1、 20222022 年湖北省咸宁市中考数学模拟试卷年湖北省咸宁市中考数学模拟试卷 一、精心选一选（本大题共一、精心选一选（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 2424 分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑） 1 （3 分）2 的绝对值是（ ） A2 B1 C2 D12 2 （3 分）南海是我国固有领海，它的面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为 360 万平方千米，360万用科学记数法表示为（ ） A3.6102 B360
2、104 C3.6104 D3.6106 3 （3 分）某班团支部统计了该班甲、乙、丙、丁四名同学在 5 月份“书香校园”活动中的课外阅读时间，他们平均每天课外阅读时间与方差s2如表所示，你认为表现最好的是（ ） 甲 乙 丙 丁 1.2 1.5 1.5 1.2 S2 0.2 0.3 0.1 0.1 A甲 B乙 C丙 D丁 4 （3 分）如图，在ABC中，按以下步骤作图：分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；作直线MN交AC于点D，连接BD若AC6，AD2，则BD的长为（ ） A2 B3 C4 D6 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa3a2a6 B （ab
3、3）2a2b6 C （ab）2a2b2 D5a3a2 6 （3 分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为 1：2，点A的坐标为（1，0） ，则E点的坐标为（ ） A （2，0） B （32，32） C （2，2） D （2，2） 7 （3 分）如图，O的外切正六边形ABCDEF的边长为 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A3 2 B3 23 C23 2 D23 23 8 （3 分）在四边形ABCD中，B90，AC4，ABCD，DH垂直平分AC，点H为垂足设ABx，ADy，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A B C D 二、细心填一填（本大题共二
4、、细心填一填（本大题共 8 8 小题每小题小题每小题 3 3 分，满分分，满分 2424 分。请把答案填在答题卷相应题号的横线上）分。请把答案填在答题卷相应题号的横线上） 9 （3 分）因式分解：a22a 10 （3 分）如图，已知一次函数ykx+b（k、b为常数，且k0）与正比例函数yax（a为常数，且a0）相交于点P、则不等式kx+bax的解集是 11 （3 分） 某校为了解学生喜爱的体育活动项目， 随机抽查了 100 名学生， 让每人选一项自己喜欢的项目，并制成如图所示的扇形统计图如果该校有 1200 名学生，则喜爱跳绳的学生约有 人 12 （3 分）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级
5、台阶高为 18cm，深为 30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i1：5，则AC的长度是 cm 13 （3 分） 九章算术是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出 8 钱，会多 3 钱；每人出 7 钱，又会差 4 钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，列出的方程组是 14 （3 分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器 0 刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每
6、秒 2 度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第 35秒时，点E在量角器上对应的读数是 度 15（3分） 将被3整除余数为1的正整数， 按照下列规律排成一个三角形数阵， 则第20行第19个数是 16 （3 分）如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转 90得到EF，连接DE，DF给出结论：DEEF；CDF45；=75； 若正方形ABCD的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值2其中结论正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上） 三、专心解一解（本大题共三、专心解一解（本大题共 8 8 小题，满分小题，满分 7272 分。请认真读题，冷
7、静思考。解答题应写出必要的文字说明证分。请认真读题，冷静思考。解答题应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 17 （6 分）计算：|22 3| (12)2+ 18 18 （8 分）一体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用 32000 元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销商场又用 68000 元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但每套进价多了 10 元求该商场第一次购进这种运动服多少套？ 19 （8 分）如图，一次函数y1kx+b的图象与反比例函数2=(0)的图象交于A（
