1、第16讲 含参单调性讨论、极值和最值高考预测一：含参单调性讨论 1设函数，其中，求的单调区间2已知函数，（）求函数的单调区间；（）若在处的切线斜率为1设（其中为正常数），求函数的最小值；若，证明：3设函数，曲线在点，（2）处的切线方程为，（）求，的值；（）求的单调区间4已知函数（1）讨论的单调性；（2）若对于任意的，都有成立，求正整数的最大值5已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围6已知函数（）求的单调区间；（）若对于任意的，都有，求的取值范围高考预测二：含参极值问题7已知函数（1）若，求函数的极值；（2）当时，判断函数在区间，上零点的个数8已知函数的导函数的两个零点为和
2、0（）求的单调区间；（）若的极小值为，求的极大值高考预测三：含参最值问题9已知函数的定义域为（1）求函数的单调区间；（2）求函数在，上的最小值10已知函数（）求曲线在处的切线方程；（）若函数在区间，上的最大值为28，求的取值范围11已知函数（）若，求证：在上是增函数；（）求在，上的最小值12已知函数，（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间，上的最大值13设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在，上的最大值14设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，时，求用表示函数在的最小值高考预测四：已知最值求参15已知函数（1
3、）当时，求的单调区间；（2）记当时，函数与轴有两个不同的交点，求的取值范围；（3）若函数在区间，上的最小值为，求的值16已知函数（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由17已知函数，（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得函数在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由参考数据：高考预测五：用函数在区间上的最值点若不是区间端点就是极值点解题18已知函数，其中（1）若，求的值；（2）讨论函数的零点个数19已知函数（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，记这人生日至少有两人相同的概率为，将一年
4、看作365天求的表达式；估计的近似值（精确到参考数值：，20已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，求的值21已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意的，恒成立，求的值第16讲 含参单调性讨论、极值和最值高考预测一：含参单调性讨论 1设函数，其中，求的单调区间【解析】解：由已知得函数的定义域为，且，（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由，解得、随的变化情况如下表0极小值从上表可知当时，函数在上单调递减当时，函数在上单调递增综上所述：当时，函数在上单调递减当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增2已知函数，（）求函数的单调区间；（）若在处的切线斜率为1设（其中为正常数），求函
5、数的最小值；若，证明：【解析】解：（）：，当时，恒成立，故在上单调递增，当时，令，解得或，当时，令，即时，函数单调递增，令，即时，函数单调递减，当时，令，即时，函数单调递增，令，即时，函数单调递减，综上所述：当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减，当时，在上单调递增，在，上单调递减，（）在处的切线斜率为1，（1），解得，令，解得，当，即，函数单调递增，当，即，函数单调递减，不妨设，令，令，解得，当，即，函数单调递增，当，即，函数单调递减，3设函数，曲线在点，（2）处的切线方程为，（）求，的值；（）求的单调区间【解析】解：（）在点，（2）处的切线方程为，当时，即（2），同时（2），
6、则，即，；（），；，与同号，令，则，由，得，此时为减函数，由，得，此时为增函数，则当时，取得极小值也是最小值（1），则（1），故，即的单调区间是，无递减区间4已知函数（1）讨论的单调性；（2）若对于任意的，都有成立，求正整数的最大值【解析】解：（1），时，恒成立，在上单调递增，当时，令，解得，当时，函数在，上单调递增，当时，函数在，上单调递减，当时，令，解得，当，函数上单调递增，当，函数上单调递减，（2）对任意的，成立，即 成立，即 恒成立，即，令，令，在上单调递增，又，在上有唯一零点，且，当时，为减函数，当，时，为增函数，恒成立，且是正整数，或，的最大值为25已知函数（1）讨论的单调性；（2
