1、 2022 年广东省广州市天河区年广东省广州市天河区二校联考二校联考中考一模中考一模数学数学试卷试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每小题题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）下列四个选项中，为无理数的是（ ） A0 B13 C3 D3 2 （3 分）如图，在数轴上，点 A、B 分别表示 a、b，且 a+b0，若|ab|6，则点 A 表示的数为（ ） A3 B0 C3 D6 3 （3 分）方程1+3=2的解为（ ） Ax6 Bx2 Cx2 Dx6 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A16 =4 B （2）01 C2 + 5 = 7 D93=3
2、 5 （3 分）下列命题是真命题的是（ ） A对角线相等的四边形是平行四边形 B对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 6 （3 分）一个布袋里装有 3 个红球和 5 个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是（ ） A13 B15 C38 D58 7 （3 分）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，点 B 为切点，若 BC4cm，tanBAC=33，则劣弧 BD 的长为（ ） A33cm B32cm C233cm D3cm 8 （3 分）抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） 、 （3，0）
3、，且与 y 轴交于点（0，5） ，则当 x2 时，y 的值为（ ） A5 B3 C1 D5 9 （3 分） 如图， 在ABC 中， ACB90， BC4， AB5， 将ABC 绕点 B 顺时针旋转得到ABC，使点 C 恰好落在 AB 上，则 tanAAC 的值为（ ） A13 B14 C15 D34 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 在函数 y=（k0，x0）的图象上，过点 A 作 x 轴的垂线， 与函数 y= （x0） 的图象交于点 C， 连结 BC 交 x 轴于点 D 若点 A 的横坐标为 1， BC3BD，则点 B 的横坐标为（ ） A32 B2 C52 D3 二、填
4、空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）使式子 4有意义的条件是 12 （3 分）方程 x22x0 的实数解是 13 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，A15，线段 AB 的垂直平分线 ED 分别交 AC、AB 于点 D、E，连接 BD若 CD= 3，则 AD 的长为 14（3 分） 一元二次方程 x2+m0 有两个不相等的实数根， 点A （x1， y1） 、 B （x2， y2） 是反比例函数 y=上的两个点，若 x1x20，则 y1 y2（填“”或“”或“” ） 15 （3 分）正方形 ABCD 中，
5、ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90后得到ABM，点 M、B、E、C 在一条直 线上，且AEM 与AEF 恰好关于 AE 所在直线成轴对称，已知 EF5，正方形边长为 6那么EFC的面积是 16 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 M、N 分别为边 CD、BC 上的点，且 DMCN，AM 与 DN 交于点 P，连接 AN，点 Q 为 AN 的中点，连接 PQ，BQ，若 AB8，DM2，给出以下结论：AMDN；MANBAN；PQNBQN；PQ5其中正确的结论有 （填上所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （4 分）
6、解方程组： = 1 + 3 = 9 18 （4 分）如图，点 A，D，B，E 在一条直线上，ADBE，ACDF，ACDF求证：BCEF 19 （6 分）先化简，再求值： （1+11） 21，其中 x= 3 1 20 （6 分）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，学校随机抽取一部分学生进行测试整理测试成绩，得到如下频数分布表和频数分布直方图： 成绩（分） 频数 频率 A 组：75x80 6 0.15 B 组：80 x85 a 0.2 C 组：85x90 16 0.4 D 组：90 x95 6 0.15 E 组：95x100 4 b 其中最低分为