8、1，6） ，B（a，2）两点 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出y1y2时x的取值范围 20 （9 分）点P的坐标是（a，b） ，从2，1，0，1，2 这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，求点P（a，b）在平面直角坐标系中第三象限内的概率 21 （9 分）如图，已知O的半径长为 1，AB、AC是O的两条弦，且ABAC，BO的延长线交AC于点D， 联结OA、OC （1）求证：OADABD； （2）记AOB、AOD、COD的面积分别为S1、S2、S3，若S22S1S3，求OD的长 22 （10 分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心
9、抗疫” ，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫已知商家购进一批产品，成本为 10 元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12x24）满足一次函数的关系，部分数据如下表： x（元/件） 12 13 14 15 16 y（件） 1200 1100 1000 900 800 （1）求y与x的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜 2 元，且线上的月销量固定为 400 件试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润 23 （10 分）已知在ABC中，ACBCm，D是AB边上的一点，将B沿
10、着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合） ，折痕交BC边于点E （1）特例感知 如图 1，若C60，D是AB的中点，求证：AP=12AC； （2）变式求异 如图 2，若C90，m62，AD7，过点D作DHAC于点H，求AH和AP的长； （3）化归探究 如图 3，若m10，AB12，且当ADa时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围 24 （12 分）如图 1，抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴的交点分别为A（3，0）和B（1，0） ，与y轴交于点C，顶点为D （1）求该抛物线的解析式； （2）连接AD，DC，CB，将OBC沿x
11、轴以每秒 1 个单位长度的速度向左平移，得到OBC，点O、 B、C的对应点分别为点O、B、C，设平移时间为t秒，当点O与点A重合时停止移动记OBC与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式； （3）如图 2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线： =92作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得 =14？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由 20222022 年湖北省咸宁市中考数学模拟试卷年湖北省咸宁市中考数学模拟试卷 答案与详解答案与详解 一、精心选一选（本大题共一、精心选一选（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满
12、分分，满分 2424 分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑） 1 （3 分）2 的绝对值是（ ） A2 B1 C2 D12 【分析】利用数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案 【解答】解：2 的绝对值为 2 故选：C 2 （3 分）南海是我国固有领海，它的面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为 360 万平方千米，360万用科学记数法表示为（ ） A3.6102 B360104 C3.6104 D3.6106 【分析】单位为“万”
13、 ，换成计数单位为 1 的数，相当于把原数扩大 10000 倍，进而把得到的数表示成a10n的形式，a为 3.6，n为整数数位减去 1 【解答】解：360 万36000003.6106， 故选：D 3 （3 分）某班团支部统计了该班甲、乙、丙、丁四名同学在 5 月份“书香校园”活动中的课外阅读时间，他们平均每天课外阅读时间与方差s2如表所示，你认为表现最好的是（ ） 甲 乙 丙 丁 1.2 1.5 1.5 1.2 S2 0.2 0.3 0.1 0.1 A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】根据方差和平均数的意义进行分析先通过平均数进行比较，平均数越大越好；再比较方差，方差越小越稳定 【解答】解：乙、
