1、2021 广东省揭阳市广东省揭阳市三校联考中考三校联考中考第二次模拟数学试卷第二次模拟数学试卷 （时间：（时间：90分钟分钟 总分：总分：120 分）分） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 12021相反数是（ ） A. 2021 B. 2021 C. 12021 D. 12021 2. 每天供给地球光和热的太阳与我们距离非常遥远，它与地球的距离约为 150 000 000 千米，将 150 000 000这个数用科学记数法表示为（ ） A. 90.15 10 B. 81.5 10 C. 715 10 D. 71.5 10 3. 下面四个几何体中，
2、同一几何体从前往后看和从上往下看， 看到的图形形状相同的共有 （ ） 几何体 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 4. 下列结果正确的是( ) A. a2+a2=a4 B. a3 a4=a12 C. (a3)4=a12 D. (ab)2=ab2 5. 抛物线 y=2x24的顶点坐标是（ ） A. （1，2） B. （0，2） C. （1，3） D. （0，4） 6. 已知反比例函数1kyx，当0 x时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A 1k B. 1k C. 1k D. 1k 7. 对一组数据：2，1，3，2，3 分析错误的是（ ） A. 平均数2.2 B.
3、方差是 4 C. 众数是 3和 2 D. 中位数是 2 8. 一元一次不等式组201103xx的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8 米，坡面上的影长为 4 米已知斜坡的坡角为 300，同一时 刻，一根长为 l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为【 】 A. 63米 B. 12 米 C. 42 3米 D. 10 米 10. 如图，在ABC 中，C=90 ，BC=3，D，E 分别在 AB、AC 上，将ADE 沿 DE翻折后，点 A 落在点A处，若
4、 A为 CE 的中点，则折痕 DE的长为 （ ） A. 12 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 7 小題，每小题小題，每小题 4 分，共分，共 28 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上相应的位置上. 11. 把多项式 3m26mn+3n2分解因式的结果是_ 12. 在函数11yx中，自变量 x 的取值范围是_ 13. 若a、b是一元二次方程 x26x50 的两个根，则ab的值等于_ 14. 已知一个多边形的内角和为 540，则这个多边形是_边形 15. 已知一个等腰三角形的一边是 6,另一边是 8,则这个等
5、腰三角形的周长是_. 16. 如图，在 RtABC中，ACB=90 ，AC=BC=2，将 RtABC 绕点 A逆时针旋转 30 后得到 RtADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积为_ 17. 在正 n 边形 A1A2A3An中（n5） ，连接 A1A3，A1An1，则A3A1An1_ （用含 n 的代数式表示） 三、解答题（一） （每小题三、解答题（一） （每小题 6 分，共分，共 18分）分） 18. 如图， 在边长为 1 的正方形组成的网格中， AOB 的顶点均在格点上， 点 A、 B 的坐标分别是 A （3， 2） 、B（1，3） AOB 绕点 O逆时针旋转 90 后
6、得到A1OB1 （1）画出旋转后的图形； （2）求 A1旋转经过的路程 19. 已知12Ax，224Bx，2xCx当x=3时，对式子（AB）C 先化简，再求值 20. 王老师将 1 个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回） ，下表是活动进行中的一组统计数据 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率mn 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253 （1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_； （2）估
7、算袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树形图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率 四、解答题（二） （每小题四、解答题（二） （每小题 8 分，共分，共 24分）分） 21. 如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45o，再沿AC方向前进73.2m到达山脚B处， 测得塔尖D的仰角为60o，山坡BE的坡度1: 3i ，求塔高 （精确到0.1m，31.732） 22. 近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进 A、B两种设备每台 B 种设备价格比每台 A 种设备价格多 0
8、.7 万元，花 3万元购买 A种设备和花 7.2 万元购买 B种设备的数量相同 (1)求 A 种、B 种设备每台各多少万元？ (2)根据单位实际情况，需购进 A、B两种设备共 20台，总费用不高于 15万元，求 A 种设备至少要购买多少台？ 23. 如图，四边形 ABCD正方形，点 G 是 BC 边上任意一点，DEAG 于点 E，BFDE 且交 AG 于点 F （1）如图 1，求证：AE=BF； （2）连接 DF，若 tanBAG=12，AB=25，求ADF 的面积 五、解答题（三） （每小题五、解答题（三） （每小题 10 分，共分，共 20分）分） 24. 如图，四边形 ABCD中，AB=
9、AD=CD，以 AB为直径的O经过点 C，连接 AC，OD 交于点 E （1）证明：ODBC； （2）若 tanABC=2，证明：DA与O相切； （3）在（2）条件下，连接 BD 交于O于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF长 25. 如图，已知二次函数 yx2+bx+c（c0）的图象与 x 轴交于 A、B两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y轴交于点 C，且 OBOC3，顶点为 M （1）求二次函数的解析式； （2）点 P为线段 BM上的一个动点，过点 P作 x轴的垂线 PQ，垂足为 Q，若 OQm，四边形 ACPQ的面积为 S，求 S关于 m的函数解析式，并写出 m的取值范围；
10、（3） 探索： 线段 BM上是否存在点 N， 使NMC为等腰三角形？如果存在， 求出点 N 的坐标； 如果不存在，请说明理由 2021 广东省揭阳市广东省揭阳市三校联考中考三校联考中考第二次模拟数学试卷第二次模拟数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 12021的相反数是（ ） A. 2021 B. 2021 C. 12021 D. 12021 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义选择即可. 【详解】相反数：只有符号不同的两个数互为相反数， 则12021的相反数是12021， 故选：C 【点睛】本题考查了相反数，熟记定义是解题关键 2.
