斜边上的高为 4.8 【分析】根据勾股定理求出斜
24、边，再根据三角形的面积公式求出斜边上的高 【解答】解：根据勾股定理，设斜边为 c，则 c= 82+ 62=10； 设斜边上的高为 h，则 h=6810=4.8 故答案为：4.8 【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的适用条件及三角形的面积公式 16 （3 分） （2007宁夏）如图，网格中的小正方形边长均为 1，ABC 的三个顶点在格点上，则ABC 中AB 边上的高为 51313 【分析】由已知可得到三角形各边的长，从而根据勾股定理可求得 BC 边上的高，再根据面积公式即可求得 AB 边上的高的长 【解答】解：由图知，ABC 是等腰三角形，过点 C 作 CDAB 于点 D， ABAC=
25、22+ 32= 13，BC= 2， BC 边上的高为=(13)2 (22)2=522， 设 CDh， SABC=12 2 522=12 13h， h=51313 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用 17 （3 分） （2018 春和平区期中）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A60，M 是边 AD 的中点，则 CM 的长 7 【分析】过点 M，作 MEDE，交 CD 延长线于点 E，由菱形的性质和勾股定理易求 DE 和 MEA 的长，进而在直角三角形 MEC 中，利用勾股定理可求出 CM 的长 【解答】解： 过点 M 作 MEDE，交 CD 延长线于点 E， 在边长为
26、 2 的菱形 ABCD 中，A60， ADDC2，ADC120， ADE60， M 是边 AD 的中点， DM1， DE=12， EM=32， CM= 2+ 2= 7， 故答案为：7 【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，熟记菱形的各种性质是解题的关键 18 （3 分） 如图， ABE 是等边三角形， M 是正方形 ABCD 对角线 BD （不含 B 点） 上任意一点， BMBN，ABN15（点 N 在 AB 的左侧） ，当 AM+BM+CM 的最小值为3 +1 时，正方形的边长为 2 【分析】作辅助线，过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F，连接 EC，由题意求出EBF3
27、0，设正方形的边长为 x，在 RtEFC 中，根据勾股定理求得正方形的边长为2 【解答】解：过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F，连接 EC， EBF906030， 设正方形的边长为 x，则 BF=32x，EF=2， 在 RtEFC 中， EF2+FC2EC2， （2）2+（32x+x）2= (3 + 1)2 解得 x= 2（舍去负值） 正方形的边长为2 故答案为：2 【点评】本题考查轴对称的性质和正方形的性质，关键是作辅助线，过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F 解答 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 46 分分.解答应写出文字说明、演算
28、步骤或推理过程解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程 19 （6 分） （2019 春和平区期中）计算： （1）27 50 6 （2） （24 12）（18+ 6） 【分析】 （1）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案； （2）直接化简二次根式，进而合并得出答案 【解答】解： （1）27 50 6 33 52 6 153 2 6 15； （2） （24 12）（18+ 6） （26 22）（24+6） 26 2224 6 = 6 324 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键 20 （6 分） （2016 春和平区期末）如图，四边形 ABCD 是矩形纸片，A
29、D10，CD8，在 CD 上取一点 E，将纸片沿 AE 翻折，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处 （1）AF 的长 10 ； （2）BF 的长 6 ； （3）CF 的长 4 ； （4）求 DE 的长 【分析】 （1）根据折叠的性质得 AFAD10； （2）先根据矩形的性质得 ABCD8，在 RtABF 中，利用勾股定理计算出 BF6， （3）根据矩形的性质得 ADCB10，则 CFBCBF4， （4）设 DEx，则 EFx，EC8x，然后在 RtECF 中根据勾股定理得到 42+（8x）2x2，再解方程即可得到 DE 的长 【解答】解： （1）根据折叠可得 AFAD10， 故答案为：10；
30、 （2）四边形 ABCD 是矩形， ABCD8，B90， 在直角三角形中：BF= 2 2= 100 64 =6， 故答案为：6； （3）四边形 ABCD 是矩形， BCAD10， FC1064， 故答案为：4； （4）设 DEx，则 EFx，EC8x， 在 RtECF 中，CE2+FC2EF2， 42+（8x）2x2， 解得 x5 则 DE5 【点评】本题考查了图形的折叠，矩形的性质和勾股定理，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 21 （6 分） （2013 春宝坻区校级期末）已知：点 D、E 分别是ABC 的边