7、）若有两个零点，求的取值范围【解析】解：（1）由，求导，当时，当，单调递减，当时，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；当时，恒成立，当，单调递减，综上可知：当时，在单调减函数，当时，在是减函数，在，是增函数；（2）若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，当时，当时，当，且远远大于和，当，函数有两个零点，的最小值小于0即可，由在是减函数，在，是增函数，即，设，则，求导，由（1），解得：，的取值范围方法二：（1）由，求导，当时，当，单调递减，当时，令，解得：，当，解得：，当，解得：，时，单调递减，单调递增；当时，恒成立，当，单调递减，综上可知：当时，在单调减函数，当时，在
8、是减函数，在是增函数；（2）若时，由（1）可知：最多有一个零点，当时，由（1）可知：当时，取得最小值，当，时，故只有一个零点，当时，由，即，故没有零点，当时，由，故在有一个零点，假设存在正整数，满足，则，由，因此在有一个零点的取值范围6已知函数（）求的单调区间；（）若对于任意的，都有，求的取值范围【解析】解：（）令，得，当时，随的变化情况如下：00递增递减0递增所以，的单调递增区间是，和，单调递减区间是；当时，随的变化情况如下：00递减0递增递减所以，的单调递减区间是，和，单调递增区间是；（）当时，有，不合题意，当时，由知在上的最大值是，任意的，解得，故对于任意的，都有，的取值范围是，高考预测
9、二：含参极值问题7已知函数（1）若，求函数的极值；（2）当时，判断函数在区间，上零点的个数【解析】解：（1），100递减极小值递增极大值递减所以的极小值为，极大值为（2）由（1）得，当时，在，上单调递增，在，上递减又因为，所以在，上有两个零点；当时，在，上有两个零点；当时，在，上单调递增，在，上递减，又因为，所以在，上有两个零点；当时，所以在上单调递增，在上递减，在上递增又因为，所以在，上有且仅有一个零点，在，上没有零点，所以在，上有且仅有一个零点；当时，恒成立，在，单调递增，（2），所以在，上有且仅有一个零点，综上可知，当时，在，上有且仅有一个零点；当时，在，上有两个零点8已知函数的导函数的
10、两个零点为和0（）求的单调区间；（）若的极小值为，求的极大值【解析】解：（）令，的零点就是的零点，且与符号相同又，当，或时，即，当时，即，的单调增区间是，单调减区间是（）由（）知，是的极小值点，所以有解得，所以函数的解析式为又由（）知，的单调增区间是，单调减区间是所以，函数的极大值为高考预测三：含参最值问题9已知函数的定义域为（1）求函数的单调区间；（2）求函数在，上的最小值【解析】解：（1）函数，令，所以函数在区间上单调递减；令，所以函数在区间上单调递增（2）当时，由于，故，故，函数在区间上单调递减函数在区间上单调递增函数的最小值为（2）当时，函数在区间，上单调递增，所以函数的最小值为综上，
11、10已知函数（）求曲线在处的切线方程；（）若函数在区间，上的最大值为28，求的取值范围【解析】解：（）函数，（1），（1），在处的切线方程：；（），或，100单调递增极大值单调递减极小值单调递增，（1），（2），在区间，上的最大值为28，11已知函数（）若，求证：在上是增函数；（）求在，上的最小值【解析】证明：（）当时，当时，所以在上是增函数（5分）（）解：，当，若，则当，时，所以在，上是增函数，又（1），故函数在，上的最小值为1若，则当，时，所以在，上是减函数，又（e），所以在，上的最小值为若，则当时，此时是减函数；当时，此时是增函数又，所以在，上的最小值为综上可知，当时，在，上的最小值为1
12、；当时，在，上的最小值为；当时，在，上的最小值为（13分）12已知函数，（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间，上的最大值【解析】解：（1）由公共切点可得：，则，则，又（1），（1），即，代入式可得：（2），设则，令，解得：，；，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增若，即时，最大值为；若，即时，最大值为若时，即时，最大值为综上所述：当，时，最大值为；当时，最大值为13设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数在，上的最大值【解析】解：（1）当时，令，解得，所以，随的变化情况如下表：000极大值极小值所以函数的单调增区
13、间为和，单调减区间为（2），解得，令，所以在上是减函数，（1），即所以，随的变化情况如下表：，0极小值所以，令 则，所以 在 上递减，而，所以存在 使得，且当 时，当，时，所以 在 上单调递增，在，上单调递减，因为，所以 在 上恒成立，当且仅当 时取得等号综上，函数 在，上的最大值14设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当，时，求用表示函数在的最小值【解析】解：（1）当时，令得， 2列表如下：0， 2 2，00极大值极小值由表可知，函数的递减区间为， ，递增区间为， 2，（2），由（1）可知在， 上单调递减，在 ，上单调递增高考预测四：已知最值求参15已知函数（1）当时，求的单调区间；（