11、 每天供给地球光和热的太阳与我们距离非常遥远，它与地球的距离约为 150 000 000 千米，将 150 000 000这个数用科学记数法表示为（ ） A. 90.15 10 B. 81.5 10 C. 715 10 D. 71.5 10 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10na，其中11|0|a，n为整数 【详解】8150 000 001.5001 故选 B 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为10na的形式，其中11|0|a，n为整数确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值
12、10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键 3. 下面四个几何体中， 同一几何体从前往后看和从上往下看， 看到图形形状相同的共有 （ ） 几何体 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图的定义、结合图形对各个几何体进行观察即可判断 【详解】正方体从前往后看和从上往下看，看到的图形形状都是正方形，符合题意； 球从前往后看和从上往下看，看到的图形形状都是圆，符合题意； 圆锥从前往后看和从上往下看，看到的图形形状分别是三角形和圆，不合题意； 圆柱从前往后看和从上往下看，看到的图形形状分别是矩形和圆，不合题意， 故选 B
13、【点睛】本题考查的是简单几何体的三视图，理解三视图的概念、正确观察图形是解题的关键 4. 下列结果正确的是( ) A. a2+a2=a4 B. a3 a4=a12 C. (a3)4=a12 D. (ab)2=ab2 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方及幂的乘方运算法则进行运算，即可判定 【详解】解：A. a2+a2=2a2，故该选项错误； B.a3 a4=a7，故该选项错误； C.(a3)4=a12，故该选项正确； D.(ab)2=a2b2，故该选项错误； 故选：C 【点睛】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方及幂的乘方运算法则，掌
14、握各运算法则是解决本题的关键 5. 抛物线 y=2x24的顶点坐标是（ ） A. （1，2） B. （0，2） C. （1，3） D. （0，4） 【答案】D 【解析】 【分析】形如 y=ax2+k的顶点坐标为（0，k） ，据此可以直接求顶点坐标 【详解】解：抛物线 y=x24的顶点坐标为（0，4） 故选 D 6. 已知反比例函数1kyx，当0 x时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A 1k B. 1k C. 1k D. 1k 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数系数 k-1 小于零列不等式求解即可. 【详解】由题意得 k-10时，y 随 x 的增大而增大；当 k0时，y随
15、 x的增大而减小. 7. 对一组数据：2，1，3，2，3 分析错误的是（ ） A. 平均数是 2.2 B. 方差是 4 C. 众数是 3和 2 D. 中位数是 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义以及计算公式分别进行解答即可 【详解】解：A、这组数据的平均数是： （21323） 52.2，故正确； B、这组数据的方差是：15（22.2）2（12.2）2（32.2）2（22.2）2（32.2）20.56，故错误； C、3 和 2都出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 3和 2，故正确； D、把这组数据从小到大排列为：1，2，2，3，3，中位数是 2，故正确
16、故选 B 【点睛】此题主要考查了平均数、方差、众数、中位数的含义和求法，熟练掌握定义和求法是解题的关键，是一道基础题 8. 一元一次不等式组201103xx的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再在数轴上表示，确定公共部分即可 【详解】解：解不等式组201103xx 由得：2x， 由得：x3 在数轴上表示其解集为： 所以不等式组的解集为：3x2， 故选 D. 【点睛】解一元一次不等式组，通常采用“分开解，集中定”的方法，即单独的解每一个不等式，而后集中找它们的解的“公共部分”在找“公共部分”的过程中，可借助数轴
17、或口诀两种方法确定不等式组的解集其中确定不等组解集的方法为：“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小是无解”在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等号取实心点，不含等号取空心圆圈. 9. 小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8 米，坡面上的影长为 4 米已知斜坡的坡角为 300，同一时 刻，一根长为 l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，则树的高度为【 】 A. 63米 B. 12 米 C. 42 3米 D. 10 米 【答案】A 【解析】 【详解】解直角三角形的应用（坡度坡角问题） ，锐角三角函数定义，特殊角
