1、第7讲 分布列与数学期望高考预测一：求概率及随机变量的分布列的基本类型 类型一：利用古典概型求概率110月1日，某品牌的两款最新手机（记为型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表手机店型号手机销量6613811型号手机销量1291364（）若在10月1日当天，从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率；（）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（）经测算，型号
2、手机的销售成本（百元）与销量（部满足关系若表中型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值（用表示，结论不要求证明）2为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成如图，其中“”表示服药者，“”表示未服药者（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标的值小于60的概率；（2）从图中，四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望；（3）试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小（只需写出结论）3已知2件次品
3、和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率4电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获
4、得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等用“”表示第类电影得到人们喜欢“”表示第类电影没有得到人们喜欢，2，3，4，5，写出方差，的大小关系5设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（1）设甲同学上学期间的三天中之前到校的天数为，求，时的概率，（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学
5、在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率类型三：利用条件概率公式求概率6如图所示，质点在正方形的四个顶点上按逆时针方向前进现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字质点从点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点前进一步（如由到；当正方体上底面出现的数字是2，质点前两步（如由到，当正方体上底面出现的数字是3，质点前进三步（如由到在质点转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止（1）求点恰好返回到点的概率；（2）在点转一圈恰能返回到点的所有结果中，用随机变量表示点恰能返回到点的投掷次数，求的
6、分布列及数学期望7根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：对工期的影响如下表：降水量工期延误天数02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：工期延误天数的均值与方差；（）在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率类型四：利用统计图表中的数据求概率8某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；
7、如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温，天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？9某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）（
8、1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？超过2万元不超过2万元总计平原地区山区5总计附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828高考预测二：超几何分布和二项分布类型一：超几何分布10已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24
9、，16，16现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查（）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率11是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物日均值在35微克立方米以下空气质量为一级；在35微克立方米微克立方米之间空气质量为二级；在75微克立方米以上空气质量为超标石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的监测数据如茎
10、叶图所示（1）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天日均监测数据未超标的概率；（2）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列及期望类型二：二项分布12某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为，求的分布列、数学期望和方差13近年来，空气质量成为人们越来越关
11、注的话题，空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级，为优；为良；为轻度污染；为中度污染；为重度污染；大于300为严重污染环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望高考预测三：概率与其他知识点交汇类型一：以其他知识为载体14已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的
12、8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量的值：若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；若这两条棱所在的直线平行，则；若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）（1）求的值；（2）求随机变量的分布列及数学期望15从集合，2，3，4，5，6，7，8，中抽取三个不同的元素构成子集，（1）求对任意的和，2，3，2，3，满足的概率；（2）若，成等差数列，设其公差为，求随机变量的分布列与数学期望类型二：构造递推关系求概率问题16为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进
13、行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，1，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，2，其中，假设，证明：，1
14、，2，为等比数列；求，并根据的值解释这种试验方案的合理性17从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可到达点，2，3，的概率为（1）求和的值；（2）求证：；（3）求的表达式类型三：利用导数研究概率问题18某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点（即取最大值时对应的的值）（2）现对一箱产品检验了20
15、件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值，已知每件产品的检验费用为3元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为求；以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？19某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测设每个水果为不合格品的概率都为，且各个水果是否为不合格品相互独立（
16、）记10个水果中恰有2个不合格品的概率为，求取最大值时的值；（）现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以（）中确定的作为的值已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付元的赔偿费用（）若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为，求；（）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？高考预测三：决策问题20某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每
17、个300元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数（1）求的分布列；（2）若要求，试确定的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？高考预测四：正态分布21为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：根据长期生
18、产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，2，16用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值
19、判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到附：若随机变量服从正态分布，则，22从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差利用该正态分布，求某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数利用 的结果，求附：，若，则，第7讲 分布列与数学期望高考预测一：求概率及随机变量的分布列的
20、基本类型 类型一：利用古典概型求概率110月1日，某品牌的两款最新手机（记为型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表手机店型号手机销量6613811型号手机销量1291364（）若在10月1日当天，从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率；（）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（）经测算，型号手机的销售成本（百元）与销量（部满足关系若表中型号手机销量的方
21、差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值（用表示，结论不要求证明）【解析】解：设事件为从店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为型号手机，设事件为从店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为型号手机，则事件，相互独立，且，抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率为由表格可知型号手机销售量超过型号手机的店有2个，故的可能取值有0，1，2且，的分布列为：012数学期望为，2为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成如图，其中“”表示服药者，“”表示未服药者（1）从服药的50名患者中
22、随机选出一人，求此人指标的值小于60的概率；（2）从图中，四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望；（3）试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小（只需写出结论）【解析】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标的值小于60，答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：（2）由图知：、两人指标的值大于1.7，而、两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标的值大于1.7的人数的可能取值为0，1，2，的分布列如下： 0 1 2 答：（3）答：由图知100名患者中服药者指标数据的方差比