7、 76 分，满分率为 5%， C 组成绩为 89，89，86，88，89，89，89，86，89，90，89，89，88，88，89，87 回答下列问题： （1）学校共抽取了 名同学进行测试，他们的成绩的众数为 ，极差为 ； （2）其中频数分布表中 a ，b ，并补全频数分布直方图； （3）若成绩大于 85 分为优秀，估计该校七年级 1500 名学生中，达到优秀等级的人数 21 （8 分）为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有 25 道题，满分 100 分，每一题答对得 4 分，答
8、错扣 1 分，不答得 0 分 （1） 若某参赛同学只有一道题没有作答， 最后他的总得分为 86 分， 则该参赛同学一共答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于 90 分才可以被评为“学党史小达人” ，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 22 （10 分）如图，已知锐角ABC 中，ACBC （1）请在图 1 中用无刻度的直尺和圆规作图：作ACB 的平分线 CD；作ABC 的外接圆O； （不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 AB=485，O 的半径为 5，则 sinB （如需画草图，请使用图 2） 23 （10 分）如图，一次函数
9、 y= 3x+b 的图象与 x 轴的负半轴交于点 A（23，0）与 y 轴的正半轴相交于点 B，OAB 的外接圆的圆心为点 C （1）求点 B 的坐标，并求BAO 的大小； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号） 24 （12 分）等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC，BC 边上各取一点 E，F，且满足 AECF，连接 AF，BE相交于点 P （1）求证：AFBE； （2）若 AE2，试求 APAF 的值； （3）当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长 25 （12 分）已知二次函数 yax22ax+3 的最大值为 4，且该抛物线与 y 轴的交点为 C，顶点为
10、 D （）求该二次函数的解析式及点 C，D 的坐标 （）点 P（t，0）是 x 轴上的动点， 求 PDPC 的最大值及对应的点 P 的坐标； 设 Q（0，2t）是 y 轴上的动点，若线段 PQ 与函数 ya|x|22a|x|+3 的图象只有一个公共点，求 t 的取值范围 答案与详解答案与详解 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每小题题，每小题 3 分，满分分，满分 30 分）分） 1 （3 分）下列四个选项中，为无理数的是（ ） A0 B13 C3 D3 【分析】根据无理数的定义判断即可 【解答】解：0，13，3 都是有理数，3是无理数， 故选：C 2 （3 分）如图，在数轴
11、上，点 A、B 分别表示 a、b，且 a+b0，若|ab|6，则点 A 表示的数为（ ） A3 B0 C3 D6 【分析】根据相反数的性质，由 a+b0，得 a0，b0，ba，故|ab|b+（a）6进而推断出 a3 【解答】解：a+b0， ab，即 a 与 b 互为相反数 又|ab|6， ba6 2b6 b3 a3，即点 A 表示的数为3 故选：A 3 （3 分）方程1+3=2的解为（ ） Ax6 Bx2 Cx2 Dx6 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：x2（x+3） ， 解得：x6， 检验：把 x6 代入
12、得：x（x+3）0， 分式方程的解为 x6 故选：D 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） A16 =4 B （2）01 C2 + 5 = 7 D93=3 【分析】根据相关概念和公式求解，选出正确答案即可 【解答】解：16 的算术平方根为 4，即16 = 4，故 A 不符合题意； 根据公式 a01(a0)可得（2）01，故 B 符合题意； 2、5无法运用加法运算化简，故2 + 5 7，故 C 不符合题意； 9 = 3，故 D 不符合题意； 故选：B 5 （3 分）下列命题是真命题的是（ ） A对角线相等的四边形是平行四边形 B对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C对角线互相垂直的四边形是菱形
13、D对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定，逐个判断即可 【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等腰梯形等四边形，故 A 不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故 B 符合题意； C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故 C 不符合题意； D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故 D 不符合题意； 故选：B 6 （3 分）一个布袋里装有 3 个红球和 5 个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率