18、的三角函数值，相似三角形的判定和性质 【分析】延长 AC 交 BF 延长线于 E 点，则CFE=30 作 CEBD 于 E，在 Rt CFE 中，CFE=30 ，CF=4， CE=2，EF=4cos30 =23， 在 Rt CED 中，CE=2， 同一时刻，一根长为 1 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为 2 米，DE=4 BD=BF+EF+ED=12+23 DCEDAB，且 CE：DE=1：2， 在 Rt ABD 中，AB=BD=故选 A 10. 如图，在ABC 中，C=90 ，BC=3，D，E 分别在 AB、AC 上，将ADE 沿 DE翻折后，点 A 落在点A处，若 A为 CE 的中
19、点，则折痕 DE的长为 （ ） A. 12 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折的性质可得90AEAEAEDAED ，根据线段中点的定义可得ACAE，然后求出3ACAE，再证明ADE和ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解 【详解】解：ADEQ沿DE翻折后，点A落在点A处， 90AEAEAEDAED ， AQ为CE的中点， ACAE ， 3ACAE， 又AAQ，90C， ADEABC， AEDEACBC， 即33AEDEAE， 解得1DE 故选：D 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，翻折前后对应边相等，对应角相等，本题确定
20、出相似三角形是解题的关键 二、填空题（本大题二、填空题（本大题 7 小題，每小题小題，每小题 4 分，共分，共 28 分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上相应的位置上. 11. 把多项式 3m26mn+3n2分解因式的结果是_ 【答案】3（mn）2 【解析】 【详解】解：3m26mn+3n2=3（m22mn+n2）=3（mn）2 故答案为：()23 mn- 12. 在函数11yx中，自变量 x 的取值范围是_ 【答案】x1 【解析】 【详解】解：由题意可知：10110 xx ， 解得：x1 故答案为 x1 13. 若a、b是一元二次方程 x2
21、6x50 的两个根，则ab的值等于_ 【答案】6 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得 【详解】解：a、b是一元二次方程 x26x50 的两个根， 6ab 故答案为：6 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，掌握和灵活运用一元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键 14. 已知一个多边形的内角和为 540，则这个多边形是_边形 【答案】5. 【解析】 【详解】设这个多边形是 n 边形，由题意得， (n-2) 180 =540 ,解之得，n=5. 15. 已知一个等腰三角形的一边是 6,另一边是 8,则这个等腰三角形的周长是_. 【答案】20或 22 【解析】 【
22、分析】因为等腰三角形的底边和腰不确定，6cm 可以为底边也可以为腰长，故分两种情况考虑：当 6cm为腰时，根据等腰三角形的性质得另一腰也为 6cm，底边为 8cm，求出此时的周长；当 6cm为底边时，8cm为腰长，根据等腰三角形的性质得另一腰也为 8cm，求出此时的周长 【详解】解：若 6为等腰三角形的腰长，则 8 底边的长， 此时等腰三角形的周长=6+6+8=20； 若 8为等腰三角形的腰长，则 6 为底边的长， 此时等腰三角形的周长=8+6+8=22； 则等腰三角形的周长为 20或 22 故答案：20或 22 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，以及分类讨论的数学思想学生做题时对于两种情况得
23、到的三角形三边需利用三角形的两边之和大于第三边判定是否能构成三角形 16. 如图，在 RtABC中，ACB=90 ，AC=BC=2，将 RtABC 绕点 A逆时针旋转 30 后得到 RtADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积为_ 【答案】23 【解析】 【详解】 【分析】先根据勾股定理得到 AB=22，再根据扇形的面积公式计算出 S扇形ABD，由旋转的性质得到 RtADERtACB，于是 S阴影部分=SADE+S扇形ABDSABC=S扇形ABD 【详解】ACB=90 ，AC=BC=2， AB=22， S扇形ABD=2302 223603， 又RtABC绕 A点逆时针旋转 3
24、0 后得到 RtADE， RtADERtACB， S阴影部分=SADE+S扇形ABDSABC=S扇形ABD=23， 故答案为23 【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到 S阴影部分 =S扇形ABD是解题的关键. 17. 在正 n 边形 A1A2A3An中（n5） ，连接 A1A3，A1An1，则A3A1An1_ （用含 n 的代数式表示） 【答案】804()1nn 【解析】 【分析】根据多边形的内角和解答即可 【详解】解：如图， 在正 n边形 A1A2A3An中(n5)， 连接 A1A3，A1An1，A1AnAn1和A1A2A3是等腰三角形， 122180(2)nnnAA A AA
