1、2021 年广东省佛山市禅城区二校联考中考三模数学试卷年广东省佛山市禅城区二校联考中考三模数学试卷 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑 1 （3 分）一个数的相反数是 5，则这个数是（ ） A5 B5 C5D15 2 （3 分）截至北京时间 2020 年 12 月 1 日 9 时 30 分，全球新冠肺炎确诊病例超过 1800 万，将 1800 万用科学记数法表示为（ ） A
2、1.8107 B18104 C1.8108 D18103 3 （3 分）如图几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4 （3 分）在学校的体育调练中，小杰投实心球的 7 次成绩就如统计图所示，则这 7 次成绩的中位数和众数分别是（ ） A9.7，9.8 B9.7，9.7 C9.8，9.9 D9.78，9.8 5 （3 分）已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板 ABC，按如图所示方式放置，其中 A、B 两点分别落在直线 m、n 上，若135，则2 的度数是（ ） A35 B30 C25 D65 6 （3 分）如图，在ABC 和DE
3、F 中，ABDE，AD，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（ ） AACDF BBE CBCEF DCF 7 （3 分）把不等式组2 4 03 0的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A B C D 8 （3 分）如图，正比例函数 ykx（k0） ，与反比例函数 =1的图象相交于 A，C 两点，过 A 作 ABx轴于 B，连接 BC，若ABC 的面积为 S，则（ ） AS1 BS2 CSk DSk2 9（3 分） 若关于 x 的一元二次方程 （3a） x22x+10 有两个不相等的实数根， 则整数 a 的最小值是 （ ） A1 B2 C3 D4 10 （3 分）在正方形 ABCD 中，E
4、为 BC 上一点，作 DFAE 于点 F、BGAE 于点 G 连接 BF，作 GHBF 交 DF 于点 H，连接 BH、AH，若 AFFG，则BAG30；ABGDAF；BHAD；SABH（2 +1）SAFH在上述结论中，正确的有（ ） A B C D 二、 填空题 （本大题二、 填空题 （本大题 7 小题， 每小题小题， 每小题 4 分， 共分， 共 27 分） 请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上分） 请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上 11 （4 分）化简：253= 12 （4 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，若去掉一个角得到一个七边形，则1+2 度 13 （
5、4 分）分解因式：9a281 14 （4 分）如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，且 AB24cm，OD5cm，则 DC 15 （4 分）已知 x2+2x10，则代数式 52x24x 的值为 16 （4 分）观察下列一组数：a13，a2=54，a31，a4=1716，a4=3325，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第 n 个数 an （用含 n 的式子表示） 17 （4 分）如图，等边三角形 ABC 中，AB4，圆 O 与三角形内切，则阴影部分的面积为 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分）
6、 18 （6 分）解二元一次方程组：3 2 = 5 + 4 = 4 19 （6 分）在ABC 中，A90，B30 （1）作ABC 的角平分线 AD（尺规作图，保留作图痕迹） ； （2）若 DEAC 交 AB 于点 E，且 DB6，求 AE 的长度 20 （6 分） “新冠肺炎”疫情在我国得到了有效的控制，并在疫苗的研发上取得了一定的成绩某校为让学生进一步了解“新冠肺炎”的知识，需调查学生的认知程度，现随机抽取部分学生调查，调查结果按掌握的程度分为 A、B、C 三个等级，并绘制成两幅统计图 （1）本次被调查的学生有多少名？ （2）为让全部学生的掌握程度至少达到 B 级，学校要对 C 等级的学生进
7、行培训现在学校有 800 人，估计 C 等级的学生有多少名？ （3）为进一步落实宣传，学校要从 A 等级的学生中选出宣传大使若 A 等级中有 4 名学生报名担任宣传大使，其中有 3 名女生和 1 名男生，现随机抽取 2 人担任宣传大使，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到 1 男 1 女的概率 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，毎小题小题，毎小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）某服装店进货了同一种型号的一批服装，进货价为 50 元 1 件，经过一段时间的售卖，发现定价为 80 元时，每天可售卖 100 件为了迎接“双十一”的到来，该服装店决定对
