1、 2021 年山西省中考数学考前大联考试卷（一）年山西省中考数学考前大联考试卷（一） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 （3 分）有理数 3，2，0，10 中，最大的是（ ） A3 B2 C0 D10 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （43）224 B|4|+4 C （13）29 D （2）36 3 （3 分）下列图形不能折叠成正方体的是（ ） A
2、 B C D 4 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列选项中不能判定平行四边形ABCD 是菱形的条件是（ ） AABDCBD BACBD CABBC DACBD 5 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+（m6）x3m0 的根的情况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D根的情况由 m 的值确定 6 （3 分）如图，直线 ab，将直角三角板的 60角的顶点放在直线 b 上，若157，则2 的度数是（ ） A57 B33 C27 D23 7 （3 分）2021 年 1 月 22 日，省统计局、国家统计局山西调查总队
3、联合发布 2020 年全省经济运行情况，数据显示， 全省农业农村经济保持稳定向好运行态势 全省粮食总产亩产均创历史新高， 总产量达到 142.4亿千克，比上年增长 4.6%数据“142.4 亿千克”用科学记数法表示为（ ） A142.4102千克 B142.4108千克 C1.424109千克 D1.4241010千克 8 （3 分）小王同学在求一元二次方程2x2+4x+10 的近似根时，先在平面直角坐标系中作出了二次函数y2x2+4x+1 的图象（如图） ，接着观察图象与 x 轴的交点 A 和 B 的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是1x10，2x23，小王同学的这种方法运用的主要数
4、学思想是（ ） A数形结合思想 B类比思想 C公理化思想 D模型思想 9 （3 分）如图，已知反比例函数 y=（x0）的图象经过 RtOAB 斜边 OB 的中点 D，与直角边 AB 相交于点 C若OBC 的面积为 6，则 k 的值是（ ） A2 B3 C4 D6 10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上的一点，连接 DE，AE，BD，且 AE，BD 交于点 F，AB6，BE3，则阴影部分的面积是（ ） A12 B13 C14 D15 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）分解因式
5、：m38m2+16m 12 （3 分）一组按规律排列的式子3，28，315，424，则第 n 个式子是 13 （3 分）某校服加工厂，为了在九月份不影响学校的学生正常穿校服，因此，在第二季度进行预加工根据某校去年提供的信息表如下： 校服尺码 160 165 170 175 180 185 190 套数 60 140 200 300 150 100 50 该校今年预计招生 1500 人，根据去年经验，则 175 码的校服最多加工不超过 套 14 （3 分）如图，有两块全等的直角三角形纸片，小明认为用这两张三角形纸片能拼出下列图形（不剪、不重、没缝隙） ：矩形；菱形；平行四边形；等腰三角形；等边三
6、角形，请把你认为正确的结论填在横线上 15 （3 分）如图，一张直角三角形纸片 ABC，ACB90，B30，AC6将此三角形纸片先沿CD 折叠，使点 A 落在 AB 边的点 A处再沿 CE 折叠，使点 B 的对应点 B落在 CA 的延长线上则ABE 的面积为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （10 分） （1）计算（3）2（12）2（1tan30）0； （2）解不等式组：+24 1235 73 + 1，并把解集表示在数轴上 17 （6 分）如
7、图，点 P 是ABC 外一点 （1）尺规作图：求作ABC，使ABC与ABC 关于点 P 成中心对称（点 A，B，C 的对应点分别为点 A，B，C；要求保留作图痕迹，不写作法） ； （2）在（1）的基础上，以已有顶点为顶点，任意写出一个四边形是平行四边形，并说明理由 18 （8 分）某校对九年级 500 名男生进行了中考体育项目测试，得到统计表如下： 成绩/分 30 x35 35x40 40 x45 45x50 人数/人 30 230 160 （1）根据上表解答下列问题： 统计表中成绩在 35x40 的人数是 ； 由表中数据可知，达到 40 分及以上水平的人数占总体的 %； 若想清楚反映各分数段