23、未服药者指标数据的方差大3已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望【解析】解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件，则（A）；（2）的可能取值为200，300，400，；所以的分布列为： 200300 400 数学期望为类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求
24、概率4电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等用“”表示第类电影得到人们喜欢“”表示第类电影没有得到人们喜欢，2，3，4，5，写出方差，的大小关系【
25、解析】解：（）设事件表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为部，第四类电影中获得好评的电影有：部，从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：（A）（）设事件表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”，第四类获得好评的有：部，第五类获得好评的有：部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：（B）（）由题意知，定义随机变量如下：，则服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：100.40.6，第二类电影：100.20.8，第三类电影：100
26、.150.85，第四类电影：100.250.75，第五类电影：100.20.8，第六类电影：100.10.9，方差，的大小关系为：5设甲、乙两位同学上学期间，每天之前到校的概率均为假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立（1）设甲同学上学期间的三天中之前到校的天数为，求，时的概率，（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在之前到校的天数比乙同学在之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率【解析】解：（1），（2）设乙同学上学期间的三天中在之前到校的天数为，则，类型三：利用条件概率公式求概率6如图所示，质点在正方形的四个顶点上按逆时针方向前进现在投掷一个质地均匀、每个面
27、上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字质点从点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点前进一步（如由到；当正方体上底面出现的数字是2，质点前两步（如由到，当正方体上底面出现的数字是3，质点前进三步（如由到在质点转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止（1）求点恰好返回到点的概率；（2）在点转一圈恰能返回到点的所有结果中，用随机变量表示点恰能返回到点的投掷次数，求的分布列及数学期望【解析】解：（1）投掷一次正方体玩具，因每个数字在上底面出现是等可能的，故其概率易知只投掷一次不可能返回到点若投掷两次质点就恰好能返回到点，则上底面出现的两个数字
28、，应依次为：、三种结果，其概率为若投掷三次质点恰能返回到点，则上底面出现的三个数字，应依次为：，1，、，2，、，1，三种结果，其概率为若投掷四次质点恰能返回到点，则上底面出现的四个数字应依次为：，1，1，其概率为所以，质点恰好返回到点的概率为：（2）由（1）知，质点转一圈恰能返回到点的所有结果共有以上问题中的7种情况，且的可能取值为2，3，4则，故的分布列为：234所以，7根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：对工期的影响如下表：降水量工期延误天数02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：工期延误天数的均值与方差；
29、（）在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率【解析】由题意，的分布列为026100.30.40.20.1工期延误天数的均值为3，方差为9.8；（），由条件概率可得类型四：利用统计图表中的数据求概率8某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最
30、高气温，天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？【解析】解：（1）由题意知的可能取值为200，300，500，的分布列为：2003005000.20.40.4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑，当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则，当时，若最高气温不低于20，则，若最高气温低于20，则，时，的数学期望
31、达到最大值，最大值为520元9某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区
32、有关”？超过2万元不超过2万元总计平原地区山区5总计附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【解析】解：（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应收集手机户山区家庭的样本数据（2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为（3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为户而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：超过2万元不超过2万元总计平原地区2580105山区54045总计30120150所以，有的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”高考预测二：超几何分布和二项分布类型一：超几何分布10已知
33、某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查（）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的分布列与数学期望；设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率【解析】解：（）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16人数比为：，从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人（）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这
34、7人中随机抽取3人做进一步的身体检查用表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量的取值为：0，1，2，3，1，2，3所以随机变量的分布列为：0123随机变量的数学期望；设为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：，且（B），（C），故（A）所以事件发生的概率：11是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物日均值在35微克立方米以下空气质量为一级；在35微克立方米微克立方米之间空气质量为二级；在75微克立方米以上空气质
35、量为超标石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的监测数据如茎叶图所示（1）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天日均监测数据未超标的概率；（2）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列及期望【解析】解：（1）记“当天日均监测数据未超标”为事件，因为有天日均值在75微克立方米以下，故（A）（2）的可能值为0，1，2，3由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标，的分布列如下表：0123类型二：二项分布12某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、
36、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为，求的分布列、数学期望和方差【解析】解：（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为，（2）设该顾客在一次抽奖中获一等奖的概率为，故而，故的分布列为0123数学期望，方差13近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级，为优；为良；为轻度污染；为中度污染；为重度污染；大于300为严重污
37、染环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求的概率分布列和数学期望【解析】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，基本事件总数，抽取的2天中至
38、少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，且，故的分布列为： 0 1 2 3 ，高考预测三：概率与其他知识点交汇类型一：以其他知识为载体14已知正四棱锥的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量的值：若这两条棱所在的直线相交，则的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）；若这两条棱所在的直线平行，则；若这两条棱所在的直线异面，则的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）（1）求的值；（2）求随机变量的分布列及数
39、学期望【解析】解：（1）根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，为等腰直角三角形的可能取值为：0，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条基本事件总数种情况，当时有2种，当时有种，当时有种（2），随机变量的分布列如下表：015从集合，2，3，4，5，6，7，8，中抽取三个不同的元素构成子集，（1）求对任意的和，2，3，2，3，满足的概率；（2）若，成等差数列，设其公差为，求随机变量的分布列与数学期望【解析】解：（1）由题意知基本事件数为，而满足条件，即取出的元素不相邻，则用插空法有种，故所求事件的概率为；（2）分析，成等差数列的情况：的情况有7种：，2，3，4，5，6，7，8，的情况
40、有5种：，3，4，5，6，7，的情况有3种：，4，5，6，的情况有1种：，5，故的分布列如下： 1 2 34 所以类型二：构造递推关系求概率问题16为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则
41、乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为（1）求的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，1，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，2，其中，假设，证明：，1，2，为等比数列；求，并根据的值解释这种试验方案的合理性【解析】（1）解：的所有可能取值为，0，1，的分布列为：01（2）证明：，由（1）得，因此，2，故，即，又，1，2，为公比为4，首项为的等比数列；解：由可得，表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时
42、得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理17从原点出发的某质点，按向量移动的概率为，按向量移动的概率为，设可到达点，2，3，的概率为（1）求和的值；（2）求证：；（3）求的表达式【解析】解：（1），（2）证明：点到达点有两种情况从点按向量移动从点按向量移动问题得证（3）数列是以为首项，为公比的等比数列又因为类型三：利用导数研究概率问题18某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点（即取最大值时对应的的值）（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值，已知每件产品的检验费用为3元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为求；