14、是（ ） A13 B15 C38 D58 【分析】用红球的个数除以球的总个数即可 【解答】解：布袋里装有 3 个红球和 5 个黄球，共有 8 个球， 任意摸出一个球是红球的概率是38 故选：C 7 （3 分）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，点 B 为切点，若 BC4cm，tanBAC=33，则劣弧 BD 的长为（ ） A33cm B32cm C233cm D3cm 【分析】连接 BD，可判断ADB90，根据 BC 是O 的切线，BC4cm，tanBAC=33，可知 AB43，BAD30，BOD60，则劣弧 BD 的长为圆的周长的16 【解答】解：连接 BD， AB 是O 的直径，
15、 ADB90， BC 是O 的切线，BC4cm，tanBAC=33， ABC90，BAC30， AC2BC8cm， AB= 22=43cm， OBOD， BOD60，OBOD23， 圆的周长为：2OB43， 劣弧 BD 的长为：6036043=233， 故选：C 8 （3 分）抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） 、 （3，0） ，且与 y 轴交于点（0，5） ，则当 x2 时，y 的值为（ ） A5 B3 C1 D5 【分析】根据抛物线与 x 轴两交点，及与 y 轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求 y5 【解答】解：如图 抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） 、 （
16、3，0） ，且与 y 轴交于点（0，5） ， 可画出上图， 抛物线对称轴 x=1+32=1， 点（0，5）的对称点是（2，5） ， 当 x2 时，y 的值为5 故选：A 9 （3 分） 如图， 在ABC 中， ACB90， BC4， AB5， 将ABC 绕点 B 顺时针旋转得到ABC，使点 C 恰好落在 AB 上，则 tanAAC 的值为（ ） A13 B14 C15 D34 【分析】先利用勾股定理求出 AC，再根据旋转的性质得出 ABAB5，从而求出 AC，然后在 RtACA中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答 【解答】解：ACB90，BC4，AB5， AC= 2 2= 52 42=
17、3， 由旋转得： ABAB5， ACABBC541， ACB90， ACA180ACB90， 在 RtACA中，tanAAC=13， 故选：A 10 （3 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 在函数 y=（k0，x0）的图象上，过点 A 作 x 轴的垂线， 与函数 y= （x0） 的图象交于点 C， 连结 BC 交 x 轴于点 D 若点 A 的横坐标为 1， BC3BD，则点 B 的横坐标为（ ） A32 B2 C52 D3 【分析】作 BEx 轴于 E，则 ACBE，即可得到CDFBDE，由题意得出=21，即可得出 CF2BE，DF2DE，设 B（，b） ，则 C（1，2b） ，代入
18、y= （x0）即可求得 k2b，从而求得 B 的坐标为 2 【解答】解：作 BEx 轴于 E， ACBE， CDFBDE， =， BC3BD， =21， CF2BE，DF2DE， 设 B（，b） ， C（1，2b） ， 函数 y= （x0）的图象交于点 C， k1（2b）2b， k2b， B 的横坐标为=2=2， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 18 分）分） 11 （3 分）使式子 4有意义的条件是 x4 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，可得出关于 x 的不等式，解出即可得出答案 【解答】解：式子 4有意义， x
19、40， 解得：x4 故答案为：x4 12 （3 分）方程 x22x0 的实数解是 x10，x22 【分析】方程左边分解因式后，利用因式分解法求出解即可 【解答】解：方程变形得：x（x2）0， 可得 x0 或 x20， 解得：x10，x22 故答案为：x10，x22 13 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，A15，线段 AB 的垂直平分线 ED 分别交 AC、AB 于点 D、E，连接 BD若 CD= 3，则 AD 的长为 2 【分析】由线段垂直平分线的性质可得 ADBD，利用含 30角的直角三角形的性质可求解 BD 的长，进而求解 【解答】解：DE 垂直平分 AB， ADBD， AAB