8、学生人数的百分比，选择比较合适的统计图为 统计图 （2）由于男生必考项目为 1000 米跑（用 P 表示）和立定跳远（用 L 表示） ，且了解到多数男生的选考项目为实心球（用 S 表示）和仰卧起坐（用 Y 表示） 为了对九年级的男生加强训练，学校准备在周二、周四下午课外活动时间随机安排专业体育教师对以上四个考试项目进行专项指导（每个学生每天只能参加一项） 小明本周想参加的两项为实心球和立定跳远， 求本周学校安排的两项指导恰好满足小明愿望的概率 19 （9 分）如图，直线 MN 与O 相离，OAMN 于点 A，与O 相交于点 P，AB 切O 于点 B，连接 BP并延长，交直线 MN 于点 C （
9、1）判断ABC 的形状，并说明理由； （2）若 tanACB=12，O 的半径为 10求线段 BP 的长 20 （9 分）2020 年“春华秋实”文化旅游系列活动吉县苹果文化艺术节在山西省临汾市吉县东城乡苹果小镇开幕，据了解 2020 年吉县苹果种植面积稳定在 28 万亩，总产量达到 20 万吨小华家 2019 年苹果销售收入 45000 元，2020 年苹果的产量增加了 10%，苹果销售时每斤的价格比 2019 年提高了 0.2 元，小华家 2020 年苹果的销售收入达到 52800 元 （1）小华家 2019 年苹果的产量是多少斤？ （2）吉县农业局积极推进种植技术改进，提高苹果的产量，在
10、种植面积不变的情况下，计划在 2022 年苹果产量达到 24.2 万吨求 2021、2022 年的年平均增长率 21 （8 分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 塞瓦（GiovanniCeva，16481734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于 1678 年发表的直线论一书，塞瓦定理是指如图 1，在ABC 内任取一点 O，延长 AO，BO，CO 分别交对边于 D，F，E，则= 1 下面是该定理的部分证明过程： 如图 2，过点 A 作 BC 的平行线分别交 BE，CF 的延长线于点 M，N则NFCB，NAFFBC NAFCBF = 同理可得NOACOD = 任务一： （1）请分别写出与
11、MOA，MEA 相似的三角形； （2）写出由（1）得到的比例线段； 任务二：结合和（2） ，完成该定理的证明； 任务三：如图 3，ABC 中，ACB90，AC4，BC3，CDAB，垂足为 D，点 E 为 DC 的中点，连接 AE 并延长，交 BC 于点 F，连接 BE 并延长，交 AC 于点 G小明同学自学了上面定理之后解决了如图 3 所示的问题，并且他用所学知识已经求出了 BF 与 FC 的比是 25：16，请你直接写出ECG 与EAG 面积的比 22 （12 分）综合与实践 已知，如图 1，将一块 45角的直角三角板 AEF 与正方形 ABCD 的一个顶点 A 重合，点 E，F 分别在AD
12、，AB 边上，连接 BE，DF，点 G 是 DF 的中点，连接 AG （1）请猜想线段 AG 与 BE 的关系，并说明理由； （2）如图 2，把三角板 AEF 绕点 A 按逆时针旋转 （090） ； AG 与 BE 的关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由（提示：延长 AG 到点 H，使GHAG） ； 若旋转角 30，AE2，AB5，请直接写出线段 BE 的长度 23 （13 分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y= 38x2+34x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC （1）求点 A，B，
13、C 的坐标； （2） 点 P 是线段 AB 上的一个动点 （都不与点 A， B 重合） ， 过点 P 作 PQBC 交 AC 于点 Q， 连接 CP 求CPQ 面积最大时点 P 的坐标； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 D，使BCD 是直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点 D的坐标；若不存在，请说明理由 2021 年山西省中考数学考前大联考试卷（一）年山西省中考数学考前大联考试卷（一） 答案与解析答案与解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题在每小题所给出的四个选项中，只
14、有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 （3 分）有理数 3，2，0，10 中，最大的是（ ） A3 B2 C0 D10 【分析】根据正数0负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可 【解答】解：|2|2，|10|10，而 210， 10203， 其中最大的是 3 故选：A 2 （3 分）下列运算正确的是（ ） A （43）224 B|4|+4 C （13）29 D （2）36 【分析】利用二次根式的性质，绝对值的性质，负指数幂的性质即可解答本题 【解答】解：A、 （43）248，故 A 错误 B、4 为负数，负数的绝对值等于其