14、丙的平均数大于甲、丁的平均数，故乙、丙表现较好； 又丙的方差小于乙的方差，则丙的表现比较稳定，所以丙的表现最好故选：C 4 （3 分）如图，在ABC中，按以下步骤作图：分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；作直线MN交AC于点D，连接BD若AC6，AD2，则BD的长为（ ） A2 B3 C4 D6 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论 【解答】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线， BDCD， AC6，AD2， BDCD4， 故选：C 5 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa3a2a6 B （ab3）2a2b6 C （ab）2a2b2 D5a3a
15、2 【分析】利用同底数幂、积的乘方与幂的乘方的性质，完全平方公式以及合并同类项的知识，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用 【解答】解：A、a3a2a5，故本选项错误； B、 （ab3）2a2b6，故本选项正确； C、 （ab）2a22ab+b2，故本选项错误； D、5a3a2a，故本选项错误 故选：B 6 （3 分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为 1：2，点A的坐标为（1，0） ，则E点的坐标为（ ） A （2，0） B （32，32） C （2，2） D （2，2） 【分析】由题意可得OA：OD1：2，又由点A的坐标为（1，0） ，即可求得OD
16、的长，又由正方形的性 质，即可求得E点的坐标 【解答】解：正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为 1：2， OA：OD1：2， 点A的坐标为（1，0） ， 即OA1， OD= 2， 四边形ODEF是正方形， DEOD= 2 E点的坐标为： （2，2） 故选：C 7 （3 分）如图，O的外切正六边形ABCDEF的边长为 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A3 2 B3 23 C23 2 D23 23 【分析】由于六边形ABCDEF是正六边形，所以AOB60，故OAB是等边三角形，OAOBAB2，设点G为AB与O的切点，连接OG，则OGAB，OGOAsin60，再根据S阴
17、影SOABS扇形OMN，进而可得出结论 【解答】解：六边形ABCDEF是正六边形， AOB60， OAB是等边三角形，OAOBAB2， 设点G为AB与O的切点，连接OG，则OGAB， OGOAsin60232= 3， S阴影SOABS扇形OMN=122 3 60(3)2360= 3 2 故选：A 8 （3 分）在四边形ABCD中，B90，AC4，ABCD，DH垂直平分AC，点H为垂足设ABx，ADy，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A B C D 【分析】由DAHCAB，得=，求出y与x关系，再确定x的取值范围即可解决问题 【解答】解：DH垂直平分AC， DADC，AHHC2，
18、 DACDCH， CDAB， DCABAC， DAHBAC，DHAB90， DAHCAB， =， 4=2， y=8， ABAC， x4， 图象是D 故选：D 二、细心填一填（本大题共二、细心填一填（本大题共 8 8 小题每小题小题每小题 3 3 分，满分分，满分 2424 分。请把答案填在答题卷相应题号的横线上）分。请把答案填在答题卷相应题号的横线上） 9 （3 分）因式分解：a22a a（a2） 【分析】先确定公因式是a，然后提取公因式即可 【解答】解：a22aa（a2） 故答案为：a（a2） 10 （3 分）如图，已知一次函数ykx+b（k、b为常数，且k0）与正比例函数yax（a为常数，
19、且a0）相交于点P、则不等式kx+bax的解集是 x2 【分析】观察函数图象得到当x2 时，直线ykx+b不在直线yax的上方，于是可得到不等式kx+bax的解集 【解答】解：当x2 时，kx+bax， 所以不等式kx+bax的解集为x2 故答案是：x2 11 （3 分） 某校为了解学生喜爱的体育活动项目， 随机抽查了 100 名学生， 让每人选一项自己喜欢的项目，并制成如图所示的扇形统计图如果该校有 1200 名学生，则喜爱跳绳的学生约有 360 人 【分析】 先根据扇形统计图求出喜爱跳绳的同学所占的百分比， 再根据该校有 1200 名学生即可得出结论 【解答】解：由扇形统计图可知，喜爱跳绳
20、的同学所占的百分比115%45%10%30%， 该校有 1200 名学生， 喜爱跳绳的学生约有：120030%360（人） 故答案为：360 12 （3 分）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18cm，深为 30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡， 设台阶的起点为A， 斜坡的起始点为C， 现设计斜坡BC的坡度i1： 5， 则AC的长度是 210 cm 【分析】首先过点B作BDAC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i1：5，求得CD的长，继而求得答案 【解答】解：过点B作BDAC于D， 根据题意得：AD23060（cm） ，BD18354（cm） ， 斜坡
21、BC的坡度i1：5， BD：CD1：5， CD5BD554270（cm） ， ACCDAD27060210（cm） AC的长度是 210cm 故答案为：210 13 （3 分） 九章算术是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出 8 钱，会多 3 钱；每人出 7 钱，又会差 4 钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，列出的方程组是 8 = 3 7 = 4 【分析】根据“每人出 8 钱，会多 3 钱；每人出 7 钱，又会差 4 钱” ，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题
