1、江苏省扬州市邗江区2020-2021学年度高二下期中数学试卷第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 的值为（ ）A. 3B. 9C. 12D. 152. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有A. 140种B. 80种C. 100种D. 70种3. （1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为A. 12B. 16C. 20D. 244. 接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感
2、染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为（ ）A. B. C. D. 5. 函数 的大致图象是A. B. C. D. 6. 在某区2020年5月份的高二期中质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是（ ）附：若，则，.A. 1500B. 1700C. 4500D. 80007. 定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则（ ）A. B. C. D. 8. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中（a）放入
3、个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为则（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设，为复数，且，下列命题中正确的有（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若复数z满足，则|的最大值为310. 第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小张、小赵、小李、小罗、小王为五名志愿者现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有（ ）A. 若五人每人可任选一项工作，则不同选法有种B. 若每项工作至少
4、安排一人，则有240种不同的方案C. 若礼仪工作必须安排两人，其余工作安排一人，则有60种不同的方案D. 已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求三人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法11. 设，则下列结论正确的有（ ）A. B. C. D. 12. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）A. 若，则在上单调递减B. 若，则无零点C. 若，则恒成立D. 若，则曲线上存在相异两点M，N处的切线平行第II卷（填空题和解答题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数在点处的切线与直线垂直，则_14. 已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲乙丙
5、丁四人对复数的陈述如下（为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲乙丙丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数_.15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是_16. 若存在正实数m，使得函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，（其中为虚数单位）.（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围.18. 已知函数（1）当
6、时，求展开式中系数的最大项；（2）化简；19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：，20. 已知函数yf（x）（1）求yf（x）的最大值；（2）设实数a0，求函数F（x）af（x）在a，2a上的最小值21. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任
7、取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用（i）若不对该箱余下产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？22. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在实数，使得恒成立值有且只有一个，求的值江苏省扬州市邗
8、江区2020-2021学年度高二下期中数学试卷第I卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 的值为（ ）A. 3B. 9C. 12D. 15【答案】B【解析】【分析】根据排列组合数公式，进行化简计算即可【详解】解：故选：【点睛】本题考查了排列组合数公式的计算，属于基础题2. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有A. 140种B. 80种C. 100种D. 70种【答案】D【解析】【详解】分析：不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男
9、、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答解：直接法：一男两女，有C51C42=56=30种，两男一女，有C52C41=104=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84-10-4=70种故选D点评：直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法3. （1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数【详解】由题意得x3的系数为，故选A【点
10、睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数4. 接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】最多人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率求解.【详解】由题得最多人被感染的概率为.故选：A【点睛】方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种