15、相反数，|4|4，故 B 错误 C、 （13）2（3）29，故 C 正确 D、 （2）3（12）3= 18，故 D 错误 故选：C 3 （3 分）下列图形不能折叠成正方体的是（ ） A B C D 【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题 【解答】解：A、每一个面都有唯一的一个对面，故此选项不符合题意； B、折叠后第一行两个面无法折起来，不能折成正方体，故此选项符合题意； C、每一个面都有唯一的一个对面，故此选项不符合题意； D、每一个面都有唯一的一个对面，故此选项不符合题意； 故选：B 4 （3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列选项中不能判定平
16、行四边形ABCD 是菱形的条件是（ ） AABDCBD BACBD CABBC DACBD 【分析】根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可判断 A，C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断 B，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断 D 【解答】解：A四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， ADBCBD， ABDCBD， ABDADB， ABAD， 平行四边形 ABCD 是菱形，故选项 A 不符合题意； B平行四边形 ABCD 中，ACBD， 平行四边形 ABCD 是菱形，故 B 不符合题意； C平行四边形 ABCD 中，ABBC， 平行四边形 ABCD 是菱形，故选项 C 不符合
17、题意； D平行四边形 ABCD 中，ACBD， 平行四边形 ABCD 是矩形，故选项 D 符合题意； 故选：D 5 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+（m6）x3m0 的根的情况是（ ） A没有实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D根的情况由 m 的值确定 【分析】找出方程二次项系数，一次项系数，以及常数项，计算出根的判别式的值，判断即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+（m6）x3m0， （m6）241（3m） m212m+36+12m m2+360， 方程有两个不相等的实数根 故选：C 6 （3 分）如图，直线 ab，将直角三角板的 60角的顶点放在直
18、线 b 上，若157，则2 的度数是（ ） A57 B33 C27 D23 【分析】 由平行线的性质可得3157， A30， 则利用三角形的外角性质可求得427，再利用对顶角相等即可求2 的度数 【解答】解：如图， 由题意得A30， ab，157， 3157， 43A27， 2427 故选：C 7 （3 分）2021 年 1 月 22 日，省统计局、国家统计局山西调查总队联合发布 2020 年全省经济运行情况，数据显示， 全省农业农村经济保持稳定向好运行态势 全省粮食总产亩产均创历史新高， 总产量达到 142.4亿千克，比上年增长 4.6%数据“142.4 亿千克”用科学记数法表示为（ ） A
19、142.4102千克 B142.4108千克 C1.424109千克 D1.4241010千克 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为整数，且 n 比原来的整数位数少 1，据此判断即可 【解答】解：142.4 亿千克14240000000 千克1.4241010千克 故选：D 8 （3 分）小王同学在求一元二次方程2x2+4x+10 的近似根时，先在平面直角坐标系中作出了二次函数y2x2+4x+1 的图象（如图） ，接着观察图象与 x 轴的交点 A 和 B 的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是1x10，2x23，小王同学的这种方法运用的主要
20、数学思想是（ ） A数形结合思想 B类比思想 C公理化思想 D模型思想 【分析】结合图象解答题目，属于数形结合的数学思想 【解答】解：根据函数解析式得到函数图象，结合函数图象得到抛物线与 x 轴交点的大体位置，属于数形结合的数学思想 故选：A 9 （3 分）如图，已知反比例函数 y=（x0）的图象经过 RtOAB 斜边 OB 的中点 D，与直角边 AB 相交于点 C若OBC 的面积为 6，则 k 的值是（ ） A2 B3 C4 D6 【分析】过 D 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 E 点，可得到四边形 DBAE，和三角形 OBC 的面积相等，通过面积转化，可求出 k 的值 【解答】解：过 D