8、这批服装进行降价促销，经调查研究，每降低 1 元，每天可多卖 10 件若每件降价 x 元，请回答以下问题： （1） 请用含 x 的最简代数式表示： 每件衣服的利润为 元， 每天可售买的服装数量为 件 （2）若该服装店想要售卖这批服装 1 天的利润为 3750 元，且为了更好地清理库存，则每件服装需降价多少元？ （3）当该批服装每件降价多少元时，每天的利润最大？并求出该天的最大利润 22 （8 分）为维护我国海洋权力海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，海警船 A 在 C 岛的正西方向，当岛主发现有海盗船时，测得海盗船在 C 岛的西北方向上的 B 处，已知海警测得海盗船在海警船A 北偏东
9、60的位置 B 上，海警船若以 60 海里/时的速度航行到海盗船处需要 1 小时 （1）问此时海盗船离 C 岛的距离 BC 是多少海里？ （2）若海盗船以 30 海里/时的速度向 C 岛出发，海警船在接到岛主报警后以 60 海里/时的速度向 C 岛出发，问海警船能否赶在海盗船之前到达 C 岛进行拦截（2 1.41，3 =1.73）？ 23 （8 分）如图，AB 是圆 O 的直径，点 F 在 AB 的延长线上，C，D 是圆上的两点，点 D 为弧 BC 的中点，CADBDF若 BF1，DF2，求解下列问题： （1）求证：FBDFDA； （2）求 AB 的长度； （3）求 tanCAD 和弦 AD
10、的长度 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，毎小题小题，毎小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，已知二次函数的解析式为 y= 12x2+bx+c，A（1，0） ，C（4，0） ，P 为二次函数上的动点 （1）求二次函数的解析式 （2）若 P 在第一象限上，求 SBCP的最大值 （3）在 x 轴上是否存在点 Q，使得 BQBP 且 BPBQ？若存在，请直接写出所有点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 25 （10 分）如图，ABC 为等边三角形，边长为一元二次方程 x2（4+43）x+163 =0 的有理数解，点D 是 BC 边上的中点，
11、连接 AD 点 E 从点 A 出发， 沿射线 AC 的方向， 以每秒 1 个单位长度的速度运动，设点 E 运动时间为 t 秒（0t8） 过点 E 作 EFAB 交 AB 于点 F，设AEF 与ABD 重叠部分面积为S （1）求 AB 和 AD 的长度； （2）在移动点 E 的过程中，求顶点 D 恰好落在 EF 边上所需要的的时间； （3）求 S 与 t 的函数关系式 答案答案解析解析 一、选择题（本大题一、选择题（本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所
12、选的选项涂黑请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑 1 （3 分）一个数的相反数是 5，则这个数是（ ） A5 B5 C5D15 【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，即5 的相反数是 5 【解答】解：根据相反数的定义，则这个数的相反数是5 故选：B 2 （3 分）截至北京时间 2020 年 12 月 1 日 9 时 30 分，全球新冠肺炎确诊病例超过 1800 万，将 1800 万用科学记数法表示为（ ） A1.8107 B18104 C1.8108 D18103 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，
13、小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n是正整数，当原数绝对值1 时，n 是负整数 【解答】解：1800 万180000001.8107 故选：A 3 （3 分）如图几何图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 【解答】解：第 1 个图是轴对称图形，不是中心对称图形； 第
14、2 个图不是轴对称图形，是中心对称图形； 第 3 个图既是轴对称图形，又是中心对称图形； 第 4 个图既是轴对称图形，又是中心对称图形 故选：A 4 （3 分）在学校的体育调练中，小杰投实心球的 7 次成绩就如统计图所示，则这 7 次成绩的中位数和众数分别是（ ） A9.7，9.8 B9.7，9.7 C9.8，9.9 D9.78，9.8 【分析】将这 7 个数据从小到大排序后处在第 4 位的数是中位数，利用出现次数最多的数是众数找到众数即可 【解答】解：把这 7 个数据从小到大排列为：9.5，9.6，9.7，9.7，9.8，10.1，10.2， 处于第 4 位的数是 9.7m，故中位数是 9.