22、得解 【解答】解：依题意，得8 = 3 7 = 4 故答案是：8 = 3 7 = 4 14 （3 分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器 0 刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒 2 度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第 35秒时，点E在量角器上对应的读数是 140 度 【分析】首先连接OE，由ACB90，根据圆周角定理，可得点C在O上，即可得EOA2ECA，又由ECA的度数，继而求得答案 【解答】解：连接OE， ACB90， 点C在以AB为直径的圆上， 即点C在O上， EOA2ECA， ECA23570， AOE2ECA270
23、140 量角器 0 刻度线的端点N与点A重合， 点E在量角器上对应的读数是 140， 故答案为：140 15（3分） 将被3整除余数为1的正整数， 按照下列规律排成一个三角形数阵， 则第20行第19个数是 625 【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第 20 行第 19 个数是多少，本题得以解决 【解答】解：由图可得， 第一行 1 个数，第二行 2 个数，第三行 3 个数，则前 20 行的数字有：1+2+3+19+20210 个数， 第 20 行第 20 个数是：1+3（2101）628， 第 20 行第 19 个数是：6283625， 故答案为：625 16 （3 分）如
24、图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转 90得到EF，连接DE，DF给出结论：DEEF；CDF45；=75； 若正方形ABCD的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值2其中结论正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上） 【分析】延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证AMEHCE，可得AEEH，由直角三角形的性质可得AEEFEH，可判断；由四边形内角和定理可求 2ADE+2EDF270，可得ADF135，可判断； 由垂线段最短， 可得当CFDF时，CF有最小值， 由等腰直角三角形的性质可求CF的最小值，可判断；由连接AC，过点E作EP
25、AD于点P，过点F作FNEP于N，交CD于G，连接CF，由梯形中位线定理可求PE=12（AM+CD） ，由“AAS”可证APEENF，可得APNE=12AD，即可求AM2DG22= 2DF，可判断，即可求解 【解答】解：如图，延长AE交DC的延长线于点H， 点E是CM的中点， MEEC， ABCD， MAEH，AMEHCE， AMEHCE（AAS） ， AEEH， 又ADH90， DEAEEH， AE绕点E顺时针旋转 90得到EF， AEEF，AEF90， AEDEEF，故正确； AEDEEF， DAEADE，EDFEFD， AEF+DAE+ADE+EDF+EFD360， 2ADE+2EDF2
26、70， ADF135， CDFADFADC1359045，故正确； 如图，连接AC，过点E作EPAD于点P，过点F作FNEP于N，交CD于G，连接CF， EPAD，FNEP，ADC90， 四边形PDGN是矩形， PNDG，DGN90， CDF45， 点F在DF上运动， 当CFDF时，CF有最小值， CD2，CDF45， CF的最小值=22= 2，故正确； EPAD，AMAD，CDAD， AMPECD， =1， APPD， PE是梯形AMCD的中位线， PE=12（AM+CD） ， FDC45，FNCD， DFGFDC45， DGGF，DF= 2DG， AEP+FEN90，AEP+EAP90，
27、FENEAP， 又AEEF，APEENF90， APEENF（AAS） ， APNE=12AD， PE=12（AM+CD）NE+NP=12AD+NP， 12AMNPDG， AM2DG22= 2DF， =2，故错误； 故答案为： 三、专心解一解（本大题共三、专心解一解（本大题共 8 8 小题，满分小题，满分 7272 分。请认真读题，冷静思考。解答题应写出必要的文字说明证分。请认真读题，冷静思考。解答题应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 17 （6 分）计算：|22 3| (12)2+ 18 【分
28、析】先根据绝对值的性质、负整数指数幂及算术平方根计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 【解答】解：原式322 4+32 = 2 1 18 （8 分）一体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用 32000 元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销商场又用 68000 元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但每套进价多了 10 元求该商场第一次购进这种运动服多少套？ 【分析】设该商场第一次购进这种运动服x套，分析题意，找到关键描述语，列出分式方程解答即可 【解答】解：设该商场第一次购进这种运动服x套，则每套运动服的价格为32000元，该商场第一次购进这种运动服 2