25、n ， 112131180218018(0)2nnnA A AA A Ann ， 311180(2180182)()04nnnA A Annn， 故答案为：804()1nn 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键 三、解答题（一） （每小题三、解答题（一） （每小题 6 分，共分，共 18分）分） 18. 如图， 在边长为 1 的正方形组成的网格中， AOB 的顶点均在格点上， 点 A、 B 的坐标分别是 A （3， 2） 、B（1，3） AOB 绕点 O逆时针旋转 90 后得到A1OB1 （1）画出旋转后的图形； （2）求 A1旋转经过的路程 【答案】 （1）
26、见详解 （2）132 【解析】 分析】 （1）利用网格特点和旋转的性质画出 A、B的对应点1A、1B，从而得到11OABV； （2）由于点 A 所走过的路线是以点 O为圆心，OA为半径，圆心角为90所对的弧，然后根据弧长公式求解 【小问 1 详解】 解： （1）如下图 过点 O作1AOOA，1AOAO，1OBOB，1OBOB， 连接11AB 【小问 2 详解】 解：32AQ， 22203 013OA 由旋转的性质可知190AOA， 1A旋转经过的路程长9013131802 【点睛】本题考查了作图一旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在
27、角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形 19. 已知12Ax，224Bx，2xCx当x=3时，对式子（AB）C 先化简，再求值 【答案】12x，1 【解析】 【分析】先将 A、B、C代入ABC中，利用分式的混合运算法则、平方差公式进行化简，最后将 x=3代入计算求解 【详解】 （AB） C212242xxxx 2222222xxxxxxx 222xxxxx 222xxxxx 12x 当 x3 时，原式1132 【点睛】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，先利用分式的混合运算法则进行化简是解答关键 20. 王老师将 1 个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，
28、让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回） ，下表是活动进行中的一组统计数据 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率mn 0.23 0.21 0.30 0.26 0.253 （1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是_； （2）估算袋中白球的个数； （3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树形图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率 【答案】 （1）0.25； （2）估计袋中有 3 个白球； （3）916 【解析】 【分析】 （1）用
29、大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事情发生的概率即可； （2）根据概率公式列出方程求解即可； （3）列表分析出所有等可能的结果，然后利用概率公式求解即可. 【小问 1 详解】 解：2511000=0.251， 大量重复试验中事件发生的频率稳定到 0.25附近， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 0.25； 故填：0.25 【小问 2 详解】 解：设袋中白球为 x 个， 则10.251x ， x=3， 答：估计袋中有 3个白球； 【小问 3 详解】 解：用 B 代表一个黑球，1W 、2W、3W代表白球，将摸球情况列表如下： B 1W 2W 3W B （B，B） （B， 1W）
30、（B， 2W） （B， 3W） 1W （1W，B） （1W，1W） （1W，2W） （1W，3W） 2W （2W，B） （2W，1W） （2W，2W） （2W，3W） 3W （3W，B ） （3W，1W） （3W，2W） （3W，3W） 总共有 16 种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有 9种， 所以摸到两个球都是白球的概率为916 . 【点睛】此题考查列表法和树状图法求概率：如果一个事件有 n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A的概率 mP An ，不重不漏列出所有等可能的结果是解题的关键. 四、解答题（二） （每小题四、解答题（二） （每小题
31、 8 分，共分，共 24分）分） 21. 如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45o，再沿AC方向前进73.2m到达山脚B处， 测得塔尖D的仰角为60o，山坡BE的坡度1: 3i ，求塔高 （精确到0.1m，31.732） 【答案】塔高约为115.5 m 【解析】 【分析】 设 CE=x， 根据坡度的定义即可表示出 BC的长， 在 RtBCE 中根据方向角的定义表示出 DE的长，然后在直角ACD中，利用 x表示出 AC 的长，根据 AB=AC-BC 即可列方程求解 【详解】由题意知,BAD=45,CBD=60，DCAC， ACD=90， i=1: 3,即 tanEBC=1