20、D， A15， ABD15， BDCA+ABD15+1530， C90，CD= 3， BC1， BD2BC2， ADBD2 故答案为：2 14（3 分） 一元二次方程 x2+m0 有两个不相等的实数根， 点A （x1， y1） 、 B （x2， y2） 是反比例函数 y=上的两个点，若 x1x20，则 y1 y2（填“”或“”或“” ） 【分析】由一元二次方程根的情况，求得 m 的值，确定反比例函数 y=图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论 【解答】解：一元二次方程 x2+m0 有两个不相等的实数根， 04m0， 解得 m0， m0， 反比例函数 y=图象在第二、四象限，在每个
21、象限 y 随 x 的增大而增大， x1x20， y1y2， 故答案为： 15 （3 分）正方形 ABCD 中，ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90后得到ABM，点 M、B、E、C 在一条直线上，且AEM 与AEF 恰好关于 AE 所在直线成轴对称，已知 EF5，正方形边长为 6那么EFC的面积是 6 【分析】由旋转可得，SADFSABM，由对称可得，MEEF5 且 SAEFSAEM，得到五边形 ABEFD的面积是 30，正方形 ABCD 的面积是 36，进而可得答案 【解答】解：由旋转可得，SADFSABM， 由对称可得，MEEF5 且 SAEFSAEM， SAEFSAEM=12MEAB=12
22、 5 6 =15， SADFSABM， 五边形 ABEFD 的面积是 15+1530， 而正方形 ABCD 的面积是 6636， EFC 的面积是 36306 故答案为：6 16 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 M、N 分别为边 CD、BC 上的点，且 DMCN，AM 与 DN 交于点 P，连接 AN，点 Q 为 AN 的中点，连接 PQ，BQ，若 AB8，DM2，给出以下结论：AMDN；MANBAN；PQNBQN；PQ5其中正确的结论有 （填上所有正确结论的序号） 【分析】正确，证明ADMDCN（SAS） ，可得结论 错误，利用反证法证明即可 正确，利用勾股定理求出 AN，再利用
23、直角三角形斜边中线的性质求出 PQ，可得结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， ADDC，ADMDCN90， 在ADM 和DCN， = = = ， ADMDCN（SAS） ， DAMCDN， CDN+ADP90， ADP+DAM90， APD90， AMDN，故正确， 不妨假设MANBAN， 在APN 和ABN 中， = = 90 = = ， PANABN（AAS） ， ABAP， 这个与 APAD，ABAD，矛盾， 假设不成立，故错误， 不妨假设PQNBQN， 则ANPANB，同法可证APNABN， APAB， 这个与 APAD，ABAD，矛盾， 假设不成立，故错误， DMCN2，A
24、BBC8， BN6， ABN90， AN= 2+ 2= 82+ 62=10， APN90，AQQN， PQ=12AN5故正确， 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分）分） 17 （4 分）解方程组： = 1 + 3 = 9 【分析】运用加减消元解答即可 【解答】解： = 1 + 3 = 9， 得，4y8，解得 y2， 把 y2 代入得，x21，解得 x3， 故原方程组的解为 = 3 = 2 18 （4 分）如图，点 A，D，B，E 在一条直线上，ADBE，ACDF，ACDF求证：BCEF 【分析】根据线段的和差得到 ABDE，由平行线的性质得
25、到AEDF，根据全等三角形的性质即可得到结论 【解答】证明：ADBE， AD+BDBE+BD， 即 ABDE， ACDF， AEDF， 在ABC 与DEF 中， = = = ， ABCDEF（SAS） ， BCEF 19 （6 分）先化简，再求值： （1+11） 21，其中 x= 3 1 【分析】 根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子， 然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （1+11） 21 =1+1121 =1(+1)(1) x+1， 当 x= 3 1 时，原式= 3 1+1= 3 20 （6 分）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程，
26、为了解学生的学习情况，学校随机抽取一部分学生进行测试整理测试成绩，得到如下频数分布表和频数分布直方图： 成绩（分） 频数 频率 A 组：75x80 6 0.15 B 组：80 x85 a 0.2 C 组：85x90 16 0.4 D 组：90 x95 6 0.15 E 组：95x100 4 b 其中最低分为 76 分，满分率为 5%， C 组成绩为 89，89，86，88，89，89，89，86，89，90，89，89，88，88，89，87 回答下列问题： （1）学校共抽取了 40 名同学进行测试，他们的成绩的众数为 89 ，极差为 24 ； （2）其中频数分布表中 a 8 ，b 0.1 ，