15、7m， 9.7m 出现了 2 次，最多，故众数为 9.7m 故选：B 5 （3 分）已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板 ABC，按如图所示方式放置，其中 A、B 两点分别落在直线 m、n 上，若135，则2 的度数是（ ） A35 B30 C25 D65 【分析】由平行线的性质：两直线平行，内错角相等直接可得：230+130+3565， 故选 D 【解答】解：mn， 2ABC+130+3565 故选：D 6 （3 分）如图，在ABC 和DEF 中，ABDE，AD，添加一个条件不能判定这两个三角形全等的是（ ） AACDF BBE CBCEF DCF 【分析】根据全等三角形的判定定理，
16、结合各选项的条件进行判断即可 【解答】解：A、添加 ACDF，满足 SAS，可以判定两三角形全等； B、添加BE，满足 ASA，可以判定两三角形全等； C、添加 BCEF，不能判定这两个三角形全等； D、添加CF，满足 AAS，可以判定两三角形全等； 故选：C 7 （3 分）把不等式组2 4 03 0的解集表示在数轴上，正确的是（ ） A B C D 【分析】分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分并在数轴上表示出来即可 【解答】解：2 4 03 0 由，得 x2， 由，得 x3， 所以不等式组的解集是：2x3 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：A 8 （3 分）如图，正比例函数
17、 ykx（k0） ，与反比例函数 =1的图象相交于 A，C 两点，过 A 作 ABx轴于 B，连接 BC，若ABC 的面积为 S，则（ ） AS1 BS2 CSk DSk2 【分析】易得点 A 与点 C 关于原点对称，那么所求三角形的面积等于12点 A 的横坐标的 2 倍与纵坐标的积 【解答】解：设点 A 的坐标为（x，y） ，则点 C 的坐标的为（x，y） xy1 SABC=122xyxy1 故选：A 9（3 分） 若关于 x 的一元二次方程 （3a） x22x+10 有两个不相等的实数根， 则整数 a 的最小值是 （ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用一元二次方程的定义和根判别式的意
18、义得到 2a0 且（2）24（2a）10，然后求出 a 的范围后确定最小整数值 【解答】解：根据题意得 3a0 且（2）24（3a）10， 解得 a2 且 a3， 所以整数 a 的最小值为 4 故选：D 10 （3 分）在正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，作 DFAE 于点 F、BGAE 于点 G 连接 BF，作 GHBF 交 DF 于点 H，连接 BH、AH，若 AFFG，则BAG30；ABGDAF；BHAD；SABH（2 +1）SAFH在上述结论中，正确的有（ ） A B C D 【分析】证明DFAAGB（AAS） ，推出 AFBG，由 AFFG，推出 BGFG，推出BFGGBF
19、45，再证明四边形 FBGH 是平行四边形，ABFHBF，可得结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， DABABE90，ADAB， DFAE，BGAE AFDAGB90， DAF+BAE90，BAE+ABG90， DAFABG， DFAAGB（AAS） ，故正确， AFBG， AFFG， BGFG， BFGGBF45， FHBG，GHBF， 四边形 BFHG 是平行四边形， OFOG，FHBGAF， tanBAGtanOBG=12， BAGOBG，BAE30，故错误， BFGBAF+ABF45，OBG+FBO45， ABFGBH， AFBBFH135， ABFHBF（AAS） ， AB
20、BH，故正确， 连接 AH延长 BF 交 AH 于点 T设 AFFHFGBGm，则 BF= 2m，AH= 2m， FAFHBABH， BT 垂直平分线段 AH， TFTATH=22m， =122(2+22)12222=3， SABH3SAFH，故错误 故选：C 二、 填空题 （本大题二、 填空题 （本大题 7 小题， 每小题小题， 每小题 4 分， 共分， 共 27 分） 请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上分） 请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上 11 （4 分）化简：253= 5 + 3 【分析】先找到分母得有理化因式，再利用分式的性质进行化简 【解答】解：253 =