14、2）记当时，函数与轴有两个不同的交点，求的取值范围；（3）若函数在区间，上的最小值为，求的值【解析】解：（1）当时，的定义域为，（1分）当时，；当时，所以的减区间为，增区间为 （4分）（2）当时，则由解得：；由解得：所以函数在区间为减函数，在区间为增函数当时，取最小值，且（1） （6分）当时，函数与轴有两个不同的交点，即实数的取值范围为 （8分）（3）由题意，若，则，在上单调递减；，即，适合题意（10分）若，即，则，在上单调递增；，即，适合题意（12分）若，即，则在上单调递减，在上单调递增；，即（舍（14分）若，即，在上单调递减；，即，不合题意综上所述，或 （16分）16已知函数（1）讨论的单
15、调性；（2）是否存在，使得在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，说明理由【解析】解：（1）令，解得，或时，函数在上单调递增时，函数在，上单调递增，在上单调递减时，函数在，上单调递增，在，上单调递减（2）由（1）可得：时，函数在，上单调递增则，（1），解得，满足条件时，函数在，上单调递减，即时，函数在，上单调递减则，（1），解得，满足条件，即时，函数在，上单调递减，在，上单调递增则最小值，化为：而，（1），最大值为或若：，解得，矛盾，舍去若：，解得，或0，矛盾，舍去综上可得：存在，使得在区间，的最小值为且最大值为1，的所有值为：，或17已知函数，（1）讨论的单调性；（
16、2）是否存在，使得函数在区间，的最小值为且最大值为1？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由参考数据：【解析】解：（1），令，在，上单调递增，（1），若时，恒成立，即在区间，上单调递增，若时，则（1），则，则在区间，上单调递减，若，则，（1），又在，上单调递增，结合零点存在性定理知，存在唯一的实数，使得，当，时，则，则在，上单调递减，当，时，则，则在，上单调递增，综上所述：若时，在区间，上单调递增，若时，在区间，上单调递减，若时，存在唯一的实数，在，上单调递减，在，上单调递增（2）由（1）可得：若，则，则，而（1），解得满足题意，若时，则，则时，而（1），解得满足题意，若时，令，则，在，
17、上单调递减，令，由（1）可知（1），令，由（1）可知（1），综上：当且，或当且时，使得在区间，的最小值为且最大值为1高考预测五：用函数在区间上的最值点若不是区间端点就是极值点解题18已知函数，其中（1）若，求的值；（2）讨论函数的零点个数【解析】解：（1），当时，当时，在上递增，在上递减，（1），；（2）由（1）可知：，时取等号，时取等号，时，有一个零点；时，（1），此时有两个零点；时，（1），令，在上递增，（1），此时有两个零点；综上：时，有一个零点；当且时，有两个零点19已知函数（1）若，求的值；（2）已知某班共有人，记这人生日至少有两人相同的概率为，将一年看作365天求的表达式；估计的近
18、似值（精确到参考数值：，【解析】（本小题满分12分）解：（1）由题得，当时，的定义域为；当时，的定义域为，又，且，所以是的极小值点，故而，于是，解得下面证明当时，当时，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以，即符合题意综上，（2）由于人生日都不相同的概率为，故人生日至少有两人相同的概率为由（1）可得当时，即，当且仅当时取等号，由得记，则，即，由参考数值得，于是，故20已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若，求的值【解析】解：（1）由，得，当时，故在上为增函数，当时，令，得当时，故为减函数，当时，为增函数综上可知，当时，上为增函数，当时，在上为减函数，在上为增函数；（2）当时，在上为增函数，又（1），则当时，不合题意；当时，函数在处求得最小值，最小值为，则令（a），则（a）故（a）在上单调递增，在上单调递减且（1），则综上可知，21已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对任意的，恒成立，求的值【解析】解：（1）当时，则函数的导数为，由，解得；解得；所以在上单调递减，在，上单调递增（2）若，（2），与已知矛盾，设，若，则，显然不满足在上恒成立，当时，由知要满足在上恒成立，只需，要使上式成立只需成立，两边取自然对数得，整理得，即此式成立令，则，显然当肘，当时，于是函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当且仅当时取等号要使成立，必须，所以，综上所述：