27、并补全频数分布直方图； （3）若成绩大于 85 分为优秀，估计该校七年级 1500 名学生中，达到优秀等级的人数 【分析】 （1）根据频数分布表中 C 组频数和频率可得学校共抽取的人数，再将 C 组成绩从低到高排列后即可得众数和极差； （2）根据频数分布表即可补全频数分布直方图； （3）利用样本估计总体的方法即可估计该校七年级 1500 名学生中，达到优秀等级的人数 【解答】解： （1）根据题意可知：160.440， 所以学校共抽取了 40 名同学进行测试， 因为 C 组有 16 人，成绩从低到高为：86，86，87，88，88，88，89，89，89，89，89，89，89，89，89，90
28、， 众数为 89，极差为 1007624 故答案为：40、89、24； （2）a400.28，b4400.1， 如图即为补全的频数分布直方图， 故答案为：8，0.1， （3）0.651500975（人） 答：该校七年级 1500 名学生中，达到优秀等级的 975 人 21 （8 分）为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有 25 道题，满分 100 分，每一题答对得 4 分，答错扣 1 分，不答得 0 分 （1） 若某参赛同学只有一道题没有作答， 最后他的总得分为 86 分， 则该参
29、赛同学一共答对了多少道题？ （2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于 90 分才可以被评为“学党史小达人” ，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 【分析】 （1）设该参赛同学一共答对了 x 道题，则答错了（251x）道题，根据总得分4答对题目数1答错题目数，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设参赛者需答对 y 道题才能被评为“学党史小达人” ，则答错了（25y）道题，根据总得分4答对题目数1答错题目数，结合总得分大于或等于 90 分，即可得出关于 y 的一元一次不等式，解之 取其中的最小值即可得出结论 【解答】解： （1）设该参赛同学一
30、共答对了 x 道题，则答错了（251x）道题， 依题意得：4x（251x）86， 解得：x22 答：该参赛同学一共答对了 22 道题 （2）设参赛者需答对 y 道题才能被评为“学党史小达人” ，则答错了（25y）道题， 依题意得：4y（25y）90， 解得：y23 答：参赛者至少需答对 23 道题才能被评为“学党史小达人” 22 （10 分）如图，已知锐角ABC 中，ACBC （1）请在图 1 中用无刻度的直尺和圆规作图：作ACB 的平分线 CD；作ABC 的外接圆O； （不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若 AB=485，O 的半径为 5，则 sinB 45 （如需画草图，请
31、使用图 2） 【分析】 （1）利用尺规作出ACB 的角平分线 CD，作线段 AC 的垂直平分线交 CD 于点 O，以 O 为圆心，OC 为半径作O 即可 （2）连接 OA，设射线 CD 交 AB 于 E利用勾股定理求出 OE，EC，再利用勾股定理求出 BC，可得结论 【解答】解： （1）如图，射线 CD，O 即为所求 （2）连接 OA，设射线 CD 交 AB 于 E CACB，CD 平分ACB， CDAB，AEEB=245， OE= 2 2=52 (245)2=75， CEOC+OE5+75=325， ACBC= 2+ 2=(245)2+ (325)2=8， sinB=3258=45 故答案为
32、：45 23 （10 分）如图，一次函数 y= 3x+b 的图象与 x 轴的负半轴交于点 A（23，0）与 y 轴的正半轴相交于点 B，OAB 的外接圆的圆心为点 C （1）求点 B 的坐标，并求BAO 的大小； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号） 【分析】 （1）首先把点 A 的坐标代人函数的解析式求得 b 的值，然后令 y0 可求 A 点坐标，令 x0 可求 B 点坐标， 再由 A， B 的坐标求得线段 OA， OB 的长， 利用直角三角形的边角关系可求BAO 得大小； （2）连接 OC，阴影部分的面积等于扇形 CAO 的面积减去CAO 的面积，分别计算扇形 CAO 的面积和CAO
33、 的面积，阴影部分面积可求 【解答】解： （1）一次函数 y= 3x+b 的图象与 x 轴的负半轴交于点 A（23，0） ， 0= 3 （23）+b， b6， 当 x0 时，y6， 点 B 的坐标为（0，6） ， OB6， 在 RtAOB 中， tanBAO=623= 3， BAO60； （2）连 CO， AOB 为直角三角形，ACCB， C 为斜边 AB 的中点 OC=12AB AB= 2+ 2=(23)2+ 62=43， ACBC23 CAOCOA60 ACO60 S阴影S扇形SACO=60(23)23601223 3233 24 （12 分）等边三角形 ABC 的边长为 6，在 AC，B