21、2(5+3)(53)(5+3) =2(5+3)53 = 5 + 3 故答案为：5 + 3 12 （4 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，若去掉一个角得到一个七边形，则1+2 300 度 【分析】利用六边形边形的内角和得到B+C+D+E+F 的度数，进而让七边形的内角和减去B+C+D+E+F 的度数即为所求的度数 【解答】解：六边形的内角和为（62）180720，A120， B+C+D+E+F720120600， 七边形的内角和为（72）180900， 1+2900600300， 故答案为：300 13 （4 分）分解因式：9a281 9（a+3） （a3） 【分析】首先提取公因式 9，进
22、而利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】解：原式9（a29）9（a+3） （a3） 故答案为：9（a+3） （a3） 14 （4 分）如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D，且 AB24cm，OD5cm，则 DC 8cm 【分析】首先连接 OA，由半径 OCAB，AB24cm，根据垂径定理的即可求得 AD 的长，然后利用勾股定理即可求得半径的长，继而求得 DC 的长 【解答】解：连接 OA， 半径 OCAB， ADBD=12AB=122412（cm） ， OD5cm， OA= 2+ 2= 52+ 122=13（cm） ， OCOA13cm， DCOCOD1358（cm） 故答案为：
23、8cm 15 （4 分）已知 x2+2x10，则代数式 52x24x 的值为 3 【分析】根据已知，将要求代数式进行变形，整体代入即可求解 【解答】解：x2+2x10， x2+2x1 原式52（x2+2x）5213 故答案为：3 16 （4 分）观察下列一组数：a13，a2=54，a31，a4=1716，a4=3325，它们是按一定规律排列的，请利用其中规律，写出第 n 个数 an 1+22 （用含 n 的式子表示） 【分析】先观察分母的规律，从 a2、a4、a5的分母分别为：22、42、52，得出归纳出 an的分母为 n2再从分子形式得出 1+2n，即可得出问题答案 【解答】解：经观察，a2
24、、a4、a5的分母分别为：22、42、52， 归纳出 an的分母为 n2 a1=312，a2=522，a3=932，a4=1742，a5=3352， 31+21， 51+22， 91+23， 171+24， 331+25， an的分子为 1+2n， 故答案为：an=1+22 17 （4 分）如图，等边三角形 ABC 中，AB4，圆 O 与三角形内切，则阴影部分的面积为 43349 【分析】设 AC，BC 切圆 O 于点 E，F，连接 OE，OF，OC，再根据ABC 是等边三角形得到COE 和BOF 都是等边三角形，最后根据 S阴影2SFOCS扇形EOF进行计算即可 【解答】解：如图，设 AC，
25、BC 切圆 O 于点 E，F，连接 OE，OF，OC， OEAC，OFCB， ABC 是等边三角形，AB4， CFCE2，ACB60， EOF18060120，OFOE=33CF=233， S阴影2SFOCS扇形EOF2122332120(233)2360=43349 故答案为：43349 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）解二元一次方程组：3 2 = 5 + 4 = 4 【分析】2+得出 7x14，求出 x，再把 x2 代入求出 y 即可 【解答】解：3 2 = 5 + 4 = 4， 2+，得