21、点作 x 轴的垂线交 x 轴于 E 点， ODE 的面积和OAC 的面积相等 OBC 的面积和四边形 DEAB 的面积相等且为 8 设 D 点的横坐标为 x，纵坐标就为， D 为 OB 的中点 EAx，AB=2， 四边形 DEAB 的面积可表示为：12（+2）x6， k4 故选：C 10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上的一点，连接 DE，AE，BD，且 AE，BD 交于点 F，AB6，BE3，则阴影部分的面积是（ ） A12 B13 C14 D15 【分析】通过证明ADFEBF，可得 AF2EF，由三角形的面积公式可求解 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，
22、 ADBC，ADAB6， ADFEBF， = 2， AF2EF， AB6，BE3， SABESBED=12BEAB9， SABF=23SABE6， 阴影部分的面积6+915， 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11 （3 分）分解因式：m38m2+16m m（m4）2 【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式 【解答】解：原式m（m28m+16） m（m4）2； 故答案为：m（m4）2 12 （3 分）一组按规律排列的式子3，28，315，424，则第 n 个式子是 (:1)2;1 【分析】不难看出分子
23、中的指数为从 1 开始的自然数，分母部分为（n+1）21，据此即可求解 【解答】解：3=(1:1)2;1， 28=2(2:1)2;1， 3(3:1)2;1， ， 第 n 个式子为：(:1)2;1 故答案为：(:1)2;1 13 （3 分）某校服加工厂，为了在九月份不影响学校的学生正常穿校服，因此，在第二季度进行预加工根据某校去年提供的信息表如下： 校服尺码 160 165 170 175 180 185 190 套数 60 140 200 300 150 100 50 该校今年预计招生 1500 人，根据去年经验，则 175 码的校服最多加工不超过 450 套 【分析】用今年预计招生的人数乘以
24、 175 码的人数所占的百分比即可 【解答】解：根据题意得： 150030060+140+200+300+150+100+50=450（套） ， 答：175 码的校服最多加工不超过 450 套 故答案为：450 14 （3 分）如图，有两块全等的直角三角形纸片，小明认为用这两张三角形纸片能拼出下列图形（不剪、不重、没缝隙） ：矩形；菱形；平行四边形；等腰三角形；等边三角形，请把你认为正确的结论填在横线上 【分析】此题需要动手操作或画图，用完全相同的直角三角形一定可以拼成平行四边形、矩形、等腰三角形 【解答】解：根据题意，用形状和大小完全相同的直角三角形一定能拼出平行四边形、矩形和等腰三角形，共
25、 3 种图形 画出图形如下所示： 故答案为： 15 （3 分）如图，一张直角三角形纸片 ABC，ACB90，B30，AC6将此三角形纸片先沿CD 折叠，使点 A 落在 AB 边的点 A处再沿 CE 折叠，使点 B 的对应点 B落在 CA 的延长线上则ABE 的面积为 183 27 【分析】由题意可知，AB12，BC63，由折叠可知，AA60，CACA6，CDAB，BEBE， BECBEC， BECBEC， 推出ACA为等边三角形， AECAACACE45，BEC135BEC，所以BEA1354590，推出 BEABAEABADDE12333 =933，即 BE933， 根据12 即可求出ABE
26、 的面积 【解答】解：ACB90，B30，AC6， AB12，BC63， 由折叠可知，AA60，CACA6，CDAB， BEBE，BECBEC，BECBEC， ACA为等边三角形， AA6，AACACA60， ACB30，BECBEC15， AECAACACE601545， BEC135BEC， BEA1354590， A60， ACD30， AD=12 =3，ADAD3，CD33， DECD33， AEDEAD33 3， BEABAEABADDE12333 =933， BE933， ABE 的面积：12 =12 (33 3) (9 33) =183 27 故答案为：183 27 三、解答题（
27、本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （10 分） （1）计算（3）2（12）2（1tan30）0； （2）解不等式组：+24 1235 73 + 1，并把解集表示在数轴上 【分析】 （1）按照顺序依次计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再将结果进行加减运算即可得到结果 （2）解不等式组需要依次解两个不等式的解集，在解不等式的过程中与注意步骤依次为，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化一（注意不等号方向是否改变） 【解答】解： （1）原式94136135 （