32、: 3， EBC=30. DBE=6030=30. DBE=BDC. BE=DE. 设 CE=x,则 BC=3x. 在 RtBCE 中， EBC=30， BE=2x. DE=2x. 在 RtACD中,ADC=9045=45. A=ADC. AC=CD. 73.2+3x=3x. x=73.233. DE=2x115.5. 答：塔高约为 115.5 m. 【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形 22. 近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进 A、B两种设备每台 B 种设备价格比每台 A 种设备价格
33、多 0.7 万元，花 3万元购买 A种设备和花 7.2 万元购买 B种设备的数量相同 (1)求 A 种、B 种设备每台各多少万元？ (2)根据单位实际情况，需购进 A、B两种设备共 20台，总费用不高于 15万元，求 A 种设备至少要购买多少台？ 【答案】（1）每台 A种设备 0.5 万元，每台 B种设备 1.2 万元； （2）13 【解析】 【详解】试题分析： （1）设每台 A 种设备 x 万元，则每台 B 种设备（x+0.7）万元，根据数量=总价单价结合花 3 万元购买 A 种设备和花 7.2 万元购买 B 种设备的数量相同，即可得出关于 x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论； （2）
34、设购买 A 种设备 m 台，则购买 B 种设备（20m）台，根据总价=单价数量结合总费用不高于 15 万元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，取其内的最小正整数即可 试题解析： （1）设每台 A 种设备 x 万元，则每台 B 种设备（x+0.7）万元， 根据题意得：37.20.7xx ， 解得：x=0.5 经检验，x=0.5 是原方程的解， x+0.7=1.2 答：每台 A 种设备 0.5 万元，每台 B 种设备 1.2 万元 （2）设购买 A 种设备 m 台，则购买 B 种设备（20m）台， 根据题意得：0.5m+1.2（20m）15， 解得：m907 m 为
35、整数， m13 答：A 种设备至少要购买 13 台 23. 如图，四边形 ABCD 是正方形，点 G 是 BC 边上任意一点，DEAG 于点 E，BFDE 且交 AG 于点 F （1）如图 1，求证：AE=BF； （2）连接 DF，若 tanBAG=12，AB=25，求ADF 的面积 【答案】 （1）见解析； （2）8. 【解析】 【分析】(1)利用正方形的性质证明BAF 和ADE全等.(2)利用(1)和已知条件，分别求出 DE,AF长就可以求出三角形面积, 【详解】（1）四边形 ABCD 是正方形，点 G是 BC边上任意一点，DEAG于点 E，BFDE， AB=AD，BAD=90 ，AED=
36、90 ，AED=BFA， BAF+EAD=90 ，EAD+ADE=90 ， BAF=ADE， 在 BAF和 ADE中， BAFADEAFBDEAABDA , BAFADE（AAS）， BF=AE， 即 AE=BF； （2）由（1）知AED=BFA=90 ， tanBAG=12，AB=25， tanBAF=12， AF=4，BF=2， 由（1）知， BAFADE， AF=DE， DE=4， AED=90 ， ADF的面积是：8.2AFDEn 【点睛】三角形全等： （1）如果两个三角形三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等（SSS.） （2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三
37、角形全等（SAS.） （3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等(ASA.) （4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（AAS.） （5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等（HL.） 五、解答题（三） （每小题五、解答题（三） （每小题 10 分，共分，共 20分）分） 24. 如图，四边形 ABCD中，AB=AD=CD，以 AB为直径的O经过点 C，连接 AC，OD 交于点 E （1）证明：ODBC； （2）若 tanABC=2，证明：DA与O相切； （3）在（2）条件下，连接 BD 交于O于点 F，连接
38、 EF，若 BC=1，求 EF的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）22 【解析】 【详解】 【分析】 （1）连接 OC，证OADOCD 得ADO=CDO，由 AD=CD 知 DEAC，再由 AB为直径知 BCAC，从而得 ODBC； （2）根据 tanABC=2可设 BC=a、则 AC=2a、AD=AB=225ACBCa，证 OE 为中位线知 OE=12a、AE=CE=12AC=a， 进一步求得 DE=22ADAE=2a， 在AOD 中利用勾股定理逆定理证OAD=90 即可得； （3）先证AFDBAD得 DFBD=AD2，再证AEDOAD得 ODDE=AD2，由得DF