26、 7x14， 解得：x2， 把 x2 代入，得 2+4y4， 解得：y=12， 所以原方程组的解是 = 2 =12 19 （6 分）在ABC 中，A90，B30 （1）作ABC 的角平分线 AD（尺规作图，保留作图痕迹） ； （2）若 DEAC 交 AB 于点 E，且 DB6，求 AE 的长度 【分析】 （1）利用尺规作出CAD 的角平分线交 BC 于点 D，线段 AD 即为所求； （2）证明 EADE，求出 DE，可得结论 【解答】解： （1）如图，线段 AD 即为所求； （2）AD 平分CAB， CADBAD， EDAC， ADECAD，DEBCAB90， EADADE， EAED， B3
27、0， DE=12DB3， AEDE3 20 （6 分） “新冠肺炎”疫情在我国得到了有效的控制，并在疫苗的研发上取得了一定的成绩某校为让学生进一步了解“新冠肺炎”的知识，需调查学生的认知程度，现随机抽取部分学生调查，调查结果按掌握的程度分为 A、B、C 三个等级，并绘制成两幅统计图 （1）本次被调查的学生有多少名？ （2）为让全部学生的掌握程度至少达到 B 级，学校要对 C 等级的学生进行培训现在学校有 800 人，估计 C 等级的学生有多少名？ （3）为进一步落实宣传，学校要从 A 等级的学生中选出宣传大使若 A 等级中有 4 名学生报名担任宣传大使，其中有 3 名女生和 1 名男生，现随机
28、抽取 2 人担任宣传大使，请利用树状图或列表的方法，求恰好抽到 1 男 1 女的概率 【分析】 （1）根据 C 等级的人数和所占的百分比求出总人数； （2）用总人数乘以 C 部分所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出抽到 1 男 1 女的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）本次参与调查的学生共有：12（136%40%）50（人） 故答案为：50； （2）根据题意得： 8001250=192（名） ， 答：估计 C 等级的学生有 192 名； （3）根据题意画图如下： 共有 12 种等可能的结果数，其中抽到 1 男 1 女的结果数为 6， 所以恰好
29、抽到 1 男 1 女的概率是612=12 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，毎小题小题，毎小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）某服装店进货了同一种型号的一批服装，进货价为 50 元 1 件，经过一段时间的售卖，发现定价为 80 元时，每天可售卖 100 件为了迎接“双十一”的到来，该服装店决定对这批服装进行降价促销，经调查研究，每降低 1 元，每天可多卖 10 件若每件降价 x 元，请回答以下问题： （1）请用含 x 的最简代数式表示：每件衣服的利润为 （30 x） 元，每天可售买的服装数量为 （100+10 x） 件 （2）若该服装店想要售卖
30、这批服装 1 天的利润为 3750 元，且为了更好地清理库存，则每件服装需降价多少元？ （3）当该批服装每件降价多少元时，每天的利润最大？并求出该天的最大利润 【分析】 （1）根据“每件衣服的利润原售价降低的价格进价” 、 “每天售卖的数量原销售量+因价格下降而增加的数量”可得答案； （2）根据“总利润每件衣服的利润每天售卖的数量”列出关于 x 的方程，解之即可； （3）设每天的利润为 W，根据“总利润每件衣服的利润每天售卖的数量”列出二次函数解析式，再配方成顶点，利用二次函数的性质可得答案 【解答】解： （1）若每件降价 x 元，则每件衣服的利润为 80 x5030 x（元） ， 每天可售买
31、的服装数量为（100+10 x）件， 故答案为： （30 x） 、 （100+10 x） ； （2）根据题意，得： （30 x） （100+10 x）3750， 整理，得：x220 x+750， 解得 x115，x25， 为了更好地清理库存， x15 时，销售量更大， 答：每件服装需降价 15 元； （3）设每天的利润为 W， 则 W（30 x） （100+10 x） 10 x2+200 x+3000 10（x10）2+4000， a100， 当 x10 时，W 取得最大值，最大值为 4000， 答：当该批服装每件降价 10 元时，每天的利润最大，该天的最大利润为 4000 元 22 （8 分