11、），再定量.5. 函数 的大致图象是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用导数求出单调区间，及x=0时，y=0，即可求解【详解】函数y=的导数为，令y=0，得x=，时，y0，时，y0，时，y0函数（），（）递减，在（）递增且x=0时，y=0，排除B，x=-1时，y=0，x=-2时，y0,排除C，故选A【点睛】本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力，属于中档题，6. 在某区2020年5月份的高二期中质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是（ ）附：
12、若，则，.A. 1500B. 1700C. 4500D. 8000【答案】A【解析】【分析】利用正态总体密度曲线的性质求出概率,即可得到结论.【详解】考试的成绩服从正态分布， 即数学成绩优秀高于分的学生占总人数的. 故选：A.【点睛】本题考查正态分布曲线的性质的应用,解题的关键是求出的概率.7. 定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知条件可以得到，在(0,+)上的单调性，从而分别得到,进而得到结论.【详解】解：，即，因为定义在上，令则，则函数在上单调递增.由得，即，；同理令，则函数在上单调递减.由得，即.综上，.故选
13、：B.【点睛】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性和单调性在比较大小中的应用，涉及根据已知导函数满足的关系构造可判定导数正负的函数，是难题.，从中间是减号，联想到除法求导法则，从系数2，联想到要有的导数产生，综合需要两边同乘以，得到，进而得到得到函数，同样道理得到的单调性，这是解决本题的关键和难点.8. 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】依题意分别求得和，比较可得结果.【详解】放入一
14、个球后：，则；放入两个球后：，则；所以.放入一个球为红球且从甲盒中取1个球是红球的概率为：；放入一个球为蓝球且从甲盒中取1个球是红球的概率为：；所以；放入2个球为两蓝且从甲盒中取1个球是红球的概率为：；放入2个球为一红一蓝且从甲盒中取1个球是红球的概率为：；放入2个球为两红且从甲盒中取1个球是红球的概率为：；所以.所以.综上可知，.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设，为复数，且，下列命题中正确有（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若复数z满足，则|的最大值为
15、3【答案】BCD【解析】【分析】取特值可判断A；由模的性质得，由此可判断B；由可判断C；由复数的几何意义及模的运算可判断D.【详解】对于选项A：取，则，故A错误；对于选项B：由得，即，所以，故B正确；对于选项C：因为，则由得，即，故C正确；对于选项D：设，由得，所以当时，的最大值为3.故D正确.故选：BCD.10. 第三届世界智能驾驶挑战赛在天津召开，小张、小赵、小李、小罗、小王为五名志愿者现有翻译、安保、礼仪、服务四项不同的工作可供安排，则下列说法正确的有（ ）A. 若五人每人可任选一项工作，则不同的选法有种B. 若每项工作至少安排一人，则有240种不同的方案C. 若礼仪工作必须安排两人，其
16、余工作安排一人，则有60种不同的方案D. 已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求三人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法【答案】BCD【解析】【分析】根据题意，由排列组合数公式依次分析选项，综合即可得答案【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，若五人每人可任选一项工作，则每人都有4种选法，则5人共有种选法，错误，对于，分2步分析：先将5人分为4组，将分好的4组安排四项不同的工作，有种分配方法，正确，对于，分2步分析：在5人中任选2人，安排礼仪工作，有选法，再将剩下3人安排剩下的三项工作，有种情况，则有种不同的方案，正确，对于，分2步分析：在5人中任选2人，安排
17、在第一排，有排法，剩下3人安排在第二排，要求身高最高的站中间，有2种排法，则有种不同的方案，故选：11. 设，则下列结论正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据二项式定理用赋值法求系数和，对D选项，需对原式求导后再赋值【详解】由题意，A正确；令得，令得，所以，B错；令得，又，所以，C正确；对两边求导得，令得，D正确故选：ACD12. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）A. 若，则在上单调递减B. 若，则无零点C. 若，则恒成立D. 若，则曲线上存在相异两点M，N处的切线平行【答案】ABC【解析】【分析】求出导函数，利用的正负确定的单调性，极值（最值），由此可直接
18、判断A，确定最小值判断BC，根据导函数的性质判断D【详解】函数定义域是，恒有两个实解，又，所以异号，不妨设，当时，递减，时，递增所以，若，则，在上递减，A正确；若，设，因为和在上是增函数，因此是减函数，时，所以，所以无零点B正确；时，所以恒成立，C正确；时，设，恒成立单调递增，即单调递增，所以在上，对任意实数，不可能有两个不等实解，即函数不存在两不同的点，在这两点处导数值相等（切线斜率相等），即任意两点处切线不可能平行D错故选：ABC【点睛】本题考查用导数研究的单调性与极值掌握单调性与导数的关系是解题关键零点个数问题一般需要结合零点存在定理，切线问题一般由导数的几何意义判断本题在判断最小值的正
19、负时，注意参数与极值点的关系与转化，目的是为了计算简便第II卷（填空题和解答题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数在点处的切线与直线垂直，则_【答案】0【解析】【分析】由导数的几何意义可得结果.【详解】依题意得，所以.故答案为：0.14. 已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲乙丙丁四人对复数的陈述如下（为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲乙丙丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数_.【答案】【解析】【分析】设，由此可计算出，和，根据数字对比可发现丙丁、乙丁不能同时成立；又甲乙丙任意两个正确，则第三个一定正确，由此可得到只能甲丁正确，由此可求得
20、.【详解】设，则，.与不可能同时成立，丙丁不能同时正确；时，不成立，乙丁不能同时正确；当甲乙正确时：，则丙也正确，不合题意；当甲丙正确时：，则乙也正确，不合题意；当乙丙正确时：，则甲也正确，不合题意；甲丁陈述正确，此时，.故答案为：.15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是_【答案】0.18【解析】【分析】甲队以4:1获胜包含的情况有:前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜
21、,前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,由此能求出甲队以4:1获胜的概率.【详解】甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,甲队以4:1获胜包含的情况有:前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,其概率为:前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,其概率为:前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,其概率为:前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,其概率为:则甲队以4:1获胜的概率为:.故答案为:0.18.16. 若存在正实数m，使得函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】方程变形为，令，换元化简方程，
22、然后再分离参数为，引入函数（），利用导数确定的单调性，极值后可得参数范围【详解】由题意，由得，令，则，令（），则，令，则，即是增函数，所以时，递减，时，递增，所以，又时，因为，所以有两解，则，解得故答案为：【点睛】本题考查函数的零点个数问题，解题方法是把函数零点转化为方程的解，对方程进行简化是解题关键，再用分离参数法转化为求函数的单调性与极值四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，（其中为虚数单位）.（1）若为纯虚数，求实数的值；（2）若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得，由为纯虚数，
23、即可求得；（2）因为，故，即可求得的取值范围.【详解】（1）由，得，为纯虚数，且，.（2），即，解得.【点睛】本题解题关键是掌握根据复数类型求参数的方法，复数除法和复数模求法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.18. 已知函数.（1）当时，求展开式中系数的最大项；（2）化简；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由于展开式中各项的系数与二项式系数相同，所以由二项式系数性质可得结果；（2）考查的二项展开式，由赋值法可得结果.【详解】（1）当时，由于展开式中各项的系数与二项式系数相同，所以展开式中系数最大项是第5项，即.（2）因为，令得，所以.19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境
24、监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：，【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有.【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得列联表；（3）计算出，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150
25、的概率为；（2）由所给数据，可得列联表为：合计641680101020合计7426100（3）根据列联表中的数据可得，因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于中档题.20. 已知函数yf（x）（1）求yf（x）的最大值；（2）设实数a0，求函数F（x）af（x）在a，2a上的最小值【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）令0，求得极值点，因此可得到单调区间，从而得到最大值；（2）根据（1）可知F（x）的单调性，得到F（x）在a，2a上的最小值为F（a）和F（2a）之中的较
26、小者，作差讨论即可得到结果.试题解析：（1）.令0得xe.因为当x（0，e）时，0，f（x）在（0，e）上为增函数；当x（e，）时，0，f（x）在（e，）上为减函数，所以f（x）maxf（e）（2）因为a0，由（1）知，F（x） 在（0，e）上单调递增，在（e，）上单调递减，所以F（x） 在a，2a上最小值F（x）minminF（a），F（2a）因为F（a）F（2a），所以当02时，F（a）F（2a）0，F（x）minF（2a）ln2a21. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验
27、结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记件产品中恰有件不合格品的概率为,求的最大值点；（2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】（1）；（2）（i）；（ii）应该对余下的产品作检验.【解析】【分析】（1）利用独立重复实验成功次数对应的概率，
28、求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点，这里要注意的条件；（2）先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.【详解】（1）件产品中恰有件不合格品的概率为.因此.令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为；（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，即.所以.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.【点睛】该题考查的是有关随机变量的问题，在解题的过
29、程中，一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式，再者就是对其用函数的思想来研究，应用导数求得其最小值点，在做第二问的时候，需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率，应用期望公式求得结果，再有就是通过期望的大小关系得到结论.22. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在实数，使得恒成立的值有且只有一个，求的值【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数单调单调递增区间和递减区间；（2）分析得出恒成立，构造函数，转化为，整理得出，令，利用导数得出，求出、的值，即可得解.【详解】（1）函数定义域为，.当时，在上单调递增；当时，令，解得，当时，当时，.在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）恒成立，即恒成立令，则当时，单调递增，要使在上恒成立，只需，此时不唯一，不合题意；当时，令，解得，在上单调递增要使在上恒成立，只需，此时不唯一，不合题意；当时，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，要使在上恒成立，且值唯一，只需，整理得，令，则，令，解得当时，单调递增，当时，单调递减，要使值唯一，只需，解得，【点睛】思路点睛：本题考查利用函数不等式恒成立，关键就是将问题转化为，并利用导数分析函数的单调性，进而求解.