29、x套 根据题意可得：2x（32000+10）68000， 解得x200 经检验，x200 是所列方程的根 答：该商场第一次购进这种运动服 200 套 19 （8 分）如图，一次函数y1kx+b的图象与反比例函数2=(0)的图象交于A（1，6） ，B（a，2）两点 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出y1y2时x的取值范围 【分析】 （1）先把A（1，6）代入反比例函数的解析式求出m的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把B（a，2）代入反比例函数的解析式即可求出a的值，把点A（1，6） ，B（3，2）代入函数y1kx+b即可求出k、b的值，进而得出一次函数的解析式； （2）根
30、据函数图象可知，当x在A、B点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由A、B两点的横坐标即可求出x的取值范围 【解答】解： （1）点A（1，6） ，B（a，2）在y2=的图象上， 1=6，m6 反比例函数的解析式为：y2=6， =2，a=2=3， 点A（1，6） ，B（3，2）在函数y1kx+b的图象上， + = 63 + = 2， 解这个方程组，得 = 2 = 8. 一次函数的解析式为y12x+8，反比例函数的解析式为y2=6； （2）由函数图象可知，当x在A、B之间时一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 点A（1，6） ，B（3，2） ， 1x3 20 （9 分）点P的
31、坐标是（a，b） ，从2，1，0，1，2 这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，求点P（a，b）在平面直角坐标系中第三象限内的概率 【分析】画树状图，共有 20 种等可能的结果，其中点P（a，b）在平面直角坐标系中第三象限内的结果数为 2，再根据概率公式求解即可 【解答】解：画树状图为： 共有 20 种等可能的结果，其中点P（a，b）在平面直角坐标系中第三象限内的结果数为 2， 所以点P（a，b）在平面直角坐标系中第三象限内的概率为220=110 21 （9 分）如图，已知O的半径长为 1，AB、AC是O的两条弦，且ABAC，BO的延长线交AC于点D，联结OA
32、、OC （1）求证：OADABD； （2）记AOB、AOD、COD的面积分别为S1、S2、S3，若S22S1S3，求OD的长 【分析】 （1）由AOBAOC，推出CB，由OAOC，推出OACCB，由ADOADB，即可证明OADABD； （2）作OHAC于H，设ODx用x表示AD、AB、CD，再证明AD2ACCD，列出方程即可解决问题 【解答】解： （1）证明：在AOB和AOC中， = = = ， AOBAOC， CB， OAOC， OACCB， ADOADB， OADABD； （2）如图，作OHAC于H，设ODx， OADABD， =， 1+=1， 解得： = ( + 1)， =(+1)， 2
33、2= 13且1=12 ，2=12 ，3=12 ， AD2ACCD， ACAB，CDACAD=(+1) ( + 1)， ( + 1)2=(+1)（(+1)( + 1)） ， 整理得：x2+x10， 解得： =1+52或 =152， 经检验： =1+52是分式方程的根，且符合题意， =1+52 22 （10 分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫” ，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫已知商家购进一批产品，成本为 10 元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12x24）满足一次函数的关系，部分数据如下表
34、： x（元/件） 12 13 14 15 16 y（件） 1200 1100 1000 900 800 （1）求y与x的函数关系式； （2）若线上售价始终比线下每件便宜 2 元，且线上的月销量固定为 400 件试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润 【分析】 （1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可； （2） 设线上和线下月利润总和为m元， 则m400 （x210） +y（x10） 400 x4800+ （100 x+2400） （x10）100（x19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案 【解答】解： （1）y与x满足一次函数的关系， 设ykx+b
35、， 将x12，y1200；x13，y1100 代入得：1200 = 12 + 1100 = 13 + ， 解得： = 100 = 2400， y与x的函数关系式为：y100 x+2400（12x24） ； （2）设线上和线下月利润总和为m元， 则m400（x210）+y（x10）400 x4800+（100 x+2400） （x10）100（x19）2+7300， 当x为 19 元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为 7300 元 23 （10 分）已知在ABC中，ACBCm，D是AB边上的一点，将B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合） ，折痕交