34、C 边上各取一点 E，F，且满足 AECF，连接 AF，BE相交于点 P （1）求证：AFBE； （2）若 AE2，试求 APAF 的值； （3）当点 E 从点 A 运动到点 C 时，试求点 P 经过的路径长 【分析】 （1）证明ABECAF，由全等三角形的性质可得到答案； （2）利用勾股定理求得 AF 的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求得 APAF 的值，即可以得到答案 （3）当点 F 靠近点 C 的时候点 P 的路径是一段弧，由题目不难看出当 E 为 AC 的中点的时候，点 P 经过弧 AB 的中点，此时ABP 为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案
35、【解答】 （1）证明：ABC 为等边三角形， ABAC，CCAB60， 又AECF， 在ABE 和CAF 中， = = = ， ABECAF（SAS） ， AFBE； （2）解：CAPE60，PAECAF， APEACF， =， 即6=2， APAF12； （3）解：如图 1 所示：当 AECF 时，点 P 的路径是一段弧 当 E 为 AC 的中点的时候， 点 P 经过弧 AB 的中点， 此时ABP 为等腰三角形， 且ABPBAP30， AOB120， 又AB6， OA23 点 P 的路径是 l=180=12023180=433 25 （12 分）已知二次函数 yax22ax+3 的最大值为
36、4，且该抛物线与 y 轴的交点为 C，顶点为 D （）求该二次函数的解析式及点 C，D 的坐标 （）点 P（t，0）是 x 轴上的动点， 求 PDPC 的最大值及对应的点 P 的坐标； 设 Q（0，2t）是 y 轴上的动点，若线段 PQ 与函数 ya|x|22a|x|+3 的图象只有一个公共点，求 t 的取值范围 【分析】 （）可用对称轴公式直接求出 yax22ax+3 的对称轴，然后写出顶点 D 的坐标，将顶点坐标代入 yax22ax+3 即可求出点 C 的坐标； （）求出直线 CD 的解析式，再求出 CD 与 x 轴交点即可求出 P 点坐标，CD 的长度即为 PDPC的最大值； 根据题意画
37、出图形，分别表示出关键点即抛物线与 x 轴交点与点 P 重合时的图象，由图象即可看出 t的取值范围 【解答】解： （）在二次函数 yax22ax+3 中， x= 22=1， yax22ax+3 的对称轴为直线 x1， yax22ax+3 的最大值为 4， 抛物线的顶点 D（1，4） ， 将 D（1，4）代入 yax22ax+3 中， 得 a1， 该二次函数的解析式为 yx2+2x+3， C 点坐标为（0，3） ，D 点坐标为（1，4） ； （）|PCPD|CD， 当 P，C，D 三点在一条直线上时，|PCPD|取得最大值， 如图 1，连接 DC 并延长交 x 轴于点 P， 将点 D（1，4）
38、，C（0，3）代入 ykx+b， 得 + = 4 = 3， 解得 k1，b3， yCDx+3， 当 y0 时， x3， P（0，3） ， CD= 12+ (4 3)2= 2， PDPC 的最大值为2，P（3，0） ； ya|x|22a|x|+3 可化为 y= 2+ 2 + 3( 0)2 2 + 3(0)， 将 P（t，0） ，Q（0，2t）代入 ykx+b， 得 + = 0 = 2， 解得：k2，b2t， yPQ2x+2t， 情况一：如图 21，当线段 PQ 过点（3，0） ，即点 P 与点（3，0）重合时，线段 PQ 与函数y= 2+ 2 + 3( 0)2 2 + 3(0)的图象只有一个公共
39、点，此时 t3， 综合图 21，图 22，所以当 t3 时，线段 PQ 与函数 y= 2+ 2 + 3( 0)2 2 + 3(0)的图象只有一个公共点； 情况二： 如图23， 当线段PQ过 （0， 3） ， 即点Q与点C重合时， 线段PQ与函数y= 2+ 2 + 3( 0)2 2 + 3(0)的图象只有一个公共点，此时 t=32， 如图 24，当线段 PQ 过点（3，0） ，即点 P 与点 A（3，0）重合时，t3，此时线段 PQ 与函数y= 2+ 2 + 3( 0)2 2 + 3(0)，的图象有两个公共点， 综合图 23，图 24，所以当32t3 时，线段 PQ 与函数 y= 2+ 2 + 3( 0)2 2 + 3(0)的图象只有一个公共点； 情况三：如图 25，将 y2x+2t 代入 yx2+2x+3（x0） ， 整理，得 x24x+2t30， 164（2t3）288t， 令 288t0， 解得 t=72， 当 t=72时，线段 PQ 与与函数 y= 2+ 2 + 3( 0)2 2 + 3(0)的图象只有一个公共点； 综上所述，t 的取值范围为 t3 或32t3 或 t=72