28、2+24 1235 73 + 1； 由第一个不等式得： 3（x+2）124（x2） ； 3x6124x8； 3x4x8+6+12； x10； x10 由第二个不等式得： 5x73x+1； 2x8； x4 不等式组的解集为10 x4； 不等式解集在数轴表示为 17 （6 分）如图，点 P 是ABC 外一点 （1）尺规作图：求作ABC，使ABC与ABC 关于点 P 成中心对称（点 A，B，C 的对应点分别为点 A，B，C；要求保留作图痕迹，不写作法） ； （2）在（1）的基础上，以已有顶点为顶点，任意写出一个四边形是平行四边形，并说明理由 【分析】 （1）作射线 AP，在射线 AP 上截取 PAP
29、A，同样方法作出 B、C，从而得到ABC； （2）利用中心对称的性质得到 PAPA，PCPC，则可判断四边形 ACAC为平行四边形 【解答】解： （1）如图，ABC为所作； （2）如图，四边形 ACAC为平行四边形 理由如下： ABC与ABC 关于点 P 成中心对称， PAPA，PCPC， 四边形 ACAC为平行四边形 18 （8 分）某校对九年级 500 名男生进行了中考体育项目测试，得到统计表如下： 成绩/分 30 x35 35x40 40 x45 45x50 人数/人 30 80 230 160 （1）根据上表解答下列问题： 统计表中成绩在 35x40 的人数是 80 ； 由表中数据可知
30、，达到 40 分及以上水平的人数占总体的 78 %； 若想清楚反映各分数段学生人数的百分比，选择比较合适的统计图为 扇形 统计图 （2）由于男生必考项目为 1000 米跑（用 P 表示）和立定跳远（用 L 表示） ，且了解到多数男生的选考项目为实心球（用 S 表示）和仰卧起坐（用 Y 表示） 为了对九年级的男生加强训练，学校准备在周二、 周四下午课外活动时间随机安排专业体育教师对以上四个考试项目进行专项指导（每个学生每天只能参加一项） 小明本周想参加的两项为实心球和立定跳远， 求本周学校安排的两项指导恰好满足小明愿望的概率 【分析】 （1）根据四个分数段的人数之和等于总人数可得 35x40 的
31、人数； 用 40 x45、45x50 的人数和除以被调查的总人数即可； 根据条形统计图、折线统计图及扇形统计图各自优势可得答案； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【解答】解： （1）统计表中成绩在 35x40 的人数是 500（30+230+160）80（人） ； 由表中数据可知，达到 40 分及以上水平的人数占总体的百分比为230:160500100%78%； 若想清楚反映各分数段学生人数的百分比，选择比较合适的统计图为扇形统计图； 故答案为：80、78、扇形； （2）列表如下： P L S Y P （L，P） （S，P） （Y，P） L （P
32、，L） （S，L） （Y，L） S （P，S） （L，S） （Y，S） Y （P，Y） （L，Y） （S，Y） 由表知，共有 12 种等可能结果，其中本周学校安排的两项指导恰好满足小明愿望的有 2 种结果， 所以本周学校安排的两项指导恰好满足小明愿望的概率为212=16 19 （9 分）如图，直线 MN 与O 相离，OAMN 于点 A，与O 相交于点 P，AB 切O 于点 B，连接 BP并延长，交直线 MN 于点 C （1）判断ABC 的形状，并说明理由； （2）若 tanACB=12，O 的半径为 10求线段 BP 的长 【分析】 （1）连接 OB，根据切线的性质得到 OBAB，根据等角的余
33、角相等、等腰三角形的判定定理证明即可； （2）作 ODBP，根据垂径定理得到 PDDB，根据正切的定义得到 OD2PD，根据勾股定理计算，得到答案 【解答】解： （1）ABC 为等腰三角形， 理由如下：连接 OB， AB 切O 于点 B， OBAB， OBP+ABC90， OAMN， APC+ACB90， OPOB， OBPOPB， OPBAPC， ACBABC， ACAB， ABC 为等腰三角形； （2）过点 O 作 ODBP， 则 PDDB， OPBAPC， PODACB， tanPOD=12，即=12， OD2PD， 由勾股定理得：OD2+PD2OP2，即 PD2+（2PD）252， 解
34、得：PD= 5， PB25， 答：线段 BP 的长为 25 20 （9 分）2020 年“春华秋实”文化旅游系列活动吉县苹果文化艺术节在山西省临汾市吉县东城乡苹果小镇开幕，据了解 2020 年吉县苹果种植面积稳定在 28 万亩，总产量达到 20 万吨小华家 2019 年苹果销售收入 45000 元，2020 年苹果的产量增加了 10%，苹果销售时每斤的价格比 2019 年提高了 0.2 元，小华家 2020 年苹果的销售收入达到 52800 元 （1）小华家 2019 年苹果的产量是多少斤？ （2）吉县农业局积极推进种植技术改进，提高苹果的产量，在种植面积不变的情况下，计划在 2022 年苹果