39、BD=ODDE，即DFDEODBD，结合EDF=BDO 知EDFBDO，据此可得EFDEOBBD，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得 【详解】 （1）如图，连接 OC， 在OAD 和OCD中， OAOCADCDODOD， OADOCD（SSS）， ADO=CDO， 又 AD=CD， DEAC， AB为O的直径， ACB=90 ， ACB=90 ，即 BCAC， ODBC； （2）tanABC=ACBC=2， 设 BC=a、则 AC=2a， AD=AB=225ACBCa， OEBC，且 AO=BO， OE=12BC=12a，AE=CE=12AC=a， 在AED中，DE=22ADAE=2a，
40、 在AOD 中，AO2+AD2=（52a）2+（5a）2=254a2， OD2=（OF+DF）2=（12a+2a）2=254a2， AO2+AD2=OD2， OAD=90 ， 则 DA与O 相切； （3）如图，连接 AF， AB是O的直径， AFD=BAD=90 ， ADF=BDA， AFDBAD， DFADADBD，即 DFBD=AD2， 又AED=OAD=90 ，ADE=ODA， AEDOAD， ADDEODAD，即 ODDE=AD2， 由可得 DFBD=ODDE，即DFDEODBD， 又EDF=BDO， EDFBDO， EFDEOBBD， BC=1， AB=AD=5、OD=52、ED=2
41、、BD=10、OB=52， 25102EF， EF=22. 【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理等，综合性较强，有一定的难度，准确添加辅助线构造图形是解题的关键. 25. 如图，已知二次函数 yx2+bx+c（c0）的图象与 x 轴交于 A、B两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y轴交于点 C，且 OBOC3，顶点为 M （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 为线段 BM上的一个动点，过点 P作 x 轴的垂线 PQ，垂足为 Q，若 OQm，四边形 ACPQ 的面积为 S，求 S关于 m的函数解析式，
42、并写出 m的取值范围； （3）探索： 线段 BM上是否存在点 N， 使NMC为等腰三角形？如果存在， 求出点 N的坐标； 如果不存在，请说明理由 【答案】 （1）2yx2x3 ； （2）293(13)22Smmm （3） （75，165 ） ， （2，2） ， （1+105，4-2 105 ） 【解析】 【分析】 （1）可根据 OB、OC 的长得出 B、C两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式 （2）可将四边形 ACPQ 分成直角三角形 AOC 和直角梯形 CQPC 两部分来求解先根据抛物线的解析式求出 A 点的坐标，即可得出三角形 AOC直角边 OA 的长，据此可根据上面得出的四
43、边形的面积计算方法求出S 与 m的函数关系式 （3）先根据抛物线的解析式求出 M的坐标，进而可得出直线 BM的解析式，据此可设出 N 点的坐标，然后用坐标系中两点间的距离公式分别表示出 CM、MN、CN 的长，然后分三种情况进行讨论：CM=MN；CM=CN；MN=CN根据上述三种情况即可得出符合条件的 N点的坐标 【小问 1 详解】 OB=OC=3， B（3，0） ，C（0，3） 0933bcc ， 解得23bc 二次函数的解析式为 y=-x2+2x+3 【小问 2 详解】 y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，M（1，4） 设直线 MB 的解析式为 y=kx+n， 则有40 3knkn
44、解得26kn 直线 MB 的解析式为 y=-2x+6 PQx 轴，OQ=m， 点 P的坐标为（m，-2m+6） S四边形ACPQ=S AOC+S梯形PQOC=12AOCO+12（PQ+CO）OQ =12 1 3+12（-2m+6+3）m=-m2+92m+3 2（1m3） 【小问 3 详解】 设 N(x,-2x+6) CM=22()(1 0432) ，CN=22 2() 3xx ， MN=22()( 122)xx 当 CM=NC时，22(32) 2xx ， 解得 x1=75 ，x2=1（舍去） 此时 N（75，165 ） 当 CM=MN 时，22()( 2)122xx ， 解得 x1=1+ 105 ，x2=1- 105（舍去） ， 此时 N（1+ 105，4-2 10 5 ） 当 CN=MN时，22 2() 3xx =22()( 122)xx 解得 x=2，此时 N（2，2） 综上所述：线段 BM 上存在点 N， （ （75，165 ） ， （2，2） ， （1+ 105，4-2 10 5 ）使 NMC 为等腰三角形 【点睛】本题主要考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点、等腰三角形的判定等知识及综合应用知识、解决问题的能力考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法