36、BC边于点E （1）特例感知 如图 1，若C60，D是AB的中点，求证：AP=12AC； （2）变式求异 如图 2，若C90，m62，AD7，过点D作DHAC于点H，求AH和AP的长； （3）化归探究 如图 3，若m10，AB12，且当ADa时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围 【分析】 （1）证明ADP是等边三角形即可解决问题 （2）分两种情形：情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图 21 中情形二：当点B落在线段AH上的点P2处时，如图 22 中，分别求解即可 （3）如图 3 中，过点C作CHAB于H，过点D作DPAC于P求出DPDB时A
37、D的值，结合图形即可判断 【解答】 （1）证明：ACBC，C60， ABC是等边三角形， ACAB，A60， 由题意，得DBDP，DADB， DADP， ADP使得等边三角形， APAD=12AB=12AC （2）解：ACBC62，C90， AB= 2+ 2=(62)2+ (62)2=12， DHAC， DHBC， ADHABC， =， AD7， 62=712， DH=722， 将B沿过点D的直线折叠， 情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图 21 中， AB12， DP1DBABAD5， HP1= 12 2=52 (722)2=22， AP1AH+HP142， 情形二：当点B落在线段
38、AH上的点P2处时，如图 22 中， 同法可证HP2=22， AP2AHHP232， 综上所述，满足条件的AP的值为 42或 32 （3）如图 3 中，过点C作CHAB于H，过点D作DPAC于P CACB，CHAB， AHHB6， CH= 2 2= 102 62=8， 当DBDP时，设BDPDx，则AD12x， sinA=， 810=12， x=163， ADABBD=203， 观察图形可知当 6a203时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置 24 （12 分）如图 1，抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴的交点分别为A（3，0）和B（1，0） ，与y轴交于点C，顶点为D
39、（1）求该抛物线的解析式； （2）连接AD，DC，CB，将OBC沿x轴以每秒 1 个单位长度的速度向左平移，得到OBC，点O、B、C的对应点分别为点O、B、C，设平移时间为t秒，当点O与点A重合时停止移动记OBC与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式； （3）如图 2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线： =92作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得 =14？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将点A（3，0） ，B（1，0）代入yax2+bx+3 即可求解； （2）先求直线AD的解析式，分三种情况讨论：当 0
40、t1 时，设BC与y轴交于点T，S=12（3+33t）t= 32t2+3t；当 1t32时，S=32；当32t3 时，CO与AD交于点Q，BC与AD交于点P，过点P作PHCO于点H，S=3212（2t3）15（2t3） ； （3） 令F（1，t） ， 求出MF= ( + 1)2+ ( )2，ME=92n， 由题意可得 （m+1）2+ （nt）2 （174n）2， 将nm22m+3 代入上式，整理得（1+2t172）m2+（2+4t17）m+1+t26t+51228916=0，当t=154时，上式对于任意m的值恒成立，F（1，154） 【解答】解： （1）抛物线yax2+bx+3 过点A（3，0
41、） ，B（1，0） ， 9 3 + 3 = 0 + + 3 = 0， 解得 = 1 = 2， 抛物线的解析式为yx22x+3； （2）yx22x+3（x1）2+4， D（1，4） ， 设直线AD的解析式为ykx+b， 3 + = 0 + = 4， 解得 = 2 = 6， y2x十 6， 当 0t1 时，如图 1， 设BC与y轴交于点T， OOt，OB1t， OT3OB33t， S=12（CO+OT）OO=12（3+33t）t= 32t2+3t； 当 1t32时，S=32； 当32t3 时，如图 2，CO与AD交于点Q，BC与AD交于点P，过点P作PHCO于点H， AO3，OOt， AO3t，O
42、Q62t， CQ2t3， QH2PH，CH3PH， PH=15CQ=15（2t3） ， S=3212（2t3）15（2t3）= 25t2+65t+35； 综上所述：S= 322+ 3(01)32(1 32)252+65 +35(32 3)； （3）存在一点F，使得 =14，理由如下： 令F（1，t） ， MF= ( + 1)2+ ( )2，ME=92n， MEMF=14， MFME14， （m+1）2+（nt）2（174n）2， m2+2m+1+t22nt= 172n+28916， 将nm22m+3 代人上式， 整理得（1+2t172）m2+（2+4t17）m+1+t26t+51228916=0， 当t=154时，上式对于任意m的值恒成立， F（1，154）