35、产量达到 24.2 万吨求 2021、2022 年的年平均增长率 【分析】 （1）设小华家 2019 年苹果的产量是 x 斤，则小华家 2020 年苹果的产量是（1+10%）x 斤，利用销售单价销售总价销售数量，结合小华家 2020 年苹果销售时每斤的价格比 2019 年提高了 0.2 元，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设 2021、2022 年的年平均增长率为 m，利用 2022 年吉县苹果总产量2020 年吉县苹果总产量（1+年平均增长率）2，即可得出关于 m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解： （1）设小华家 2019 年苹果的产量是
36、 x 斤，则小华家 2020 年苹果的产量是（1+10%）x 斤， 依题意得：52800(1:10%)45000=0.2， 解得：x15000， 经检验，x15000 是原方程的解，且符合题意 答：小华家 2019 年苹果的产量是 15000 斤 （2）设 2021、2022 年的年平均增长率为 m， 依题意得：20（1+m）224.2， 解得：m10.110%，m22.1（不合题意，舍去） 答：2021、2022 年的年平均增长率为 10% 21 （8 分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 塞瓦（GiovanniCeva，16481734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于 1678
37、 年发表的直线论一书，塞瓦定理是指如图 1，在ABC 内任取一点 O，延长 AO，BO，CO 分别交对边于 D，F，E，则= 1 下面是该定理的部分证明过程： 如图 2，过点 A 作 BC 的平行线分别交 BE，CF 的延长线于点 M，N则NFCB，NAFFBC NAFCBF = 同理可得NOACOD = 任务一： （1）请分别写出与MOA，MEA 相似的三角形； （2）写出由（1）得到的比例线段； 任务二：结合和（2） ，完成该定理的证明； 任务三：如图 3，ABC 中，ACB90，AC4，BC3，CDAB，垂足为 D，点 E 为 DC 的中点，连接 AE 并延长，交 BC 于点 F，连接
38、BE 并延长，交 AC 于点 G小明同学自学了上面定理之后解决了如图 3 所示的问题，并且他用所学知识已经求出了 BF 与 FC 的比是 25：16，请你直接写出ECG 与EAG 面积的比 【分析】任务一：可直接通过“8”字型相似得出答案； 任务二：通过相似之间的对应边比例转换得出结论； 任务三：由任务一和任务二得出=1，可得出的值，再由ECG 和EAG 为同高，故面积比就等于底边 CG 和 GA 之比 【解答】解： 任务一： （1）MOABOD；MEABEC； （2）=；=； 任务二： 证明： 如图所示： 由任务一可得：=；=； 同理可得OANODC；AFNBFC； =；=； =； = 1
39、任务三： 由任务一和任务二可得： 在ABC 中，=1； RtABC 中，AC4，BC3， AB= 32+ 42= 5； cosBAC=； 45=4； AD=165； BDABAD=95； =1； 251616595=1； 解得=12548； 过点 E 作 EHAC 于 H； =1212=12548 22 （12 分）综合与实践 已知，如图 1，将一块 45角的直角三角板 AEF 与正方形 ABCD 的一个顶点 A 重合，点 E，F 分别在AD，AB 边上，连接 BE，DF，点 G 是 DF 的中点，连接 AG （1）请猜想线段 AG 与 BE 的关系，并说明理由； （2）如图 2，把三角板 A
40、EF 绕点 A 按逆时针旋转 （090） ； AG 与 BE 的关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由（提示：延长 AG 到点 H，使GHAG） ； 若旋转角 30，AE2，AB5，请直接写出线段 BE 的长度 【分析】 （1）证ABEADF（SAS） ，得 BEDF，ABEADF，再由直角三角形斜边上的中线性质得 AG=12DF=12BE，然后证APE90，得出 AGBE 即可； （2） 延长 AG 至 H， 使 HGAG， 连接 DH， 证AGFHGD （SAS） ， 得 AFDH， FAGDHG，再证BAEADH（SAS） ，得 BEAH，ABEDAH，进而得出结论； 过
41、E 作 ENBC 于 N，交 AD 于 M，由含 30角的直角三角形的性质得 EM=12AE1，再由勾股定理得 BNAM= 3，然后由勾股定理求出 BE 的长即可 【解答】解： （1）AG=12BE，AGBE，理由如下： 设 AG 与 BE 交于点 P， EAF90，AEF45， AEF 是等腰直角三角形， AEAF， 四边形 ABCD 是正方形， BAD90，ABAD， 又BAEDAF， ABEADF（SAS） ， BEDF，ABEADF， 点 G 是 DF 的中点， AG=12DFDG， AG=12BE，GADADF， ABEGAD， AEB+ABE90， AEB+GAD90， APE90