32、）为维护我国海洋权力海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，海警船 A 在 C 岛的正西方向，当岛主发现有海盗船时，测得海盗船在 C 岛的西北方向上的 B 处，已知海警测得海盗船在海警船A 北偏东 60的位置 B 上，海警船若以 60 海里/时的速度航行到海盗船处需要 1 小时 （1）问此时海盗船离 C 岛的距离 BC 是多少海里？ （2）若海盗船以 30 海里/时的速度向 C 岛出发，海警船在接到岛主报警后以 60 海里/时的速度向 C 岛出发，问海警船能否赶在海盗船之前到达 C 岛进行拦截（2 1.41，3 =1.73）？ 【分析】 （1）过 B 作 BDAC 于 D，解直角三角形即可
33、得到结论； （2）由（1）知 BD30（海里） ，BAC30，BCA45，求得 AD= 3BD303海里，CDBD30 海里，得到 ACAD+CD303 +30（海里） ，求出海警船在接到岛主报警后到达 C 岛需要303+30601.37（小时） ，海盗船到达 C 岛需要302301.41（小时） ，进行比较，即可得到结论 【解答】解： （1）由题意得，AB60 海里，BAC30， 过 B 作 BDAC 于 D， ADBCDB90， BD=12AB30（海里） ， BCA45， BC= 2BD302 42.3（海里） ， 答：此时海盗船离 C 岛的距离 BC 约是 42.3 海里； （2）由（
34、1）知 BD30（海里） ，BAC30，BCA45， AD= 3BD303海里，CDBD30 海里， ACAD+CD303 +30（海里） ， 海警船在接到岛主报警后到达 C 岛需要303+30601.37 （小时） ， 海盗船到达 C 岛需要302301.41 （小时） ， 1.371.41， 海警船能赶在海盗船之前到达 C 岛进行拦截 23 （8 分）如图，AB 是圆 O 的直径，点 F 在 AB 的延长线上，C，D 是圆上的两点，点 D 为弧 BC 的中点，CADBDF若 BF1，DF2，求解下列问题： （1）求证：FBDFDA； （2）求 AB 的长度； （3）求 tanCAD 和弦
35、AD 的长度 【分析】 （1）由点 D 为弧 BC 的中点证明CADDAF，而CADBDF，所以BDFDAF，又因为F 是FBD 和FDA 的公共角，所以根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”可以证明FBDFDA； （2）根据FBDFDA 得=，而 BF1，DF2，可求得 AF4，则 AB3； （3）根据FBDFDA 得=12，由 AB 是O 的直径得ADB90，而CADDAB，所以 tanCADtanDAB=12，则 DB=12AD，在 RtABD 中根据勾股定理列方程即可求得 AD 的长度 【解答】 （1）证明：如图，点 D 为弧 BC 的中点， = ， CADDAF， CADBDF，
36、BDFDAF， FF， FBDFDA （2）FBDFDA， =， BF1，DF2， AF=2=221=4， ABAFBF413， AB 的长度是 3 （3）FBDFDA， =12， AB 是O 的直径， ADB90， CADDAB， tanCADtanDAB=12； AD2+DB2AB2，DB=12AD，AB3， AD2+（12AD）232， AD=655， 弦 AD 的长度是655 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，毎小题小题，毎小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）如图，已知二次函数的解析式为 y= 12x2+bx+c，A（1，0） ，C
37、（4，0） ，P 为二次函数上的动点 （1）求二次函数的解析式 （2）若 P 在第一象限上，求 SBCP的最大值 （3）在 x 轴上是否存在点 Q，使得 BQBP 且 BPBQ？若存在，请直接写出所有点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将点 A 和点 C 的坐标代入抛物线解析式，求解即可； （2）过点 PEx 轴于点 E，交 BC 于点 D，设点 D 的横坐标为 x，则可表达点 P 和点 E 的坐标，进而可表达 PD 的长，利用三角形的面积公式表达BCP 的面积，结合二次函数的性质求得最值； （3） （3）需要分两种情况讨论，当点 P 在 x 轴上方的抛物线上时，过点 P 作