31、BC、AC 边的中点 （1）如图，若 AB10，求 DE 的长； （2）如图，点 F 是边 AB 上一点，FGAD，交 ED 的延长线于点 G，求证：AFDG 【分析】 （1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 DEAB，DE=12AB，然后代入数据计算即可得解； （2）判断出四边形 AFGD 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等证明 【解答】 （1）解：点 D、E 分别是ABC 的边 BC、AC 边的中点， DE 为ABC 的中位线， DEAB，DE=12AB， AB10， DE5； （2）证明：DEAB，FGAD， 四边形 AFGD 是平行四边形， AFDG 【点评
32、】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，熟记定理是解题的关键 22 （6 分） （2021 春中山区期中）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 OAOD若OAD50，求OAB 的度数 【分析】根据矩形的性质求出DAB，代入OABDABOAD 求出即可 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， DAB90， OAD50， OABDABOAD40 【点评】本题考查了矩形的性质，能根据矩形的性质求出DAB 的度数是解此题的关键 23 （6 分） （2021 春涡阳县期末）如图，ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，E，F 是
33、 DB 上的两点，并且 DEBF求证四边形 AFCE 是平行四边形 【分析】由平行四边形的性质可求得 AOCO，再结合条件可求得 OEOF，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可证得结论 【解答】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， OAOC，OBOD 又DEBF， OEOF 四边形 BFDE 是平行四边形 【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，利用平行四边形的性质求得 OEOF 是解题的关键 24 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，有一矩形 OABC，OA8，OC6，过点 D（0，6）作 y 轴的垂线交 OA 于点 E，点 B 恰在这条直线上 （1）求矩形 OABC 的对角线的长
34、； （2）求点 B 的坐标； （3）求EOB 的面积 【分析】 （1）由矩形的性质得出 ABOC6，A90，由勾股定理求出 OB 即可； （2）由勾股定理求出 BD，即可得出结果； （3）由 HL 证明 RtOBDRtBOA，得出OBDBOA，证出 OEBE，设 OEBEx，则 DE8x，在 RtODE 中，由勾股定理得出方程，解方程求出 BE，即可得出结果 【解答】解： （1）四边形 OABC 是矩形， ABOC6，A90， OB= 2+ 2= 82+ 62=10， 即矩形 OABC 的对角线的长为 10； （2）BDOD， ODB90， BD= 2 2= 102 62=8， 点 B 的坐标
35、为（8，6） ； （3）OD6，AB6， ODAB， 在 RtOBD 和 RtBOA 中， = = ， RtOBDRtBOA（HL） ， OBDBOA， OEBE， 设 OEBEx，则 DE8x， 在 RtODE 中，由勾股定理得：62+（8x）2x2， 解得：x=254，即 BE=254， EOB 的面积=12BEOD=122546=754 【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握矩形的性质，证出 BEOE，由勾股定理得出方程是解决问题（3）的关键 25 （8 分） （2020 春和平区期末）如图，P 为正方形 ABCD 的边
36、 BC 上的一动点（P 不与 B、C 重合） ，连接 AP，过点 B 作 BQAP 交 CD 于点 Q，将BCQ 沿着 BQ 所在直线翻折得到BQE，延长 QE 交 BA的延长线于点 M （1）探求 AP 与 BQ 的数量关系； （2）若 AB3，BP2PC，求 QM 的长 【分析】 （1）要证 APBQ，只需证PBAQCB（SAS）即可； （2）过点 Q 作 QHAB 于 H，如图易得 QHBCAB3，BP2，PC1，然后运用勾股定理可求得 AP（即 BQ）= 13，BH2易得 DCAB，从而有CQBQBA由折叠可得EQBCQB，即可得到QBAEQB，即可得到 MQMB设 QMx，则有 MB
37、x，MHx2在 RtMHQ 中运用勾股定理就可解决问题； 【解答】解： （1）APBQ 理由：四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABCC90， ABQ+CBQ90 BQAP， PAB+QBA90， PABCBQ 在PBA 和QCB 中， = = = ， PBAQCB（ASA） ， APBQ； （2）过点 Q 作 QHAB 于 H，如图 四边形 ABCD 是正方形， QHBCAB3 BP2PC， BP2，PC1， BQAP= 2+ 2= 32+ 22= 13， BH= 2 2= 13 9 =2 四边形 ABCD 是正方形， DCAB， CQBQBA 由折叠可得EQBCQB， QBAEQB， MQMB 设 QMx，则有 MBx，MHx2 在 RtMHQ 中， 根据勾股定理可得 x2（x2）2+32， 解得 x=134 QM 的长为134 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质等知识，熟练掌握方程思想是解题的关键