42、， AGBE， 综上所述，线段 AG 与 BE 的关系为：AG=12BE，AGBE； （2）AG 与 BE 的关系仍成立，理由如下： 如图 2，延长 AG 至 H，使 HGAG，连接 DH， 设 AG 交 BE 于 P，AH 交 CD 于 Q，BE 交 AD 于 M， 点 G 是 DF 的中点， DGFG， AGFHGD，AGHG， AGFHGD（SAS） ， AFDH，FAGDHG， AEDH， DQHADC+DAQ， QDH180DHGDQH180FAGADCDAQBAF， EABADH90+， ABAD，AEDH， BAEADH（SAS） ， BEAH，ABEDAH， AG=12AH=1
43、2BE， ABE+AMB90， DAH+AMB90， APM90， AGBE， 综上所述，线段 AG 与 BE 的关系为：AG=12BE，AGBE； 如图 3，过 E 作 ENBC 于 N，交 AD 于 M， 则 EMAD，MNAB5，AMBN， EAM30，AE2， EM=12AE1， BNAM= 2 2= 22 12= 3， ENEM+MN1+56， BE= 2+ 2=(3)2+ 62= 39 23 （13 分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y= 38x2+34x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，连接 AC，BC
44、 （1）求点 A，B，C 的坐标； （2） 点 P 是线段 AB 上的一个动点 （都不与点 A， B 重合） ， 过点 P 作 PQBC 交 AC 于点 Q， 连接 CP 求CPQ 面积最大时点 P 的坐标； （3）抛物线的对称轴上是否存在点 D，使BCD 是直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点 D的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）令 y0，可求 A（2，0） ，B（4，0） ，令 x0 可求 C（0，3） ； （2）设 P（t，0） ，由平行的性质可得=，求出 PQ=56（t+2） ，过点 B 作 BHPQ 交于 H 点，再由 sinCBO=35=4，求出 BH=35（4t
45、） ，则 SCPQ=12PQBH= 14（t1）2+94，即可求解； （3）分三种情况讨论：当BCD90时，过点 D 作 DEy 轴交于 E 点，证明EDCOCB，可求 D（1，133） ；当CBD90时，过点 B 作 FGx 轴，过点 C 作 CFFG 交于 F 点，过点 D 作 DGFG 交于 G 点，证明BCFDBG，可求 D（1，4）当CDB90时，过点 D 作 MNy 轴交于点 M，过点 B 作 BNNM 交于点 N，证明MCDNDB，可求 D（1，3:212）或（1，3;212） 【解答】解： （1）令 y0，则38x2+34x+30， 解得 x2 或 x4， 点 A 在点 B 的
46、左侧， A（2，0） ，B（4，0） ， 令 x0，则 y3， C（0，3） ； （2）设 P（t，0） ， 点 P 是线段 AB 上的一个动点（都不与点 A，B 重合） ， 2t4， A（2，0） ，B（4，0） ，C（0，3） ， AB6，BC5， PQBC， =，即:26=5， PQ=56（t+2） ， 过点 B 作 BHPQ 交于 H 点， BPHCBO， sinCBO=35=4， BH=35（4t） ， SCPQ=12PQBH=1256（t+2）35（4t）= 14（t1）2+94， 当 t1 时，CPQ 的面积最大为94， 此时 P（1，0） ； （3）存在点 D，使BCD 是直角
47、三角形，理由如下： y= 38x2+34x+3， 抛物线的对称轴为 x1， 如图 2，当BCD90时， 过点 D 作 DEy 轴交于 E 点， EDC+BCO90， ECD+EDC90， EDCBCO， EDCOCB， =，即13=4， CE=43， D（1，133） ； 如图 3，当CBD90时， 过点 B 作 FGx 轴，过点 C 作 CFFG 交于 F 点，过点 D 作 DGFG 交于 G 点， CBF+DBG90， CBF+BCF90， DBGBCF， BCFDBG， =，即33=4， BG4， D（1，4） ； 如图 4，当CDB90时， 过点 D 作 MNy 轴交于点 M，过点 B 作 BNNM 交于点 N， CDM+BDN90， CDM+DCM90， BDNDCM， MCDNDB， =，即1=;33， BN=3212， D（1，3:212）或（1，3;212） ； 综上所述，D 点的坐标为（1，133）或（1，4）或（1，3:212）或（1，3;212）