38、 PMy 轴于点 M，易证BPMQBO（AAS） ，进而可得 PMOB，可得点 P 的坐标，进而可求得点 Q 的坐标；同理，当点 P在 x 轴下方的抛物线上时， 过点 P 作 PNy 轴于点 M， 易证BPNQBO （AAS） ， 进而可得 PNOB，可得点 P 的坐标，进而可求得点 Q 的坐标 【解答】解： （1）将 A（1，0） ，C（4，0）代入二次函数的解析式为 y= 12x2+bx+c， 12 + = 012 42+ 4 + = 0，解得 =32 = 2 二次函数的解析式为 y= 12x2+32x+2 （2）由（1）得二次函数的解析式为 y= 12x2+32x+2 令 y0，则 x2
39、， B（0，2） ， C（4，0） ， 直线 y= 12x+2 如图，过点 PEx 轴于点 E，交 BC 于点 D，设点 D 的横坐标为 x， P（x，12x2+32x+2） ，D（x，12x+2） PD= 12x2+32x+2（12x+2）= 12x2+2x， SBCP=12PD （xCxB）=12 （12x2+2x） （40）x2+4x（x2）2+4 10， 当 x2 时，SBCP的最大值为 4 （3）由（2）知，B（0，2） ， OB2， 由题意可知，当 BQBP 且 BPBQ 时，需要分两种情况讨论， 当点 P 在 x 轴上方的抛物线上时，过点 P 作 PMy 轴于点 M，如图， BP
40、BQ， PBQ90， PBM+OBQPBM+BPM90， OBQBPM， PMBBOQ90，BPBQ， BPMQBO（AAS） ， PMBO2， 当 x2 时，y= 1222+322+22+3+23 P（2，3） ， BMOQ1， Q（1，0） 当点 P 在 x 轴下方的抛物线上时，过点 P 作 PNy 轴于点 M，如图， BPBQ， PBQ90， PBN+OBQPBN+BPN90， OBQBPN， PNBBOQ90，BPBQ， BPNQBO（AAS） ， PNBO2， 当 x2 时，y= 12（2）2+32（2）+223+23 P（2，3） ， BNOQ5， Q（5，0） 综上，存在点 Q，
41、使得 BQBP 且 BPBQ，此时点 Q 的坐标为（1，0） ， （5，0） 25 （10 分）如图，ABC 为等边三角形，边长为一元二次方程 x2（4+43）x+163 =0 的有理数解，点D 是 BC 边上的中点， 连接 AD 点 E 从点 A 出发， 沿射线 AC 的方向， 以每秒 1 个单位长度的速度运动，设点 E 运动时间为 t 秒（0t8） 过点 E 作 EFAB 交 AB 于点 F，设AEF 与ABD 重叠部分面积为S （1）求 AB 和 AD 的长度； （2）在移动点 E 的过程中，求顶点 D 恰好落在 EF 边上所需要的的时间； （3）求 S 与 t 的函数关系式 【分析】
42、（1）先解一元二次方程，根据题意可得等边三角形的边长为 4，再利用等腰三角形的三线合一可得 ADBC，BD=12BC2，然后根据勾股定理求出 AD 即可； （2）根据题意画出图形，先在 RtBDF 中求出 BF，从而求出 AF，然后在 RtAEF 中求出 AE 即可解答； （3）分两种情况：当 0t6 时，当 6t8 时，画出图形，利用锐角三角函数进行计算即可解答 【解答】解： （1）x2（4+43）x+163 =0， 解得：x14，x243， 等边三角形的边长是方程的有理数解， ABBCAC4， 点 D 是 BC 边上的中点， ADBC，BD=12BC2， AD= 2 2= 42 22=23
43、， AB 的长度为 4，AD 的长度为 23； （2）当顶点 D 恰好落在 EF 边上，如图： ABC 是等边三角形， BCAB60， EFAB， DFB90， BFBDcos60212=1， AFABBF413， AE=60=312=6， t=61=6， 顶点 D 恰好落在 EF 边上所需要的的时间为 6 秒； （3）分两种情况： 当 0t6 时，设 AD 与 EF 相交于点 G，如图： ABAC，ADBC， DAF=12CAB30， 由题意得： AEt， AFAEcos60=12t， GFAFtan30=12t33=36t， S=12AFGF =1212t36t =324t2， 当 6t8 时，设 EF 与 BC 相交于点 H，如图： AB4，AF=12t， BFABAF412t， B60，HFB90， HFBFtan60= 3（412t）43 32t， SADB 的面积HFB 的面积 =12ADDB12BFHF =1223 212 （412t） （43 32t） = 38t2+23t63， S= 3242(0 6)382+ 23 63(6 8)
